精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

长春外国语学校教育集团2025-2026学年第一学期初三年级期末考试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于“0”的说法正确的是（　　） A. 0是正数 B. 0是最小的整数 C. 0是绝对值最小的数 D. 0不是有理数 2. 生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. “与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 5 6. 如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 7. 图1是长春市某地铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 10. 角的余角为_____． 11. 平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________． 13. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，点A、B在大圆上，点C、D在小圆上，和的长度分别是．若扇形和扇形的面积相等，则的大小关系是：_____．（填“>”“<”或“=”） 14. 如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人把球传给另外两个人的机会是均等的．假如开始时球在甲手中，用画树状图的方法，求经过3次传球后球回到甲手中的概率． 17. 一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 18. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的三个网格中确定三个不同的格点C，作，使的面积均为3． 19. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 20. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 21. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 22. 【问题呈现】如图①，点M是边长为4的等边三角形内一点，连结、、，求的最小值． 【问题解决】小明利用旋转的方法，将三条线段转化后首尾相接，求出了的最小值，过程如下： 如图②，将绕点B逆时针旋转得到，连结， 由旋转可知：，， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 而的最小值是线段__①___的长度（__②___）， ∴的最小值为__③___． 请将上面的过程补充完整． 【拓展应用】如图③，是等边三角形，M是正方形对角线（不含点B）上一点． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作等边，使点N在内；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）当的最小值为时，正方形的边长为_____． 23. 如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧． （1）当点与点重合时，求的长． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当与的边平行时，求的长． （4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）作点关于抛物线对称轴的对称点（不与重合），连接，当为锐角时，求的值． （4）以为边向下作正方形．当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校教育集团2025-2026学年第一学期初三年级期末考试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于“0”的说法正确的是（　　） A. 0是正数 B. 0是最小的整数 C. 0是绝对值最小的数 D. 0不是有理数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查0的性质，包括正负性、整数、绝对值和有理数的定义．根据0既不是正数也不是负数，整数没有最小值，0的绝对值最小，以及0是有理数，逐一判断选项． 【详解】解：∵0既不是正数也不是负数， ∴A错误； ∵整数包括正整数、负整数和0，没有最小的整数， ∴B错误； ∵绝对值表示数到原点的距离，0的绝对值为0，其他数的绝对值均大于0， ∴0是绝对值最小的数，C正确； ∵有理数包括整数和分数，0是整数， ∴0是有理数，D错误． 故选：C． 2. 生活中常见的路障锥通常是圆锥的形状，它的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的侧面展开图．熟记常见立体图形的侧面展开图的特征是解决此类问题的关键． 由圆锥的侧面展开图的特征知它的侧面展开图为扇形． 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形． 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据乘方的定义确定a个a相乘的结果，再根据幂的乘方运算法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴结果为， 故选：B． 4. “与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，先根据题意找出数量关系，再用不等式表示出来，关键在于理解“非负数”的含义，即大于等于0，然后根据“x与3的差的2倍”这一描述列出不等式． 【详解】解：x与3的差可表示为：， x与3的差的2倍可表示为：， ∵式子是非负数， ∴， 故选：C． 5. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据已知两边长度，确定第三边的取值范围，再判断哪个选项不在该范围内． 【详解】解：设第三边长度为． ∵ 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即． 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 6. 如图，借助三角板画直线的操作过程，其数学依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 两直线平行，同位角相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图、平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据． 【详解】解：根据作图过程可知，画图的依据是：同位角相等，两直线平行， 故选：C． 7. 图1是长春市某地铁站入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用及全等三角形的判定与性质，过点A作于点M，过点B作于点N，再利用三角函数计算和，从而计算出的值． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点B作于点N， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及等腰三角形的判定与性质，过点A作于点E，设点，则点，再分别表示出点C、点D的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴， ∵轴， ∴点， ∵轴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，根据负整数指数幂的运算规则，，将指数转化为倒数形式计算． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 角的余角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义，根据余角的定义，余角是两角之和为，因此用减去给定角即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是 故答案为：． 12. 直线与正六边形的边分别相交于点，如图所示，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，对顶角．根据多边形的内角和公式可得：正六边形的内角和为，再根据正六边形定义可得，由此可得．在四边形中，可知，即可得出的度数，根据对顶角性质可得：，，进而得出答案． 【详解】解：∵是正六边形， ∴正六边形的各内角相等， ∴． ∵正六边形的内角和为：， ∴． 在四边形中，， ∴ ． ∵，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，点A、B在大圆上，点C、D在小圆上，和的长度分别是．若扇形和扇形的面积相等，则的大小关系是：_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式（用弧长表示）是解题的关键．设大圆的半径为，小圆的半径为，根据扇形的面积公式（用弧长表示）列出等式，由判断与的大小关系即可． 【详解】解：设大圆的半径为，小圆的半径为， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：<． 14. 如图，在边长为2的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 16. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人把球传给另外两个人的机会是均等的．假如开始时球在甲手中，用画树状图的方法，求经过3次传球后球回到甲手中的概率． 【答案】 【解析】 【分析】根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】解：画树状图如图所示， 共有8种等可能结果，符合题意的有2种， ∴经过3次传球后球回到甲手中的概率 【点睛】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 17. 一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 18. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为1的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的三个网格中确定三个不同的格点C，作，使的面积均为3． 【答案】作图见详解 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，网格中求三角形面积．利用网格图的特征及三角形面积公式的应用画出对应的即可，其顶点均在格点上． 【详解】解：如图所示为所求， 图①中，， 图②中，， 图③中，． 19. 如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 20. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 21. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】（1）， （2） （3）该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【小问1详解】 解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； 【小问2详解】 解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 22. 【问题呈现】如图①，点M是边长为4的等边三角形内一点，连结、、，求的最小值． 【问题解决】小明利用旋转的方法，将三条线段转化后首尾相接，求出了的最小值，过程如下： 如图②，将绕点B逆时针旋转得到，连结， 由旋转可知：，， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 而的最小值是线段__①___的长度（__②___）， ∴的最小值为__③___． 请将上面的过程补充完整． 【拓展应用】如图③，是等边三角形，M是正方形对角线（不含点B）上一点． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作等边，使点N在内；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）当的最小值为时，正方形的边长为_____． 【答案】[问题解决]，两点之间，线段最短，；[拓展应用]（1）作图见详解，（2） 【解析】 【分析】[问题解决]结合已知条件可得出的最小值即为线段的长度，其依据为两点之间，线段最短，过点D作交延长线于点E，利用解含的直角三角形及勾股定理即可求得最小值； [拓展应用]（1）分别以点B，M为圆心，为半径画弧，两弧交于一点N，连接，，等边即为所求； （2）连接，，利用旋转的性质得出，，进而得出是等边三角形，此时的最小值是线段，过点E作，交延长线于点F，设正方形的边长为，利用解含的直角三角形及勾股定理列出方程求解a的值，即可求得正方形的边长． 【详解】解：[问题解决]由题意知，， 此时的最小值即为线段的长度，其依据为两点之间，线段最短， 如图，过点D作交延长线于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：，两点之间，线段最短，； [拓展应用] （1）如图所示，等边即为所求， （2）如图，连接，， 由题意知，绕点B逆时针旋转得， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 而的最小值是线段， 过点E作，交延长线于点F， ∵的最小值为， ∴， 设正方形的边长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，两点间线段最短的定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质及解含的直角三角形，构造[问题呈现]中的模型是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧． （1）当点与点重合时，求的长． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当与的边平行时，求的长． （4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）的长为5； （2）的长为； （3）的长为或； （4）的长或． 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，的长即的长，利用勾股定理求解即可； （2）设，由题意，推出，，得到，根据，列式计算即可求解； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； （4）分点在点右侧和点在点左侧，两种情况进行讨论求解，作于点，推出，求得，推出，求得，，根据或由，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，的长即的长， 在中，，，， ∴， 即的长为5； 【小问2详解】 解：当点在边上时，设，如图， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为； 【小问3详解】 解：当时，如图，设， ∵菱形， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为； 当时，如图，则：， 设，则：， ∵， ∴， ∴设， 综上：设或 【小问4详解】 解：设， 直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况， 当点在点右侧时：作于点，如图， ∵菱形， ∴上线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的长． 当点在点左侧时，如图， 同理：，， 则：由，得：， 解得：， ∴的长， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，，连接． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）当点在轴上时，求点的坐标； （3）作点关于抛物线对称轴的对称点（不与重合），连接，当为锐角时，求的值． （4）以为边向下作正方形．当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或， （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式求解，即可得到该抛物线对应的函数表达式，再将一般式化为顶点式，即可得到其顶点坐标； （2）根据抛物线解析式求出其与轴交点坐标，进而求出点横坐标，再结合解析式求解，即可求出点的坐标； （3）根据抛物线解析式求出，，因为点关于抛物线对称轴的对称点为（不与重合），过点作垂直于直线于点，分情况①当点在点左侧，且为锐角时，又当点在点下方与点在点上方时，②当点在点右侧，且为锐角时，又当点在点下方与点在点上方时，进行分析讨论，并结合正切的定义求解，即可解题； （4）由（3）可知点、，利用条件推出点与点分别在对称轴的两侧，记正方形的边与抛物线交于点，分情况①当点在点左侧，时，过点作于点，②当点在点右侧，时，作，并过点作于点，结合正方形性质，角的等量代换，以及角的正切值求解，找出临界状态求解，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线（是常数）经过点， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为， ， 该抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，有， 解得， 点在轴上，且点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， 或， 或， 当时，； 当时，； 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：点、是该抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为，， ，， 点关于抛物线对称轴的对称点为（不与重合）， 过点作垂直于直线于点， ①当点在点左侧，且为锐角时， 有，解得，如图： 又当点在点下方时， （舍去）， 当点在点上方时， ，， ， 此时； ②当点在点右侧，且为锐角时， 有，解得，如图： 又当点在点下方时， ， ， 此时； 当点在点上方时， （舍去）， 综上，的值为； 【小问4详解】 解：由（3）可知点、， 抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大， 点与点分别在对称轴的两侧， 记正方形的边与抛物线交于点， ①当点在点左侧，时，过点作于点，如图所示： 有，解得， 四边形为正方形， ， ， ， ， 当与顶点重合时，为符合条件的临界点， 此时， 有，解得， ； ②当点在点右侧，时，作，并过点作于点，如图所示： 有， ， ， 同理可得，， 当与顶点重合时，为符合条件的临界点， 此时， 有，解得， ； 综上所述，当此抛物线在正方形内部的点的纵坐标先随的增大而减小，后随的增大而增大时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标、对称轴、图像和性质，三角函数，正方形的性质及“分类讨论”思想的应用，解题的关键是利用“数形结合”将几个特殊点在图像中标出相对位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $