精品解析：甘肃省天水市田家炳中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量监测卷 八年级数学 一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 64的平方根是（ ） A. B. C. 8 D. 2. 在中，若，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 下列命题中，真命题（　　） A. 实数和数轴上的点是一一对应的 B. 7，8，是一组勾股数 C. 的算术平方根是2 D. 直角三角形的两锐角互补 4. 小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（　　） A. 6 B. C. 6或 D. 18 5. 如图，，若，，则等于（　　）   A. B. 4 C. D. 5 6. 的运算结果是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. a，b是两个连续整数，若，则是（ ） A 12 B. 13 C. 20 D. 21 9. 如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（本大题有个小题，每小题4分，共32分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______． 12. 计算：______． 13. 若，，则________（用含有m、n的代数式）． 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为________． 15. 如图，在数轴上点A表示实数是_____． 16. 如图，在中，，AD平分，交BC于点D，且，，则点D到AB的距离是__________． 17. 如图，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是_______． 18. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是_____________． 三、简答题：（本答题共9小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤） 19. 按要求计算 （1）求下列各式中的： （2）因式分解： ① ② 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 天水市要在麦积山建第五代移动通信技术铁塔（简称），要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？（在图上用直尺和圆规做出它的位置．保留作图痕迹，不写做法） 22. 阅读与思考： ，即， 整数部分为1， 设的小数部分为x， 则， ， 即的小数部分为． 解答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 23. 某社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区随机抽取部分家庭，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果制成如下不完整的统计图表： 月均用水量x/吨 频数 百分比 10 10% m 20% 36 36% 25 n% 9 9% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在频数分布表中，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）若该小区有1 000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过12吨的家庭有多少户？ 24. 如图，点在线段上，． 求证： （1）； （2）若，求的度数． 25. 小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为． （1）求出，值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 26. 如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，，，求的面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解： 解：过点作交的延长线于点， …… （1）根据勾股定理可得，______或______．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 27. 阅读理解 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法． 如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______； 类比应用 如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由； 拓展创新 如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量监测卷 八年级数学 一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 64的平方根是（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查平方根的定义．根据平方根的定义“一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相反数”即可求解． 【详解】解：64的平方根是， 故选：A． 2. 在中，若，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可得，结合可得，即可判定是直角三角形． 【详解】解：， ， 又， ， ， 是直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，三角形的分类，解题的关键是牢记三角形内角和为180度． 3. 下列命题中，真命题是（　　） A. 实数和数轴上的点是一一对应的 B. 7，8，是一组勾股数 C. 的算术平方根是2 D. 直角三角形的两锐角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的，故A符合题意； ∵， ∴7，8，不是一组勾股数，故B不符合题意； ∵，没有算术平方根， 故C不符合题意； 直角三角形的两锐角互余，故D不符合题意； 故选：A 4. 小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（　　） A. 6 B. C. 6或 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据，直接作答即可． 【详解】解：∵， ∴染黑的部分为． 故选：C． 5. 如图，，若，，则等于（　　）   A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 的运算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂的指数相减，保留独有因式，即可求解． 详解】解： ， 故选：D． 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质；由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质，即可求解；掌握性质是解题的关键． 【详解】解：的垂直平分线交于点， ， ， ； 故选：C． 8. a，b两个连续整数，若，则是（ ） A. 12 B. 13 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．直接利用的取值范围得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵，，其中a、b为两个连续的整数， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ） A 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；若，则，则，则为等边三角形，这与题干任意画一个 的不符，故③错误．，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，④正确；利用角平分线的性质定理以及三角形的面积公式，可得⑤正确．正确作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 【详解】解：、分别是与角平分线，， ， ， 故①正确； ， ， 过点作，，，， 、分别是与的角平分线， 是的平分线， 故②正确； 若，则，则，则为等边三角形， 这与题干任意画一个 的不符， 故③错误． ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， 同理，， ，， 两式相加得，， ， ， 故④正确； 是角平分线， 到、的距离相等， ， 故⑤正确． 故选：． 二、填空题（本大题有个小题，每小题4分，共32分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 解得：． 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13. 若，，则________（用含有m、n的代数式）． 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂的乘方及同底数幂乘法运算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查幂的乘方：底数不变指数相乘；同底数幂乘法：底数不变指数相加；解题的关键是将分解成． 14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为________． 【答案】135°或45° 【解析】 【分析】根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，∠ABM=45°， 又∵BM是AC边上的高， ∴∠AMB=90°， ∴∠A=90°-45°=45°， ②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，∠DEN=45°， ∵EN是DF边上的高 ∴∠N=90°， ∴∠EDN=90°-45°=45°， ∴∠EDF=180°-45°=135° 故顶角为：135°或45°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案． 15. 如图，在数轴上点A表示的实数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 16. 如图，在中，，AD平分，交BC于点D，且，，则点D到AB的距离是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到线段相等，再结合勾股定理和三角形面积公式求解． 先利用勾股定理求出的长度，再根据角平分线的性质可知点到的距离等于的长度，利用三角形面积公式建立等式求解． 【详解】解：如图所示，过点D作于， ∵平分，，， ∴， ∵在中，，， ， 解得 故答案为：3． 17. 如图，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是_______． 【答案】##36平方米 【解析】 【分析】连接AC，根据勾股定理，求得AC，再根据勾股定理的逆定理，判断 是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和 【详解】解：连接AC，如图， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°． ∵AB=3米，BC=4米， ∴AC==5米． ∵CD=12米，DA=13米， ∴， ∴∠ACD=90°， ∴△ACD为直角三角形， ∴草坪的面积等于． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．构造直角三角形是解题关键． 18. 如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 三、简答题：（本答题共9小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤） 19. 按要求计算 （1）求下列各式中的： （2）因式分解： ① ② 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方根概念解方程、因式分解．利用平方根概念解方程注意一个数的平方根有两个，互为相反数；因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法．熟练掌握平方根的概念和因式分解的方法是解题的关键． （1）将方程通过移项、系数化为1化成，运用平方根概念即可求解． （2）①运用提取公因式法和公式法即可分解因式． ②先计算乘法，然后合并同类项，再用公式法即可分解因式． 【小问1详解】 解：移项：， 系数化为1：， 两边开平方：， ∴，． 【小问2详解】 解：①原式； ②原式． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值，注意到可以利用完全平方公式进行展开，利用平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 21. 天水市要在麦积山建第五代移动通信技术铁塔（简称），要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？（在图上用直尺和圆规做出它的位置．保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，由题意可知，发射塔点G为的角平分线与线段的中垂线的交点，利用尺规作出的平分线，线段的中垂线即可． 【详解】解：由题意点G如下图所求： 22. 阅读与思考： ，即， 的整数部分为1， 设的小数部分为x， 则， ， 即的小数部分为． 解答下列问题： （1）的整数部分是______，小数部分是______； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算． (1)根据可得，所以可得的整数部分是，小数部分是； (2)由可知，可得由，可知，可得，把字母的值代入代数式中计算求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， ， ， 的整数部分是，小数部分是， ， ， ， ， 的整数部分是， ， 23. 某社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区随机抽取部分家庭，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果制成如下不完整的统计图表： 月均用水量x/吨 频数 百分比 10 10% m 20% 36 36% 25 n% 9 9% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在频数分布表中，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）若该小区有1 000户家庭，根据调查数据估计，该小区月均用水量超过12吨的家庭有多少户？ 【答案】（1）20；25 （2）见解析 （3）340户 【解析】 【分析】本题考查了频数、频率的计算，画频数分布直方图，利用样本估计总体，熟练掌握统计调查的相关知识，理解统计图表的数据是解题关键． （1）根据统计图表数据，利用总数=频数百分比，求得本次抽取调查的家庭总数，再根据频数、频率计算公式即可得，的值； （2）由（1）得的频数是20，据此补全的频数分布直方图即可； （3）根据题意可得样本中用水量超过12吨的家庭所占百分比为，利用样本估计总体的方法，即用该小区家庭总户数1 000乘以样本的频率（百分比），即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽取调查的家庭数量为：， ，， ，， 故答案为：20；25． 【小问2详解】 解：由（1）得的频数是20， 补全的频数分布直方图如下． 【小问3详解】 解：（户）， 答：该小区月均用水量超过12吨的家庭有340户． 24. 如图，点在线段上，． 求证： （1）； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线性质可得，再根据推出； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得平分，从而得到的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，是解题的关键． 25. 小马和小虎两人共同计算一道整式乘法题：，由于小马抄错了的符号，得到的结果为；由于小虎漏抄了第一个多项式中的系数，得到的结果为． （1）求出，的值； （2）请你计算出这道整式乘法题的正确结果． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组； （1）由于小马抄错了的符号，进行运算可得，由小虎漏抄了第一个多项式中的系数，进行运算可得，即可求解； （2）将，的值代入，按多项式乘以多项式法则进行运算，即可求解； 掌握多项式乘以多项式法则，能根据题意得到，是解题的关键． 【小问1详解】 解： 由于小马抄错了的符号，得到的结果为： ； ①， 小虎漏抄了第一个多项式中的系数， 得到的结果为， ②， 由①②解得； 故，； 【小问2详解】 解：由（1）得 ； 故这道整式乘法题的正确结果为． 26. 如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理： 错题：如图，在中，已知，，，求的面积． 分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积． 正解： 解：过点作交的延长线于点， …… （1）根据勾股定理可得，______或______．（用含的代数式表示） （2）请你补全上面的过程，并求出的面积． 【答案】（1）； （2）过程见解析， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，准确熟练地进行计算是解题的关键； （1）分别在和中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，可求出的长，然后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴ ∴或； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴； 在中，，， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴． 27. 阅读理解 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法． 如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______； 类比应用 如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由； 拓展创新 如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】阅读理解： 类比应用： 拓展创新： 【解析】 【分析】阅读理解：由全等的性质推出，再根据，可得结论． 类比应用：延长，交于点F，先证得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案． 拓展创新：延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】阅读理解：由题可知，， ∴． ∵，． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类比应用：．理由如下： 如图1，延长，交于点． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 拓展创新：如图2，延长，交于点． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $