精品解析：宁夏吴忠部分校（三中、九中）2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

吴忠市利通区第九中学2025−2026学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学学科试卷 （时间100分钟，满分100分） 答案一律填写在答题卡指定位置，否则为无效答卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列三组线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 4，4，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵1+2=3，∴不能组成三角形，故本选项错误； B、∵2+2=4，∴不能组成三角形，故本选项错误； C、∵5-3＜4＜5+3，∴能组成三角形，故本选项正确； D、∵4+4=8＜10，∴不能组成三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 2. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形是指将图形沿着某条直线对折，直线两边的图形能够完全重叠，根据定义判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. 3a+2b="5ab" B. 3a•2b="6ab" C. （a3）2=a5 D. （ab2）3=ab6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：选项A，不是同类项不能合并，错误；选项B，根据单项式乘以单项式的法则可得3a•2b=6ab，正确；选项C，根据幂的乘方运算法则可得（a3）2=a6，错误；选项D，根据积的乘方运算法则可得（ab2）3=a3b6，错误；故选B． 考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方． 4. 化简的结果是（ ） A. x+1 B. C. x-1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化成同分母分数，再相加减，然后对分子分母分别因式分解，最后约分即可． 【详解】原式= = = =． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减的运算法则为解题关键． 5. 如图，直线a∥b，则∠A的度数是（ ） A. 28° B. 31° C. 39° D. 42° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据平行线的性质可得∠1=70°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠A=70°-31°=39°.故选C. 考点：平行线的性质 6. 如图是由个相同的小正方形组成的网格图，其中等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可证得，可得出，继而可得出答案． 【详解】解： 由题意得：， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出． 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=（180°﹣30°）=75°． ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC=BD． ∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30° ∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质. 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，根据垂直平分线的性质得出，则，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，垂直平分线上的点到两端距离相等． 9. 如图，正三角形网格中，已有三个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 （ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑图案构成一个轴对称图形的方法有4种． 故选：C． 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 10. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米， 根据题意，可列方程：2， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 二、填空题（每小题2分，共20分） 11. “手撕钢”全称是宽幅超薄精密不锈带钢．中国将“手撕钢”厚度轧至米，创造了世界新纪录．该厚度用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 因式分解__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，准确的计算是解决本题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 已知点与关于轴对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，代数式求值，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：∵点与关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 若分式的值为0，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零的条件，分子为零且分母不为零列出不等式组求解即可． 【详解】解：分式的值为0， 则有． 解方程，得或． 当时，分母，分式无意义，故舍去． 因此． 故答案为：． 15. 已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系的应用，先分类讨论等腰三角形的腰和底，再利用三角形的三边关系验证．最后再求周长即可． 【详解】解：若腰长为5，底边为10，则三边为5，5，10， ∵，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； 若腰长为10，底边为5，则三边为10，10，5， ∵，，满足三角形三边关系，故能构成三角形， 则周长为． 故答案为：25 16. 如图，、相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键． 在与中，已经有条件：，，所以补充，可以利用证明两个三角形全等即可． 【详解】解：在与中， ，， 所以补充：， ， 故答案为：． 17. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=________． 【答案】6 【解析】 【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质定理可得AD=BD，从而得到∠ABD=∠A=30°，再由∠C=90°，可得∠CBD=30°，然后根据直角三角形的性质，可得AD=BD=2CD=4，即可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵DE的垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°， ∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°， ∴∠CBD=30°， ∵CD=2， ∴AD=BD=2CD=4， ∴AC=AD+CD=6． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 18. 将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形及等腰直角三角形的知识，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 19. 如图，已知在中，，于，若，则的周长为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由等腰直角三角形的判定和性质可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，，进而可得出，最后根据三角形的周长公式以及等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 的周长为：， 故答案为：15． 20. 如图，，，于E，于D，，，则DE的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用等角的余角相等求得，再利用证明，进而可得，，所以可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵于E， ∴， ∴， ∵于， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 21. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算． （1）先利用完全平方公式和平方差公式进行括号里面的计算，再计算括号外面的除法即可． （2）先计算括号里面的，再计算括号外面的除法． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 22. 如图，已知，，为上一点，且到两边的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若．求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）的面积15 【解析】 【分析】本题考查了作图—角平分线、角平分线的性质定理和三角形的面积，作出正确的图形是解决本题的关键． （1）根据角平分线的性质定理作的角平分线即可； （2）过点D作于点E，由（1）可得，，进而即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求， 【小问2详解】 解：过点D作于点E，如图， 由（1）可得，， ∴ ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的图形，并写出各顶点的坐标． （2）在轴上求作一点，使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出的坐标__________． 【答案】（1）见解析； （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于y轴对称的点，，，再顺次连接可得，写出点，，的坐标可得答案. （2）作点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，连接，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所作 ∵与关于轴对称，且， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求，点P的坐标为， 故答案为：． 24. 问题情境：在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． （1）在上述解方程过程中，从第 步开始错误； （2）写出正确的解答过程． 【答案】（1）第一步 （2）方程无解，见解析 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可． （1）根据去分母的步骤进行解答即可； （2）按照正确的步骤去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可得到答案． 小问1详解】 解：观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了． 故答案为：一； 【小问2详解】 方程两边都乘，得． 解这个方程，得． 经检验，为增根，原分式方程无解． 25. 已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC． 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】证明：∵AD平分∠EDC， ∴∠ADE=∠ADC， 又DE=DC，AD=AD， ∴△ADE≌△ADC， ∴∠E=∠C， 又∠E=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC. 26. 【问题呈现】 （1）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为、的两个正方形和边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一：直接用两个阴影正方形的面积相加：__________； 方法二：用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：__________； 因此，可以得出等式__________．（填序号） ①；② 【数学应用】 （2）根据图1所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图2，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以、为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 【答案】（1），，②；（2）；（3）两个正方形和区域的面积和为平方米 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算及其应用，正确计算是解题的关键． （1）根据题意解答即可求解； （2）利用（1）得到的等式计算即可求解； （3）由题意得米，米，米，即得，得到，又由图可得正方形和区域的面积和为，设，，则，，利用（1）得到的等式求出的值即可求解． 【详解】解：（1）方法一：直接用两个阴影正方形的面积相加得， 方法二：用最大的正方形面积减去两个长方形的面积得， 因此，可以得出等式②， 故答案为：，，②； （2），， ； （3）由题意得米，则米，米， 的面积等于平方米， ，即， 正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形和区域的面积和为， 设，，则，， ， ，即， 两个正方形和区域的面积和为平方米． 27. （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．试求的度数和线段之间的数量关系 （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； 【答案】（1），，（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质． （1）由“”可证，根据全等三角形的性质解答即可； （2）根据得到，根据直角三角形的性质得到，得到线段之间的数量关系． 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，； （2），理由如下： ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市利通区第九中学2025−2026学年第一学期期末学业水平检测 八年级数学学科试卷 （时间100分钟，满分100分） 答案一律填写在答题卡指定位置，否则为无效答卷 一、选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列三组线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 4，4，10 2. 在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. 3a+2b="5ab" B. 3a•2b="6ab" C. （a3）2=a5 D. （ab2）3=ab6 4. 化简的结果是（ ） A x+1 B. C. x-1 D. 5. 如图，直线a∥b，则∠A的度数是（ ） A. 28° B. 31° C. 39° D. 42° 6. 如图是由个相同的小正方形组成的网格图，其中等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ） A 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. 如图，在中，，垂直平分线分别交、于点D、E，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正三角形网格中，已有三个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 （ ） A 种 B. 种 C. 种 D. 种 10. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在高考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 11. “手撕钢”全称是宽幅超薄精密不锈带钢．中国将“手撕钢”厚度轧至米，创造了世界新纪录．该厚度用科学记数法表示为______米． 12. 因式分解__________． 13. 已知点与关于轴对称，则__________． 14. 若分式的值为0，则实数的值为__________． 15. 已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为__________． 16. 如图，、相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是______． 17. 如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=________． 18. 将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若，则的面积为__________． 19. 如图，已知在中，，于，若，则的周长为__________． 20. 如图，，，于E，于D，，，则DE的长是______． 三、解答题 21. 计算： （1） （2）． 22. 如图，已知，，为上一点，且到两边的距离相等． （1）用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接，若．求的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于轴对称的图形，并写出各顶点的坐标． （2）在轴上求作一点，使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出的坐标__________． 24. 问题情境：在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． （1）在上述解方程过程中，从第 步开始错误； （2）写出正确的解答过程． 25. 已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC． 26. 【问题呈现】 （1）借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，如图1是用边长分别为、的两个正方形和边长为、的两个长方形拼成的一个大正方形．我们可以用两种不同的方法表示图1中的阴影部分，请直接写出来．（结果不用化简，保留原式） 方法一：直接用两个阴影正方形的面积相加：__________； 方法二：用最大的正方形面积减去两个长方形的面积：__________； 因此，可以得出等式__________．（填序号） ①；② 【数学应用】 （2）根据图1所得的等式，若，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图2，某市会展中心展厅内有一处展示区域（），已知米，点在上且米，在边上取一点，使．为了突出地域特色，分别以、为边在外部修建正方形绿植花坛和正方形花卉展示区，连接形成景观步道．若的面积等于平方米，设米，求两个正方形和区域的面积和． 27. （1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接．试求的度数和线段之间的数量关系 （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $