专题1.5 整式的乘除（章节复习）（知识荟萃+33个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共81题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

该初中数学整式的乘除章节复习讲义通过知识框架图系统构建知识体系，以“知识荟萃”梳理幂的运算、整式乘除、乘法公式三大模块，用要点清单呈现公式法则及易错点拨，清晰揭示知识点内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于33个题型讲练的梯度设计，每个题型含典例精讲与变式训练，如完全平方公式几何应用（题型25）培养模型意识，整式混合运算（题型33）提升运算能力。中考真题与分层训练适配不同学生，助力教师精准教学，学生自主复习效率提升。

专题1.5 整式的乘除（章节复习） （知识荟萃+33个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共81题） 【原卷版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：幂的运算 2 知识点梳理02：整式的乘法和除法 3 知识点梳理03：乘法公式 3 题型讲练 4 题型1：同底数幂相乘 4 题型2：幂的乘方运算 4 题型3：幂的乘方的逆用 4 题型4：积的乘方运算 5 题型5：同底数幂的除法运算 5 题型6：零指数幂 5 题型7：负整数指数幂 5 题型8：用科学记数法表示绝对值大于1的数 5 题型9：用科学记数法表示绝对值小于1的数 6 题型10：同底数幂乘法的逆用 6 题型11：积的乘方的逆用 6 题型12：同底数幂除法的逆用 6 题型13：幂的混合运算 6 题型14：计算单项式乘单项式 7 题型15：计算单项式乘多项式及求值 7 题型16：单项式乘多项式的应用 7 题型17：计算多项式乘多项式 8 题型18：多项式乘多项式与图形面积 8 题型19：(x+p)(x+q)型多项式乘法 9 题型20：已知多项式乘积不含某项求字母的值 9 题型21：多项式乘法中的规律性问题 9 题型22：运用平方差公式进行运算 10 题型23：平方差公式与几何图形 10 题型24：运用完全平方公式进行运算 11 题型25：完全平方公式在几何图形中的应用 12 题型26：整式乘法混合运算 13 题型27：多项式乘多项式——化简求值 13 题型28：通过对完全平方公式变形求值 13 题型29：求完全平方式中的字母系数 14 题型30：计算单项式除以单项式 14 题型31：多项式除以单项式 14 题型32：整式四则混合运算 15 题型33：整式的混合运算 15 中考真题 16 分层训练 16 基础夯实 16 培优拔高 17 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 【易错点拨】 公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型1：同底数幂相乘 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则x的值为 ． 题型2：幂的乘方运算 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）若，，则 ． 题型3：幂的乘方的逆用 【典例精讲】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 题型4：积的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级下·上海青浦·期末）计算： ． 【变式训练】（25-26七年级下·上海普陀·月考）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 题型5：同底数幂的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某种液体中每升含有个有害细菌，某种灭菌剂1滴可杀死个此种有害细菌．现要将2L液体中的有害细菌杀死，要用这种灭菌剂 滴． 【变式训练】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型6：零指数幂 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）等于（   ） A．0 B．1 C．4 D． 题型7：负整数指数幂 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： ， ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 题型8：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（2025·广东·一模）著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约为55000000km，数据55000000用科学记数法表示为： ． 题型9：用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）元书纸是中国传统的古典书画用纸，一张元书纸的厚度约为0.000075米，将数据0.000075用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·期末）氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为，单质氧在大气中占，一个氧原子的半径为．数据用科学记数法表示为 ． 题型10：同底数幂乘法的逆用 【典例精讲】（2023七年级·山东·竞赛）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·月考） ． 题型11：积的乘方的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）计算的结果为（　　） A． B．1 C．8 D． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏镇江·期末） ． 题型12：同底数幂除法的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，，则的值是 ． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，，则的值为 ． 题型13：幂的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江西·月考）计算： (1) (2) 【变式训练】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 题型14：计算单项式乘单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·山东东营·开学考试）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型15：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 题型16：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 题型17：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型18：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为米的通道（如图）．请用含的式子表示剩余草坪的面积． 题型19：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（25-26七年级下·山东淄博·月考）若多项式，则 ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·单元测试）若 ，则的值为（  ） A． B． C．1 D．3 题型20：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算结果中不含的一次项，则 ． 【变式训练】（23-24七年级下·福建泉州·期中）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 题型21：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 题型22：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)． 【变式训练】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 题型23：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 题型24：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）老师在黑板上写了一道题目：已知，求的值． 针对这道题目小涛和小玲的讨论如下图所示． 这道题只知道x的值，没有告诉y的值，无法求出答案． 这道题与y的取值无关，可以求出答案． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 题型25：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（22-23七年级下·河南郑州·月考）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 【变式训练】（2023七年级·山东潍坊·竞赛）如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设．两正方形的面积之和，则三角形的面积是 ． 题型26：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算： 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中． 题型27：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）求代数式的值，其中． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值：，其中． 题型28：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则等于（   ） A．1 B．9 C．11 D．23 题型29：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（23-24七年级下·江西九江·期中）若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 题型30：计算单项式除以单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1） ； （2） ． 【变式训练】（2023七年级下·广东深圳·竞赛）在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 题型31：多项式除以单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型32：整式四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）计算： (1)． (2)； 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 题型33：整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)利用乘法公式计算：． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 1．（2024·安徽合肥·中考真题）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·陕西咸阳·中考真题）下列运算，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·中考真题）若多项式是完全平方式，则 ． 4．（2024·上海·中考真题）计算： ． 5．（2024·江苏南京·中考真题）在整式中，■表示运算符号“－”“×”中的某一个，▲表示一个整式． (1)若，求出整式▲． (2)已知的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的运算符号及▲的值． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）计算： ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在食物链中，大约只有10%的能量能够流动到下一营养级，在某条食物链中（表示第n个营养级）．若提供的能量为，则可获得的能量为 kJ（用科学记数法表示）． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 培优拔高 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．12 B．13 C．18 D．27 8．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）若，则的值是 ． 9．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）若，则 ． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 整式的乘除（章节复习） （知识荟萃+33个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共81题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：幂的运算 2 知识点梳理02：整式的乘法和除法 2 知识点梳理03：乘法公式 3 题型讲练 4 题型1：同底数幂相乘 4 题型2：幂的乘方运算 4 题型3：幂的乘方的逆用 5 题型4：积的乘方运算 6 题型5：同底数幂的除法运算 6 题型6：零指数幂 7 题型7：负整数指数幂 8 题型8：用科学记数法表示绝对值大于1的数 8 题型9：用科学记数法表示绝对值小于1的数 9 题型10：同底数幂乘法的逆用 10 题型11：积的乘方的逆用 11 题型12：同底数幂除法的逆用 11 题型13：幂的混合运算 12 题型14：计算单项式乘单项式 13 题型15：计算单项式乘多项式及求值 14 题型16：单项式乘多项式的应用 14 题型17：计算多项式乘多项式 15 题型18：多项式乘多项式与图形面积 16 题型19：(x+p)(x+q)型多项式乘法 18 题型20：已知多项式乘积不含某项求字母的值 19 题型21：多项式乘法中的规律性问题 20 题型22：运用平方差公式进行运算 21 题型23：平方差公式与几何图形 22 题型24：运用完全平方公式进行运算 25 题型25：完全平方公式在几何图形中的应用 26 题型26：整式乘法混合运算 28 题型27：多项式乘多项式——化简求值 29 题型28：通过对完全平方公式变形求值 30 题型29：求完全平方式中的字母系数 31 题型30：计算单项式除以单项式 32 题型31：多项式除以单项式 33 题型32：整式四则混合运算 34 题型33：整式的混合运算 36 中考真题 38 分层训练 40 基础夯实 40 培优拔高 42 知识点梳理01：幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 【易错点拨】 公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 知识点梳理02：整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 【易错点拨】 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 知识点梳理03：乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【易错点拨】 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【易错点拨】 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型1：同底数幂相乘 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法法则和合并同类项，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可； （2）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可. 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则x的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为同底；把，化为以2为底，再根据同底数幂的乘法可得关于x的方程，求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：2． 题型2：幂的乘方运算 【典例精讲】（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，-25 【思路点拨】本题考查了幂的运算，掌握幂的各类运算法则是解题的关键． 先根据幂的运算法则对代数式进行化简，然后将代入化简后的式子求值． 【规范解答】解：原式 ． 当时，原式=． 【变式训练】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方． 逆用同底数幂的除法和幂的乘方计算即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 题型3：幂的乘方的逆用 【典例精讲】（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查指数变形的思维，根据已知条件进行变形，构造相同的底数关系建立方程，即可得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴,即, ,即 ∴, 即 ∴． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】20 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方的逆用，代数式求值；先将原式化为，再代入求值即可. 【规范解答】解：∵， ∴. 故答案为：20. 题型4：积的乘方运算 【典例精讲】（24-25七年级下·上海青浦·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法． 【规范解答】解：计算 ：根据幂的乘方法则，， 原式变为， 计算乘法：系数相乘，；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级下·上海普陀·月考）计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是积的乘方、幂的乘方运算及科学记数法，掌握积的乘方及幂的乘方运算法则是解题关键，根据运算顺序及法则计算即可． 【规范解答】解： ， 故选：C． 题型5：同底数幂的除法运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）某种液体中每升含有个有害细菌，某种灭菌剂1滴可杀死个此种有害细菌．现要将2L液体中的有害细菌杀死，要用这种灭菌剂 滴． 【答案】2000 【思路点拨】先计算2升液体中的有害细菌总数，再根据每滴灭菌剂可杀死的细菌数，运用同底数幂的除法法则求解； 本题考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键. 【规范解答】解：2升液体中的有害细菌总数为个， 每滴灭菌剂可杀死个细菌， 故需要灭菌剂滴数为（滴）. 故答案为：2000. 【变式训练】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂的乘除法运算法则、幂和积的乘方运算法则判断即可． 【规范解答】解：A、，原运算错误，故本选项不符合题意； B、，原运算正确，故本选项符合题意； C、，原运算错误，故本选项不符合题意； D、，原运算错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 题型6：零指数幂 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂与零指数幂，正确计算是解题的关键. 根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则，分别计算两个式子的值，再比较大小. 【规范解答】解：∵ ，. ∴， ∴ . 故答案为：. 【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）等于（   ） A．0 B．1 C．4 D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了零指数幂运算法则，熟练掌握零指数幂运算法则，是解题的关键．根据，进行求解即可． 【规范解答】解：． 故选：B． 题型7：负整数指数幂 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： ， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）求解即可． 【规范解答】解：，， 故答案为：，． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）求解即可． 【规范解答】解：， 故选：． 题型8：用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例精讲】（2025·广东·一模）著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方式作答即可． 【规范解答】解：， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·吉林辽源·期中）火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约为55000000km，数据55000000用科学记数法表示为： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法“（其中为整数）”的形式规则． 根据科学记数法的定义，将数字表示为的形式，其中，为整数 【规范解答】解：数字， 故答案为：． 题型9：用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）元书纸是中国传统的古典书画用纸，一张元书纸的厚度约为0.000075米，将数据0.000075用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查科学记数法；根据科学记数法表示为的形式，其中，n为整数，解答即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴ 符合科学记数法标准， 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级下·重庆·期末）氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为，单质氧在大气中占，一个氧原子的半径为．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据科学记数法表示较小的数一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定求解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 题型10：同底数幂乘法的逆用 【典例精讲】（2023七年级·山东·竞赛）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，把原式化为，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：D. 【变式训练】（24-25七年级下·河南郑州·月考） ． 【答案】54 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算、同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，有理数的混合运算法则进行计算，即可解答． 【规范解答】解： ． 故答案为：54． 题型11：积的乘方的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·甘肃张掖·期末）计算的结果为（　　） A． B．1 C．8 D． 【答案】B 【思路点拨】逆用积的乘方法则计算即可． 本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏镇江·期末） ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查的是积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，把原式化为，再进一步计算即可. 【规范解答】解：. 故答案为： 题型12：同底数幂除法的逆用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【规范解答】解：当，时， ， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏常州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】4.5 【思路点拨】本题考查了幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法逆运算将化为，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：4.5． 题型13：幂的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·江西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)12 (2)0 【思路点拨】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，整式的加减运算，幂的混合运算，等知识点，熟练掌握有理数、整式、幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，然后计算加减即可； （2）先计算同底数幂的乘法和积的乘方，然后计算同底数幂的除法，再合并同类项即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： . 【变式训练】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【思路点拨】本题考查实数的混合运算及整式的混合运算，掌握运算法则和顺序正确计算是解题关键． （1）先计算乘方，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，然后再计算加减法即可； （2）先做乘方，然后做乘除，最后做加减； 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型14：计算单项式乘单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西榆林·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查单项式的乘法运算，解题的关键是掌握单项式乘法法则． 根据单项式乘法法则进行计算即可，即将系数相乘，同底数幂相乘时指数相加． 【规范解答】解： ， ， 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级下·山东东营·开学考试）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式是解题的关键；因此此题可根据运算法则进行求解即可． 【规范解答】解：； 故选C． 题型15：计算单项式乘多项式及求值 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【思路点拨】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列运算不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【规范解答】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，原式错误，符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：C． 题型16：单项式乘多项式的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘以单项式的实际应用，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【规范解答】解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西·期中）如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含a，b的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】(1) (2)15500元 【思路点拨】本题主要查了单项式乘以多项式的应用，求代数式的值： （1）用大长方形的面积减去2个小长方形的面积，列出代数式，即可求解； （2）把，代入（1）中的结果，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 即种植蔬菜的面积为． （2）解：当，时， ， （元）， 即种植蔬菜所需的总成本为15500元． 题型17：计算多项式乘多项式 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可； （2）先算单项式乘多项式，再算多项式乘多项式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键． （1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型18：多项式乘多项式与图形面积 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）幸福小区有一块长方形空地，该小区物业计划在这块空地的两个角留边长相同的正方形地块修建两个鱼池，然后在剩余部分（阴影部分）铺上草坪，相应的长度如图所示． (1)用含，的代数式表示铺草坪的面积； (2)如果铺草坪每平方米的价格是元，那么当，时，铺这块草坪一共需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺这块草坪一共需要花费元 【思路点拨】此题考查了根据实际问题列代数式表示的能力，关键是能准确理解题意，并列式、化简． （1）运用长方形和正方形的面积公式进行列式、化简； （2）将，代入（2）题结果，再算出一共的花费． 【规范解答】（1）解：由题意得，铺草坪的面积为： ； （2）解：由题意得，当，时，铺这块草坪一共需要的总费用为： （元）， 当，时，铺这块草坪一共需要花费元． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为米的通道（如图）．请用含的式子表示剩余草坪的面积． 【答案】平方米 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据图形可得剩余草坪是宽为米，长为米的长方形，再根据多项式乘以多项式，即可求解． 【规范解答】解：由题意得，剩余草坪的面积为： 平方米． 答：剩余草坪的面积为平方米． 题型19：(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例精讲】（25-26七年级下·山东淄博·月考）若多项式，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查代数式求值，涉及多项式乘以多项式、多项式相等的条件、负整数指数幂等知识，熟记多项式相关定义及运算是解决问题的关键．先由多项式乘以多项式展开，再由多项式相等的条件得到，代入代数式计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：1． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·单元测试）若 ，则的值为（  ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则． 先利用多项式乘以多项式法则将等式的左边展开，再与右边比较后求出，，然后求出的值． 【规范解答】解：， 又， 所以，， 所以， 故选：B． 题型20：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算结果中不含的一次项，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式与多项式的乘法，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．先根据多项式与多项式的乘法法则计算，然后令的一次项系数等于0，再解方程即可得到答案． 【规范解答】解： ，且的计算结果中不含的一次项， ， 解得， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·福建泉州·期中）若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【规范解答】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 题型21：多项式乘法中的规律性问题 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【答案】 63 3 【思路点拨】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 【规范解答】解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3. 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】本题考查的是多项式乘以多项式中规律问题，从运算中发现总结出规律，以及应用规律是解题的关键． （1）根据观察得到的规律直接写出结果即可； （2）①先把要求值的代数式化为，进而根据规律，即可求解； ②根据①的结论得出，，两式相减，即可求解． 【规范解答】（1）解：观察上式可得：； 故答案为：； （2）① ②由①同理可得：， ∴ 题型22：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不正确，正确结果为 (2)不正确，正确结果为 (3)不正确，正确结果为 【思路点拨】本题考查了平方差公式． （1）根据平方差公式计算后判断即可； （2）根据平方差公式计算后判断即可； （3）根据平方差公式计算后判断即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为； （2）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为； （3）解：∵， ∴原计算错误，正确结果为． 【变式训练】（23-24七年级下·广西南宁·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平方差公式，根据平方差公式要求两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数，解答即可． 【规范解答】解：∵ 平方差公式形式为 ，要求两个括号中一项相同，另一项相反， 选项A： ，相同项为1，相反项为和，符合公式； 选项B： ，相同项为，相反项为和，符合公式； 选项C： ，相同项为，相反项为和，符合公式； 选项D： ，两项全部相反，无相同项，不符合平方差公式． 故选：D． 题型23：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【思路点拨】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）乘法公式的探究及应用． 探究问题：如图①是一张长方形纸条，将其剪成长短两条后刚好能拼成图②． （1）图①中长方形纸条的面积可表示为__________（写成多项式乘法的形式）； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为__________（写成两数平方差的形式）； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：__________； 结论运用： （4）运用所得的公式计算：__________，__________； 拓展运用： （5）计算：． 【答案】（1） （2） （3） （4）； （5） 【思路点拨】（1）用代数式表示长方形的长、宽，再根据面积公式表示出长方形的面积即可； （2）图2中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，表示两个正方形的面积差即可；（3）由两个图形的阴影部分的面积相等得出答案； （4）利用平方差公式进行计算即可； （5）)利用平方差公式，把每一项展开并计算，约分就可以得到结果. 本题考查了平方差公式的几何背景，解答本题的关键是利用阴影部分面积相等得到平方差公式的表达式，注意灵活运用平方差公式． 【规范解答】解：（1）图①中长方形纸条的面积可表示为， 故答案为：； （2）拼成的图②阴影部分的面积可表示为， 故答案为：； （3）比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式：， 故答案为：； （4） ， ， 故答案为：，； （5） ． 题型24：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·课后作业）老师在黑板上写了一道题目：已知，求的值． 针对这道题目小涛和小玲的讨论如下图所示． 这道题只知道x的值，没有告诉y的值，无法求出答案． 这道题与y的取值无关，可以求出答案． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． 【答案】(1)小玲说得对．理由见解析 (2) 【思路点拨】（1）对原式进行整式的化简运算，观察化简后的结果是否包含字母y，若结果不含y，则说明式子的值与y的取值无关，从而判断小玲的说法正确． （2）利用（1）中化简后的式子，代入给定的x值，计算出式子的值． 【规范解答】（1）解：小玲说得对．理由如下： 原式 ． 经过化简，原式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对． （2）解：由（1）得，原式． 当时，原式． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式的应用，熟练掌握公式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型25：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（22-23七年级下·河南郑州·月考）图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于__________； (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．（只需列出，不必化简） 方法1：__________，方法2：__________； (3)观察图你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？ 代数式的关系是__________． (4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，求． 【答案】(1) (2)， (3) (4)29 【思路点拨】本题考查完全平方公式的几何背景、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由题中的已知数量结合图形即可得到图b中阴影部分正方形的边长； （2）①由（1）中所得阴影部分正方形的边长可表达出其面积；②由已知条件结合图形可得图b中大正方形的边长为，由大正方形的面积减去4个小矩形的面积可得阴影部分的面积； （3）由（2）中阴影部分小正方形面积的两种不同表示方法即可得到三个式子间的数量关系； （4）应用（3）中所得数量关系进行解答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得图b中阴影部分的小正方形的边长为：； 故答案为：； （2）解：方法1：由（1）可知阴影部分的小正方形的边长为， 阴影部分小正方形的面积为：； 方法2：由题意可得图b中大正方形的边长为：， 阴影部分小正方形的面积为：； 故答案为：； （3）解：由（2）可得：小正方形的面积， 三个式子间的数量关系为：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：， 由（2）中所得数量关系可得：． 故答案为：29． 【变式训练】（2023七年级·山东潍坊·竞赛）如图，是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设．两正方形的面积之和，则三角形的面积是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用，三角形的面积公式，由题意可得，，再利用完全平方公式计算得出，最后利用三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵两正方形的面积之和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是， 故答案为：． 题型26：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算，利用单项式乘多项式，以及积的乘方的运算法则去括号，再合并同类项，即可解题． 【规范解答】解： ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；9 【思路点拨】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键．根据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【规范解答】解： ， 把代入得： 原式 ． 题型27：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）求代数式的值，其中． 【答案】，． 【思路点拨】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式，多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后把代入即可求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ， 当时， 原式 ． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【思路点拨】此题考查了整式的混合运算-化简求值，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，根据零指数的意义得出，把的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解： ∵ ∴ ∴ 当时，原式． 题型28：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 由题意知，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【规范解答】解：由题意知，． ∴． ∴． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）若，则等于（   ） A．1 B．9 C．11 D．23 【答案】D 【思路点拨】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键．根据（，m为正整数）把变形为，等式两边同时平方即可得解． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 题型29：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（23-24七年级下·江西九江·期中）若是一个完全平方式，那么m的值是 ． 【答案】21或 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据完全平方式的形式整理，再根据对应系数相等解答即可. 【规范解答】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 解得或. 故答案为：21或. 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． 利用完全平方公式计算． 【规范解答】解：多项式是一个完全平方式， 多项式写成， 或， 或， ． 故答案为：． 题型30：计算单项式除以单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1） ； （2） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是单项式除以单项式，单项式的乘法运算. （1）根据单项式的除法运算法则计算即可. （2）由乘法的意义可得因式等于积除以另一个因式，从而可得答案. 【规范解答】解：（1）， （2）∵， ∴， 故答案为：， 【变式训练】（2023七年级下·广东深圳·竞赛）在同一路线上有四个人：第一个人坐汽车，第二个人开摩托车，第三个人乘轻骑，第四个人骑自行车，各种车的速度是固定的，坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时．开摩托车的遇到乘轻骑的是17时，并在18时追上了骑自行车的，则骑自行车的（    ）遇见乘轻骑的． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了整式加减与除法的应用，正确列出代数式是解题关键．设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为，根据题意可得12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为，再根据开摩托车的遇到乘轻骑的是17时可得，根据摩托车在18时追上了骑自行车的可得，则可得，然后根据自行车与轻骑相遇时间为，代入化简计算即可得． 【规范解答】解：设汽车速度为，摩托车速度为，轻骑速度为，自行车速度为， ∵坐汽车的在12时追上乘轻骑的，14时遇到骑自行车的，而与开摩托车的相遇时是16时， ∴12时，汽车与轻骑位置相同；此时，与骑自行车的距离为，与摩托车的距离为， ∵开摩托车的遇到乘轻骑的是17时， ∴， ∴， ∵摩托车在18时追上了骑自行车的， ∴， ∴， ∴自行车与轻骑相遇时间为 ， 小时小时分， 12时经过3小时分的时间为， 即骑自行车的遇见乘轻骑的， 故选：A． 题型31：多项式除以单项式 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键，运算时一定要注意符号的变化．根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【规范解答】解： 故选A． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型32：整式四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）计算： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算． （1）先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，并逆用同底数幂的乘法和积的乘方法则计算，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方，再计算乘除，最后计算加法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、负整数指数幂运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、零指数幂运算求解，再合并同类项即可得到答案； （2）根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、负整数指数幂运算、零指数幂运算求解，再由有理数加减运算求解即可得到答案； （3）由单项式乘以多项式、合并同类项化简括号内的整式，再由多项式除以单项式运算法则求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型33：整式的混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）计算题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)利用乘法公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【思路点拨】本题主要考查了整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知乘法公式是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可； （2）先计算积的乘方，然后根据单项式除以单项式，单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据整式乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则先去括号，然后合并同类项即可； （4）利用多项式除法公式计算即可； （5）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （6）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值．用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项，代入a，b的值即可得到答案． 【规范解答】解：原式 ． 当，时， 原式． 1．（2024·安徽合肥·中考真题）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用完全平方公式，同底数幂乘法及除法法则，幂的乘方法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A．，原式计算错误，故不符合题意， B．，原式计算错误，故不符合题意， C．，原式计算正确，故符合题意， D．，原式计算错误，故不符合题意， 故选：C． 2．（2024·陕西咸阳·中考真题）下列运算，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】利用完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法法则逐项判断即可． 本题考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：A、与不是同类项，无法合并，故此选项不符合题意， B、，计算正确，故此选项符合题意， C、，原计算错误，故此选项不符合题意， D、，原计算错误，故此选项不符合题意， 故选：B． 3．（2024·全国·中考真题）若多项式是完全平方式，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的二倍乘积项即可确定的值，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2024·上海·中考真题）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则求解即可，掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 5．（2024·江苏南京·中考真题）在整式中，■表示运算符号“－”“×”中的某一个，▲表示一个整式． (1)若，求出整式▲． (2)已知的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的运算符号及▲的值． 【答案】(1) (2)■表示的运算符号是“×”，▲的值为4． 【思路点拨】本题考查平方差公式，整式的混合运算．熟练掌握整式的运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）利用整式的运算法则，进行计算即可； （2）根据的计算结果是二次单项式，▲是常数项，得到“■”表示运算符号“×”，再进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得 ． （2）解：■表示的运算符号是“×”，▲的值为4． 基础夯实 1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【规范解答】． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查整式的运算，包括同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘单项式和合并同类项等基本法则，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 3．（24-25七年级下·全国·周测）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了积的乘方运算，掌握积的乘方法则是解题的关键． 利用积的乘方法则，将式子中的每个因式分别平方，再将所得结果相乘． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）在食物链中，大约只有10%的能量能够流动到下一营养级，在某条食物链中（表示第n个营养级）．若提供的能量为，则可获得的能量为 kJ（用科学记数法表示）． 【答案】 【思路点拨】此题考查科学记数法的表示方法，有理数的乘方，正确地计算是解题的关键． 能量传递效率为，经过三次传递，获得的能量为能量的，进行计算即可． 【规范解答】解：∵提供的能量为，，能量传递效率为， ∴获得的能量为． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 培优拔高 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，将四个长为a、宽为b的小长方形纸片拼成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积，则可以得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了乘法公式的几何意义，熟练掌握乘法公式的几何意义是解题的关键； 根据面积公式分别用加法和减法表示即可列出等式. 【规范解答】解：， 即． 故选：D. 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，则代数式的值为（    ） A．12 B．13 C．18 D．27 【答案】B 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，将展开得到，即代入求解的式子即可得出结论． 【规范解答】解：根据题意可知，， 代入到代数式中可得， ． 故选：． 8．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）若，则的值是 ． 【答案】81 【思路点拨】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，将变形为，再将整体代入，即可求解． 【规范解答】解： ， ， ， 故答案为：81． 9．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】这道题是一个多项式乘法与等式的问题．需要通过展开左边的乘积，并将其与右边的表达式进行比较，从而确定和的值．然后利用这些值计算．本题主要考查了多项式乘法，熟练掌握多项式展开及系数比较方法是解题的关键． 【规范解答】解： ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)255 【思路点拨】本题考查了平方差公式的运算， （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $