专题1.3 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）（知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦乘法公式核心知识点，系统梳理平方差公式、完全平方公式的定义、特征及应用注意事项，结合几何背景（如面积验证）构建知识体系，并延伸至完全平方式，形成“知识荟萃-题型讲练-中考真题-分层训练”的学习支架，助力学生逐步深化理解。 资料特色在于融合几何直观培养数学眼光，如通过长方形地块绿化面积问题（题型2）帮助学生直观理解公式；分层题型设计提升数学思维，从基础运算到公式变形求值（题型7），强化运算与推理能力；中考真题与分层训练（基础夯实、培优拔高）则强化应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升学习效果。

专题1.3 乘法公式（平方差公式、完全平方公式） （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平方差公式 1 知识点梳理02：平方差公式的几何背景 2 知识点梳理03：完全平方公式 2 知识点梳理04：完全平方公式的几何背景 2 知识点梳理05：完全平方式 3 题型讲练 3 题型1：运用平方差公式进行运算 3 题型2：平方差公式与几何图形 4 题型3：运用完全平方公式进行运算 5 题型4：完全平方公式在几何图形中的应用 6 题型5：整式乘法混合运算 7 题型6：多项式乘多项式——化简求值 8 题型7：通过对完全平方公式变形求值 8 题型8：求完全平方式中的字母系数 9 中考真题 9 分层训练 11 基础夯实 11 培优拔高 12 知识点梳理01：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点梳理02：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点梳理03：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点梳理04：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点梳理05：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 题型1：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）用平方差公式计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：． 题型2：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像． (1)请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积． (2)当，时，求对应面积的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东河源·期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． (1)通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； (2)小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） (3)利用以上的结论和方法，计算：． 题型3：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【变式训练2】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）已知，求代数式的值． 题型4：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型，2张C型，1张B型卡片可以拼成一个正方形，请在图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空：你画的正方形面积既可以表示为___________，又可以表示为___________，所以可得等式___________； (2)请利用A型、B型、C型卡片若干张（每种卡片至少取1张）拼出一个可用于计算的长方形，并在图②的方框中画出示意图．根据示意图，可得 ___________． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：______；图2表示：______； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，，则______； (3)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 题型5：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东深圳·期末）小端同学在计算：时，解答过程如下． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)小端同学的解答从第______步开始出错． (2)请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在矩形内，将两张边长分别为a和b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为． (1)当，时， （用含a，b的代数式表示）． (2)当图1中两张正方形纸片重叠部分的面积是b，图2中重叠部分的面积是，请试用含a，b的代数式表示矩形的面积． (3)小明在计算（2）时发现，，若矩形的面积为24，那么就能求出矩形的周长，请你帮他完成． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）先化简，再求值：，其中，． 题型6：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·北京丰台·期末）化简求值：，其中． 【变式训练1】（25-26七年级下·四川德阳·月考）计算题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 题型7：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）若． (1)若与为相反数，求的值； (2)若，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则的值为 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 题型8：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若是完全平方式，则常数m的值为 ． 【变式训练1】（2024七年级下·广东梅州·竞赛）已知是完全平方式，则m为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则常数的值是（　　） A． B．9 C．或9 D．或5 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）计算的值是（     ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·中考真题）用平方差公式计算，必须先变形，下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·中考真题）若计算的结果不含字母x的一次项，则 ． 4．（2024·陕西西安·中考真题）如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ． 5．（2024·河南南阳·中考真题）自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． （1）完成下列表格： ， ， 【用数学眼光去观察】 （2）观察第（1）题结果，尝试给a、b取其它的值，你发现了什么结论？请用含有字母a、b的等式表示出来； 【用数学语言去表达】 （3）请把（2）中的等式用一句话（即文字语言）概括出来； 【用数学思维去思考】 （4）利用你发现的结论，求的值． 基础夯实 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列运算正确的是（默认本题中所有字母所代表的数均不为0）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小石将展开后得到多项式，小明将展开后得到多项式．若两人计算过程无误，则的值为 ． 5．（24-25七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算： ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 7．（25-26七年级上·上海普陀·月考）已知多项式，则 ． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 培优拔高 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 13．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知多项式．若，则A的值为 ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么的值为 ． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 18．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b的值满足的结果中不含x的二次项和一次项． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”． (1)请判断：36____________“幸运数”（填“是”或“不是”）． (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：2026是“幸运数”． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 (1)xy的值为 ． (2)的值为 ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 乘法公式（平方差公式、完全平方公式） （知识荟萃+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平方差公式 1 知识点梳理02：平方差公式的几何背景 2 知识点梳理03：完全平方公式 2 知识点梳理04：完全平方公式的几何背景 2 知识点梳理05：完全平方式 3 题型讲练 3 题型1：运用平方差公式进行运算 3 题型2：平方差公式与几何图形 5 题型3：运用完全平方公式进行运算 7 题型4：完全平方公式在几何图形中的应用 8 题型5：整式乘法混合运算 12 题型6：多项式乘多项式——化简求值 14 题型7：通过对完全平方公式变形求值 15 题型8：求完全平方式中的字母系数 18 中考真题 19 分层训练 22 基础夯实 22 培优拔高 26 知识点梳理01：平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 知识点梳理02：平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点梳理03：完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 知识点梳理04：完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 知识点梳理05：完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2＝（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）” 题型1：运用平方差公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)999996 (2)4087 【思路点拨】本题考查了平方差公式，只需要运用平方差公式进行求解，即可得到答案. （1）将式子转换为，即可求解； （2）将式子转换为，即可求解. 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查平方差公式，灵活的应用平方差公式是解题的关键． （1）直接运用平方差公式进行计算即可； （2）直接运用平方差公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【思路点拨】根据平方差公式进行计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 【规范解答】解：原式 ． 题型2：平方差公式与几何图形 【典例精讲】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像． (1)请用含a、b的代数式表示该地块绿化部分的面积． (2)当，时，求对应面积的值． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查整式的混合运算，代数式求值，根据图形，正确列出算式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积=长方形面积正方形面积，列算式，再进行整式的混合运算； (2)在第(1)问的基础上代值计算，一定要注意运算的顺序是先计算乘方，后计算乘法，最后才是加法． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式． 【变式训练1】（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，根据图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平方差公式与几何图形的应用，根据题意表示出阴影部分面积是解题的关键． 由题意表示出两个图形中阴影部分的面积，再根据图中阴影部分的面积关系得出恒等式即可． 【规范解答】解：第1个图形中阴影部分的面积为， 第2个图形中阴影部分的面积为， 由图中阴影部分的面积关系可以得到的恒等式为； 故选：B． 【变式训练2】（24-25七年级下·广东河源·期末）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图1，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图2）． (1)通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的公式是： ； (2)小芳在计算时利用了（1）中的公式： ； （请你将以上过程补充完整） (3)利用以上的结论和方法，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）配上因式后，连续利用平方差公式即可； （3）配上因式，再连续利用平方差公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 题型3：运用完全平方公式进行运算 【典例精讲】（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)40401 (2)806404 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，完全平方公式． （1）将201拆分为，根据完全平方公式计算即可； （2）将898拆分为，根据完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【变式训练1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9604 (2)10201 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行简便运算是解题的关键； （1）先把原式写成，然后再运用完全平方公式进行计算即可； （2）先把原式写成，然后再运用完全平方公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式训练2】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）已知，求代数式的值． 【答案】13 【思路点拨】本题考查了代数式求值，解决本题的关键是根据已知条件得到． 通过展开代数式并利用已知条件整体代入求值． 【规范解答】解：∵， ∴， 代数式 ， ∵， ∴ 原式． 题型4：完全平方公式在几何图形中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型，2张C型，1张B型卡片可以拼成一个正方形，请在图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空：你画的正方形面积既可以表示为___________，又可以表示为___________，所以可得等式___________； (2)请利用A型、B型、C型卡片若干张（每种卡片至少取1张）拼出一个可用于计算的长方形，并在图②的方框中画出示意图．根据示意图，可得 ___________． 【答案】(1)画图见解析；，， (2)画图见解析； 【思路点拨】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． （1）画出边长为的正方形即可；正方形面积既可以为这个大正方形的面积，也可以为四部分面积之和，进而可得等式； （2）画出长，宽的长方形即可，根据各部分面积之和求解即可； 【规范解答】（1）解：所画正方形如图所示， 正方形面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式， 故答案为：，，； （2）解：所画长方形如图所示， ， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）； 图1表示：______；图2表示：______； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，求的值； ②请直接写出下列问题答案：若，，则______； (3)如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)， (2)①12；② (3) 【思路点拨】本题考查完全平方公式的几何背景，（1）利用两种方法分别用代数式表示图1、图2的面积即可； （2）①根据代入计算即可； ②根据代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，，根据，求出的值即可． 【规范解答】（1）解：由图可得，图1的边长为， ∴， ∵拼成图1的四个部分的面积为， ∴， ∵图2的边长为， ∴， ∵中间小正方形的边长为， ∴中间小正方形的面积为， ∵四个空白长方形的面积为， ∴， 故答案为：， （2）解：①∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 则，， ∵，即， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，两个边长分别为和的正方形如图（1）放置，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图（1）中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图（2）），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则 ． 【答案】45 【思路点拨】本题主要考查了整式的加减的应用，利用完全平方公式进行求解，根据图形之间的关系进行推导计算是解题关键． 先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【规范解答】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式， 故答案为：45． 题型5：整式乘法混合运算 【典例精讲】（24-25七年级下·广东深圳·期末）小端同学在计算：时，解答过程如下． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)小端同学的解答从第______步开始出错． (2)请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)一 (2)计算过程见解析；8 【思路点拨】本题考查了整式的乘法运算，根据单项式乘以多项式、完全平方公式进行化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据完全平方公式即可判断； （2）根据完全平方公式和单项式乘多项式去掉括号，再合并即可． 【规范解答】（1）解：小端的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误； （2）解：原式 ， 当时，原式． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）在矩形内，将两张边长分别为a和b的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为． (1)当，时， （用含a，b的代数式表示）． (2)当图1中两张正方形纸片重叠部分的面积是b，图2中重叠部分的面积是，请试用含a，b的代数式表示矩形的面积． (3)小明在计算（2）时发现，，若矩形的面积为24，那么就能求出矩形的周长，请你帮他完成． 【答案】(1) (2) (3)20 【思路点拨】此题考查整式的混合运算，解题关键是列出表示阴影部分面积的整式． （1）观察图形利用整式加减即可求得结论； （2）根据（1）中所得列出等式即可求得结论； （3）根据完全平方公式的变形式求出矩形相邻两边的和，即可求得矩形的周长． 【规范解答】（1）解： 故答案为． （2）解：图1中两张正方形纸片重叠部分的面积是b，得， 图2中重叠部分的面积是3b，得， ． （3）解：∵， ∴ ∴， ∴矩形的周长为． 【变式训练2】（24-25七年级下·安徽淮南·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，8 【思路点拨】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式运算法则，进行计算，然后再代入数据求值即可． 【规范解答】解： ， 当，时，原式． 题型6：多项式乘多项式——化简求值 【典例精讲】（24-25七年级下·北京丰台·期末）化简求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式混合运算并求值；掌握运算步骤及，注意去括号时变号是解题的关键．先利用完全平方公式和多项式乘以多项式进行运算，再去括号，最后进行加减运算，代值计算，即可求解； 【规范解答】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式训练1】（25-26七年级下·四川德阳·月考）计算题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，11 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算与化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项把原式化简； （2）根据多项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算，得到答案． 【规范解答】（1）解： （2）解： 当时，原式 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式乘法的混合运算以及代数求值，正确的计算是解题的关键． 根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入即可求解． 【规范解答】解： ， ∵ ∴原式． 题型7：通过对完全平方公式变形求值 【典例精讲】（25-26七年级下·重庆·期中）若． (1)若与为相反数，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)25 【思路点拨】本题考查了绝对值非负性，相反数的定义，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据互为相反数的两个数的和为0可得x和y的值，然后代入A和B，再进行化简即可得结果； （2）先利用整式加减求出，再将，整体代入，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：∵与为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∵，， ∴， ， ∴ ； （2）∵，， ∴ ， ∵ ∴原式 ， ∴的值为25． 【变式训练1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，则的值为 ． 【答案】95 【思路点拨】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 由求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图1是一个长为、宽为的长方形．沿图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：______； 利用（1）的结论和公式变形，尝试解决以下问题： （2）已知，，则的值为______； （3）两个正方形如图3摆放．边长分别为x，y，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可解答； （2）根据即可求出； （3）根据，求出，再根据求出，由，然后代入数据计算即可． 【规范解答】（1）图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，图2中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为 所以有． 故答案为：． （2）∵， ∴， ∴． 故答案为：． （3）∵， ∴， ∴， ∴（已舍弃负值）， ∴ ． 题型8：求完全平方式中的字母系数 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏南京·月考）若是完全平方式，则常数m的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键；根据完全平方式得出，即可求出答案． 【规范解答】解：是完全平方式， ， ， 故答案为：4． 【变式训练1】（2024七年级下·广东梅州·竞赛）已知是完全平方式，则m为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【规范解答】解：∵是完全平方式， ∴． 故答案为． 【变式训练2】（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则常数的值是（　　） A． B．9 C．或9 D．或5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了求完全平方式中的字母系数，解题关键是掌握求完全平方式中的字母系数求解方法． 根据完全平方式列出方程求解． 【规范解答】解：∵关于的多项式是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故选：C． 1．（2024·甘肃平凉·中考真题）计算的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平方差公式，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平方差公式将式子变形，然后计算求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（2024·全国·中考真题）用平方差公式计算，必须先变形，下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查平方差公式，根据平方差公式的结构特征判断即可． 【规范解答】解：A．不符合平方差公式的结构特征，不符合题意； B．不符合平方差公式的结构特征，不符合题意； C．与原式不相等，不符合题意； D．符合平方差公式的结构特征，符合题意； 故选：D． 3．（2024·上海·中考真题）若计算的结果不含字母x的一次项，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式法则，平方差公式． 先由多项式乘多项式法则得，再根据结果不含字母x的一次项，得，即可得，再代入，利用平方差公式计算即可． 【规范解答】解：， ∵的结果不含字母x的一次项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（2024·陕西西安·中考真题）如图，两个正方形的边长分别为，已知，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据代入计算即可． 【规范解答】解：由题意得，，， ． 故答案为：． 5．（2024·河南南阳·中考真题）自从学了用字母表示数后，我们发现表达有关的数和数量关系更加简洁明了，也发现了更多有趣的结论，请你按要求试一试． （1）完成下列表格： ， ， 【用数学眼光去观察】 （2）观察第（1）题结果，尝试给a、b取其它的值，你发现了什么结论？请用含有字母a、b的等式表示出来； 【用数学语言去表达】 （3）请把（2）中的等式用一句话（即文字语言）概括出来； 【用数学思维去思考】 （4）利用你发现的结论，求的值． 【答案】（1）9，9，4，4；（2）；（3） a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数的平方和与a、b两数积的2倍的差；（4）1 【思路点拨】本题考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将、的值，代入代数式计算即可得解； （2）根据（1）中的计算结果得出规律即可； （3）根据（2）中的式子进行描述即可； （4）根据（2）中得出的式子计算即可得解． 【规范解答】解：（1）当，时，，； 当，时，，； 完成下列表格： ， 9 9 ， 4 4 （2）由（1）可得：； （3） a与b的差的平方等于a、b两数的平方和减去它们的积的2倍；或a与b的差的平方等于a、b两数的平方和与a、b两数积的2倍的差； （4） ． 基础夯实 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【规范解答】解：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·周测）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了幂的乘方，完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，正确计算是解题的关键． 检查各选项的运算法则，分别对每个选项进行计算，判断其运算结果是否正确． 【规范解答】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、 ，计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·周测）下列运算正确的是（默认本题中所有字母所代表的数均不为0）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】运用幂的运算以及完全平方公式，需逐一分析每个选项的运算是否正确． 【规范解答】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，不符合题意； B、根据积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，，不符合题意； C、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，符合题意； D、根据完全平方公式，，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小石将展开后得到多项式，小明将展开后得到多项式．若两人计算过程无误，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】根据完全平方公式，分别求出 和 的值，再利用平方差公式计算 ； 本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握两公式是解题的关键． 【规范解答】解： 展开后 项的系数 ； 展开后 项的系数 ． 则 ． 由平方差公式可得；． 故答案为：. 5．（24-25七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算： ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 将 表示为 ，应用平方差公式进行化简． 【规范解答】解： ， ． 故答案为 ：． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ． 【答案】 16 4 【思路点拨】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 先将等号右边的完全平方公式展开，再通过比较等式两边多项式的系数，确定参数的值即可． 【规范解答】解：右边展开得 ， ∴， ∴，， 解得 ， ． 故答案为：，． 7．（25-26七年级上·上海普陀·月考）已知多项式，则 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式特征是解题关键，根据完全平方公式展开得出，可求出的值，进而求出结论． 【规范解答】解：， ， ，，， ， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了平方差公式的运算，运用平方差公式展开进行计算，即可作答． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可. 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】4 【思路点拨】本题考查完全平方公式，整体代入思想，熟练掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键． 直接利用完全平方公式计算，合并同类项后，整体代入即可得出答案． 【规范解答】解：原式 ． 当时，原式． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： 培优拔高 11．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【规范解答】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【规范解答】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 13．（24-25七年级下·全国·周测）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平方差公式的应用，掌握平方差公式的定义是关键． 通过平方差公式，即，验证各选项的计算是否正确． 【规范解答】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，但原选项写为，计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：B． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知多项式．若，则A的值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，利用整体代入的方法进行求值是解题的关键． 先根据完全平方公式化简多项式 ，合并同类项后，利用已知条件 ，整体代入求值． 【规范解答】解： ∵ ∴ 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】4 【思路点拨】此题考查了平方差公式，整体代入思想，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确地计算是解题的关键． 利用平方差公式简化代数式，再结合已知条件代入求值． 【规范解答】原式 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果，那么的值为 ． 【答案】9 【思路点拨】此题考查了平方差公式，注意掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，正确的计算是解题的关键． 利用平方差公式化简方程，然后求解的值． 【规范解答】解：∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） 【答案】 【思路点拨】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． （1）将原式变形后利用完全平方公式计算即可； （2）先利用平方差公式化简，然后再利用完全平方公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中a，b的值满足的结果中不含x的二次项和一次项． 【答案】(1)，9 (2)，59 【思路点拨】本题考查了整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项，代入数据进行求值即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项；将按照多项式乘以多项式展开，合并，根据结果中不含的二次项和一次项，求得和的值，从而问题可解． 【规范解答】（1）解：原式． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． ． ∵的结果中不含x的二次项和一次项， ∴，， 解得，． 当，时， 原式 ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”． (1)请判断：36____________“幸运数”（填“是”或“不是”）． (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：2026是“幸运数”． 【答案】(1)是 (2)①佳佳发现的结论正确．理由见解析②琪琪发现的结论错误．理由见解析 【思路点拨】本题考查平方差公式的应用，理解“幸运数”的定义是解题的关键． （1）判断是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可； （2）①化简，判断化简后的式子是否为的倍数即可；②令，判断是否是整数即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴是“幸运数”． 故答案为：是． （2）解：①佳佳发现的结论正确．理由如下： 因为两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造了“幸运数”， 且 ， 所以两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“幸运数”也是的倍数． ②琪琪发现的结论错误．理由如下： 由①得， 解得． 因为不是非负整数， 所以琪琪的发现不成立，不是“幸运数”． 20．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 (1)xy的值为 ． (2)的值为 ． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据的值即可知道值，根据即可求得的值； （2）根据以及第一问中的值即可求得的值. 【规范解答】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：； 故答案为：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $