精品解析：吉林省长春市公主岭市2025-2026学年 九年级上学期数学期末教学质量检测卷

2025-2026学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内答题，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若是二次根式，则的值不能是（　　） A. B. 3.14 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据是二次根式，则，即可得到答案． 【详解】解：若是二次根式，则被开方数需满足， 选项A、B、D均满足，此时属于二次根式，不符合题意； 选项C为负数，不满足，此时没有意义，不属于二次根式． 故选：C． 2. 若＋＝，则y的值为（ ） A. 8 B. 15 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】分析: 先把各二次根式化为最简二次根式，然后解方程即可. 详解: ∵＋＝ ∴=- 即=- ∴= ∴y=3. 故选C. 点睛: 本题考查了二次根式的运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的加减运算，即合并同类二次根式． 3. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴方程的解为． 故选：C． 4. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：两人同时出相同的手势，，这个事件是随机事件， 故选：A． 5. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是( ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据题中已知条件求出函数 的对称轴，四个选项中的时间越接近4小球就越高． 【详解】解：若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等， 小球达到最高度的是秒， 故选：D． 6. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由∠ACD＝∠B、∠CAD＝∠BAC可得出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质结合S△ACD＝3，可求出S△ABC的值，将其代入S△BCD＝S△ABC−S△ACD中即可求出结论． 【详解】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴， ∵S△ACD＝3， ∴S△ABC＝4•S△ACD＝12， ∴S△BCD＝S△ABC−S△ACD＝9． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出S△ABC的值是解题的关键． 7. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 8. 已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，一元二次方程的判别式与根的情况，掌握知识点是解题的关键． 由二次函数最小值条件得出的值，再计算判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵二次函数的最小值为， ∴顶点纵坐标，即． 对于方程，判别式． ∴方程无实数根． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：由于两点关于轴对称，则其横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：点和点关于轴对称， ∴， 故答案是：4． 10. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共90个，这些球除颜色外都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里约有___________个红球． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，由概率求数量，掌握知识点是解题的关键． 利用频率估计概率，红球的频率稳定在，因此红球数量可通过总球数乘以频率计算得出即可． 【详解】解：根据频率与概率的关系，红球的频率稳定在， ∴摸出红球的概率为， 则红球数量约为． 故答案为：18． 11. 函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是___________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质与最值，熟练掌握二次函数的顶点与增减性是解题关键． 结合二次函数的对称轴和开口方向判断增减性，然后算出最大值和最小值． 【详解】解：二次函数，其图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 当时，取最小值； ∴， 当时，；当时，， ∵， ∴当时，的最大值为5，即， ∴． 12. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 13. 如图，在中，点、分别为边、中点，点是上一点，且．若，，则线段的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是关键． 由题意可知，是的中位线，则．在直角中，是斜边上的中线，因此，从而计算出的长． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， 在直角中，是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的图像与性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：由抛物线的图像，开口向上， ∴，故①正确； 当时，，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，故③错误； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y取得最小值为， ∴当时，， 即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法公式、除法公式和合并同类二次根式法则计算即可． 【详解】解： = = = = 【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法公式、除法公式和合并同类二次根式法则是解题关键． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． 17. 如图，长尾夹的侧面是，当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知，，求这个长尾夹最大夹纸厚度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】长尾夹最大夹纸厚度约为 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．由题意可知，这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长，作于点，则，只要求出的长就可求出的长，由得，则，其中，，所以可求出的长． 【详解】解：当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度， 这个长尾夹最大夹纸厚度即为的长． 如图，作于点． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 这个长尾夹最大夹纸厚度约为． 18. 如图，在中，，过点作，交的角平分线于点，连接是上的一点，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质与相似三角形判定，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”与相似三角形的判定是解题的关键． （1）由且平分推出，利用和，通过同角的余角相等证得； （2）两角分别相等的两个三角形相似，所以结合已知和已证的，就可证明． 【小问1详解】 证明：，平分， 即， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）得， 平分， ， 即， ， ． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中的线段上找一点，连接，使； （2）在图②中的线段上找一点，连接，使； （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题是格点作图题，考查了等腰三角形的判定，矩形的性质以及角的正切值等知识点，根据要求正确作图是解题的关键． （1）取，构造等腰三角形，点D即为所求； （2）构造矩形，运用矩形对角线相等且互相平分的性质，得到，点E即为所求； （3）先取格点D，得到，再延长交于点F，则，点F即为所求． 小问1详解】 解：∵， ∴， 故如图，点D即为所求． 【小问2详解】 解：如图，作矩形，连接与交于点E，则点E即为所求． ∵矩形，连接与交于点E， ∴， ∴， 故如图，点E即为所求． 小问3详解】 解：如图，取格点D，则，延长交于点F， 则， 故如图，点F即为所求． 20. 寒假期间，学苑社区为学生们开设了冰雪体验营．甲、乙两名同学需要通过抽签从3个不同的体验项目中选择一个参加．抽签规则如下：在3张相同的卡片上分别标注字母对应三个项目（：制作冰灯，：雪地露营，：冰雪摄影），甲同学先随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名同学抽中同一项目的概率． 【答案】所有可能的结果见解析， 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，利用树状图列出所有等可能的情况，用抽中同一项目的结果数除以总的结果数即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画出树状图如下： 共有机会均等的结果9种，其中抽中同一项目的结果有3种， （抽中同一项目）． 21. 某甜品店推出的网红“固体杨枝甘露”在社交平台爆火，销量快速增长．店长统计，产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同． （1）求该甜品销售量的月增长率； （2）该产品每杯成本10元，经统计当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少．设每杯售价为元，月销量为杯，月利润为元． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出关于的函数关系式，并求出当为何值时取最大值？并求出其最大值． 【答案】（1） （2）①．②；当元时，取最大值元． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和二次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设该甜品销售量的月增长率为．产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同．据此列出方程并解方程即可； （2）①设每杯售价为元，当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少．据此列出一次函数解析式即可；②月利润为元．根据销售量乘以每杯的利润即可列出函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【小问1详解】 设该甜品销售量的月增长率为． 由题意，可得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：该甜品销售量的月增长率为． 【小问2详解】 ①∵当售价18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少． ∴． ②根据题意可得， ． 当元时，取最大值元． 22. 数学活动：探究三角形的角平分线性质． 【复习旧知】等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线，所以不难得出如下结论． 如图①，在中，，是的角平分线，则． 【猜想证明】如果是一个非等腰的任意三角形呢？ 如图②，在中，是的角平分线，则吗？为什么？ 下面是这道题的证明过程，请认真阅读，并在横线上填写推理依据． 证明：如图③，过点作，交的延长线于点． ． 平分 ． ． ， （___________）． ． 【类比探究】如果是三角形外角的角平分线呢？ 如图④，在中，如果是的外角平分线，且交的延长线于点．求证：． 【结论应用】 （1）如图⑤，在矩形中，平分交于点，则___________； （2）如图⑥，已知为的延长线上一点，且．若，则的长为___________． 【答案】猜想证明：平行线分线段成比例；类比探究：证明见解析；结论应用：（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点是解题的关键． 猜想证明：根据平行线分线段成比例，即可解答； 类比探究：过点B作，交的延长线于点E， 由，得到，即，继而证明，得到，则，即可解答； 结论应用：（1）先求出由平分，得到，求出，则，即可解答； (2)过点A作，交于点E，推导出，得到，继而证明，得到，即，求出，即可解答． 【详解】解：猜想证明： 证明：如图③， 过点作，交的延长线于点． ． 平分 ． ． ， （平行线分线段成比例）． ． 故答案：平行线分线段成比例； 类比探究：过点B作，交的延长线于点E，如图④ ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 结论应用：（1）如图⑤ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， 即， 解得， ∴ (2)过点A作，交于点E，如图⑥ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：4． 23. 如图，在中，，，，点为上的一点（不与重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结． （1）的长为___________； （2）当是等腰三角形时，求的面积； （3）作点关于边的对称点，连结，当与的一边垂直时，请直接写出的长． 【答案】（1）4； （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质．正确添加辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求解即可； （2）分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． （3）设直线交直线于点，作于点，作于点，分类讨论：①当垂直于时，②当垂直于时，③当垂直于时，此时点与点重合，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：过点作于点H，如图 ． ， ①当时， ， ， ， ． 即，得． ； ②当时， ， ．即， 得． ． 【小问3详解】 解：设直线交直线于点，作于点，作于点， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ①当垂直于时，如图 ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， 设，则，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； ②当垂直于时，过点作直线垂直于，交于点，交于点，如图 同理，四边形是正方形， 设，则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ③当垂直于时，此时点与点重合，不符合题意； 综上，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结． （1）该抛物线对应的函数表达式为___________； （2）证明：； （3）若点在对称轴左侧，当直线与抛物线（是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为（点在点左侧）． ①请直接写出点、点的坐标（用含的代数式表示）； ②点在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为1时，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①；②或． 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查待定系数法求表达式及二次函数的图象与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）把代入求出，即可解决； （2）由题意得出为的中位线，利用三角形中位线定理即可证明； （3）①先求出，，根据点为线段中点求出点坐标； ②先求出，再分两种情况：当在上方时，或当在下方时，分别计算求出即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（是常数）经过点， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：如下图， ∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， ， 为的中位线． ； 【小问3详解】 解：①如下图， ∵点在抛物线上，横坐标为， ， ∵点在轴上，纵坐标为， ， ∵点关于点的对称点，即点为线段中点， 设点坐标为， ， 解得：， ； ②由题意可得，， 同理，得， 当在上方时，如图， 则， 化简得， 解得（舍去），． 当在下方时，如下图， 则， 化简得时， 解得（舍去），． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内答题，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若是二次根式，则的值不能是（　　） A. B. 3.14 C. D. 0 2. 若＋＝，则y的值为（ ） A. 8 B. 15 C. 3 D. 2 3. 方程的解是（　　） A. B. C. D. 4. 小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏，两人同时出相同的手势，这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 不可能事件 C. 必然事件 D. 确定性事件 5. 竖直向上发射的小球的高度关于运动时间的函数表达式为其图象如图所示，若小球发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球达到最高度的是( ) A. 第2.5 秒 B. 第3秒 C. 第3.5 秒 D. 第4秒 6. 如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为3，则△BCD的面积为（　　） A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 7. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 8. 已知二次函数的最小值为，则一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C 无实数根 D. 无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 在平面直角坐标系中，若点和点关于轴对称，则______． 10. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共90个，这些球除颜色外都相同，通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里约有___________个红球． 11. 函数的图象如图所示，当时，函数的最大值为，最小值为，则的值是___________． 12. 如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为________． 13. 如图，在中，点、分别为边、的中点，点是上一点，且．若，，则线段的长为___________． 14. 如图，抛物线的对称轴是直线．给出下列四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 16. 解方程：． 17. 如图，长尾夹的侧面是，当与张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知，，求这个长尾夹最大夹纸厚度．（结果精确到，参考数据：，，） 18. 如图，在中，，过点作，交的角平分线于点，连接是上的一点，且．求证： （1）； （2）． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中的线段上找一点，连接，使； （2）在图②中线段上找一点，连接，使； （3）在图③中的线段上找一点，连接，使． 20. 寒假期间，学苑社区为学生们开设了冰雪体验营．甲、乙两名同学需要通过抽签从3个不同的体验项目中选择一个参加．抽签规则如下：在3张相同的卡片上分别标注字母对应三个项目（：制作冰灯，：雪地露营，：冰雪摄影），甲同学先随机抽取一张卡片，记录后放回，乙同学再随机抽取．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名同学抽中同一项目的概率． 21. 某甜品店推出的网红“固体杨枝甘露”在社交平台爆火，销量快速增长．店长统计，产品上线第一个月（3月）售出1500杯，第三个月（5月）售出2160杯，且月增长率相同． （1）求该甜品销售量的月增长率； （2）该产品每杯成本10元，经统计当售价为18元时，月销量为3200杯，售价每上涨1元，月销量减少．设每杯售价为元，月销量为杯，月利润为元． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出关于的函数关系式，并求出当为何值时取最大值？并求出其最大值． 22. 数学活动：探究三角形的角平分线性质． 【复习旧知】等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线，所以不难得出如下结论． 如图①，在中，，是的角平分线，则． 【猜想证明】如果是一个非等腰的任意三角形呢？ 如图②，在中，是的角平分线，则吗？为什么？ 下面是这道题的证明过程，请认真阅读，并在横线上填写推理依据． 证明：如图③，过点作，交的延长线于点． ． 平分 ． ． ， （___________）． ． 【类比探究】如果是三角形外角的角平分线呢？ 如图④，在中，如果是的外角平分线，且交的延长线于点．求证：． 【结论应用】 （1）如图⑤，在矩形中，平分交于点，则___________； （2）如图⑥，已知为延长线上一点，且．若，则的长为___________． 23. 如图，在中，，，，点为上的一点（不与重合），连结，将绕点逆时针旋转得到，连结． （1）的长为___________； （2）当是等腰三角形时，求的面积； （3）作点关于边的对称点，连结，当与的一边垂直时，请直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点在抛物线上，横坐标为，点横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，点在轴上，纵坐标为．当点和点的纵坐标不相等时，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结． （1）该抛物线对应的函数表达式为___________； （2）证明：； （3）若点在对称轴左侧，当直线与抛物线（是常数）有两个交点时，设这两个交点分别为（点在点左侧）． ①请直接写出点、点的坐标（用含的代数式表示）； ②点在线段上，当此抛物线在内部（包括边）的点的纵坐标最大值与最小值的差为1时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $