专题07 期末真题百练通关（直角三角形100题12大常考题型）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题07 期末真题百练通关（直角三角形100题12大常考题型） 题型一、直角三角形的两个锐角互余 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 题型三、含30度角的直角三角形 题型四、全等的性质和HL综合（HL） 题型五、角平分线的性质定理 题型六、角平分线的判定定理 题型七、用勾股定理解三角形 题型八、勾股定理与折叠问题 题型九、勾股定理的应用 题型十、在网格中判定直角三角形 题型十一、勾股定理逆定理 题型十二、勾股数问题 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是， 故选：． 2．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、等边对等角 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是根据特殊三角形中边和角之间的关系，判断三角形中角之间的关系． 【详解】解：在中，， ， ， ， ，， ，，故选项B正确； ∵是中斜边上的中线， ∴， ∴， ，故A选项正确； ∵，， ∴，故选项C正确； ∵不一定相等，， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 3．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质与判定以及三角形外角的性质，正确的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图，为等腰三角形腰上的高，并且，取边中点E，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角， 当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， 为等腰三角形腰上的高，并且， 同理可得， ∴顶角， 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海普陀·月考）如图，在中，，是斜边上的中线，将绕点旋转，边落在直线上，得到，如果旋转角为，那么 ． 【答案】58 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解、直角三角形的两个锐角互余、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余等知识﹒根据旋转性质得到，根据直角三角形性质得到，即可得到，从而求出﹒ 【详解】解：将绕点旋转，边落在直线上，旋转角为， ∴﹒ ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴﹒ 故答案为：58 5．已知是的高，，，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和． 分高在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当高在内部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以； 当高在外部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以． 故答案为：或． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 6．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，中，为中点，，则 度． 【答案】 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，从而求出，利用三角形的内角和定理求出的度数，然后相减求解即可． 【详解】解：，为中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为 ． 【答案】/36度 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及等腰三角形性质，解题关键是利用这些性质将角度关系转化为方程求解． 利用直角三角形斜边中线性质得，故；结合题设，设，则；由垂直平分线性质得，故；在中，，列方程即可解答． 【详解】在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、， ∴D是斜边的中点， ∴，，， 设， ∵， ∴． 在 中，， ∴ 即， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，、，点是的中点，，垂足为，交于，、相交于点，则 ． 【答案】60 【知识点】三角形的外角的定义及性质、斜边的中线等于斜边的一半、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及三角形外角定理，解题关键是利用这些性质逐步推导角的度数． 先利用直角三角形斜边中线性质得，推出；再由垂直平分线性质得，推出；接着用三角形外角定理求，最后再次用外角定理得． 【详解】解：在中，，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，是外角， ∴ 在中，是外角， ． 故答案为：60． 9．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）如图，在中，于点，于点，是边的中点，连接、、． (1)求证：； (2)若是等边三角形，则应满足什么条件？ 【答案】(1)见解析 (2)在中，，理由见解析 【知识点】等边三角形的判定、斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明结论； （2）可证明，则可推出，同理可得，进一步可证明，根据三角形内角和定理可得，即，再由等边三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴； （2）解：在中，，理由如下： 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 若是等边三角形， 当时，， ∴． 10．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键： （1）根据斜边上的中线，得到，等边对等角得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证； （2）根据等边对等角，得到，等角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，点E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）知：平分， ∴． 题型三、含30度角的直角三角形 11．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是 ． 【答案】18 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等，由角平分线的定义及平行线的性质可得，，即得，再根据直角三角形的性质可得，进而根据的周长即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ， ∵， ， ∴，， ， 平分， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：在中，，， ， 是的中垂线， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·上海·期中）中，，上的高为，，则顶角 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,等边三角形的性质与判定；根据为锐角三角形和钝角三角形两种情况分类讨论解答即可． 【详解】解：当为锐角三角形时，如图1：取的中点，连接 ∴， ， ∴ ，， ， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ； 当为钝角三角形时，如图2：取的中点，连接 同理可得， ， 综上所述，或． 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·上海·期中）将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、含30度角的直角三角形的性质；过点作于，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出、，求出，进而求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，为中点，斜边， ，， 在中，，，为中点，斜边， ， ∴， 为等边三角形， ， ， ∴，． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海静安·月考）如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四、全等的性质和HL综合（HL） 16．（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断命题真假、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐个判断命题的真假．①直角三角形有两边相等未明确是哪两条边，故①不一定成立；②等腰直角三角形腰相等则全等；③不一定成立；④等腰三角形顶角和底边对应相等则全等；⑤当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等． 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，不一定成立，原命题是假命题； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题． ⑤ 两边和其中一边上的高对应相等，当高分别在三角形的内部和外部时，它们不全等，是假命题． 其中真命题的个数是2个； 故选：B． 17．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 【答案】或/12或6 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 18．如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质． 由“”可证，可得，由角的数量关系可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴ (）， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 【答案】(1) (2)，全等三角形的对应边相等 (3)1 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得证； （2）证明和都是直角三角形，再证明，即可得解； （3）过点作于点，由题意可得为直角三角形，证明为等腰直角三角形，得出，同（1）证明：，得出，，即可得解． 【详解】（1）解：，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 于点，于点， ， ， 在中，，， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， 与的数量关系是；依据是全等三角形的对应边相等， 故答案为：；全等三角形的对应边相等； （3）解：过点作于点，如图所示： 在中，， 是直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中，，且， 同（1）证明：， ∴，， ∴， ∴． 20．如图，已知垂足分别为，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是通过“HL”证明，得到内错角相等，从而证明两直线平行． 先由垂直得直角，再通过线段和差得，接着用“HL”，利用全等性质得内错角相等，最后依据内错角相等证． 【详解】证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ∴， ． 21．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【详解】证明：与分别为边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ． 22．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关的性质定理，正确作出辅助线为解题关键 （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质证明； （2）延长交于点G，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：延长交于点G， ， ，又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， 23．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用HL证全等（HL）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质；解题的关键是通过构造辅助线实现线段或角的转化，从而构造全等三角形；易错点在于辅助线的合理添加以及图形变换后对应关系的准确识别． （1）在等腰直角三角形中，利用中点构造全等三角形，将分散的线段或角集中到同一个三角形中，结合垂直条件推导角度关系； （2）在等边三角形中，利用三线合一以及角平分线上的点到两边距离相等，构造全等三角形，通过证明三角形全等得到对应边相等． 【详解】（1）证明：连接， ∵，，点是边的中点 ∴， 又∵在四边形中， ， ∴ 又∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ （2） 连接，过点作于，过点作于 ∵点是边的中点，是等边三角形， ∴平分 ∴ 又∵在等腰中， ∴在和中 ∴ 同理可证 ∴ ∴ ∴ 24．已知点、、、在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；； 【知识点】内错角相等两直线平行、全等的性质和SAS综合（SAS）、用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定，灵活证明三角形全等是解题的关键． （1）由可得到，再利用判定出得到，即可解答； （2）灵活运用全等三角形的判定方法证全等即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：全等三角形有；；；，理由如下： ∵，， ∴是边上的高，是边上的高， 由（1）可得， ∴，，，， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∴，即， 在和中， ， ∴． 题型五、角平分线的性质定理 25．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】CC 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、点到直线的距离 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质计算，得到答案． 【详解】解：过点作于， ， ， 和分别平分和， ， ，， ， , 即点到的距离是5， 故选：C． 26．如图，是的角平分线，，垂足为F，，且和的面积分别是20和50，则的面积为（   ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 如图，过D点作于H，先根据角平分线的性质得到，再证明得到，证明得到，然后利用得到，从而可求出的值． 【详解】解：如图，过D点作于H ，    ∵是的角平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ∴， ， ∴， ∵和的面积分别是20和50， ∴， ∴． 故选：B． 27．如图，在中，，是的平分线，， 垂足为点E， 点P为线段上一动点．若，点 P 为线段的垂直平分线与的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了角平分线性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据点 P 为线段的垂直平分线与的交点，得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，证明，得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵点 P 为线段的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 28．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列命题中，正确命题的个数有（   ） ①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，则； ②在中，是边的中线，且，则是直角三角形； ③在中，若是边的中线，则； ④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，根据角平分线的性质，等边对等角，斜边上的中线，中垂线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：①当时，，原命题是假命题，不符合题意； ②在中，是边的中线，且， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形；原命题为真命题，符合题意； ③在中，当时，若是边的中线，则；原命题为假命题，不符合题意； ④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，，则直线是线段的垂直平分线；原命题为假命题，不符合题意； 故选B． 29．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 【答案】/ 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．连接，过点O作于点E，作于点F，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：连接，过点O作于点E，作于点F，如图所示： 由，分别平分，，于点，， 故， 故， ， 解得， 故答案为：． 30．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定与性质是解题的关键，根据题意易证得，，即可得到，进而可推算出的长． 【详解】解：∵，平分，， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 31．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 【答案】6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的知识点是三角形的面积、角平分线的性质．先分别作于F、于G，并连接，再根据角平分线的性质证出，再根据三角形面积公式和已知条件求出、的长，然后根据三角形面积公式求出，最后根据求出即可得出答案． 【详解】解：如图，作于F，于G，连结， ∵是的外角平分线，，， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，求作点P，使得点P到点的距离相等，且到两边的距离相等． 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查角平分线和垂直平分线的尺规作图，角平分线和垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作的平分线，再作的垂直平分线，两线相交于，利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点满足条件． 【详解】解：如图，点为所求作． 作的平分线，再作的垂直平分线，两线相交于，利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断点满足条件． 33．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；根据角平分线的性质可得，进而证明得出，证明得出，根据线段关系，即可求解． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 34．如图1，平分，点，点分别在射线上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据互余关系，即可得证； （2）①过点作，垂足为，根据轴对称的性质可得，进而可推出，根据角平分线的性质可得，证明，再证明，即可得证； ②在射线上取点，使，连接，证明，再根据垂直平分线的性质可证是等腰三角形，再证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ， ∴； （2）①证明：过点作，垂足为， ∵以为对称轴，将射线翻折，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 在射线上取点，使，连接， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线． 题型六、角平分线的判定定理 35．如图，和都是等边三角形且点A，C，E在一条直线上，相交于点O，与相交于点F，与相交于点G，连接，则①；②；③；④平分；⑤，正确的是（） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①③④ 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、全等三角形综合问题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识， 证明，可判断①，由得到，即可得到，可判断②，证明，得到，因为，可判断③，过点分别作于点两点，证明，得到，可判断④，证明为等边三角形，进一步得到，可判断⑤，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即，， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； 又∵， ∴，故②符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不符合题意； 过点分别作于点两点，如图： ，， ， 在和中， ， ， ， 又∵在的内部， ∴平分，故④不符合题意； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤符合题意； 综上，符合题意的有①②⑤， 故选：C． 36．如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、角平分线的判定定理、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， A．若，则， ∴， ∴，故A正确； B．若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故B正确； C．∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；故C正确； D．在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故D错误； 故选：D． 37．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，根据题意，易得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽，进而得到平分，得到，即可． 【详解】解：由图和题意，得点到射线和射线的距离相等，均为长方形直尺的宽， ∴平分， ∴； 故选：B． 38．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的判定定理、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判断与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 故③正确，符合题意； 在和中， ， ∴≌， ∴，，， 故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形， 故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中， ， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线， 故⑥正确，符合题意； 正确的有6个． 故选：D． 39．如图，中，，的角平分线．交于点，延长．，，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①平分；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等三角形综合问题、角平分线的判定定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选D． 40．小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则 °． 【答案】/度 【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识， 连接，过点M作于点H，先根据角平分线的判定定理得出，再根据垂直平分线的性质定理及三线合一得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点M作于点H， 由题意可得：，， ， 点E，F对应的刻度分别为， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 41．如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理、全等的性质和HL综合（HL）、线段中点的有关计算 【分析】（1）先根据角平分线的性质说明，再结合线段中点的意义说明，然后根据角平分线判断得出结论； （2）先根据分别证明，，分别得出，，结合可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于点F， ∵，平分， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵，， ∴ 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 即． 【点睛】本题考查了线段中点的有关计算，全等的性质和综合（），角平分线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 42．（25-26八年级上·上海静安·期末模拟）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 【答案】(1)是等腰三角形 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的判定得到，根据三角形的内角和定理推出，进而得到，因此，即可解答． （2）由（1）即可证明． 【详解】（1）解：是等腰三角形． ∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． （2）证明：∵点到、的距离相等， ∴， ∵， ， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 43．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识； （1）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，，则，再由角平分线的判定即可得出结论； （2）过作于点，于点，于点，由角平分线的性质得，再证明，然后证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过作于点，于点，于点， 平分， ， 平分， ， ， 平分； （2）成立，证明如下： 设， 如图，过作于点，于点，于点， 则点在线段上，点在线段上， 和的平分线、交于点， ， ，， ， 、分别平分、， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 44．如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. （2）证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． 45．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 【详解】证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 46．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 题型七、用勾股定理解三角形 47．（25-26八年级上·上海·月考）等腰直角三角形的腰长为，则这个三角形的周长是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查勾股定理；等腰直角三角形的两腰相等且为直角边，通过勾股定理求得斜边长，再计算周长. 【详解】解：∵等腰直角三角形的腰长为， ∴两腰之和为， ∴斜边长为， ∴周长为. 故答案为：. 48．（25-26八年级上·上海·月考）一个直角三角形的两边长是3和4，那么第三边的长是 【答案】5或 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，分两种情况讨论：已知两边可能均为直角边或其中一边为斜边，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当3和4均为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：斜边， 当4为斜边时，第三边为直角边，由勾股定理得：直角边， 综上：第三边的长是5或． 故答案为：5或． 49．（25-26八年级上·上海·月考）直角三角形斜边长是10，则该三角形中的角所对的直角边长是 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，熟知所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 先求得所对的直角边，再利用勾股定理即可． 【详解】解：在直角三角形中，若一个角为，则另一个锐角为， 所以的角所对的直角边长是， 根据勾股定理可得的角所对的直角边长是， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·上海·月考）在中，，，则的大小为 ． 【答案】 /54度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的两个锐角互余，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由条件，根据勾股定理逆定理，得，再根据直角三角形两锐角互余，求出． 【详解】解：， ∴ ， 是直角三角形，且 又， ． 故答案为． 51．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）在中，，，，在三角形内有一点到边、、的距离均相等，那么这个相等的距离为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，先利用勾股定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设点I到各边的距离为x，如图，连接，，， ∵，， ∴, 由题意得，， 即， 解得， 故答案为：2． 52．（25-26八年级上·上海·月考）如图，，，，，垂足分别为B、C、D．则 ． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理可得的值，进而可得的值，最后可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 题型八、勾股定理与折叠问题 53．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 54．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形的翻折，解决本题的关键是根据翻折的性质可得边长与角度翻折前后不变，根据直角三角形建立等式求解． 根据勾股定理可求解，再由图形翻折可得，，设，由勾股定理建立等式求解即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， ∵将沿折叠得到， ∴，，，， 设， ∴，， 在中，，，， ∴，即， 解得， 即， 在中，，， ∴． 故选：D ． 55．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 56．如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 57．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 58．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 题型九、勾股定理的应用 59．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴ ∴， ∴； 故选A． 60．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 61．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 62．已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 【答案】 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了勾股定理的应用，首先求出两棵树的高度差为（米），然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两棵树的高度差为（米），间距为10米， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离为（米）． 故答案为：． 63．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 【答案】13 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 64．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【答案】15 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 65．如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 【答案】18 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：，，， ， （天)， 即需要18天才能将隧道凿通， 故答案为：18． 66．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 67．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 68．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 69．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键． （1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案； （2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示： 一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为， ，， 在中，， 即最短的路线长是， 故答案为：； （2）解：由题意可得，，，， ， 设， 则， 在中，，，，， 则由勾股定理可得， 即， 解得， 故绳索的长为． 题型十、在网格中判定直角三角形 70．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、等边对等角 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 取格点E，使，连接，可得，再由，可得，然后根据勾股定理逆定理可得为等腰直角三角形，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，使，连接， ∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即． 故选：D 71．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 72．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理与网格，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据勾股定理与网格，勾股逆定理，得出是直角三角形，且，再结合网格特征，证明，则，故，则，即可作答． 【详解】解：连接， 依题意，，， ∵， ∵是直角三角形，且， ∵， ∴， 则， 结合网格特征，得， 则， ∴， 故答案为：． 题型十一、勾股定理逆定理 73．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决此题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理； 【详解】解：∵的三条边分别为，，，满足， ∴， 根据勾股定理逆定理可知：， 故选：C． 74．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 75．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 76．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【答案】16 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 77．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 78．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 【答案】24 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，勾股定理的逆定理，关键是由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理推出．连接，，由线段垂直平分线的性质推出，，由勾股定理的逆定理得到，求出，即可求出△的面积． 【详解】解：连接，， ，分别是和中垂线， ，， ， ， ， ， ， △的面积． 故答案为：24． 79．如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用勾股定理的逆定理求解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理，正确判定是直角三角形，得出是解题关键．将绕点顺时针旋转得，先证明是等边三角形，得，，，再证明，得到，由即可得答案． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故答案为： 80．如图，一块硬纸板，测得．求这块硬纸板的面积． 【答案】24 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： 根据题意，利用勾股定理先求，再由勾股定理的逆定理证明，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 81．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)点与点间的距离， (2)350元 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 题型十二、勾股数问题 82．以下四组数中，不是勾股数的是（   ）. A．，， B．，， C．，， D．，，（为正整数） 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数的定义．熟悉勾股数的定义：勾股数是满足的正整数组，其中为最大数，是解题的关键． 直接计算各选项的两个较小数的平方和与最大数的平方是否相等即可判断． 【详解】解：选项：，，，选项符合题意； 选项：，，，选项不符合题意； 选项：，，，选项不符合题意； 选项：，，，选项不符合题意． 故选：． 83．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、含，不是正整数，不符合定义，故该选项错误； B、，，，不符合定义，故该选项错误； C、，，，不符合定义，故该选项错误； D、，，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确； 故选：D． 84．有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义（正整数且满足两数平方和等于第三数平方）；解题关键是依据勾股数的定义逐一判断各组数是否符合． 勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需逐一验证各组是否均为正整数且满足即可． 【详解】∵勾股数需为正整数，且满足， 对于①：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于②：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于③：均不是整数，∴不是勾股数， 对于④：中和不是整数，∴不是勾股数． ∴勾股数有2组． 故选B． 85．勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数．下列各组数据为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．9，16，20 C．1，2， D．，， 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理的逆定理等知识点，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股数是满足的三个正整数，据此逐项判定即可． 【详解】 解：A．，能构成直角三角形，且为正整数为勾股数，符合题意； B．，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； C．不全是正整数，不是勾股数，不符合题意； D．不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 故选：A． 86．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， ∴“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2 ， 同理可得，“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 3 ， ∴“生长”了 3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 4 ， ， ∴“生长”了 2025 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2026 ． 故选：D． 87．古希腊的哲学家帕拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，，，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，请利用这个结论写出三组勾股数；如果不对，请举出反例． 【答案】对，；；（答案不唯一） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，掌握完全平方公式、勾股数的定义是解题的关键，先由m表示大于1的整数，得a，b，c为大于1的整数，再利用完全平方公式证明，即可得出结论，再取3个满足条件的m值代入a，b，c计算，即可得三组勾股数． 【详解】解：对，理由如下： ∵m表示大于1的整数，，，， ∴a，b，c为大于1的整数， ∵，， ∴， ∴a，b，c为勾股数． 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，，，． ∴三组勾股数为；；（答案不唯一）． 88．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． 【详解】（1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； （2）证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 89．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ）． A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握利用证明两个直角三角形全等，是解题的关键．由作图可知，，利用证明两个直角三角形全等，即可． 【详解】解：由作图可知：， 在和中， ∵， ∴（）； 故选D． 90．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意，， A. 平分则，根据可以证明和全等     B. ，根据可以证明和全等     C. ，SSA不能证明和全等         D. ，根据可以证明和全等     故选：C． 91．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． 92．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL）、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的判定、根据旋转的性质求解 【分析】连接，交于点O，根据旋转的性质，得到，，证明，得到垂直平分，得到，，根据直角三角形的面积解答即可． 本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【详解】解：连接，交于点O， 根据旋转的性质，得到，， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 93．如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 【答案】7 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，得到点到的距离等于点O到的距离，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵的两个外角的平分线，相交于点O， ∴点到的距离等于点O到的距离，且点到的距离等于点O到的距离， ∴点到的距离等于点O到的距离， ∵点O到的距离为， ∴点到的距离为， ∵， ∴的面积为； 故答案为：7． 94．如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 【答案】7或9/9或7 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则，利用勾股定理得出得长度，根据三角形面积公式得出长，设，则，表示出，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 95．若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ． 【答案】12或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查分式的运算和直角三角形的边长，勾股定理，根据已知的质数和正整数将x和y分为三种情况讨论，分别求得满足题意的解或者找到矛盾排除，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵、都是质数，代数式及的值都是正整数， （1）若， ∴， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴直角三角形的第三边长为或； 当时，则，此时为偶数，为奇数，故等式不成立； （2）若，则不是正整数，与已知矛盾； （3）若， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是质数， ∴， ∴不可能是正整数，舍去． 综上可得：直角三角形的第三边长为12或． 故答案为：12或． 96．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 【答案】 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 97．《九章算术》中记录着这样一个问题：今有垂直于地面的木柱，在木柱的上端系有绳索从木柱上端顺木下垂后，堆在地面上的部分尚有尺（绳索比木柱长尺），牵绳索退行，在离木柱根部尺处时绳索用尽，问绳索的长是 尺． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键．设木柱高为尺，则绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设木柱高为尺，则绳索长为尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴绳索长为尺， 故答案为：． 98．如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理和全等三角形的判定与性质，先证明，，可得到，再根据全等三角形即可证明． 【详解】证明：连接，如图所示， ，分别是的中点， ， ， ， ， ， ． 99．已知中，为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、三线合一 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过全等得到等腰三角形是解题的关键． 由角平分线性质可得，可证，得，由为的中点，三线合一即可得出． 【详解】证明：如图，连接、， ∵为的平分线上的点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴． 100．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 2 / 99 1 / 99 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 期末真题百练通关（直角三角形100题12大常考题型） 题型一、直角三角形的两个锐角互余 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 题型三、含30度角的直角三角形 题型四、全等的性质和HL综合（HL） 题型五、角平分线的性质定理 题型六、角平分线的判定定理 题型七、用勾股定理解三角形 题型八、勾股定理与折叠问题 题型九、勾股定理的应用 题型十、在网格中判定直角三角形 题型十一、勾股定理逆定理 题型十二、勾股数问题 题型一、直角三角形的两个锐角互余 1．在中，，，和分别为的高线和角平分线，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，如果分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知等腰三角形一腰上的高线等于另一腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个顶角等于(    ) A．或 B． C． D．或 4．（25-26八年级上·上海普陀·月考）如图，在中，，是斜边上的中线，将绕点旋转，边落在直线上，得到，如果旋转角为，那么 ． 5．（分类讨论）已知是的高，，，的度数是 ． 题型二、斜边的中线等于斜边的一半 6．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，中，为中点，，则 度． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为 ． 8．（25-26八年级上·上海·月考）如图，中，、，点是的中点，，垂足为，交于，、相交于点，则 ． 9．（25-26八年级上·上海杨浦·月考）如图，在中，于点，于点，是边的中点，连接、、． (1)求证：； (2)若是等边三角形，则应满足什么条件？ 10．（25-26八年级上·上海闵行·月考）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F． (1)求证：平分； (2)求证：． 题型三、含30度角的直角三角形 11．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是 ． 12．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，是的中垂线，，，则 ． 13．（25-26八年级上·上海·期中）中，，上的高为，，则顶角 ． 14．（25-26八年级上·上海·期中）将两块斜边长等于4的三角尺(与)的斜边重合，按图所示摆放，为中点，联结和，那么的面积等于 ． 15．（25-26八年级上·上海静安·月考）如图，四边形中，，相交于点，，、分别是、的中点，，，则的值为 ． 题型四、全等的性质和HL综合（HL） 16．（25-26八年级上·上海·期中）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等； ③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ⑤有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等． 其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为 ． 18．如图，在中，平分于点，点在的延长线上，交延长线于点，若，则 ． 19．【模型探究】 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． (1)【探究发现】 如图，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是______； (2)【反思感悟】 问题：如图，在四边形中，，是上一点，，．则与的数量关系是______；依据是______； (3)【拓展迁移】 问题：如图，在三角形中，，是上一点，，且．求的值． 20．如图，已知垂足分别为，，求证：． 21．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 22．如图1，在五边形中，，，连接，且，． (1)求证：； (2)如图2，若，为边上的中线，求证：． 23．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在中，点是边的中点，点、分别在边、上，且，连接． (1)如图1，是等腰直角三角形，，，求证：； (2)如图2，，是等边三角形，，求证：； 24．已知点、、、在同一直线上，，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形． 题型五、角平分线的性质定理 25．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 26．如图，是的角平分线，，垂足为F，，且和的面积分别是20和50，则的面积为（   ） A．10 B．15 C．18 D．20 27．如图，在中，，是的平分线，， 垂足为点E， 点P为线段上一动点．若，点 P 为线段的垂直平分线与的交点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·上海闵行·月考）下列命题中，正确命题的个数有（   ） ①点P是的平分线上一点，点M、N分别在边上，则； ②在中，是边的中线，且，则是直角三角形； ③在中，若是边的中线，则； ④已知点C是线段上的一点，点D是线段外的一点，且，则直线是线段的垂直平分线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是50，则的周长为 ． 30．（25-26八年级上·上海·月考）如图，在，，平分，于点，点在上，，，，则的长为 ． 31．（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 32．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，求作点P，使得点P到点的距离相等，且到两边的距离相等． 33．（25-26八年级上·上海·期中）如图，中，，平分，． 求证：． 34．如图1，平分，点，点分别在射线上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由． 题型六、角平分线的判定定理 35．如图，和都是等边三角形且点A，C，E在一条直线上，相交于点O，与相交于点F，与相交于点G，连接，则①；②；③；④平分；⑤，正确的是（） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①③④ 36．如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 37．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为 P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线 重合，连接并延长．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 39．如图，中，，的角平分线．交于点，延长．，，，则下列结论中正确的个数是（    ） ①平分；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则 °． 41．如图，在四边形中，，E为的中点，平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 42．（25-26八年级上·上海静安·期末模拟）如图，在中，点是边上一点，且，点在上，且点到、的距离相等，连接交于点F． (1)试判断的形状； (2)请证明你的结论． 43．（25-26八年级上·上海·期中）如图，在中，和的平分线、交于点，连接． (1)求证：平分； (2)？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 44．如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)求证：． 45．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 46．如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 题型七、用勾股定理解三角形 47．（25-26八年级上·上海·月考）等腰直角三角形的腰长为，则这个三角形的周长是 ． 48．（25-26八年级上·上海·月考）一个直角三角形的两边长是3和4，那么第三边的长是 49．（25-26八年级上·上海·月考）直角三角形斜边长是10，则该三角形中的角所对的直角边长是 ． 50．（25-26八年级上·上海·月考）在中，，，则的大小为 ． 51．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）在中，，，，在三角形内有一点到边、、的距离均相等，那么这个相等的距离为 ． 52．（25-26八年级上·上海·月考）如图，，，，，垂足分别为B、C、D．则 ． 题型八、勾股定理与折叠问题 53．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 54．如图，在中，，，，D为上一点，将沿折叠，使点C恰好落在边上的点E处，则折痕的长是（    ） A．15 B． C． D． 55．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 56．如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 57．如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 58．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 题型九、勾股定理的应用 59．如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯足将滑动（   ）． A． B． C． D． 60．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 61．《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 62．已知在地平面上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距10米．一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少要飞行 米． 63．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 64．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 65．如图，为修筑铁路需凿通隧道，现测量出，，．若每天凿隧道，则需要 天才能把隧道凿通． 66．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 67．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    68．据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 69．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)应用一：最短路径问题 如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ； (2)应用二：解决实际问题 如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 题型十、在网格中判定直角三角形 70．如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 71．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 72．如图，在的正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，则 °． 题型十一、勾股定理逆定理 73．已知的三条边分别为，，，满足，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 74．三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 75．一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 76．如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 77．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 78．如图，，分别是和中垂线，，分别交于点，．若，，，则△的面积为 ． 79．如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 80．如图，一块硬纸板，测得．求这块硬纸板的面积． 81．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 题型十二、勾股数问题 82．以下四组数中，不是勾股数的是（   ）. A．，， B．，， C．，， D．，，（为正整数） 83．（25-26八年级上·上海闵行·月考）在下列四组数中，是勾股数的是（   ） A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13 84．有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 85．勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，我们称之为勾股数．下列各组数据为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．9，16，20 C．1，2， D．，， 86．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A． B．2025 C． D．2026 87．古希腊的哲学家帕拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，，，，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，请利用这个结论写出三组勾股数；如果不对，请举出反例． 88．已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 89．综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ）． A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 90．如图，点在的内部，点，分别在，上，且，若只添加一个条件即可证明和全等，那么这个条件不可以是（　　） A．平分 B． C． D． 91．在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 92．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为、、的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 93．如图，的两个外角的平分线，相交于点O．若点O到的距离为，，则的面积为 ． 94．如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是 ． 95．若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ． 96．如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为 ． 97．《九章算术》中记录着这样一个问题：今有垂直于地面的木柱，在木柱的上端系有绳索从木柱上端顺木下垂后，堆在地面上的部分尚有尺（绳索比木柱长尺），牵绳索退行，在离木柱根部尺处时绳索用尽，问绳索的长是 尺． 98．如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：． 99．已知中，为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，，求证：． 100．如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 2 / 99 1 / 99 学科网（北京）股份有限公司 $