精品解析： 上海市建平实验中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年上海市建平实验中学八年级上学期期末数学试卷 一．选择题（共6小题，每题2分，共12分） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．利用二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，故选项不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； C. ，与是同类二次根式，故选项符合题意； D. ，与不是同类二次根式，故选项不符合题意； 故选：． 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，然后作出准确的判断．根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，运用定义对每个方程作出判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B． 3. 在下列函数中，当x增大时，y的值减小的函数是（ ） A. y= B. y=5x C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，反比例函数的增减性必须是在每个象限内或在双曲线的每一支上，否则，不能讨论它的增减性． 【详解】A．是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故本选项错误； B．k=5＞0，所以y随x的增大而增大，故本选项错误； C．是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故本选项错误． D．是一次函数k= ＜0，所以y随x的增大而减小，正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，反比例函数的增减性必须强调在每个象限内或在双曲线的每一支上，这也是同学们经常出错的地方． 4. 下列三角形中，非直角三角形的是（ ） A. 三边分别为11，， B. 有一边的中线等于这边的一半 C. 三个内角之比为 D. 三边之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，等边对等角，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可即可判断A、D；根据三角形内角和定理即可判断C；如图，中，是中线且，则，根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得，即，即可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为11，，，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、如图，中，是中线且， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、由题意得，最大的内角度数为，则三个内角之比为的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、设三边长分别为 ∵， ∴三边之比为，不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，中，，，于，是的中线．要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有角直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，求出和的每个角，可以判断出两个三角形三角不对应相等，对进行判断；是等边三角形，是直角三角形，三角不对应相等，对进行判断；利用证明，并且两个三角形的三角对应相等，对进行判断；在和中可求三角对应相等，但是，可对进行判断． 【详解】解：、，， ， 是的中线且， ， 在中，， 在中，， 两个三角形三角不对应相等，故本选项不符合题意； 、， 是等边三角形， 是直角三角形， 两个三角形三角不对应相等，也不全等，故本选项不符合题意； 、在和中， ， 又，且， 故本选项不符合题意； 、在和中，，， 两三角形三角对应相等，但，这两个三角形不全等 故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，及含有角的直角三角形的特征和直角三角形斜边中线的特点，三角形全等的判定，对命题的正确理解是解答本题的关键． 6. 如图，平面直角坐标系中，函数的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，则四边形是矩形，设点，其中，依题意得点，则，由此解出，进而得点，点，然后再分别求出，，，由此可得的面积． 【详解】解：过点A作轴于点C，轴于点D，与的延长线交于点E，如图所示： ， ∴四边形是矩形， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴设点A的坐标为，其中， 又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2， ∴点B的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴点，点， ， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ， 故选：． 二．填空题（共12小题，每题2分，共24分） 7. 二次根式的有理化因式可以是 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据分母有理化因式的特征进行解答即可． 【详解】解：， ∴二次根式有理化因式可以是， 故答案为： 8. 关于y的方程的解是 ______________． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 9. 函数的定义域是 __________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案．本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 【详解】解：∵函数， ∴且， 解得：x且， 故答案为：x且． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 由题意可知，，再由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：设在平面直角坐标系中，坐标原点为， ∵点的坐标为，点坐标为， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 11. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若隔水的宽度为，画心的面积为，根据题意，可列方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，设隔水的宽度为，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 答案：． 12. 三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 _____支队伍参加比赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 有支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 13. 在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，理解待定系数法是解题的关键．先根据待定系数法求出m、k的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数都经过点， ∴，， ∴， 故答案为：4． 14. 定理“等腰三角形的两腰相等”的逆命题______. 【答案】有两边相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“等腰三角形的两腰相等”的逆命题是：两边相等的三角形是等腰三角形. 故答案为两边相等的三角形是等腰三角形． 【点睛】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 15. 在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角．根据直角三角形两个锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，，根据等边对等角可得，，再根据三角形的外角的性质可得：． 【详解】解：，， ， ，，为的中点， ，， ，， 是的外角， ， 同理可得：， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，，由折叠可得，进而可得，则，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，由等角对等边可得，由含度角的直角三角形可得，由勾股定理可得，即，解得或（不符合题意，故舍去），则，，由线段的和差关系可得，，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， 设，则，， 由折叠可得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，含度角的直角三角形，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质，等角对等边，直接开平方法解一元二次方程，线段的和与差等知识点，由折叠及角的和差关系得出、由含度角的直角三角形的性质及勾股定理得出是解题的关键． 17. 如图，点，在反比例函的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设，两点的坐标分别为 、 ，根据点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同，得到点B的坐标为，点D的坐标为，由，，得到，根据与的距离为5，把代入中，即可求解． 【详解】解：设，两点的坐标分别为 、 ， ∵轴， ∴点与点的横坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴点B的坐标为，点D的坐标为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∵与的距离为5， ∴ ， 把代入中， 得：， 即， 解得：， 故答案为：6． 三．简答题（共4小题，19题16分，20题6分，21题9分，22题6分，共计37分） 18. （1）计算：； （2）解方程：； （3）因式分解：； （4）当，时，求的值． 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简各项，然后按照二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）先将原式变形为，再变形为，然后利用平方差公式分解因式即可； （4）将化简为，然后将，代入化简结果求值即可． 根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 解得：，； （3） ； （4），， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，公式法解一元二次方程，平方差公式分解因式，二次根式的化简求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法、分解因式的方法及二次根式的运算法则是解题的关键． 19. 如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的定义，正确作出图形是解题的关键； 根据角平分线的作法作出的角平分线，作线段垂直平分线，以点为圆心，为半径画弧交射线于和，则点和即为所求． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 20. 小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图像，请解决以下问题． （1）线段的函数表达式为 ； （2）曲线的函数表达式为 ； （3）点的坐标为 ； （4）设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，一次函数的应用，解题的关键是读懂图像信息，利用函数解析式进行解答． （1）设线段的函数表达式为，把代入解方程得到线段的函数表达式为； （2）设曲线的函数表达式为，把代入得解方程得到曲线的函数表达式为； （3）解方程组得即可得到点的坐标为； （4）依据题意，根据题意分多种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设线段的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴线段的函数表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设曲线的函数表达式为， 把代入得，， ∴曲线的函数表达式为； 故答案为： ； 【小问3详解】 解方程组得或， ∴根据题意，可知点的坐标为； 故答案为：； 【小问4详解】 解：当时，由图像知，不合题意； 当时，， 若，则，（不合题意，舍去） 即； 当时，， 则，则； 即； 综上，的取值范围为． 21. 如图，中，，，．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即的面积为． 四．解答题：（共3小题，23题10分，24题7分，25题10分，共计27分） 22. 云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】（1）每间商铺的长为米，宽为米 （2）小王每月需要付给经营者元租金 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； 【小问2详解】 解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 23. 如图，中，，点D在边上，，垂足为E，点G在上，且，．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】过点D作于点M，根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定推出，求出，则，证明，根据全等三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】证明：如图，过点D作于点M， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴、是直角三角形， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 24. 如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接、． （1）的度数； （2）当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果 ，请直接写的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为2或1或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形取BC的中点H，连接，由直角三角形的性质可得出，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案． （2）作，垂足为点D．由直角三角形30角所对边等于斜边一半知，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）当点P在线段上时，当点P在射线上时，作，根据三角形的面积公式计算可得 【小问1详解】 解：在中， ∵，，， ∴，， ∴． ∴． 取的中点H，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图1，过点A作，垂足为点D． 在中， ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ， 即； 【小问3详解】 解：当点P在线段上时，由x， 解得或1， ∴的长为2或1； 当点P在射线上时，如图2，过点A作于点M， 在中，，， ∴， 同理，， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ 即， 解得（负值舍去）， ∴的长是； 则如果，BF的长为2或1或． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上海市建平实验中学八年级上学期期末数学试卷 一．选择题（共6小题，每题2分，共12分） 1. 下列各式中，与是同类二次根式的是（　　） A B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 在下列函数中，当x增大时，y的值减小的函数是（ ） A. y= B. y=5x C. D. 4. 下列三角形中，非直角三角形的是（ ） A. 三边分别为11，， B. 有一边的中线等于这边的一半 C. 三个内角之比为 D. 三边之比为 5. 如图，中，，，于，是的中线．要说明“三个角分别对应相等的两个三角形全等”是假命题，可以作为反例的两个三角形是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 如图，平面直角坐标系中，函数图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则的面积为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题（共12小题，每题2分，共24分） 7. 二次根式有理化因式可以是 ______． 8. 关于y的方程的解是 ______________． 9. 函数定义域是 __________． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，则线段_____． 11. 手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若隔水的宽度为，画心的面积为，根据题意，可列方程是______． 12. 三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 _____支队伍参加比赛． 13. 在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 _____． 14. 定理“等腰三角形两腰相等”的逆命题______. 15. 在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为________． 16. 如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交于点F，如果，那么线段的长为 _____． 17. 如图，点，在反比例函的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，若，，与的距离为5，则的值为________． 三．简答题（共4小题，19题16分，20题6分，21题9分，22题6分，共计37分） 18. （1）计算：； （2）解方程：； （3）因式分解：； （4）当，时，求的值． 19. 如图，已知、点及线段，求作点，使点到、距离相等且到点距离为． 20. 小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与双曲线（一支）分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图像，请解决以下问题． （1）线段的函数表达式为 ； （2）曲线的函数表达式为 ； （3）点的坐标为 ； （4）设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，求的取值范围． 21. 如图，中，，，．求的面积． 四．解答题：（共3小题，23题10分，24题7分，25题10分，共计27分） 22. 云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 23. 如图，中，，点D在边上，，垂足为E，点G在上，且，．求证：． 24. 如图，中，，，．点P是射线上一点（不与点B重合），为的垂直平分线，交于点F，交射线于点E，连接、． （1）的度数； （2）当点P在线段上时，设，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果 ，请直接写的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$