期末复习-专题04 一元一次方程能力提升（7大题型）-2025-2026学年人教版七年级上册数学《解锁期末满分 期末冲刺密卷》

专题04 一元一次方程能力提升（7大题型） 题型1:解方程 题型2：一元一次方程-错解 题型3：一元一次方程复杂实际应用-利润问题 题型4：一元一次方程复杂实际应用-分段计费问题 题型5：一元一次方程复杂实际应用-比例分配问题 题型6：含绝对值的简单一元一次方程 题型7：新定义方程 题型1:解方程 1．解下列方程． (1)． (2)． 2．解方程： (1)． (2)． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（1）计算：； （2）解方程：． 5．解方程： (1)； (2)． 6．已知关于x的方程①与方程②的解互为相反数． (1)求方程①的解； (2)求a． 题型2：一元一次方程-错解 1．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值． 2．小艺在解关于m的方程时，误将看作，得方程的解为． (1)请帮小艺求c的值． (2)请帮小艺求方程正确的解． 3．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 4．小明同学做一道题：“已知两个多项式，计算．”小明同学误将看作，求得结果是．若多项式． (1)请你帮助小明同学求出的正确答案； (2)若的值与的取值无关，求的值． 题型3：一元一次方程复杂实际应用-利润问题 1．为了迎接新学期，书店计划购进，两类书刊，类书刊和类书刊的售价分别是元本和元本，且每本类书刊的进价比每本类书刊贵元已知购买本类书刊和本类书刊共需要元． (1)每本类书刊、类书刊的进价各是多少元 (2)若该书店第一次购进，两类书刊共本，全部售完后总利润为元，则该书店第一次分别购进，两类书刊各多少本 (3)若第二次购进同样数量的两类书刊，且两类书刊的进价都比上次优惠了，再次销售时类书刊售价不变，类书刊打折出售，全部售完后总利润比上次还多元，则类书刊打了几折 2．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 3元/件 超过100件不超过300件部分 2.5元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买200件花______元； (2)小明购买的数量为件（），则小明购买这种商品花费了_____元？（用含的式子表达） (3)小明买这种商品花了680元，列方程求购买这种商品多少件？ 3．某商家去水果批发大市场购进甲乙两种水果礼盒，其中甲种水果礼盒数量是乙种水果礼盒数量的一半还多10盒，甲种水果礼盒每盒进价100元，乙种水果礼盒每盒进价70元，商家购进甲乙两种水果礼盒共花费了7000元． (1)商家购进甲乙两种水果礼盒各多少盒？ (2)该商家将甲种水果礼盒每盒售价定为150元，乙种水果礼盒每盒售价定为100元，出售了甲种水果礼盒15盒和乙种水果礼盒20盒后，为了不影响水果的品质，商家决定将甲种水果礼盒打八折出售，请问乙种水果礼盒打几折出售才能使得总利润为1750元？ 4．综合与实践问题背景： 吉县苹果和隰县梨都是山西著名的农产品，某超市购进吉县苹果和隰县梨进行销售． 信息一，该超市用50000元购进吉县苹果和隰县梨共4500千克． 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 吉县苹果 12 18 隰县梨 10 20 问题解决： (1)该超市购进吉县苹果和隰县梨各多少千克？ (2)若该超市销售完吉县苹果时，隰县梨还剩下，将剩余隰县梨打折出售，全部售完后，共获利32600元，求剩余隰县梨打了几折． (3)若在销售过程中，吉县苹果和隰县梨都损坏，保持隰县梨的售价不变，在除损坏外全部售完的情况下，若总利润率为，则吉县苹果的售价应定为多少？ 5．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 6．寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为． (1)每件羊毛被的售价为______元，每件羽绒被的进价为______元； (2)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件： (3)在（2）的条件下，该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出：购进羽绒被的件数增加了%，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求的值． 7．为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 题型4：一元一次方程复杂实际应用-分段计费问题 1．某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 2．为了鼓励市民节约用水，我区居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是我区“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 居民用水水费收取标准 每户每月用水量 单价：元吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 (1)已知小李家年7月用水吨，应缴水费______元． (2)如果小李家月份用水吨，则小李家这个月应缴水费多少元（用含的式子表示）？ (3)小李家月份忘记去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨（其中月份用水超过吨），一共交水费元，求小李家月份用水多少吨？ 3．我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 4．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 5．移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 6．根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处 理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 题型5：一元一次方程复杂实际应用-比例分配问题 1．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 2．列一元一次方程解应用题 某学校在校园文化艺术节中举行“班班唱”红歌比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有100张，每袋小红旗有50面，贴纸和小红旗需整袋购买．两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少20元，而且2袋贴纸与1袋小红旗价格相同． (1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ (2)如果购买贴纸和小红旗共40袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面，恰好全部分完，请问该校七年级有多少名学生？ (3)在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下： A． 文具店：全场商品购物超过800元后，超出800元的部分打八折； B． 文具店：相同商品，“买十件赠一件”． 请问在哪家文具店购买比较优惠？ 3．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 题型6：含绝对值的简单一元一次方程 1．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 2．已知，求x的值． 3．已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 4．同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1)找出所有符合条件的整数x，使得； (2)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (3)若2时，求x的值． 5．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 6．【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 7．解下列方程： (1)； (2)． 8．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，， ，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 9．我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 题型7：新定义方程 1．同学们已经学习过有理数及其运算，我们现在定义一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请根据下面各式回答问题： 观察式子： (1)通过观察，请你补全定义内容 ；（用含的代数式表示） (2)计算 ； (3)如果，请求出的值． 2．小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 3．定义一种新运算． (1)试求的值； (2)若，求x的值． 4．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若，求的值． 5．“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 6．定义：如果关于x的一元一次方程的解满足，我们就称这个方程为“梅合方程”．例如：方程的解为满足，方程为“梅合方程”． (1)若关于x的一元一次方程的解为，问：该方程是“梅合方程”吗？ (2)若关于x的一元一次方程是“梅合方程”，求a的值． 7．我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 8．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次方程能力提升（7大题型） 题型1:解方程 题型2：一元一次方程-错解 题型3：一元一次方程复杂实际应用-利润问题 题型4：一元一次方程复杂实际应用-分段计费问题 题型5：一元一次方程复杂实际应用-比例分配问题 题型6：含绝对值的简单一元一次方程 题型7：新定义方程 题型1:解方程 1．解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去分母，去括号，移项、合并同类项，把系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项、合并同类项，把系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，正确掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解题的关键． （1）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （2）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （3）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （4）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ， ， ． 4．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，解一元一次方程，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内运算以及绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可解方程． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先整理得，去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得： 去括号得： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 原方程可化为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 6．已知关于x的方程①与方程②的解互为相反数． (1)求方程①的解； (2)求a． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，相反数，解题的关键是掌握一元一次方程的解法，理解方程的解的定义． （1）解方程，再根据两个方程的解互为相反数即可得出答案； （2）将（1）中的解代入方程中即可求解． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 解得，， ∵关于x的方程①与方程②的解互为相反数，方程②的解为， ∴方程①的解为； （2）解：将代入①， 得，即， ， ， 解得． 题型2：一元一次方程-错解 1．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程、一元一次方程的解法，解题时要能读懂题意并列出方程是关键． （1）依据题意得，当时，方程为，进而计算可以得解； （2）依据题意，由误将“”看作“”，得到方程的解为，可得，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，当时，方程为． 去分母得，． 去括号得，． 移项、合并同类项得，． 系数化1得，． （2）解：由题意，误将“”看作“”，得到方程的解为， ． 方程两边同乘30，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 解得． 2．小艺在解关于m的方程时，误将看作，得方程的解为． (1)请帮小艺求c的值． (2)请帮小艺求方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）把代入错误方程中计算即可求出c的值； （2）把c的值代入方程，求出解即可． 【详解】（1）解：把代入看错的式子中， 得：， 解得：； （2）把代入原方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 3．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为 （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 4．小明同学做一道题：“已知两个多项式，计算．”小明同学误将看作，求得结果是．若多项式． (1)请你帮助小明同学求出的正确答案； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，以及解一元一次方程． （1）由题意先求出B，继而再把A、B代入，然后根据整式的混合运算计算即可． （2）将的结果中含有y的式子进行合并，继而可得关于x的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ； 所以 ； （2）， ∵的值与y的取值无关， ∴ ，即， ∴ x的值为． 题型3：一元一次方程复杂实际应用-利润问题 1．为了迎接新学期，书店计划购进，两类书刊，类书刊和类书刊的售价分别是元本和元本，且每本类书刊的进价比每本类书刊贵元已知购买本类书刊和本类书刊共需要元． (1)每本类书刊、类书刊的进价各是多少元 (2)若该书店第一次购进，两类书刊共本，全部售完后总利润为元，则该书店第一次分别购进，两类书刊各多少本 (3)若第二次购进同样数量的两类书刊，且两类书刊的进价都比上次优惠了，再次销售时类书刊售价不变，类书刊打折出售，全部售完后总利润比上次还多元，则类书刊打了几折 【答案】(1)每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元 (2)该书店第一次购进类书刊本，购进类书刊本 (3)类书刊打了九折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准题中的等量关系． （1）先理解题意，再设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元，根据购买本类书刊和本类书刊共需要元，进行列式计算，即可作答． （2）先理解题意，再设该书店第一次购进类书刊本，则购进类书刊本，根据全部售完后总利润为元，进行列式计算，即可作答． （3）设类书刊打了折，结合第二次购进同样数量的两类书刊，且两类书刊的进价都比上次优惠了，再次销售时类书刊售价不变，类书刊打折出售，全部售完后总利润比上次还多元，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设每本类书刊的进价是元，则每本类书刊的进价是元． 根据题意，得， 解得， （元） 答：每本类书刊的进价为元，每本类书刊的进价是元． （2）解：设该书店第一次购进类书刊本，则购进类书刊本． 根据题意，得， 解得， （本） 答：该书店第一次购进类书刊本，购进类书刊本． （3）解：设类书刊打了折， 根据题意，得， 解得． 答：类书刊打了九折． 2．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 3元/件 超过100件不超过300件部分 2.5元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买100件花______元，买200件花______元； (2)小明购买的数量为件（），则小明购买这种商品花费了_____元？（用含的式子表达） (3)小明买这种商品花了680元，列方程求购买这种商品多少件？ 【答案】(1)300；550 (2) (3)252件 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据总价单价数量，结合表格中的数据，即可求出分别购买100件、200件时花费的总钱数； （2）根据总价单价数量，结合表格中的数据，列出代数式并化简即可； （3）设小明购买这种商品a件，根据小明买这种商品花了680元，先确定a的取值范围，再列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：买100件花（元）， 买200件花（元）， 故答案为：300，550； （2）解：小明购买的数量为件（）， 根据题意得，小明购买这种商品花费了： （元）， 故答案为：； （3）解：买300件花（元）， 设小明购买这种商品a件， ∵， ∴， 根据题意得：， 解得：． 答：小明购买这种商品252件． 3．某商家去水果批发大市场购进甲乙两种水果礼盒，其中甲种水果礼盒数量是乙种水果礼盒数量的一半还多10盒，甲种水果礼盒每盒进价100元，乙种水果礼盒每盒进价70元，商家购进甲乙两种水果礼盒共花费了7000元． (1)商家购进甲乙两种水果礼盒各多少盒？ (2)该商家将甲种水果礼盒每盒售价定为150元，乙种水果礼盒每盒售价定为100元，出售了甲种水果礼盒15盒和乙种水果礼盒20盒后，为了不影响水果的品质，商家决定将甲种水果礼盒打八折出售，请问乙种水果礼盒打几折出售才能使得总利润为1750元？ 【答案】(1)商家购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒； (2)乙种水果礼盒打七折出售才能使得总利润为1750元． 【分析】本题考查了运用一元一次方程解决销售问题，其中，正确地表示总利润是解题的关键． （1）设商家购进乙种水果礼盒x盒，则购进甲种水果礼盒盒．运用甲种水果礼盒的成本与乙种水果礼盒的成本之和等于总成本建立方程，解方程即可； （2）设乙种水果礼盒打a折出售．表示出甲种水果礼盒的销售金额与乙种水果礼盒的销售金额，运用销售总金额等于总利润与总成本之和建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设商家购进乙种水果礼盒x盒，则购进甲种水果礼盒盒． 由题意，得， 解得， 所以， 答：商家购进甲种水果礼盒35盒，乙种水果礼盒50盒． （2）解：设乙种水果礼盒打a折出售． 由题意，得 ， 解得， 答：乙种水果礼盒打七折出售才能使得总利润为1750元． 4．综合与实践问题背景： 吉县苹果和隰县梨都是山西著名的农产品，某超市购进吉县苹果和隰县梨进行销售． 信息一，该超市用50000元购进吉县苹果和隰县梨共4500千克． 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 吉县苹果 12 18 隰县梨 10 20 问题解决： (1)该超市购进吉县苹果和隰县梨各多少千克？ (2)若该超市销售完吉县苹果时，隰县梨还剩下，将剩余隰县梨打折出售，全部售完后，共获利32600元，求剩余隰县梨打了几折． (3)若在销售过程中，吉县苹果和隰县梨都损坏，保持隰县梨的售价不变，在除损坏外全部售完的情况下，若总利润率为，则吉县苹果的售价应定为多少？ 【答案】(1)该超市购进吉县苹果2500千克，购进隰县梨2000千克 (2)八五折 (3)20元/千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进吉县苹果千克，则购进隰县梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余隰县梨打折，根据获利32600元建立方程求解即可． （3）设吉县苹果的售价应定为元/千克，根据总利润率为建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进吉县苹果千克，则购进隰县梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进吉县苹果2500千克，购进隰县梨2000千克． （2）解：设剩余隰县梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余隰县梨打了八五折． （3）解：设吉县苹果的售价应定为元/千克． 根据题意，列方程为． 解得． 答：吉县苹果的售价应定为20元/千克． 5．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋17个 (2)小明购买了钢笔20支，签字笔30支 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，理清数量关系是解题的关键． （1）设小明原计划购买文具袋x个，则实际购买了个，根据对话内容列出方程即可得出结果； （2）设小明可购买钢笔y支，根据两种物品的购买总费用272元，列出方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小明原计划购买文具袋x个，根据题意，得 ， 解得， 答：小明原计划购买文具袋17个． （2）解：设小明可购买钢笔y支，则购买签字笔支，由题意得 ， 解得， 则． 答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 6．寒潮来袭，某家居店的羊毛被和羽绒被两种御寒商品深受顾客的喜爱，每件羊毛被的进价为500元，利润率为，每件羽绒被的售价为1000元，利润率为． (1)每件羊毛被的售价为______元，每件羽绒被的进价为______元； (2)若该家居店第一次用47000元购进了羊毛被和羽绒被两种商品，其中羽绒被件数比羊毛被件数的2倍少20件，求购进羊毛被、羽绒被各多少件： (3)在（2）的条件下，该家居店第二次又购进羊毛被和羽绒被两种商品进行销售，与第一次相比，购进羊毛被的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出：购进羽绒被的件数增加了%，进价不变，但每件的售价调整为1200元，销售一段时间后，为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的12件羽绒被打八折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润23820元，求的值． 【答案】(1)800,800 (2)羊毛被30件，羽绒被40件 (3)10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，进行求解即可 （2）设购进羊毛被件，则羽绒被为件，根据题意列出方程求解即可； （3）首先明确第一次购进羊毛被30件，羽绒被40件，然后根据题意得出：第二次购进羊毛被的件数不变，进价提高了，则羊毛被的进价为元，第二次购进羽绒被的件数增加了，则羽绒被的件数为件，再由利润列出方程求解即可． 【详解】（1）解：每件羊毛被的售价为：元； 每件羽绒被的进价为：元； 故答案为：800；800； （2）解：设购进羊毛被件，则羽绒被为件， 根据题意得：， 解得：， ， 所以羊毛被30件，羽绒被40件； （3）解：由（2）得第一次购进羊毛被30件，羽绒被40件， 第二次购进羊毛被的件数不变，进价提高了，则羊毛被的进价为元， 售价为元，利润为元， 第二次购进羽绒被的件数增加了，则羽绒被的件数为件， 进价为元，售价为元， 利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 7．为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲、乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球．已知每套队服比每个足球贵元，购买一套队服和一个足球共需花费元． (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过套，则队服原价，但购买足球打八折．若计划一共购买套队服和个足球． ①请用含的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是元，选择在哪家商场购买的足球更多？ 【答案】(1)每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元 (2)①到甲商场购买装备所花的费用为：元，到乙商场购买装备所花的费用为：元；②在甲商场购买的足球更多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据买一套队服和一个足球共需花费180元，列出方程，解方程即可； （2）①根据题意分别列出代数式即可； ②根据总费用分别列出方程，然后解方程，求出m的值，最后进行比较即可． 【详解】（1）解：设每套队服的售价为x元，则每个足球的售价为元，根据题意得： ， 解得， ∴， 答：每套队服的售价为100元，每个足球的售价为80元； （2）解：①到甲商场购买装备所花的费用为： 元， 到乙商场购买装备所花的费用为： 元； ②当时，解得：； 当时，解得：； 因为购买足球的数量为整数，所以最大可取， 因为， 所以在甲商场购买的足球更多． 题型4：一元一次方程复杂实际应用-分段计费问题 1．某市为鼓励市民节约用水实行阶梯水价制，2024年主城区居民生活用水阶梯价格收费标准如下（注每月还要收居民污水处理费：1元/．）： 类别 每户每月用水量（单位：） 阶梯水价（单位：元/） 第一阶梯 不超过15立方米的部分 5 第二阶梯 超过15立方米的部分 9 (1)若某居民户7月份用水量为，请用含x的代数式表示该居民户7月份应交水费多少元； (2)小云家7月份的水费为120元，她告诉小南她们家这个月的用水量为，小南通过计算发现小云的说法有误，试说明小南这样判断的理由，并计算小云家7月份的实际用水量． 【答案】(1)当时，应交水费元；当时，应交水费元 (2)小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为 元，矛盾；小云家实际用水量为 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用等． （1）根据题意分两种情况讨论可得两个代数式即为本题答案； （2）利用用水量为可知此时交水费为140元，不符合小云描述矛盾，再利用一元一次方程列式计算即可． 【详解】（1）解：∵某居民户7月份用水量为， ∴根据表格信息可得： 当时，水费元； 当时，水费：（元）， ∵每月还要收居民污水处理费：1元/， ∴当时，应交水费：（元）， 当时，应交水费：（元）； （2）解：小南判断的理由是：若用水量为，则水费应为元，但实际水费为元，矛盾，实际水费计算如下： 根据题意可知：（元）， ∵小云家7月份的水费为120元， ∴， ∴小云家水费一定超过15立方米， ∵由（1）得，当时，应交水费：（元）， ∴，解得：， ∴小云家实际用水量为． 2．为了鼓励市民节约用水，我区居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是我区“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 居民用水水费收取标准 每户每月用水量 单价：元吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 (1)已知小李家年7月用水吨，应缴水费______元． (2)如果小李家月份用水吨，则小李家这个月应缴水费多少元（用含的式子表示）？ (3)小李家月份忘记去交水费，当他月去交水费时发现两个月一共用水吨（其中月份用水超过吨），一共交水费元，求小李家月份用水多少吨？ 【答案】(1)； (2)当时，水费为元；当时，水费为元； (3)吨． 【分析】本题考查了有理数运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）分当时，当时，列出代数式即可； （）设月份用水吨，则月份用水吨 ，根据题意得出，分当时，当时，列出方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：小李家年月用水吨，应缴水费： （元）， 故答案为：； （2）解：当时，应缴水费： （元）， 当时，应缴水费： （元）； （3）解：设月份用水吨，则月份用水吨 ， ∵月份用水超过吨， ∴， ∴， 当时，月份水费为元， 月份水费为（元）， ∴总水费为， 解得，与矛盾，舍去； 当时， 月份水费为（元）， 月份水费为（元）， ∴总水费为， 解得， 答：小李家月份用水吨． 3．我市居民生活用气实行阶梯气价，按年度用气量计算，价格如下： 计费档 年用气量x（立方米） 单价（元/立方米） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，求出用气总费用（元）与年用气量（立方米）之间的关系式； (2)小明家去年全年用气的总费用为元，求他家去年的总用气量； (3)今年小明家新增加了一台燃气热水器，爸爸发现如果继续按当前习惯用气，他家年末用气量将达到立方米．为了节省气费他考虑了两种方案： 方案：通过行为节约，将全年总用气量控制在立方米整； 方案：安装一个节能设备，可节省的用气量，设备费用为元． 请通过计算，比较方案、方案所需的总支出（气费+设备费），并为小明爸爸选择一个经济的方案． 【答案】(1) (2)立方米 (3)方案更经济，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据总价=单价数量，结合居民生活用气实行阶梯气价表，即可列出关系式； （2）先根据（1）的关系式，分别求出当时、时所需的用气总费用，再判断小明家的总费用属于第二档，将代入第二档关系式中即可求解； （3）先计算方案所需的总费用，然后计算方案全年用气费用加上设备的总费用，进行比较即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 即：； （2）解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 将代入中， 得：， 解得：， 即小明家去年的总用气量为立方米； （3）解：方案：当时，代入中， 得：（元）， 方案：节省的用气量后，全年得用气量为， 当时，代入中， 得：（元）， 总费用为：（元）， ， 方案更经济． 4．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表，请回答下列问题： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.5元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.5元． (1)若小东乘坐滴滴快车，行车里程为15公里，行车时间为20分钟，则需付车费 元． (2)若小明乘坐滴滴快车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则小明应付车费多少元？（用含、的代数式表示，并化简．） (3)小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9公里与12公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【答案】(1) (2)当时，车费为元；当 时，车费为元 (3)这两辆滴滴快车的行车时间相差 14 分钟 【分析】本题基于滴滴快车的计价规则，计算车费时需要分里程是否超过10公里考虑远途费． （1）根据车费由里程费、时长费、远途费三部分组成进行计算即可； （2）分和两种情况进行讨论用代数式表示并化简即可； （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，根据他们的所付车费相同，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为； （2）当时，小明应付车费：元 当时，小明应付车费： 元， 答：当时，车费为元；当 时，车费为元． （3）设小王行车时间为分，小张行车时间为分，依题意有 整理得 答：这两辆滴滴快车的行车时间相差分． 5．移动公司推出A，B两种话费与流量套餐，详情如下表： 月基本费（元） 主叫限定时长 主叫超时费（元） 被叫 免费数据流量 流量超额费（元） 套餐A 79 200 0.15 免费 15 3 套餐B 99 300 0.15 免费 20 2 补充说明： ①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费 ②流量超额费以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付（元） (1)若小花的爸爸使用套餐A，11月份主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他11月的月结话费是多少元？ (2)若小花的爸爸12月份主叫时长为350分钟，使用流量为，小花通过计算发现，按套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元，求的值． (3)若小花的爸爸12月主叫时长不足200分钟，请你根据流量的使用情况分析说明使用哪种套餐更省钱．（只需写出分析得到的结论） 【答案】(1)他11月的月结话费是90元 (2) (3)当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据套餐A的收费方案列式求解； （2）根据“套餐A比按套餐B的月结话费刚好多1元”列方程求解； （3）根据使用流量的多少，计算比较大小． 【详解】（1）解： = （元） 答：他的月结话费为90元． （2）解：根据题意得： 解得， 答：x的值是17； （3）解：设他使用的流量为， 当时，选择A套餐； 当时，使用A套餐需要付费：，使用B套餐需要99元，故选择A套餐， 当时，使用A套餐需要付费：元，使用B套餐需要付费：元， 当，解得：， 即当时，选A套餐，当时，选B套餐； 综上所述：当使用流量低于时，套餐A更省钱；当使用流量等于时，两种套餐花费一样；当使用流量超过时，套餐B更省钱． 6．根据以下素材，探索未完成的任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2023年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量吨）：水费为4元/吨，其中自来水为3元/吨，污水处理费为1元/吨． 第二阶梯（14吨<用水量吨）：水费为6元/吨，其中自来水为5元/吨，污水处理费为1元/吨． 第三阶梯（用水量吨）：水费为11元/吨，其中自来水为10元/吨，污水处理费为1元/吨． 素材3 如某用户2023年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处 理费 已知某用户2023年12月份所缴水费中，自来水费为67元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2023年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2023年5、6月份共用水42吨（6月份用水量超过5月份用水量），共缴水费210元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【答案】任务1：该用户12月份需缴污水处理费19元；任务2：应缴水费为元；任务3：该用户5、6月份各用水、吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元，根据该用户2023年12月份所缴水费中自来水费为67元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务2：利用总价=单价×数量，结合该市“阶梯收费”的标准，即可用含a的代数式表示出应缴水费； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨，根据该用户2023年5、6月份共缴水费210元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设该用户12月份的用水量为x吨，则该用户12月份需缴污水处理费x元， ∵（元），（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：该用户12月份需缴污水处理费19元； 任务2：根据题意得：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． 答：应缴水费为元； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则该用户6月份的用水量为吨， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：， ∴（吨）． 答：该用户5、6月份各用水、吨． 题型5：一元一次方程复杂实际应用-比例分配问题 1．如图，两根铁棒直立于桶底水平的桶中，在桶中加入水后，一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，另一根铁棒在水面以上的长度是总长度的，已知两根铁棒的长度之和是31厘米，桶内水深多少厘米？ 【答案】桶内水深12厘米． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确没入水中的长度即是水深并由此设未知数列出方程是解题的关键． 由两根铁棒没如水中部分的长度相等，设桶内水深为x厘米，则第一根铁棒的长度为，第二根铁棒法长度为，又知两根铁棒的长度之和是31厘米列方程求解即可． 【详解】解：设桶内水深为x厘米， ， ， ， ， ， ． 答：桶内水深12厘米． 2．列一元一次方程解应用题 某学校在校园文化艺术节中举行“班班唱”红歌比赛，七年级需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知每袋贴纸有100张，每袋小红旗有50面，贴纸和小红旗需整袋购买．两家文具店的标价相同，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少20元，而且2袋贴纸与1袋小红旗价格相同． (1)求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？ (2)如果购买贴纸和小红旗共40袋，给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面，恰好全部分完，请问该校七年级有多少名学生？ (3)在（2）条件下，两家文具店的有优惠如下： A． 文具店：全场商品购物超过800元后，超出800元的部分打八折； B． 文具店：相同商品，“买十件赠一件”． 请问在哪家文具店购买比较优惠？ 【答案】(1)每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格分别是20和40元 (2)该校七年级有1000名学生 (3)在A文具店购买比较实惠 【分析】（1）设每袋贴纸为元，则每袋小红旗的价格为：元，根据题意，列出方程求解即可； （2）设购买贴纸袋，则购买小红旗袋，根据题意，列出方程求解即可； （3）分别计算出两家文具店应付金额，进行作答即可． 【详解】（1）解：设每袋贴纸为元，则每袋小红旗的价格为：元，由题意，得：，解得：， 则：元； 答：每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格分别是20和40元． （2）解：设购买贴纸袋，则购买小红旗袋，由题意，得： ，解得：， ∴七年级总人数为：名； 答：该校七年级有1000名学生． （3）解：由（2）知：购买贴纸袋，购买小红旗袋， 则总费用为：元， 在A文具店购买应付金额为：元； 在B文具店购买应付金额为：元； ∵； ∴在A文具店购买比较实惠． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 3．春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少20件． (1)求工厂计划生产A、B两种新春产品各多少件？ (2)现在工厂需要购买甲、乙两种材料生产新春产品．甲种材料的单价为每千克5元，乙种材料的单价为每千克3元，采购员小李分两次购买完所需的材料，第一次购买两种材料共200千克，受市场价格影响，第二次购买时甲材料的单价为每千克4元，乙材料的单价不变． ①设采购员第一次购买甲种材料千克，完成下列表格： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 380 乙材料 180 ②若第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元，求采购员第一次购买甲种材料多少千克？ 【答案】(1)工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件 (2)①见解析；②采购员第一次购买甲种材料120千克 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，列代数式，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件，利用“某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共140件”，再建立方程求解即可； （2）①用两次购买的数量减去第一次的数量可得表格第二次购买的数量；②先表示两次购买的费用，再利用“第二次购买材料所支付的费用比第一次购买材料的费用多500元”，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设工厂计划生产B种产品件，则工厂计划生产A种产品件， 根据题意得：， 解得：， ， 工厂计划生产B种产品40件，则工厂计划生产A种产品100件； （2）①补充表格如下表： 第一次购买数量 （千克） 第二次购买数量 （千克） 总共需要购买数量 （千克） 甲材料 乙材料 ②第一次购买材料的费用为：（元）， 第二次购买材料的费用为：（元）， ，解得：， 答：采购员第一次购买甲种材料120千克． 题型6：含绝对值的简单一元一次方程 1．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)拓展延伸：解方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解绝对值方程． （1）仿照题干作答即可； （2）对于形如的方程，等价于或，因此，解方程，只需解与即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得：或， 解得：或x； （2）解：由绝对值的意义得：或， 解得：或． 2．已知，求x的值． 【答案】8 【分析】本题考查解绝对值方程，分与两种情况，根据绝对值的意义将方程转化为一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：当时，原方程可化为， 解得， 当时，原方程可化为， 解得， 此时，不符合， 所以不符合题意，舍去， 所以x的值为8． 3．已知与互为相反数． (1)则______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，解绝对值方程． （1）根据绝对值具有非负性，且互为相反数的两个数之和为零可知，，即可得到，； （2）将 和 的值代入方程 ，解绝对值方程即可得到 的值． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，． 故答案为：，； （2）解：由（1）知 ，， 代入 ，得 ， ∴ 或 ， ∴ 或 ． 4．同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离．试探索： (1)找出所有符合条件的整数x，使得； (2)对于任何有理数x，是否有最小值？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； (3)若2时，求x的值． 【答案】(1)，，，，0，1 (2)有最小值，最小值为3 (3)x的值为或1 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及含绝对值方程的求解，解题的关键是将绝对值表达式转化为数轴上两点间的距离，或通过分类讨论去掉绝对值符号，进而分析问题、求解方程． （1）将理解为x与在数轴上的距离，理解为x与1在数轴上的距离，先计算与1的距离为5，由此可知x在与1之间（含端点）时，两距离和为5，再找出此范围内的所有整数； （2）同理，是x与3、x与6的距离和，当x在3与6之间（含端点）时，距离和等于3与6的距离，此距离即为最小值； （3）解方程，分、、三个区间去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解，最后验证解是否在对应区间内． 【详解】（1）解：由绝对值的几何意义可知，表示数轴上x与的距离，表示数轴上x与1的距离． 计算与1的距离：． 要使两距离和为5，則x需在与1之间（含和1），即， 此范围内的整数为：，，，，0，1． （2）解：表示数轴上x与3、x与6的距离和． 当时，距离和为，此时x越小，和越大； 当时，距离和为，和为定值； 当时，距离和为，此时x越大，和越大． 故有最小值，最小值为3． （3）解：分三种情况讨论： ①当时，，， 方程化为：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：，此解满足，符合题意； ②当时，，， 方程化为：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：，此解满足，符合题意； ③当时，，， 方程化为：， 展开得：， 合并同类项得：， 解得：，但，不满足，不符合题意； 综上，x的值为或1． 5．阅读下面的材料，回答问题． 化简，使结果不含绝对值． 解：当，即时，原式； 当，即时，原式． 综上所述，的化简结果为或． 这种解题的方法叫做“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分两种情况，当和时，先去掉绝对值符号，再解方程即可． 【详解】解：当，即时， 原方程为， 即， 解得； 当，即时， 原方程为， 即， 解得． 综上所述，方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能正确去掉绝对值符号． 6．【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 7．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解含有绝对值符号的一元一次方程，掌握绝对值方程转为为一元一次方程的方法是关键． （1）将方程中的绝对值符号去掉，原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数，然后转化为一元一次方程即可解答; （2）将方程中的绝对值符号去掉，原代数式为正，去掉绝对值后，其结果为本身；原代数式为负，去掉绝对值后，其结果为相反数，然后转化为一元一次方程即可解答. 【详解】（1）解：， 当时， ， 解得： 当时， ， 解得：x， ， （舍去）， 原方程的根为； （2） ， 则或， 解得：或x， ∵， ∴， ∴舍去， ∴． 8．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，， ，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： (1)解方程： (2)解方程： 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）类比解法一即可求解； （2）类比解法二，分，，三种情况进行讨论，脱去绝对值，解方程，舍去不合题意的方程的解，问题得解． 【详解】（1）解：移项得， 合并得， 两边同时除以得， 所以， 所以或； （2）解：当时，原方程可化为，解得，符合； 当时,原方程可化为，解得，符合； 当时，原方程可化为，解得，不符合． 所以原方程的解为或． 【点睛】本题考查了绝对值方程、一元一次方程的解法，理解题意，能根据题意脱去绝对值是解题关键，注意第（2）问要根据题意分三类进行讨论． 9．我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可； （2）先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义得或， 解得或； （2）解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键． 题型7：新定义方程 1．同学们已经学习过有理数及其运算，我们现在定义一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，请根据下面各式回答问题： 观察式子： (1)通过观察，请你补全定义内容 ；（用含的代数式表示） (2)计算 ； (3)如果，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字变化类规律、一元一次方程的应用，理解题意，得出是解此题的关键． （1）根据题中所给式子列出结论即可； （2）根据（1）中得出的结论进行计算即可； （3）根据（1）中得出的结论进行计算得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解： ，，， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可得， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ，， ， ， 解得：． 2．小南学习完第二章《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：█，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题： 观察下列式子： ； ； ； ． (1)请你补全定义内容：__________；（用含a、b的代数式表示） (2)当时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由； (3)若，求的值； (4)若，且的运算结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式，规律探索，解一元一次方程，整式加减运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则． （1）根据给出的式子总结规律：； （2）根据加法的交换律和乘法的交换律进行验证即可； （3）将其代入（1）中所总结的规律，列出方程，解答即可； （4）根据，得出，根据的运算结果与的取值无关，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：成立，理由如下： ∵，， 又∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． （4）∵， ∴ ， ∵的运算结果与的取值无关， ∴， 解得：． 3．定义一种新运算． (1)试求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了“含乘方的有理数运算”“解一元一次方程”，理解新定义，并根据新定义进行计算求解是解题关键 （1）根据新定义，将式子转化为有理数的四则运算和乘方运算即可； （2）根据新定义，将等式左边转化为含x的多项式，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原方程可转化为， 整理，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算、整式的加减运算、解一元一次方程等知识，熟练掌握新定义的运算是解题的关键． （1）根据新定义的运算顺序进行计算即可； （2）根据新定义的运算计算等式的左边，进而得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）由题意可得 ∵， ∴， 解得 5．“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及解一元一次方程； （1）按规定的运算程序运算求值即可； （2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ 整理得， 解得： 6．定义：如果关于x的一元一次方程的解满足，我们就称这个方程为“梅合方程”．例如：方程的解为满足，方程为“梅合方程”． (1)若关于x的一元一次方程的解为，问：该方程是“梅合方程”吗？ (2)若关于x的一元一次方程是“梅合方程”，求a的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查对新定义“梅合方程”的理解与应用．首先需要明确“梅合方程”的定义：若一元一次方程的解满足，则该方程称为“梅合方程”．解题的关键是根据定义判断或构造满足条件的方程，并结合方程的解进行计算． （1）已知方程和解，需结合“梅合方程”的定义验证是否满足； （2）给出“梅合方程”的条件，要求参数的值，需结合解的定义建立等式求解． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为， ，解得， 方程为：，对比标准形式， ，， ，而方程的解，两者相等， 该方程是“梅合方程”； （2）解：方程为：，对比标准形式， ，， 关于x的一元一次方程是“梅合方程”， ， 将代入，可得， 解得：． ． 7．我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 【答案】(1)①② (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别解方程求出三个方程的解即可得到答案； （2）先解方程得到，再把代入方程中求出m的值即可； （3）先解方程得到，再把代入方程中得到，再根据a、b都是整数求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴方程和的解相同， ∴是“友好方程”的是①②； （2）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， 解得； （3）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴或或或． 8．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为成双方程 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， 因为， 所以方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 因为关于的方程与方程互为“成双方程”， 所以， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $