专题08 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题08 一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 类型二、利用一元一次方程的解求参数 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 类型四、利用一元一次方程同解求参数 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 利用一元一次方程定义求参数 一、核心知识点 一元一次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且含未知数项的系数不为0的整式方程（标准形式：ax + b = 0，其中a ≠ 0，a、b为常数）。求参数需紧扣这两个核心条件：次数为1、系数不为0。 二、解题技巧 1.定次数：令未知数的次数等于1，列方程求参数可能值（如方程(m - 2)x|m| - 1 + 3 = 0是一元一次方程，先令|m| - 1 = 1，得m = ±2）。 2.验系数：排除使含未知数项系数为0的参数值（上例中m = 2时，系数m - 2 = 0，舍去，最终m = -2）。 3.验整式：确保方程是整式方程，排除分母含参数导致不是整式的情况。 例1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【变式1-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解答此题的关键． 根据一元一次方程的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 【变式1-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，含有一个未知数并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程． 根据一元一次方程的定义，指数是1，系数不等于0列方程解答即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：2． 类型二、利用一元一次方程的解求参数 利用一元一次方程的解求参数 一、核心知识点 方程的解能使等式左右两边相等，因此求参数的核心是将已知解代入原方程，把原方程转化为关于参数的新一元一次方程，再求解新方程得到参数值，本质是利用“解满足方程”的性质。 二、解题技巧 1.代入解：将已知的解（如x = 2）代入含参数的原方程（如2x + k = 7，代入得2×2 + k = 7）。 2.解参数方程：把代入后得到的方程（如4 + k = 7）当作普通一元一次方程，求解参数（得k = 3）。 3.特殊情况处理：若方程有“无数解”（如ax = b中a = 0且b = 0）或“无解”（a = 0且b ≠ 0），需根据系数关系列等式求参数。 例2．（25-26八年级上·重庆·开学考试）若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于m的一元一次方程． 把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 即． 故答案为： 【变式2-1】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）是方程的解，则m的值是 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是将方程的解代入原方程，建立关于m的方程并求解．根据方程的解的定义，把代入方程；得到含m的一元一次方程后，通过移项、计算得出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得． 即． 合并同类项得． 移项得． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·期末）已知是关于x的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，先根据方程的解满足方程求得，再代值求解即可． 【详解】解：把代入关于x的一元一次方程中，得， 所以． 故答案为：2026 【变式2-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据方程的解为，可以求得的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：方程的解为， ， ， ， 故答案为：． 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 利用一元一次方程整数解求参数 一、核心知识点 先将方程化为ax = b（a含参数，b为常数或含参数）的形式，根据“解为整数”的要求，得出参数需满足的整除关系（若x为整数，则b能被a整除，或整理后参数为整数相关表达式），同时结合参数自身限制条件（如整数、正整数等）求解。 二、解题技巧 1. 化简方程：将原方程整理为x = （m、n含参数）的形式（如(k + 1)x = 6，得x = ）。 2. 分析整除性：因x为整数，故n是m的约数（如上例中k + 1是6的正负约数：±1、±2、±3、±6）。 3. 求参数值：根据约数列出方程求参数（如k + 1 = 1得k = 0），并检验参数是否使原方程系数不为0。 例3．（24-25七年级上·全国·假期作业）关于x的方程的解是正整数，则满足条件整数a的和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．把a看作已知数表示出方程的解，由方程的解为正整数，确定出整数a的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 解得： ， 由方程的解为正整数，即为正整数， ∴或3， ∴整数，4共2个，和为； 故答案为：6． 【变式3-1】（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法．先求方程的解得，再由已知可得或，求出k的值即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵方程的解为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有k值的和为 故答案为：8 【变式3-2】（24-25七年级上·重庆渝北·期末）如果关于x的方程有整数解，且关于y的多项式为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】先解含有字母参数a的一元一次方程，求出x，然后再根据方程有整数解，列出关于a的方程，解方程求出a，最后根据关于y的多项式为三次四项式求出符合条件的所有整数a的值，再相加计算即可． 【详解】解： ， ∵关于x的方程有整数解， ∴或或或， 解得或或或或或或或， 又∵关于y的多项式为三次四项式， ∴， 解得， ∴所有符合条件的整数a为－1，，， ∴它们的和为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式和解一元一次方程，解题关键是根据一元一次方程解的定义和条件求出a． 【变式3-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）已知为整数，关于的方程的解为非负整数．求满足条件的值的和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方程的整数解，先求出含有参数的方程的解，并列举出它是整数的所有可能性，再求出的整数值，最后求出这些值之和即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴或或， 解得：或（不符合题意舍去）或， ∴符合条件的值的和为． 故答案为：． 类型四、利用一元一次方程同解求参数 利用一元一次方程同解求参数 一、核心知识点 同解方程指解相同的方程，解题核心是分别求出两个方程的解（或化为含参数的解的表达式），再根据“解相等”列等式，进而求解参数；若方程含多个参数，需结合等式基本性质分析系数关系。 二、解题技巧 1.求方程解：分别解两个含参数的一元一次方程，化为x = m（m为含参数的表达式）的形式。 2.列等式求解：令两个解相等，列关于参数的新方程（如方程1的解x = 2k，方程2的解x = k + 3，则2k = k + 3），解出新参数。 3.检验：将参数值代入原方程，验证两方程解是否一致，确保结果正确。 例4．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）关于的方程与的解相同，则 ． 【答案】1 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可．本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程，解得， ∵方程与的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 【变式4-1】（24-25六年级下·山东泰安·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一元一次方程同解问题，熟练掌握一元一次方程的计算是解题的关键．根据解出，将代入即可得到答案． 【详解】解：， 解得， 方程的解与关于x的方程的解相同， 将代入， 即， ， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25七年级上·四川达州·期末）关于的方程与的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 先解方程，根据题意，将，代入，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∵关于的方程与的解相同， 将，代入，得， 解得：， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·重庆·期末）已知关于y的方程与的解相同，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程同解问题，解决的关键是能够求解关于y的方程，根据同解的定义建立方程．分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值． 【详解】解：由，得， 由，得， 由关于的方程与的解相同，得 ， 解得． 故答案为：． 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 含字母参数的一元一次方程新定义型问题 一、核心知识点 新定义型问题需先理解题目给出的新规则（如自定义运算“⊕”“※”、新方程类型），再结合一元一次方程定义（未知数次数为1、系数不为0） 和等式性质，将新定义转化为常规一元一次方程，进而求解参数或方程的解。 二、解题技巧 1.解读定义：明确新定义的运算规则或方程条件（如定义“a※b = ax + b”，则“3※2 = 0”即3x + 2 = 0）。 2.转化方程：根据新定义列出含参数的一元一次方程，确保符合“一次”“整式”“系数非0”条件。 3.求解验证：按常规步骤解转化后的方程，结合参数限制（如整数、正数）确定结果，代入新定义检验是否符合题意。 例5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意和熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别计算方程求出两个方程的解，再根据“友好方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到方程的解，再根据“友好方程”的定义得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程是“友好方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“友好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“友好方程”， ∴， ∴． 【变式5-1】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． （1）已知等式利用题中的新定义运算计算即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解：． （2）解：因为， 所以， 解得． 【变式5-2】（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可； （2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得； ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． 【变式5-3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若关于的方程的解为，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程解的性质，将已知解代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：已知方程的解为， 将代入方程：， 解得：． 故选：A． 2．（24-25七年级上·广西贺州·期中）已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定，求解的值即可． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须为1． 即， 得或， 即的值为． 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为，那么原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用．先按计算出，再将计算出的值，代入原方程再一次解方程即可得出答案． 【详解】解：王涵同学在解关于的方程时，误将“”看作“”，得到方程的解为， ， 解得：， ， ， 原方程为， 解得：， 故选：B． 4．（24-25七年级上·河南濮阳·阶段练习）已知关于的方程 有整数解，则的所有可能的取值的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．先根据解方程的一般步骤解方程，再根据整数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是整数解 ∴ 或，，，，，， 则 故选：C． 5．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）下列结论： ①若是关于x的方程的一个解，则； ②若有唯一的解，则； ③若，则关于x的方程的解为； ④若，且，则一定是方程的解； 其中结论正确个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义，解一元一次方程；方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等，根据方程的解的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】①把代入得：，故结论①正确； ②方程可化简为． 若，则方程解为（唯一解）． 若，方程变为，有无穷多解． 题目中“有唯一解”需满足，故结论②正确． ③，则，方程移项，得：，则，则结论③错误； ④把代入1，方程一定成立，则一定是方程的解，结论④正确． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是方程的解，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解求参数，把方程的解代入计算即可． 【详解】解：若是方程的解， ∴， 解得，， 故答案为：4 ． 7．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 8．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 10．（24-25六年级下·山东青岛·阶段练习）若方程是关于x的一元一次方程，则代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及代数式求值．根据一元一次方程的定义，可求出m的值．在将m代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 11．（23-24七年级下·福建泉州·期中）关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，由一次方程的定义，列关于的方程，通过求解即可得到答案．解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程 ∴且， 由得：或 ∵，即， ∴． 12．（24-25七年级上·吉林·期中）已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解． （1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可； （2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴另一个方程的解为， 把代入方程得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴． 13．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）把代入方程，进行求解即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 14．（24-25七年级上·全国·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 【答案】(1) (2)3或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，，由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴， ∴； （2）解：∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或． 15．（24-25七年级上·全国·期末）【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：经过处理器得到． 【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题： （1）填空：若，则 ； （2）若，求关于x的方程的解； 【延伸】 （3）已知是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式． ①若满足，且，求m的值． ②若满足的解x是整数，求整数m的值． 【答案】（1）；（2）；（3），整数m的值是0或4或 【分析】本题考查了新定义运算，多项式的定义，一元一次方程，根据题意列出一次多项式是解题的关键． （1）根据题意进行计算即可求解； （2）根据题意，得出，进而解方程即可求解； （3）①根据题意得，又，得出，进而即可求解．②根据题意得，得出，根据 x， m都是整数，得出，进而即可求解． 【详解】解：（1）根据题目中整式处理器的处理方法可得：； （2）由题可知，， 可得， 又 ∵， ∴， 解得：， ∴关于的方程的解为 1 ． （3）①由题可知，经过处理器得到的整式， 则， 同时，， ∴， ∵， ∴， ． ②根据题意可得，则， ∴， ∵ x， m都是整数， ， ∴舍去， ∴整数的值是 0 或 4 或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08一元一次方程中含参数问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 类型二、利用一元一次方程的解求参数 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 类型四、利用一元一次方程同解求参数 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用一元一次方程的定义求参数 利用一元一次方程定义求参数 一、核心知识点 一元一次方程定义：只含一个未知数，未知数最高次数为1，且含未知数项的系数不为0的整式方程（标 准形式：x+b=0,其中a≠0，a、b为常数)。求参数需紧扣这两个核心条件：次数为1、系数不为 0。 二、解题技巧 1.定次数：令未知数的次数等于1，列方程求参数可能值（如方程(m一2）xm-1+3=0是一元一次方 程，先令m-1=1,得m=±2)。 2.验系数：排除使含未知数项系数为0的参数值（上例中m=2时，系数m-2=0,舍去，最终m=- 2)。 3.验整式：确保方程是整式方程，排除分母含参数导致不是整式的情况。 例1.(24-25七年级下·吉林长春·期末)已知x-2+3=5是关于x的一元一次方程，则k= 【变式1-1】(24-25七年级上·全国期末)已知(m-1)x-2024=2025是关于x的一元一次方程，则 m= 【变式1-2】(24-25七年级上·全国期末)已知(a-2)x+10=0是关于x的一元一次方程，则a的值 为 【变式1-3】(24-25七年级下·吉林长春阶段练习)若(m-4)xm-+6=0是关于x的一元一次方程，则 m- 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、利用一元一次方程的解求参数 利用一元一次方程的解求参数 一、 核心知识点 方程的解能使等式左右两边相等，因此求参数的核心是将已知解代入原方程，把原方程转化为关于参数 的新一元一次方程，再求解新方程得到参数值，本质是利用“解满足方程”的性质。 二、解题技巧 1.代入解：将己知的解（如x=2)代入含参数的原方程（如2x+k=7,代入得2×2+k=7)。 2.解参数方程：把代入后得到的方程（如4+k=7)当作普通一元一次方程，求解参数（得k=3)。 3.特殊情况处理：若方程有“无数解”（如ax=b中a=0且b=0)或“无解”(a=0且b≠0），需 根据系数关系列等式求参数。 例2.(25-26八年级上·重庆开学考试)若x=2是关于x的方程3x-7=m的解，则m的值为 【变式2-1】(24-25七年级上江苏徐州期末)x=-2是方程3x-m+1=0的解，则m的值是 【变式2-2】(25-26七年级上·全国期末)已知x=1是关于x的一元一次方程ax+b=1的解，则a+b+2025 的值为 【变式2-3】(24-25七年级上·甘肃兰州期末)己知方程ax+b-1=-4的解为x=1.则代数式 (a+b-11-a-b)的值为 类型三、利用一元一次方程的整数解求参数 利用一元一次方程整数解求参数 一、 核心知识点 先将方程化为心=b(a含参数，b为常数或含参数)的形式，根据“解为整数”的要求，得出参数需满 足的整除关系（若x为整数，则b能被α整除，或整理后参数为整数相关表达式），同时结合参数自身限 制条件（如整数、正整数等）求解。 二、解题技巧 1.化简方程：将原方程整理为x=器(m、n含参数)的形式（如(k+1x=6,得x=是）。 2.分析整除性：因x为整数，故n是m的约数（如上例中k+1是6的正负约数：±1、±2、±3、±6） 3.求参数值：根据约数列出方程求参数（如k+1=1得k=0),并检验参数是否使原方程系数不为0。 例3.(24-25七年级上·全国假期作业)关于x的方程2ax+1=2x+7的解是正整数，则满足条件整数a的和 是 【变式3-1】(24-25七年级上重庆西阳·期末)己知关于x的方程kx-1=2(x+1)的解为整数，且k为整数， 则满足条件的所有k值的和为 2/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式32】(24-25七年级上重庆渝北期末)如果关于x的方程21-有整数解，且关于y的多项 5-5Γ-2 式3y3+a2-4)y2+2y+1为三次四项式，则所有符合条件的整数a的和为 【变式33】(2425七年级下重庆阶段练习》已知为整数，关于的方程x-5-:--2的解为非负 3 9 整数.求满足条件的k值的和 类型四、利用一元一次方程同解求参数 利用一元一次方程同解求参数 一、 核心知识点 同解方程指解相同的方程，解题核心是分别求出两个方程的解（或化为含参数的解的表达式），再根据“解 相等”列等式，进而求解参数；若方程含多个参数，需结合等式基本性质分析系数关系。 二、解题技巧 1.求方程解：分别解两个含参数的一元一次方程，化为x=m(m为含参数的表达式)的形式。 2.列等式求解：令两个解相等，列关于参数的新方程（如方程1的解x=2k,方程2的解x=k+3,则 2k=k+3),解出新参数。 3.检验：将参数值代入原方程，验证两方程解是否一致，确保结果正确。 例4.(24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试)关于x的方程4x-1=1与2x-a=0的解相同，则a= 【变式4-1】(24-25六年级下山东泰安期中)若方程3(2x-3=-45-12x的解与关于x的方程 6-2k=2(x+3)的解相同，则k的值为 【变式4-2】(2425七年级上四川达州期末)关于x的方程a-,4=0与2x+1=7的解相同，则a的值 3 是 【变式4-3】2425七年级上重庆期末)已知关于y的方程”，2 3 +m=1与y-m=4的解相同，则 类型五、一元一次方程含字母参数的新定义型问题 含字母参数的一元一次方程新定义型问题 一、 核心知识点 新定义型问题需先理解题目给出的新规则（如自定义运算“⊕”“※”、新方程类型），再结合一元一次方 程定义（未知数次数为1、系数不为0）和等式性质，将新定义转化为常规一元一次方程，进而求解参 数或方程的解。 二、解题技巧 3/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.解读定义：明确新定义的运算规则或方程条件（如定义“a※b=+b”,则“3※2=0”即3x+2 0)。 2.转化方程：根据新定义列出含参数的一元一次方程，确保符合“一次”“整式”“系数非0”条件。 3.求解验证：按常规步骤解转化后的方程，结合参数限制（如整数、正数）确定结果，代入新定义检验 是否符合题意。 例5.(24-25七年级下·河南南阳·期中)【定义】若关于x的一元一次方程ax=b的解满足x=b+a,则称该 方程为“友好方程”.例如：方程2x=-4的解为x=-2,而-2=-4+2，则方程2x=-4为“友好方程”. 【运用】 9 ()在①3x=一之，②x=-1两个方程中，为友好方程”的是 (填序号) (2)若关于x的一元一次方程4x=b是“友好方程”，求b的值. 【变式5-1】(23-24七年级上·贵州六盘水·期末)对于任意有理数a、b、c、d,定义新运算： 6 b =ad-bc c d 52 0)求43的值： (2)若 3y y =3,求y的值. 6y2y+1 【变式5-2】(24-25七年级上·全国期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方 程为和谐方程”.例如：方程2x-7=3和x+3=0为“和谐方程” (1)方程3x-(x+5)=1与方程y-2y=1是“和谐方程”吗？请说明理由； ②若关于x的方程3x-4=+6与方程+m=0是和谐方程，求m的值： 【变式5-3】(24-25七年级上·湖南长沙阶段练习)定义：若关于x的一个方程为x=a(a为常数)，关于y 的一个方程的解为y=b(b为常数)，且a,b满足a-b=m(m为正数)，则称这两个方程是“m差解友好 方程”， 例如：方程2x+1=5的解是x=2,方程y-1=0的解是y=1,因为2-1=1，所以方程2x+1=5与方程 y-1=0是“1差解友好方程”. (1)请通过计算判断关于x的方程3x-2=4与关于y的方程2y=3y+2是不是“4差解友好方程”； 2如果关于x的方程x-x+3张=2k-1与关于y的方程y-3y-1=2(k为常数)是1差解友好方程，求 2 k的值； (3)关于x,y的两个方程3x+1=2t-1与方程2y-m=n(t,n为常数)，若对于任何有理数t,都使得它们 4/7 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是“2差解友好方程”，求n的值. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下·黑龙江佳木斯期末)若关于x的方程3x+a=10的解为x=2,则a的值为() A.4 B.3 C.2 D.1 2.(24-25七年级上·广西贺州期中)已知方程2x+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值是() A.1 B.-1 C.1 D.2 3.（2425七年级上全国随堂练习》王酒同学在解关于x的方程x+3-时，误将之看作”得 2 2 到方程的解为x=号，那么原方程的解为《） A.x=2 B.x=3 C.x=-3 D.x=1 4.(2425七年级上河南濮阳阶段练习)已知关于x的方程x-2-瓜-：-2有整数解，则的所有可能的 63 取值的和为() A.-18 B.-23 C.-32 D.-39 5.(24-25六年级下山东淄博·阶段练习)下列结论： ①若x=1是关于x的方程a+bx+c=0的一个解，则a+b+c=0; ②若a(x-l)=b(x-1)有唯一的解，则a≠b; ③若=2，则关于x的方程a+h=0a20)的解为x= ④若-a+b+c=1,且a≠0，则x=-1一定是方程ax+b+c=1的解； 其中结论正确个数有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 6.(24-25七年级下.黑龙江佳木斯阶段练习)若x=3是方程2x+a=10的解，则a=」 7.(2425八年级上重庆万州开学考试)小玉在解方程1牛0-1去分母时，方程右边的-1”项没有 32 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 乘6.因而求得的解是x=10,则a=一 8.(2024七年级下福建泉州竞赛)若关于x的方程2+m=-k+2,无论k为任何数时，它的解总是 3 6 x=1,则m-n= 9.(24-25七年级下·四川巴中开学考试)k是一个正整数，关于x的一元一次方程2kx-9=(k+2)x有正整 数解，则k= 10.(24-25六年级下·山东青岛阶段练习)若方程(m+1)xm+2=0是关于x的一元一次方程，则代数式 m2024-1-m的值是一· 三、解答题 11.(23-24七年级下·福建泉州期中)关于x的方程(m+2)x1-3=9是一元一次方程，求m的值。 12.(24-25七年级上·吉林期中)已知关于x的方程4x-3a+1=6x+2a-1的解与5x-3=4x-10的解互 为相反数。 (1)求a的值； (2)求代数式a-a3的值， 级上湖南张家界期末)D已知x=4是方程2x一mx+m的 (2)方程21-x)=x-1的解与方程二m=2x+m的解相同，求m的值. 3 14.(24-25七年级上全国·期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳 光方程”.例如：2x=2的解为x=1,x+1=1的解为x=0,所以这两个方程互为“阳光方程”. (1)若关于x的一元一次方程x+2m=0与3x-2=-x是“阳光方程”，求m的值： (②)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程的解的差为5.若其中一个方程的解为 x=k,求k的值. 15.(24-25七年级上·全国·期末)【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方 法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二 次多项式的常数项作为一次多项式的常数项. 例如：A=x2+2x-3,A经过处理器得到B=(1+2)x-3=3x-3. 【应用】若关于x的二次多项式A经过处理器得到B,根据以上方法，解决下列问题： 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)填空：若A=3x2-2x+5,则B=- (2)若A=4x2-5(2x-3),求关于x的方程B=9的解： 【延伸】 (3)已知M=(m+3)x2-x+7,M是关于x的二次多项式，若N是M经过上述处理器得到的整式. ①若满足N=4x+7,且x≠0，求m的值. ②若满足N=x+2m+14的解x是整数，求整数m的值. 7/7