专题03 等比数列（13种常考题型）（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题03 等比数列（13种常考题型） 题型一：等比数列的概念及辨析 题型二：等比中项及其应用 题型三：等比数列通项公式及其应用 题型四：等比数列性质的应用 题型五：等比数列单调性的判断及其应用 题型六：求等比数列中的最大（小）项 题型七：等比数列的判定与证明 题型八：等比数列前n项和的基本量计算 题型九：等比数列前n项和与关系 题型十：等比数列片段和性质及前n项和其他性质 题型十一：等比数列的奇数项与偶数项和 题型十二：等比数列的实际应用 题型十三：等比数列的综合应用 题型一：等比数列的概念及辨析 1.已知数列满足且，则（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由条件得数列为等比数列，利用等比数列的通项公式列方程求解. 【解析】因为数列满足，所以数列是公比为2的等比数列， 因为，则，解得. 故选：A. 2.（多选）下列数列是等比数列的是（  ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 【答案】ABC 【分析】根据等比数列的定义对四个选项一一判断，得到答案. 【解析】A选项，数列为公比为1的等比数列，A正确； B选项，数列为公比为2的等比数列，B正确； C选项，数列为公比为的等比数列，C正确； D选项，，不是等比数列，D错误. 故选：ABC 3.若数列满足，，则（  ） A．704 B． C．88 D．66 【答案】C 【分析】化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案. 【解析】由可知， 两边平方得， 而，所以数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：C 4.（多选）已知数列是等比数列，则（  ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 【答案】AB 【分析】根据题意，设的公比为q，则 ，由等比数列的定义依次判断AB；举反例判断CD. 【解析】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则 对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 5.（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（  ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】 根据递推关系可得为等比数列，进而可判断ACB，根据等差数列求和公式即可判断D. 【解析】由可得，所以数列为等比数列，且公比为2，故A错误，C正确， ，由于均为单调递增的数列，且各项均为正数，所以为递增数列，B正确， ，设的前项和为，则，D正确， 故选：BCD 题型二：等比中项及其应用 6.已知实数，，，，成等比数列，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质分析求解，注意各值的符号判断. 【解析】因为实数，，，，成等比数列， 由等比数列的性质可得，解得，或， 又因为，即，可得， 所以. 故选：A. 7.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A．211 B．210 C．11 D．9 【答案】C 【分析】设出等比数列的公比，利用等式求得，根据等比中项，可得答案. 【解析】设等比数列的公比为，由，得，即， 故. 故选：C. 8.已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先验证甲是否能推出乙，再验证乙是否能推出甲求解. 【解析】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列， 甲可构造数列， 显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲， 因为数列是等比数列，所以，， 所以， 所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B. 9若若依次成等差数列，依次成等比数列，则_________ 【答案】或3 【分析】根据等比中项和等差数列的性质，可分别求得的值，进而得到答案. 【解析】由于成等差数列，所以， 依次成等比数列，所以，则或 当时，， 当时，. 故答案为：或3 10.已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一设，，得到的表达式，再结合基本不等式求解；解法二由等比中项的性质结合一元二次方程根与系数的关系由判别式求解. 【解析】解法一:设，，则由，可得． 当时，；当时，，于是或． 又∵，∴或，故． 解法二:由a，b，c成等比数列，知，又．∴且， 从而a、c可视为关于x的方程的两个实根． 令，解得． 又，故． 故答案为： 题型三：等比数列通项公式及其应用 11.已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】B 【分析】根据列出公比的等式，求解方程后再确认是否满足即可． 【解析】因为公比，所以，化简得，解得或， 当时，， 当时，， 又，则． 故选：B． 12.已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式和等比中项的应用，结合题意建立方程组，解之即可求解. 【解析】设递增的等比数列的首项为，公比为， 由前3项的和为13，得， 由前3项的积为27，得，即，则， 代入，得， 即，解得或， 因为为递增的等比数列，所以，则. 故选：A. 13.已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据条件列公差方程，解得结果， 即可. 【解析】依题意，即，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，则． 故答案为： 14.在等比数列中，，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的基本量计算求解得出公比. 【解析】依题意得， 两式相除得，所以， 即. 利用试根法分解因式得，解得． 故答案为：2. 15.已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】分析数列的单调性，确定时，的值，即可求的最大值. 【解析】因为为等比数列，且，所以， 由. 所以， 所以为的最大值，且. 故答案为：8 16.在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 【答案】 【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解. 【解析】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 题型四：等比数列性质的应用 17.若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】运用等比数列的性质，结合特值法可解. 【解析】若为等比数列，， 则运用等比数列性质知道; 若，则可以为全部为0的常数列，不能说它是等比数列. 故“为等比数列”是“满足”的充分不必要条件. 故选：A. 18.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A． B． C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【解析】正项等比数列中，，解得， 因此， 所以. 故选：D. 19.在等比数列中，，，则（  ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【解析】设等比数列的公比为，则， 即，解得，所以． 故选：C． 20.已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 【答案】2 【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题. 【解析】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数， 所以，解得:或(舍). 故答案为：2 21.已知等比数列满足，则的最小值为__________ 【答案】32 【分析】根据等比数列的性质得到，，然后利用基本不等式即可得到结论． 【解析】由，得，解得， ， 当且仅当时等号成立. 故答案为：32. 题型五：等比数列单调性的判断及其应用 22.数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由，可得，可得数列为递增数列；举反例说明反之不成立，根据充分不必要条件的定义即可得答案. 【解析】设数列的公比为q（）， ， ，可得， 于是数列为递增数列； 反之不成立，例如数列是递增数列，但． “”是“数列为递增数列”的充分不必要条件． 故选：A． 23.若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由等比数列性质，结合充分必要条件的判断，即可求解. 【解析】因为正项数列是等比数列，所以， 当时，，解得， 所以数列为递增数列，满足充分性； 当数列为递增数列时，，满足必要性， 所以“”是“数列为递增数列”的充要条件. 故选：C. 24.已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（  ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【解析】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 25.已知数列满足单调递增，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过得到数列为等比数列，求出其通项公式，再根据单调递增列不等式求解. 【解析】由得， 又单调递增，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，又单调递增， 所以对任意正整数恒成立， 所以，得， 故选：D. 26.（多选）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（  ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】ABD 【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故. 【解析】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：ABD． 27.数列中，，（） （1）设，求证：是等比数列； （2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或. 【分析】（1）利用等比数列定义判别；（2）利用等比数列的单调性与判断单调性的方法求解即可. 【解析】（1）由，得，即， 整理得：，又， 所以，即， 又，故是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1） ，设， 则， 当，2时，； 当时，，即， 又，，，，， 故，，当时，，， 综上，当或时，取得最大值． 28.已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，，；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）利用等比数列基本量计算求解；（2）利用数列的单调性与判断单调性的方法求解即可；（3）对n分奇偶讨论求解。 【解析】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 题型六：求等比数列中的最大（小）项 29.已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【解析】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 30.（多选）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（  ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 【答案】ABC 【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【解析】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：ABC. 31.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 【答案】6或7 【分析】首先求数列的通项公式，再根据数列的单调性，由前项积最大时满足的不等式，即可列式求解. 【解析】由题意可知，，数列单调递减，若最大时， 即，解得：， 所以或7. 故答案为：或. 32.已知数列满足，且，则 ；若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】可得是等比数列，即可求出通项公式，再作差判断出数列的单调性，即可求出最小值. 【解析】， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， （）， 令（）， 可得在递增，且，， 时，，递减，当时，，递增， ，时，取得最小值为. 故答案为：；. 33.数列满足，． (1)若，且数列为等比数列，求p的值； (2)若，且为数列的最小项，求q的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由条件得出关于的方程组，由等比数列的定义得到公比，代入即可求出p的值. （2）利用累加法求出通项公式，由题意得出不等式组，从而求出q的取值范围. 【解析】（1）当时，则， ∵数列为等比数列，∴令， ∴，又∵， ∴，∴， ∴. （2）当时，， 由累加法可得：， 即， 即， 即， 由题意可知，即， ∴，即. 34.已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）通过等比数列的基本量列方程求解，求数列的通项公式. （2）通过仿写，两方程作差，求出的通项公式，然后通过作差判断其单调性，求出数列的最大项的值. 【解析】（1）设等比数列的公比为q， 则由题 ， 故数列的通项公式为. （2）令有， 当时有： ①， ②， 由①②得， ， 又满足上式，， ， 时，，时， 的最大项为 题型七：等比数列的判定与证明 35.设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】取，可判断；取 ，可判断；利用等比数列的定义可判断，. 【解析】对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但对任意的，，故数列不是等比数列； 对于，不妨取，则数列、都是等比数列， 但当时，，故数列不是等比数列； 设等比数列、的公比分别为，其中， 对任意的，， 对于，，即数列为等比数列； 对于，，故为等比数列， 故，一定是等比数列. 故选：B. 36.设数列满足，且，则（  ） A．{}为等比数列 B．{}为等比数列 C．{}为等比数列 D．{}为等比数列 【答案】A 【分析】由，化简得的，结合等比数列的定义，即可求解. 【解析】由，可得，所以， 又由，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列. 故选：A. 37.（多选）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 【答案】BCD 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【解析】对A、B：由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 38.已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】变形为，再利用等比数列的定义可得答案. 【解析】因为，，所以，， 所以，而，且， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， . 故答案为：. 39.已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 【答案】(1)；(2)证明见解析； 【分析】（1）已知的值，代入递推公式得出，再代入递推公式即可得到的值. （2）由两式消元得到，将变为得到等式，代入①式消元得到，构造出数列，得到等式，即可证明数列是等比数列，由等比数列的通项公式得出. 【解析】（1）当时，， 当时，， （2）∵， ∴得到，∴， 又满足上式，∴， 则代入①得：， 则 ∴，且， ∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴. 题型八：等比数列前n项和的基本量计算 40.已知等比数列的前项和为，若，则公比（  ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【解析】由题知，所以. 故选：C. 41.记为等比数列的前项和，若，则（  ） A． B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】先判断，再运用等比数列求和公式化简方程，求得，利用等比数列通项公式化简所求式即得. 【解析】设等比数列的公比为，若，则，故， 则由可得：， 因，可将其化简为：，即， 解得（舍去）或.则. 故选：B. 42.已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求a1，q，进而可求通项公式，当1≤n≤5时，an＜1，当n≥6，an＞1，从而可求答案． 【解析】由题意可得，，或 是正项等比数列 当时，当时， 则的最小值为 故选：D 43.（多选）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意得到，从而得到数列和数列为等比数列求解. 【解析】解：由题意可得：， 即，且， 所以数列是以首项，公比的等比数列，则， 可得， 当时，，且满足上式， 故， 可得，即数列是以首项，公比的等比数列， 可得， 综上可得：，，，. 故B、C正确，A、D错误. 故选：BC. 44.(多选)已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（  ） A． B． C． D．不是等比数列 【答案】AC 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【解析】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 45.设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 【答案】4 【分析】根据条件建立方程，从而得，即可求解. 【解析】因为，则①，②， 将①代入②，得到，解得或（舍） 故答案为：4. 46.已知正项数列满足， (1)若是等比数列，求的通项公式 (2)若，求数列的前2n项的和 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求得，进而求出通项公式； （2）由题目递推式得，则有，因此数列是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可． 【解析】（1）因为数列是等比数列，设公比为， 所以， 所以，所以； （2）因为，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 则． 题型九：等比数列前n项和与关系 47.（多选）记为数列的前项和.若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【解析】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 48.已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系式计算即可； （2）运用裂项相消计算即可； （3）找出符合条件的，即可. 【解析】（1）当时，，解得. 当时，， 所以，即， 而，故，故，， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）可得， 所以 所以. （3）∵，，，， 则， 所以结论成立 49.已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用之间的关系，求得的关系，根据等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）中所求，求得，对进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【解析】（1）数列的前n项和，， 则当时，，即， 当时，，解得， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，，， 当n为偶数时，， 于是得， 当n为奇数时，， 所以. 50.已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)，理由见解析. 【分析】(1)由前项和为与通项的关系，得出的递推公式，即可证明结论； (2)由(1)和等比数列的通项公式即可求出； (3)由(2)求出，通过研究的单调性，即可求解. 【解析】（1）当时，， 当时，， 整理得， ， 是以-15为首项，为公比的等比数列； （2）由(1)知，是以-15为首项，为公比的等比数列， 得，所以， （3）由(2)得， ， 当时，， 故， 当时，， 所以当时，，同理当时，； 故时，取得最小值，即为最小值. 题型十：等比数列片段和性质及前n项和其他性质 51.在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【解析】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 52.记等比数列的前项和为，若，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式的形式，可以得到。从而得到，当时，得. 【解析】显然，等比数列前项和公式为， 因为为等比数列的前项和，所以， 所以 所以. 故选：C. 53.若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【解析】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 54.已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质，将分别用表示，代入即可求解. 【解析】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以 . 故选：B. 55.在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】求出数列的前n项和，按奇偶探讨的单调性求出最大与最小值即可得解. 【解析】由，，得，而，则数列是等比数列， 于是，当为奇数时，，， 当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为， 所以的最大值与最小值的差为. 故选：C. 56.设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（  ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【答案】B 【分析】设无穷等比数列的公比为，根据已知可得，得数列是摆动数列可判断C；由，；得数列的最小项、最大项可判断ABD． 【解析】设无穷等比数列的公比为，因为， 即，又，所以， 因为， 所以当时，数列是摆动数列，故单调性不确定，故C错误； 又，所以；， 此时数列的最小项为，最大项为，故B正确，AD错误． 故选：B. 57.已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 【答案】D 【分析】根据等比数列前项和的性质，求出的值，进而求出结果. 【解析】由是等比数列的前项和，由题易知均不为， 且是等比数列， 因为，所以，可得， 所以， 则，解得，则. 故选：D. 58.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【答案】ABD 【分析】先根据题意可确定，根据可判断A；根据等比数列的性质结合可判断B；根据数列是递减数列，且，判断C；再根据的公式，结合，，判断D即可. 【解析】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：ABD． 60.设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】60 【分析】由等比数列前项和的性质构成等比数列，建立等式求解可得. 【解析】由题意， 因为成等比数列， 故， 即，解得， 则， 所以，. 所以. 故答案为：. 题型十一：等比数列的奇数项与偶数项和 61.已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【解析】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 62.已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（  ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【解析】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 63.已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用，在由奇数项和比偶数项和小，求得，即可求解. 【解析】由题意，可得， 因为奇数项和比偶数项和小，可得，即， 解得，所以． 故答案为：． 64.等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ ，又令该数列的前n项的积为，则的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】先设共有项，由题意写出奇数项之和以及偶数项之和，根据等比数列性质列出方程得到其公比，写出该数列的前n项的积的表达式，结合二次函数单调性即可求解的最大值. 【解析】设共有项，由题意奇数项之和，偶数项之和， 又因为，故. 所以，显然时函数递减，所以，有最大值2. 故答案为:;2 题型十二：等比数列的实际应用 65.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每关收税金，由5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值. 【解析】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 66.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（  ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 【答案】C 【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解. 【解析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列， 依题意，当时，，即， 因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即， 则， 所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元. 故选：C. 67.在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 【答案】(1)约万元 (2)11年 【分析】（1）利用乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%，即可求出他在第5年的年薪； （2）求出小李在甲公司工作连续工作n年的工资总收入，小李在乙公司工作10年的总收入，建立不等式，即可得出结论． 【解析】（1）小李在乙公司工作第年的年薪为, 小李在乙公司连续工作年，万元， 所以，小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是万元； （2）由题意，小李在甲公司工作连续工作年的工资总收入为， 小李在乙公司工作10年的总收入， 则， 即, ，， 小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入. 68.我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【答案】(1)；(2)6年 【分析】（1）根据已知条件直接列式计算即可求解； （2）构造等比数列得到，结合题意列出不等式即可求解. 【解析】（1）由题意得 ， 所以． （2）由（1）得， ． 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 即． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 题型十三：等比数列的综合应用 69.已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式求出，，由题意可得恒成立，运用基本不等式求解即可. 【解析】设等比数列的公比为，则，即，解得， 所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，即恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故选：. 70.已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】由表示数列的前3项，根据等比数列得出，进一步计算得出，再代入已知不等式，求解的取值范围得出结果. 【解析】已知， 当时，，则； 当时，，则； 因为数列是等比数列，所以，即， 整理得，解得，，公比， 所以. 由不等式得 ， 即，整理得，又， 所以，即，. 所以正整数的最大值为11. 故选：C. 71.设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为_____________ 【答案】 【分析】由求得，再通过错位相减法得到，将不等式转化成，求出函数的最小值即可. 【解析】由， 可得：， 当时，符合， 所以， 所以， 两边同乘以，得 两式相减，得， 所以． 则由可得 即，对任意的恒成立， 令， 则，且， 当时，， 当，时，， 所以的最小值为， 所以. 故答案为： 72.已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用之间的关系，求得的关系，根据等比数列的定义，即可证明； （2）根据（1）中所求，求得，对进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【解析】（1）数列的前n项和，， 则当时，，即， 当时，，解得， 所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，，， 当n为偶数时，， 于是得， 当n为奇数时，， 所以. 73.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）由递推关系得，结合等比数列定义证明； （2）由等差数列前n项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n项和公式，再应用作差法比较大小即可； （3）应用错位相减、等比数列前n项和求结果. 【解析】（1）由题设，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，得证. （2）令数列的公差为，而， 所以，又， 则 恒成立， 所以，得证. （3）由上知，则， 则，即， 所以，即. 74.已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由已知及等比数列的性质求公比和首项，进而写出等比数列通项公式； （2）讨论n的奇偶性，结合数列通项公式及等差数列前n项和公式求； （3）等比数列前n项和得，且能成立，讨论n的奇偶性，结合的单调性求参数范围. 【解析】（1）设等比数列的公比为q，则， 由，解得， 所以. （2）由（1），得，则， 当n为偶数时，令，则， 当n为奇数时，. 所以. （3）由（1），知， 存在正整数n，使得成立. 当n为偶数时，，， 由，得. 因为单调递增，所以的最小值为， 因为单调递减，所以的最大值为， 所以. 当n为奇数时，，， 由，得. 因为单调递减，所以的最大值为， 因为单调递增，所以的最小值为， 所以. 综上，m的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等比数列（13种常考题型） 题型一：等比数列的概念及辨析 题型二：等比中项及其应用 题型三：等比数列通项公式及其应用 题型四：等比数列性质的应用 题型五：等比数列单调性的判断及其应用 题型六：求等比数列中的最大（小）项 题型七：等比数列的判定与证明 题型八：等比数列前n项和的基本量计算 题型九：等比数列前n项和与关系 题型十：等比数列片段和性质及前n项和其他性质 题型十一：等比数列的奇数项与偶数项和 题型十二：等比数列的实际应用 题型十三：等比数列的综合应用 题型一：等比数列的概念及辨析 1.已知数列满足且，则（  ） A． B． C． D．1 2.（多选）下列数列是等比数列的是（  ） A．1，1，1，1，1 B．1，2，4，8，16 C．，，，， D．，，，0，1 3.若数列满足，，则（  ） A．704 B． C．88 D．66 4.（多选）已知数列是等比数列，则（  ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是等比数列 5.（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（  ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．为等比数列 D．的前项和 题型二：等比中项及其应用 6.已知实数，，，，成等比数列，则（  ） A． B． C． D． 7.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A．211 B．210 C．11 D．9 8.已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9若若依次成等差数列，依次成等比数列，则_________ 10.已知三个实数成等比数列，且(为正常数)，则b的取值范围是 ． 题型三：等比数列通项公式及其应用 11.已知等比数列的首项，且满足，，则公比q为（  ） A． B．2 C．或2 D．3 12.已知递增的等比数列中，前3项的和为13，前3项的积为27，则的值为（  ） A．1 B．3 C．5 D．7 13.已知数列的首项，若数列为等差数列，且其公差为，则数列的通项公式为 ． 14.在等比数列中，，且，则公比 ． 15.已知等比数列的前n项的积为，即，又已知，则的最大值为 ． 16.在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 题型四：等比数列性质的应用 17.若是无穷数列，则“为等比数列”是“满足”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18.设各项均为正数的等比数列满足，则等于（  ） A． B． C．14 D．15 19.在等比数列中，，，则（  ） A． B． C．32 D．64 20.已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 21.已知等比数列满足，则的最小值为__________ 题型五：等比数列单调性的判断及其应用 22.数列是各项均为实数的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23.若正项数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24.已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（  ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 25.已知数列满足单调递增，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 26.（多选）等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法正确的是（  ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 27.数列中，，（） （1）设，求证：是等比数列； （2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值． 28.已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 题型六：求等比数列中的最大（小）项 29.已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 30.（多选）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（  ） A．数列的最大项为 B．数列的最小项为 C．数列为严格递增数列 D．数列为严格递增数列 31.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 . 32.已知数列满足，且，则 ；若，，则的最小值为 . 33.数列满足，． (1)若，且数列为等比数列，求p的值； (2)若，且为数列的最小项，求q的取值范围． 34.已知等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：对任意正整数n，均成立，求数列的最大项的值. 题型七：等比数列的判定与证明 35.设数列，都是等比数列，则在4个数列，，，中，一定是等比数列的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36.设数列满足，且，则（  ） A．{}为等比数列 B．{}为等比数列 C．{}为等比数列 D．{}为等比数列 37.（多选）已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．数列的通项公式为 D． 38.已知数列满足，若，则数列的通项公式为 . 39.已知数列满足且. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求. 题型八：等比数列前n项和的基本量计算 40.已知等比数列的前项和为，若，则公比（  ） A． B．2 C． D． 41.记为等比数列的前项和，若，则（  ） A． B． C．1或 D．或 42.已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 43.（多选）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 44.(多选)已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（  ） A． B． C． D．不是等比数列 45.设正项等比数列的前项和为，，则的公比 . 46.已知正项数列满足， (1)若是等比数列，求的通项公式 (2)若，求数列的前2n项的和 题型九：等比数列前n项和与关系 47.（多选）记为数列的前项和.若，则（  ） A． B． C． D． 48.已知数列的前n项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)证明：对于中任意项，在中都存在两项，，使得. 49.已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 50.已知数列的前项和为，且 (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式 (3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由． 题型十：等比数列片段和性质及前n项和其他性质 51.在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（  ） A．10 B．20 C．30 D．40 52.记等比数列的前项和为，若，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 53.若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（  ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 54.已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B．8 C．9 D．16 55.在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D．无法确定 56.设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（  ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 57.已知是等比数列的前项和，，，则（   ） A．14 B．28 C．35 D．49 58.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 60.设是等比数列的前项和，若，则 . 题型十一：等比数列的奇数项与偶数项和 61.已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 62.已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（  ） A． B．2 C． D． 63.已知等比数列中共有项，公比，且其奇数项和比偶数项和小20，则 ． 64.等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ ，又令该数列的前n项的积为，则的最大值为 ． 题型十二：等比数列的实际应用 65.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（  ） A． B． C． D． 66.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（  ） （参考数据：） A．964万元 B．2980万元 C．3940万元 D．5170万元 67.在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加. （参考数据：） (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？ (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？ 68.我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 题型十三：等比数列的综合应用 69.已知等比数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 70.已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（  ） A．9 B．10 C．11 D．12 71.设数列的前项和为，且，记，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则m的取值范围为_____________ 72.已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 73.已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)证明：； (3)若，求数列的前n项和． 74.已知等比数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前n项和； (3)若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $