专题02 等差数列（14种常考题型）（高效培优专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题02 等差数列（14种常考题型） 题型一：等差数列的概念及辨析 题型二：等差中项及其应用 题型三：等差数列通项公式及其应用 题型四：等差数列性质的应用 题型五：等差数列单调性的判断及其应用 题型六：求等差数列中的最大（小）项 题型七：等差数列的判定与证明 题型八：等差数列前n项和的基本量计算 题型九：等差数列前n项和的最值及其应用 题型十：等差数列片段和性质及前n项和其他性质 题型十一 含绝对值的等差数列前n项和 题型十二：等差数列的奇数项与偶数项和 题型十三：等差数列的实际应用 题型十四：等差数列的综合应用 题型一：等差数列的概念及辨析 1.给出下列命题： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列是公差为的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； ④数列是等差数列. 其中正确命题的序号是（  ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 2.下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 3.已知等差数列，则使数列一定为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 4.若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.数学家杨辉在其专著《解析九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（  ） A．15 B．101 C．21 D．19 6.（多选）已知数列的前项和为，满足，则（  ） A．存在，满足 B． C．构成公差为4的等差数列 D． 题型二：等差中项及其应用 7.若数列是等差数列，且，则（  ） A．22 B．32 C．20 D．10 8.已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（  ） A．8 B．6 C． D．3 9.已知等差数列，，，则（  ） A． B．3 C．4 D． 10.数列满足，，且，则等于_________ 题型三：等差数列通项公式及其应用 11.等差数列满足，，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 12.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（  ） A．-17 B．-15 C．17 D．15 13.已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（  ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 14.已知各项均为正数的数列中，，，则（  ） A．400 B．600 C．800 D．1000 15.(多选)已知在等差数列中，，则（  ） A． B． C． D． 16.(多选)设d为等差数列的公差，若，，，则（  ） A． B． C． D． 17.设数列的前项之积为，满足，则___________ 18.已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 题型四：等差数列性质的应用 19.已知等差数列满足，则等于（  ） A． B． C． D． 20.已知是等差数列，且，则的值是（  ） A．24 B．27 C．30 D．33 21.若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（  ） A． B． C． D．3 22.在等差数列中，，则 . 题型五：等差数列单调性的判断及其应用 23.已知等差数列，则“单调递增”是“”的（  ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 24.（多选）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 25.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是_________ 26.已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 题型六：求等差数列中的最大（小）项 27.已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 28.在等差数列中，记，则数列（  ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 29.已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 30.中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 31.等差数列中，，，给出下列命题：①；②；③是各项中最大的项；④是中最大的值；⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 题型七：等差数列的判定与证明 32.已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 33.已知数列满足 ，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34.已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 35.在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型八：等差数列前n项和的基本量计算 36.设等差数列的公差为，若，，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 37.等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A．2 B．1 C．-1 D．-2 38.已知等差数列满足，，则的前项的和为（  ） A． B． C． D． 39.等差数列 的前n项和为 ，公差不为 0，若 ，则（  ） A．   B．   C． D． 40.(多选)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（  ） A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里 41.已知等差数列的前项和为，若，，，则（  ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 42.等差数列的前n项和为，，则___________ 43.设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 题型九：等差数列前n项和的最值及其应用 44.数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（  ） A．23 B．24 C．25 D．26 45.记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 46.等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 47.设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（  ） A．14 B．13 C．11 D．7 48.（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 49.（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（  ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 50.已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 题型十：等差数列片段和性质及前n项和其他性质 51.在等差数列中，若，，则（  ）. A．110 B．120 C．130 D．140 52.已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 53.已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 54.若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 55.等差数列，的前项和分别为，，且，则_____________ 题型11 含绝对值的等差数列前n项和 56.在等差数列中，，，设，则（  ） A．281 B．651 C．701 D．791 57.在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 58.在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 题型十二 ：等差数列的奇数项与偶数项和 59.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（  ） A．15 B．17 C．19 D．21 60.（多选）已知数列的前项和满足，，则（  ） A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等差数列 C． D． 61.已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 62.已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 63.已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 题型十三：等差数列的实际应用 64.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（  ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 65.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（  ） A．27 B．31 C．35 D．39 66.2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 题型十四：等差数列的综合应用 67.（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 68.（多选）数列满足，则下列说法正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 69.设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 70.已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 71.已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等差数列（14种常考题型） 题型一：等差数列的概念及辨析 题型二：等差中项及其应用 题型三：等差数列通项公式及其应用 题型四：等差数列性质的应用 题型五：等差数列单调性的判断及其应用 题型六：求等差数列中的最大（小）项 题型七：等差数列的判定与证明 题型八：等差数列前n项和的基本量计算 题型九：等差数列前n项和的最值及其应用 题型十：等差数列片段和性质及前n项和其他性质 题型十一 含绝对值的等差数列前n项和 题型十二：等差数列的奇数项与偶数项和 题型十三：等差数列的实际应用 题型十四：等差数列的综合应用 题型一：等差数列的概念及辨析 1.给出下列命题： ①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； ②数列是公差为的等差数列； ③等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)； ④数列是等差数列. 其中正确命题的序号是（  ） A．①② B．①③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】对于①，②，④利用等差数列的定义判断，对于③，对等差数的通项公式化简即可判断 【解析】解：根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，①错误； 对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以②正确； 对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以③正确； 对于④，因为，所以数列是等差数列.，所以④， 故选：C 2.下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【解析】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D， 3.已知等差数列，则使数列一定为等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，结合特例法逐一判断即可. 【解析】∵数列{an}是等差数列， ∴设an＋1－an＝d(常数)． 对于A：bn＋1－bn＝an－an＋1＝－d，所以该选项符合题意， 设等差数列为. 显然不是等差数列，选项B不符合题意； 因为没有算术平方根，故选项C也不符合题意；因为没有倒数，选项D也不符合题意， 故选：A. 4.若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两者的之间的推出关系可判断条件关系. 【解析】若是等差数列，则成等差数列，故成立， 取，则， 而即为，因为， 故它们不成等差数列，故推不出是等差数列， 故“是等差数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5.数学家杨辉在其专著《解析九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（  ） A．15 B．101 C．21 D．19 【答案】C 【分析】由数列的前几项可得数列的通项公式，进而得到结果. 【解析】因为数列的前几项为， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，则. 故选：C 6.（多选）已知数列的前项和为，满足，则（  ） A．存在，满足 B． C．构成公差为4的等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的递推公式，结合赋值法逐项分析判断. 【解析】数列中，， 对于A，，则，有， 即存在，满足，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则， ，构成公差为4的等差数列，C正确； 对于D，，，则，D正确. 故选：ACD 题型二：等差中项及其应用 7.若数列是等差数列，且，则（  ） A．22 B．32 C．20 D．10 【答案】A 【分析】利用等差中项列式求解即可. 【解析】数列是等差数列，则是和的等差中项，有. 故选：A. 8.已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（  ） A．8 B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】利用等差中项的定义即求. 【解析】∵，， ∴， ∴， ∴和的等差中项是． 故选：D. 9.已知等差数列，，，则（  ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】等差中项的性质可转化可求解 【解析】为等差数列，， 故选：A 10.数列满足，，且，则等于_________ 【答案】 【分析】由等差中项可知数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可求解. 【解析】由，可知：数列是等差数列， 首项为，公差为：. ∴， ∴. 故答案为： 题型三：等差数列通项公式及其应用 11.等差数列满足，，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，先根据条件列方程求出和，再利用等差数列的通项公式求即可. 【解析】设等差数列的公差为， 由已知可得， 解得， 所以. 故选：C. 12.已知数列，都是等差数列，，，且，则的值为（  ） A．-17 B．-15 C．17 D．15 【答案】D 【分析】结合等差数列的通项公式可求得，进而可求出结果. 【解析】因为数列，都是等差数列，设数列，的公差分别为， 又，，且，则， 即，所以， 故选：D. 13.已知等差数列的首项，公差，在的每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，当时，（  ） A．4042 B．4050 C．4056 D．4058 【答案】B 【分析】得到的值，由的每相邻两项之间都插入个数后构成新的等差数列得到的首项和公差，由此得到的通项公式，进而得到. 【解析】，所以． 当时，，所以等差数列的公差为， 故，则． 故选：B. 14.已知各项均为正数的数列中，，，则（  ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】根据等差数列的定义和通项公式求解即可. 【解析】因为数列各项均为正数，且，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，， 故选：C 15.(多选)已知在等差数列中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等差数列的通项公式和已知条件可知，然后根据， 便可求得答案. 【解析】由题意设等差数列的公差为d， 则 即，所以 故选：BC. 16.(多选)设d为等差数列的公差，若，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由求得公差d的范围，由通项公式写出各项（用d表示），根据判断各选项正误. 【解析】由得：，则，A正确； ，B正确； ，C正确； ，即，D错误. 故选：ABC 17.设数列的前项之积为，满足，则___________ 【答案】 【分析】当时，可求出，当时，，结合题意可得数列是首项为3，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式可得，可得，从而即可求解. 【解析】当时，，因为，所以，得， 当时，， 可得，即，即， 即，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 18.已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，;(2) 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则答案可求； （2）由恒成立，得对一切恒成立，求出的最小值即可得答案. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，， 得解得 ∴，． （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立． 当时，取得最小值1， ∴，即的取值范围是． 题型四：等差数列性质的应用 19.已知等差数列满足，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【解析】因为，解得. 故选：B. 20.已知是等差数列，且，则的值是（  ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【解析】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 21.若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（  ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义以及性质即可求出． 【解析】因为在等差数列中，，所以，， 即 故选：B. 22.在等差数列中，，则 . 【答案】18 【分析】利用等差数列的性质直接求得. 【解析】在等差数列中，. 因为， 所以. 故答案为：18. 题型五：等差数列单调性的判断及其应用 23.已知等差数列，则“单调递增”是“”的（  ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【解析】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 24.（多选）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（　　） A．公差的取值范围是 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由,,且，可判断A，由等差数列的性质可判断BD，由作差法可判断C. 【解析】解：由题意得,,， 所以，解得，所以，故A错误； 由，故B正确； 由，故，C选项正确； 由等差数列性质，，故D正确. 故选：BCD 25.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【解析】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故答案为： 26.已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，;(2) 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【解析】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 题型六：求等差数列中的最大（小）项 27.已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值. 【解析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差， 故为正整数，关于d单减， ，则当时，故取得最小值为4， 故选：D. 28.在等差数列中，记，则数列（  ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【解析】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 29.已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【解析】由题意， ， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为：. 30.中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【答案】196 【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【解析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 31.等差数列中，，，给出下列命题：①；②；③是各项中最大的项；④是中最大的值；⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果． 【解析】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 题型七：等差数列的判定与证明 32.已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【解析】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 33.已知数列满足 ，其中为常数，则“”是“是等差数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先证明出充分性成立，再证明出必要性成立，得到答案. 【解析】由题意得， 若，则，即， ，即， 由与得， 由与得， 依此类推，可得，故是等差数列，充分性成立， 若是等差数列，不妨设，则， 故，即 因为，所以， 所以，必要性成立， 故“”是“是等差数列”的充要条件. 故选：C. 34.已知正项数列满足，且． (1)判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是，理由见解析;(2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，即可证得数列是等差数列； （2）由（1）可得，结合累加法，求得，即可求解. 【解析】（1）由正项数列满足， 可得，即， 即， 又由，可得， 故数列是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）可得． 所以， 将以上式子累加，可得， 可得，所以． 35.在数列中，已知，且 (1)求，的值； (2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，;(2)存在， 【分析】（1）根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果； （2）先假设数列为等差数列，根据条件得到为常数，从而得到，即可求出结果. 【解析】（1）因为，且， 所以，. （2）假设数列为等差数列， 因为，所以， 当，得到为常数， 故存在实数，使得数列为等差数列，. 题型八：等差数列前n项和的基本量计算 36.设等差数列的公差为，若，，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【解析】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D. 37.等差数列的前项和为，，，则的公差为（） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】根据等差中项化简，再联立方程求解首项和公差. 【解析】为等差数列， ， ， 设的首项为，公差为，则， 解得， 故选：A. 38.已知等差数列满足，，则的前项的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差和首项，由等差数列求和公式可求得结果. 【解析】设等差数列公差为， ，，， 解得：，，解得：， 的前项的和为. 故选：C. 39.等差数列 的前n项和为 ，公差不为 0，若 ，则（  ） A．   B．   C． D． 【答案】C 【分析】根据推得，即，可得，由此利用等差数列的前n项和公式，逐项计算各选项，可得答案. 【解析】设等差数列的首项为 ，公差为 , 由已知得,即， 则 ； 故，A错误； ，B错误； 故，C正确； ，D错误， 故选：C． 40.(多选)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则（  ） A．驽马第七日行九十四里 B．第七日良马先至齐 C．第八日二马相逢 D．二马相逢时良马行一千三百九十五里 【答案】AD 【分析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列，根据题目条件，分别写出两个等差数列的通项公式，对选项逐一分析即可得出结论. 【解析】由题意可知，两马日行里数都成等差数列; 记数列为良马的日行里数，其中首项公差 所以数列的通项公式为 记数列为驽马的日行里数，其中首项公差 所以数列的通项公式为 因此，对于A，驽马第七日行里数为，即驽马第七日行九十四里；故A正确； 第七日良马行走总里程为，而齐去长安一千一百二十五里，因为，所以第七日良马未至齐；所以B错误； 设第日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍， 即， 解得或（舍），即第九日二马相逢；故C错误； 由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了，所以，二马相逢时良马行一千三百九十五里，所以D正确； 故选：AD. 41.已知等差数列的前项和为，若，，，则（  ） A．1004 B．1005 C．1006 D．1007 【答案】C 【分析】由题意解出公差后求解 【解析】∵等差数列的前项和为，， ∴， ∵代入解得， ∵，∴，即， ∴ 故选：C 42.等差数列的前n项和为，，则___________ 【答案】11 【分析】根据等差数列的通项的性质和前项和公式求解. 【解析】因为， 又， 所以， 所以， 故答案为：11 43.设等差数列的前n项和为，若，则的最大值是 【答案】 【分析】根据题意求得及，化简，结合基本不等式，即可求解. 【解析】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是. 故答案为：. 题型九：等差数列前n项和的最值及其应用 44.数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（  ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和的表达式，利用二次函数求最值即可. 【解析】由题意可知：数列是以45为首项，以为公差的等差数列， 所以， 关于的二次函数，开口向下，对称轴， 所以当时，最大，即数列的前项和最大， 故选：. 45.记等差数列的前项和为，且，，则使得最小的的取值为（  ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式与等差数列的下标和性质，得到等差数列中的项的正负情况，从而得解. 【解析】因为等差数列的前项和为，设等差数列为， 由，得，则， 由，得，则， 所以，故， 则数列的前项为负数，从第项开始的项都是正数， 因此当时，最小. 故选：B. 46.等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（  ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前项和公式和一元二次函数求其最值. 【解析】设等差数列的首项为， 因为，且， 所以， 解得， 则 ， 即取最大值为9. 故选：C. 47.设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（  ） A．14 B．13 C．11 D．7 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解. 【解析】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得， ∴，即, 所以n的最大值为13， 故选：B. 48.（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D. 【解析】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABC 49.（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则（  ） A． B．的前n项和中最小 C．使时n的最大值为9 D．数列的前10项和为 【答案】BCD 【分析】根据条件先求解出的通项公式以及前项和；A：代入的通项公式检验即可；B：根据的表达式结合二次函数的性质进行分析判断；C：由条件得到关于的一元二次不等式，由此求解出结果并判断；D：先判断为等差数列，然后利用公式进行求和并判断. 【解析】设等差数列的首项为，公差为， 所以，解得， 所以，， 对于A：，故错误； 对于B：， 由二次函数的性质可知，故正确； 对于C：令，解得，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，故正确； 故选：BCD. 50.已知为等差数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1);(2)， 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据条件列方程组，即可求解； （2）由（1）知，利用等差数列的前项和公式，即可求出，再利用数列是递增数列，且，，得到最小，即可求解. 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为， 所以，解得，， 所以，即的通项公式为. （2）由（1），，所以， 又，所以数列是递增数列， 由知，， 所以的最小值为. 题型十：等差数列片段和性质及前n项和其他性质 51.在等差数列中，若，，则（  ）. A．110 B．120 C．130 D．140 【答案】C 【分析】设公差为d，进而根据题意得，再根据求解即可. 【解析】解：设公差为d，则 ，所以， 所以. 故选：C 52.已知数列是各项及公差都不为0的等差数列，若为数列的前项和，则“成等比数列”是“为常数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等差数列的前项和公式和充分性、必要性的概念求解即可． 【解析】因为数列是公差不为0的等差数列，设其公差为，所以， 若成等比数列，则，解得，此时，为常数，充分性成立； 反之，若为常数列，则，则，得 ，则， 易知，故必要性成立，故“成等比数列”是“为常数列”的充要条件. 故选:C． 53.已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（ ） A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【解析】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列． ，， 则数列的公差，首项为， ，． 故选：B． 54.若等差数列的前m项的和为20，前3m项的和为90，则它的前2m项的和为 . 【答案】50 【分析】利用等差数列片段和性质有为等差数列，应用等差中项的性质求即可. 【解析】由等差数列片段和性质知：为等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为：50 55.等差数列，的前项和分别为，，且，则_____________ 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用等差数列前项和公式，结合等差数列性质计算即得. 【解析】等差数列，的前项和分别为，，由，得， . 故答案为： 题型11 含绝对值的等差数列前n项和 56.在等差数列中，，，设，则（  ） A．281 B．651 C．701 D．791 【答案】C 【分析】根据给定条件,求出等差数列的公差及通项公式,判断正数、负数项,再求出. 【解析】等差数列中,由,得公差, 则, 显然当时,,当时,, 所以 故选：C. 57.在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据条件得到，得到； （2）设，的前项和为，求出，当时，；当时，，从而得到答案. 【解析】（1），故， 又，故， 所以； （2）其中， 设，的前项和为，其中， 故 当时，，故； 当时，， 故， 综上，. 58.在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1)；(2)6；(3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 题型十二 ：等差数列的奇数项与偶数项和 59.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（  ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【解析】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 60.（多选）已知数列的前项和满足，，则（  ） A．数列的奇数项成等差数列 B．数列的偶数项成等差数列 C． D． 【答案】ABC 【分析】令可求出的值，当时，由可得出，两式作差，结合等差数列的定义可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；由可判断D选项. 【解析】因为数列的前项和满足， 则，即，可得， 当时，由可得， 两式作差，有， 又由，可得当时，，则 有， 可得数列的奇数项、偶数项均成等差数列，可知选项AB正确； ， 故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：ABC. 61.已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列奇数项与偶数项之间的关系进行求解即可. 【解析】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 62.已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【解析】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 63.已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1)；(2)；(3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【解析】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． 题型十三：等差数列的实际应用 64.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务．运送“神十八”的长征二号运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，以后每秒钟通过的路程都增加，在达到离地面的高度时，火箭开始进入转弯程序．则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（  ）秒． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】由题意结合等差数列的定义求出通项公式，再由前项和公式计算即可. 【解析】设出每一秒钟的路程为数列， 由题意可知为等差数列， 则数列首项，公差， 所以， 由求和公式有，解得， 故选：C． 65.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（  ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【解析】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C. 66.2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为 . 【答案】167 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，依题可知是首项为0，公差为12的等差数列，根据，解不等式即可. 【解析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故答案为：167 题型十四：等差数列的综合应用 67.（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（  ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D. 【解析】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误； 因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABC 68.（多选）数列满足，则下列说法正确的是（  ） A．数列是等差数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列为递减数列 【答案】ABD 【解析】首项根据得到，从而得到是以首项为，公差为的等差数列，再依次判断选项即可. 【解析】对选项A，因为，， 所以，即 所以是以首项为，公差为的等差数列，故A正确. 对选项B，由A知： 数列的前n项和，故B正确. 对选项C，因为，所以，故C错误. 对选项D，因为，所以数列为递减数列，故D正确. 故选：ABD 69.设数列的前项和为，且，若恒成立，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意得到，求得，得到，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，化简得到，结合的值，求得的最小值是，即可求解. 【解析】因为，所以， 所以数列是常数列，则，可得，故， 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，设，则，从而， 当时，，当时，， 因为，所以的最小值是，即， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 70.已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解； （2）把恒成立问题转化为最值，再作商得出数列单调性即可求值. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以公差，， 故； （2）因为，且时，恒成立， 所以， 因为时，，所以，所以， 所以，所以实数的最小值为. 71.已知是等差数列的前项和，. (1)若，求的值； (2)记数列的前项和为，若，求的最大值. 【答案】(1)；(2)1. 【分析】（1）先由条件可得公差，再由等差数列前项和公式，代入计算，即可求解； （2）由等差数列的前项和公式可得，从而可得，再结合对勾函数的性质代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）为等差数列，由，得， 再由，可得， 即，化简得，解得. （2）由（1）可得，，则， 所以， 由，得， 即， 令， 由对勾函数的性质可知，当时，取得最小值， 又当时，， 当时，， 所以，故的最大值为1. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $