精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县多校联考2025-2026学年八年级上学期1月期末联考数学试题

2025-2026学年度上学期期末质量测查 八年级数学试题 考生注意： 1、考试时间90分钟． 2、全卷共三道大题，总分100分． 一、单项选择题 (每小题3分，满分30分) 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法法则及幂的乘方与积的乘方法则和合并同类项，根据同底数幂的乘法则及幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 2. 在以下四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟知定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C. 是轴对称图形，故本选项正确； D. 不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：C． 3. 根据下列条件，能画出唯一三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形判定定理是关键． 根据两个三角形全等的判定定理逐项判断即可完成． 【详解】解：A、 ∵ ， ∴此三条线段不能围成一个三角形，故不能画出； B、已知两边的长和其中边的对角，根据全等三角形的判定方法是不能画出唯一三角形； C、已知两个边和这两个边的夹角，根据判定定理可以画出唯一三角形； D、已知三个角，根据两个三角形全等的判定方法，可以画出无数个这样的三角形，不能画出唯一三角形，故不合题意； 故选：C． 4. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线；根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的外角解决问题，属于中考常考题型． 连接，延长到．只要证明，即可解决问题． 【详解】解：连接，延长到． ，， ， ∵，，， ， 故选B． 6. 三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点处 B. 三角形三条中线的交点处 C. 三角形的三条高的交点处 D. 以上位置都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：根据角平分线的性质可知：集贸市场应建在三个角的角平分线的交点处． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握将平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键． 7. 如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 8. 已知，则的值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式；根据对完全平方公式变形求值，整体计算即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 9. 等边， 点 、分别是 、上的点且，连接、 相交于点 ，以下结论： ①；②；③；④； 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，找出对应的等量关系是解题的关键． 由为等边三角形，得出，，结合，可证结论①，由结论①可证出结论②，由角度和边长的等量关系，通过线段和差证出，即可证明结论③，由结论③证出结论④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， 即，故结论②正确； ∵，， ，， ∴， ∵，， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有个， 故选D． 10. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间+小时=公交车时间”列出分式方程即可求解﹒ 【详解】解：15分钟=小时 设乘公交车平均每小时走x千米，则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米， 得： 故选：D 二．填空题(每小题3分，共18分) 11. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质．根据x轴对称求出对称点，再根据平移的性质求出平移后的坐标即可得到答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点为， 向右平移m个单位，得到点的坐标为， 由题意，点落在轴上， 解得． 故答案为：． 13. 已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的结构特征，解题关键是根据完全平方公式的形式对比多项式，确定中间项的系数关系． 将多项式与完全平方公式对比，确定的值，再通过中间项系数关系求出即可． 【详解】关于的多项式是一个完全平方式， ， ， ． 故答案为． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的底边长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分类讨论是关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分类讨论如下： ①若3为腰长，6为底边长，三角形不存在； ②若6为腰长，3为底边长，能构成三角形， 这个等腰三角形的底边长为3． 故答案为：3． 15. 如图，，，，，垂足分别为，，，，则_____________________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据题意找出等量关系证明三角形全等是解题的关键． 由垂直以及直角关系，先证出，结合，，证得，由全等的性质，得出对应线段长度相等，可求出的长度，即为的长度． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：7． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了(，，，······) 的展开式的系数规律(按的次数由大到小的顺序)． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是杨辉三角与二项式展开的结合，利用杨辉三角确定二项式展开式的系数是解题关键．先根据杨辉三角得到的系数规律，再结合中、的对应值，找到含项的系数． 【详解】解：根据杨辉三角可得，的展开式系数为，，，，，， ， 本题中，，， 含的项对应展开式中， 将，代入得， 的展开式中含项的系数是． 故答案为：． 三．解答题(共八道大题，共52分) 17 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算相关考点，包括幂的乘方，同底数幂的乘法等．首先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，然后进行加减运算． 【详解】原式 18. 分解因式： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提取公因式法和公式法进行因式分解．熟悉用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．根据可以变形为，从而提取公因式；剩余部分符合平方差公式，进一步分解即可． 【详解】解：， ， ， ． 19. 解方程： 【答案】分式方程无解 【解析】 【分析】先对分式分子分母进行因式分解，然后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 整理得， 等式两边同乘以最简公分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得， 验根：当时，最简公分母， ∴增根， 原分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 20. 先化简，再求值：，请在0，1，2三个数中为选择一个合适的数代入求值． 【答案】；6 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则，将原式化简为最简分式或整式是解题的关键． 根据平方差公式和因式分解的方法进行分式化简，和使原式分母为零，故舍去，将代入化简后的代数式，进行计算求值即可 ． 【详解】解： 消去，此时，得 在0，1，2三个数中，和使原式分母为零，故舍去， 仅当时，原式的值为： 故答案为：；6． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】（1）的坐标为，图见解析 （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，的坐标为； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． 22. 如图，在中，平分，过线段上一点作 ，交于点，交的延长线于点． （1）判断的形状，并加以证明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，根据平行线的性质得到，，推出，即可求证； （2）由角平分线的定义可得，推出，再根据得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，证明如下： 平分， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 平分，， ， ， ， ， ， ． 23. 某中学在商场购买甲、乙两种不同的运动器材，购买甲种器材花费1 500元，购买乙种器材花费1 000元，购买甲种器材数量是购买乙种器材数量的2倍，且购买一件乙种器材比购买一件甲种器材多花10元． (1)求购买一件甲种器材、一件乙种器材各需多少元？ (2)该中学决定再次购买甲、乙两种运动器材共50件，恰逢该商场对两种运动器材的售价进行调整，甲种器材售价比第一次购买时提高了10%，乙种器材售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种器材的总费用不超过1 700元，那么这所学校最多可购买多少件乙种器材？ 【答案】（1）购买一件甲种器材需30元，一件乙种器材需40元；（2）16件 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得购买一件甲种器材、一件乙种器材各需多少元； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得这所学校最多可购买多少件乙种器材． 【详解】（1）设购买一件甲种器材需要x元，则购买一件乙种器材需要（x+10）元， 由题意，得， 解得，x=30， 经检验，x=30是原分式方程的解， ∴x+10=40， 即购买一件甲种器材需30元，一件乙种器材需40元； （2）设这所学校再次购买了y件乙种器材， 由题意，得30（1+10%）（50﹣y）+40（1﹣10%）y≤1700， 解得，y≤， ∴最多可购买16件乙种器材， 即这所学校最多可购买16件乙种器材． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一元一次不等式，注意分式方程要检验，问题（2）要与实际相联系． 24. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点H．设的面积为，的面积为，请猜想大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）DE＝BD+CE；证明见解析 （3）S1＝S2；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）答：． 证明：∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）答：． 证明：如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末质量测查 八年级数学试题 考生注意： 1、考试时间90分钟． 2、全卷共三道大题，总分100分． 一、单项选择题 (每小题3分，满分30分) 1. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 2. 在以下四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列条件，能画出唯一三角形是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ） A. 三角形的三条角平分线的交点处 B. 三角形的三条中线的交点处 C. 三角形的三条高的交点处 D. 以上位置都不对 7. 如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知，则的值为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 9. 等边， 点 、分别是 、上的点且，连接、 相交于点 ，以下结论： ①；②；③；④； 其中正确的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 随着生活水平的提高和环保意识的增强，小亮家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍，小亮家到学校的距离为8千米．若设乘公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 二．填空题(每小题3分，共18分) 11. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为_____________． 12. 点关于x轴对称后再向右平移m个单位，其对应点落在y轴上，则_______． 13. 已知关于的多项式是一个完全平方式，则的值是______． 14. 已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的底边长是______． 15. 如图，，，，，垂足分别，，，，则_____________________． 16. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了(，，，······) 的展开式的系数规律(按的次数由大到小的顺序)． 请根据规律，写出的展开式中含项的系数是________． 三．解答题(共八道大题，共52分) 17. 计算：． 18. 分解因式： ． 19. 解方程： 20. 先化简，再求值：，请在0，1，2三个数中为选择一个合适的数代入求值． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 22. 如图，在中，平分，过线段上一点作 ，交于点，交的延长线于点． （1）判断的形状，并加以证明； （2）若，，求的度数． 23. 某中学在商场购买甲、乙两种不同的运动器材，购买甲种器材花费1 500元，购买乙种器材花费1 000元，购买甲种器材数量是购买乙种器材数量的2倍，且购买一件乙种器材比购买一件甲种器材多花10元． (1)求购买一件甲种器材、一件乙种器材各需多少元？ (2)该中学决定再次购买甲、乙两种运动器材共50件，恰逢该商场对两种运动器材售价进行调整，甲种器材售价比第一次购买时提高了10%，乙种器材售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种器材的总费用不超过1 700元，那么这所学校最多可购买多少件乙种器材？ 24. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点H．设的面积为，的面积为，请猜想大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $