精品解析：贵州省遵义市南白中学2024-2025学年高一下学期第二次联考数学试题

遵义市南白中学2024－2025－2学期2027届第二次联考 高一数学 （试卷满分150分 考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知集合列举出所有子集求子集的个数. 【详解】由题设，M真子集为，，，，，，，，共8个. 故选：D. 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题进行判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是存在量词命题， 所以为，. 故选：A 3. 的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算法则、指数的运算法则以及特殊角的三角函数值来计算各项的值，再进行加减运算. 【详解】. 故选：D 4. 已知菱形的边长为1，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合向量的减法运算和模的定义求解. 【详解】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以. 故选：A 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为，乙得分的平均值为，设甲、乙得分的方差分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据极差，方差，平均数的定义计算可得. 【详解】因为甲得分的极差为，所以，故A正确； 又因为乙得分的平均值为，，解得，故B正确； 又由甲得分的平均数为， 所以甲得分的方差 . 乙得分的方差分别为 ，所以，故D正确，C不正确； 故选：C. 6. 如图，、，设角的终边与单位圆交于点，与直线交于点，其终边的反向延长线与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则角的（ ） A. 正弦线，正切线是 B. 正弦线是，正切线是 C. 正弦线是，正切线是 D. 正弦线是，正切线是 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数线的几何意义可得出结论. 【详解】由三角函数线的几何意义可知，角的正弦线为，正切线为， 故选：B. 7. 设方程、、的实数解分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知、、为直线分别与函数、、图象的交点的横坐标，数形结合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知，、、为直线分别与函数、、图象的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中，作出函数、、、的图象，如下图所示： 由图可知，. 故选：B 8. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为最小正周期的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用周期的计算公式即可. 【详解】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B正确； 对于C选项，，所以C正确； 对于D选项，，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，结合选项判断即可得到答案. 【详解】联立，解得或， 因为，所以，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：AC 11. 有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】明确基本事件，用独立事件定义逐一验证选项. 【详解】四张卡片的内容： 卡片1：包含数字1,2,3； 卡片2：包含数字1； 卡片3：包含数字2； 卡片4：包含数字3. 含有数字1的卡片：卡片1、卡片2，∴ 含有数字2的卡片：卡片1、卡片3，∴ 含有数字3的卡片：卡片1、卡片4，∴ 同时含有数字1和2的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字2和3的卡片：卡片1，∴ 同时含有数字1和2和3的卡片：卡片1，∴ ∵，∴事件相互独立，A选项正确； ∵，∴事件相互独立，B选项正确； ∵，∴事件相互独立，C选项正确； ∵，∴事件不相互独立，D选项不正确； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则点的坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 13. 已知扇形的面积是1，周长是4，则扇形的圆心角（正角）为________弧度 【答案】 【解析】 【分析】根据题干条件代入公式求得扇形的半径和弧长，再利用弧长公式即可求出. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即， 又扇形的面积是1，，，解得，， 设扇形的圆心角为弧度， 根据弧长公式可得，即，解得. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最值的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为函数在区间上恰有2个最大值点， 所以， 因此实数的所有取值构成的集合为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【小问1详解】 由平行四边形，可得; ，， ，即. 【小问2详解】 由（1），又， 所以， 所以三点共线. 16. 已知. （1）化简； （2）若角的终边经过点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的定义，求得，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 解：由三角函数的诱导公式，可得： 【小问2详解】 解：因为角的终边经过点，可得， 则. 17. 数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况. （1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？ （2）从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为，，，，.具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标.现从这5人中随机抽取2人接受采访. （i）试用所给字母写出样本空间，并说明样本点的总数； （ii）设事件：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求. 核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 A × ○ ○ × ○ × B × ○ ○ × ○ × C ○ × ○ ○ × ○ D × ○ × ○ ○ ○ E ○ × ○ × ○ ○ 【答案】（1） （2）(i) 样本空间，样本点总数为； (ii) 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）（i）列出所有情况即可；（ii）列出所有满足题意情况，再利用古典概型计算即可. 【小问1详解】 由已知,高一、高二、高三学生人数之比为， 由于采取分层抽样的方法从中抽取240位学生， ，因此应从高一、高二、高三学生中分别抽取60人，90人，90人. 【小问2详解】 （i）从5人中随机抽取2人，样本空间为所有可能的两人组合， 即：， 样本点总数为； （ii）设对立事件：“抽取的2人中，不达标的项目没有相同的”， ：不达标项目为{数学抽象}, {数学运算}, {数据分析}；  C：不达标项目为{直观想象}, {数学建模}；  D：不达标项目为{数学抽象}, {逻辑推理}；  E：不达标项目为{直观想象}, {数学运算}；  找出包含的样本点： ：不达标项目与的无交集；  ：的不达标项目与的无交集；  ：的不达标项目与的无交集；  的不达标项目与的无交集；  因此，包含个样本点，其概率； 故. 18. 函数的部分图象如下： （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，再将所得函数图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象. （i）请直接写出函数的解析式； （ii）在区间内，恰存在3个实数，，，使，求的值. 【答案】（1）； （2）（i）；. 【解析】 【分析】（1）根据图象及五点作图法可得函数解析式； （2）（i）根据函数图象的平移变换直接可得函数解析式；（ii）令，再通过整体代换将的三个不同根的问题转化为有三个不同的根据问题，再由正弦函数的对称性可得结果. 【小问1详解】 因为函数图象经过，由五点作图法可得 ，解得. 所以函数. 【小问2详解】 （i）因为函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得函数为， 再将函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得函数为， 再将函数为图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象，所以. 所以. （ii）由，令，则在上有两条对称轴和， 要使在上有三个不同的根，必有和关于对称，和关于对称， 所以有，即. 又因为，所以，即， 所以. 故. 19. Sigmoid函数在人工智能领域发挥着重要作用，其数学表达式为. （1）请直接判断函数在上的单调性，不必证明； （2）求不等式的解集； （3）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接写出结果即可； （2）把代入中，化简整理即得； （3）将变形，得，通过换元，转化为二次函数在指定区间上有解的问题求解. 【小问1详解】 因为在R上是单调递减函数，所以在R上单调递增； 【小问2详解】 由，所以， 所以不等式可化为， 即，即， 整理得，所以， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 ， 令，则， 在上恰有2个零点，即在上恰有2个零点， 所以，即， 所以，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市南白中学2024－2025－2学期2027届第二次联考 高一数学 （试卷满分150分 考试用时120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将答题卡交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知菱形的边长为1，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为，乙得分的平均值为，设甲、乙得分的方差分别为，，则下列结论错误的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，、，设角的终边与单位圆交于点，与直线交于点，其终边的反向延长线与直线交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则角的（ ） A. 正弦线是，正切线是 B. 正弦线是，正切线是 C. 正弦线是，正切线是 D. 正弦线是，正切线是 7. 设方程、、的实数解分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为最小正周期的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 有四张同样大小的卡片，上面标有数字，如图所示.从这四张卡片中随机抽取一张，设事件：“抽到的卡片上有数字”，，则下列事件相互独立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则点的坐标为________ 13. 已知扇形的面积是1，周长是4，则扇形的圆心角（正角）为________弧度 14. 已知函数在区间上恰有2个最大值点，则实数的所有取值构成的集合为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 16. 已知. （1）化简； （2）若角的终边经过点，求的值. 17. 数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面.某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况. （1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？ （2）从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为，，，，.具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标.现从这5人中随机抽取2人接受采访. （i）试用所给字母写出样本空间，并说明样本点的总数； （ii）设事件：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求. 核心素养 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 A × ○ ○ × ○ × B × ○ ○ × ○ × C ○ × ○ ○ × ○ D × ○ × ○ ○ ○ E ○ × ○ × ○ ○ 18. 函数部分图象如下： （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，再将所得函数图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象. （i）请直接写出函数的解析式； （ii）在区间内，恰存在3个实数，，，使，求的值. 19. Sigmoid函数在人工智能领域发挥着重要作用，其数学表达式为. （1）请直接判断函数在上的单调性，不必证明； （2）求不等式的解集； （3）若函数在区间上恰有2个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $