题型5 设问突破3 图形判定问题-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优

设问突破目图形判定问题 (5年2考) 例3【多解法】(2025池州三模改编)如图1，在°矩形ABCD中，E为 CD边的中点，°过A点作AF LBE于点F过D点作DG LAF于点G,连 接DF. (1)求证：△ABF∽△BEC; D G 例3题图1 (2)求证：®ADAF为等腰三角形： (3)【多解法】如图2，Q过点F作FH∥CD交DG于点H,若F为BE的 中点，判断四边形FEDH的形状，并说明理由 D H B 例3题图2 安徽数学二轮重难题型培优 题干解读 ①矩形中四个内角都是 90°，AB=CD=2DE=2EC. ②△ABF,△DAG,△DGF 为直角三角形，AF⊥BE, 考虑矩形中的“十字模 型”，可利用相似三角形 的性质求解 解题突破点 ③证明等腰三角形的3 种方法： 方法1：证明两个底角 相等； 方法2：证明两条边相等； 方法3：若有垂直，可考虑 垂直平分线的性质 ④根据图形信息可猜想 是菱形，再根据菱形的判 定定理找与题干相关的 信息求证 47 针对训练 4.(2025准北三模改编)如图1，在矩形ABCD5.优质原创在平行四边形ABCD中，E,F分 中，E为CD边的中点，连接AE并延长交BC 别为BC,CD上的点，连接AE,AF分别交对角 的延长线于点F,连接DF 线BD于点M,N,已知BM=DN. (1)求证：CF=BC; (1)如图1，连接MC,若E为BC的中点，求 (2)如图2，M,N分别为DF,BC的中点，连接 证：MC=2NF; MN交AF于点G,交CD于点H. (2)如图2，连接EF,求证：EF∥BD: (i)若AB=5,BW=3,求EG的长； (ii)判断△GEH的形状，并说明理由. （3)如图3，在接ER,Mr.品-5，请判 D 断四边形BMFE的形状，并说明理由. D H 图1 图2 第4题图 图1 图2 图3 第5题图 48 安徽数学二轮重难题型培优'.tan L DAE=CP=3 图1 图2 第3题解图 解法2：如解图2，延长AE交BC的延长线于点F, E为CD的中点， ∴DE=CE :四边形ABCD为矩形， .AD∥BC,AD=BC, r∠ADE=∠FCE 在△ADE和△FCE中， DE=CE L DEA =L CEF .△ADE≌△FCE(ASA), .AD=CF=BC. :△PBC为等边三角形， .PC=BC=CF,∠PCB=60°， ∴.∠CPE=∠F=30°， ∠DAE=30°， tan∠DAB= 35 难 (i)证明：由(i)知P为AE的中点， 型 .AP =EP, :AB∥CM, .∠ABP=∠EMP, ∠ABP=∠EMP 在△ABP和△EMP中 ∠APB=∠EPM, AP=EP .△ABP≌△EMP(AAS),BP=MP, .AB=ME DC, ∴.MD=CE. .DN∥BM .∠PND=∠BPC=60°， .∠CWD=120° 又.∠NCD=30°， .∠NDC=30°， .NC=ND, G为BP的中点， .设PG=BG=1,则BC=BP=2,MC=2√3，MG =3, 设NC=ND=x(x<2),则CD=EM=3x, ∴.EC=MD=2V3-√3x, ∴.DE=CD-EC=25x-2V5. .DN∥MG, 32 安徽数学 ∴.△EDN∽△EMG, 小0-0即号22， 3x 解得x1=3+5(舍去)，x2=3-V3, .EC=23-3x=23-√3×(3-√3)=3-3， .EC=NC, ∴.∠CNE=∠CEN=75°， ∴.∠PNG=75°， .∠PGN=45° 设问突破三 图形判定问题 例3(1)证明：四边形ABCD是矩形， .∠C=90°，AB∥CD, .∠ABF=∠BEC. .AF⊥BE, .∠AFB=90°， .∴.△ABF∽△BEC; (2)证明：如解图1，延长BE交AD的延长线于 点M, 易得△BEC≌△MED, .∴.DM=BC=AD. 证法1：DG⊥AF,AF⊥BF, .DG∥FM, 又：D为AM的中点， .G为AF的中点， .DG为线段AF的垂直平分线， .'DA =DF, 即△DAF为等腰三角形； 证法2：在Rt△AFM中，D为AM的中点， .AD DF=DM, 即△DAF为等腰三角形； (3)解：解法1：四边形FEDH是菱形，理由如下： 如解图2，连接CF, DG∥FE,FH∥DE, .四边形FEDH为平行四边形 F为BE的中点， .BF=FC, .∠FBC=∠FCB, .∠ABF=∠DCF, rAB=DC 在△ABF和△DCF中 ∠ABF=∠DCF BF=CF .△ABF≌△DCF(SAS), .∠DFC=∠AFB=90°， 又：E为CD的中点， .DE FE, .四边形FEDH为菱形； 解法2：四边形FEDH是菱形，理由如下： 如解图3，延长FH交AD于点P, 参考答案 DE∥AB,F为BE的中点， P为AD的中点， 又FH∥DE,∴.FP⊥AD, ∴.FP为边AD的垂直平分线， ∴.FA=FD, 由(2)知DA=DF, ∴.△DAF为等边三角形， ∴.∠HDF=∠HFD=30°，∴.DH=HF, 又：DG∥FE,FH∥DE, 四边形FEDH为菱形. M H G 图1 图2 图3 例3题解图 4.(1)证明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD∥BC, ∴.∠DAE=∠EFC,∠ADE=∠ECF=90°. E为CD的中点，∴.DE=CE, r∠DAE=∠EFC 在△ADE和△FCE中， ∠ADE=∠FCE, DE=CE .∴.△ADE≌△FCE(AAS), ∴.CF=AD=BC,即CF=BC; (2)解：(i)如解图，连接EM BN=3,N为BC的中点， .BC=6,BF=12. 又AB=5, AP=13,BF-号 :E为DC的中点，M为DF的中点， .EM为△DCF的中位线， w/Cr,器-2 叉：BN=c=CR, EM EG 1 NF=CF-3 B6=球-是： (i)△GEH为等腰三角形，理由如下： 安徽数学 E为DC的中点，M为DF的中点， ∴.EM为△DCF的中位线， Ew∥CF,BM=2CE, ∴.EM⊥CD,即△MEH为直角三角形， N为BC的中点， c=28c=7cR, ∴.EM=NC. EM∥CF, ∴.∠EMH=∠CNH,∠MEH=∠NCH, ∴.△EMH≌△CNH, .HN=HM,易得△MEG∽△NFG, 器-8=分m=c, 在Rt△EHM中， G为HM的中点， .∴.EG=HG=MG, .△GEH为等腰三角形 M B C 第4题解图 5.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD, 轮重难 易得△BME△DMA. 型 :B为BC的中点0-能=子， 又：BM=DN, Bw=v=N0,侣-识 DF-ZAB-7CD. .NF为△DMC的中位线， ..MC=2NF; (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD= BC,AD∥BC,AB=CD,AB∥CD, 能恶瑞8 ·08cD CE CF 又.∠C=∠C, ∴.△ECF∽△BCD, .LDBC=∠FEC, .EF∥BD; (3)解：四边形BMFE为平行四边形，理由如下： 能-斗 2Γ， 参考答案 33 CE=3-5 BE_BE_BM5-1 BC 2 BCAD MD 2 设BM=(V5-1)x,则MD=2x, ∴.BD=(5+1)x, 由(2)知EF∥BD, ,EF_EC_3-5 BD BC 2 EF=35BD=35x(5+1)x=(N5-1)x, 2 2 .EF BM, 又：EF∥BD: .四边形BMFE为平行四边形 综合训练 1.(1)证明：：AD=AE,∠DAE=45°， ∠AED=∠ADE=180°，45°=67.50 2 :∠ADB=∠AEC=90 .∠BDG=180°-∠ADE-∠ADB=180°-67.5°- 90°=22.5°， ∠DEC=∠AEC-∠AED=90°-67.5°=22.5°， ∴.∠BDG=∠DEC; (2)解：四边形BDCG的形状是平行四边形，理由： :CG∥BD,∴.∠BDG=∠CGE. 重 .∠BDG=∠DEC,.∴.∠DEC=∠CGE, .EC=CG. 型 ∠BAC=∠DAE=45°， ∴.∠EAC=∠DAB. AE=AD 在△EAC和△DAB中 ∠EAC=∠DAB, LAC =AB ·.△EAC≌△DAB(SAS), .EC=BD,:'.BD=GC. :CG∥BD, ∴四边形BDCG是平行四边形； (3)解：如解图，过点M作MN⊥AB于点N. :四边形BDCG是平行四边形， .BF=FC. AB=AC, .AF⊥BC,∠BAF=∠CAF :MH⊥AC,MN⊥AB, .MH MN. .BH⊥AC,∠BAC=45°， .△ABH为等腰直角三角形，∠ABH=45°， ·AB=√2BH,△MWB为等腰直角三角形， BN-MN-BM. 2 34 安徽数学 BM=√2， ∴.BN=MN=1,∴.MH=MN=1. ·.BH=BM+MH=√2+1， .AB=2BH=2+√2. N E 第1题解图 2.（1)证明：四边形ABCD为正方形， ∴.∠ABC=∠BAD=∠C=90°，AB=BC, .∠BAF=90°=∠C,∠ABE+∠CBE=90°， ·BF⊥BE, ∴.∠ABF+∠ABE=∠EBF=90°， .∠ABF=∠CBE, .△ABF≌△CBE(ASA), .AF=CE; (2)(i)证明：如解图1，以点B为圆心，将△BAF顺 时针旋转90°至△BCM处， ∴.△ABF与△CBM全等， ∴.∠CBM=∠ABF=∠FBE,∠M=∠AFB, ∴.LEBM=∠CBM+∠EBC=∠FBE+∠EBC= ∠AFB=∠M, .BE=EM=CM+CE=AF CE: F D M 图1 图2 第2题解图 (i)解：：四边形ABCD为正方形， .∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB∥CD,AB=BC CD=AD=2. E是CD的中点， .CE=DE =1, .AE=BE=√22+1=√5. .BE=AF +CE, .AF=5-1, 如解图2，延长BF交CD的延长线于点N. BF平分∠ABE, ∴.∠ABF=∠EBF. AB∥CN, 参考答案