题型5 设问突破1 线段问题-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优

解得m=3±√2I, .m≥2，∴.m=3+√21. 综上，m的值为1+√13或3+√21 ◆y 图1 图2 第13题解图 14.解：(1)把(2,3)，A(-1,0)代入y=-x2+bx+c, 得-4+26+0=3 L-1-b+c=0 解得6=2 lc=3' ∴.抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3; (2)如解图，过点F作FH⊥x轴于点H,设直线 CD交y轴于点K 在y=分+7中，令x=0得y=分，令y=0得 1 x=-1, k0,宁)，直线y=宁+号与x潮交点为 1 一轮重难 A(-1,0), 0k=分，0A=1, an∠KA0=0K-1 0A=2, 培优 四边形CDEF是正 方形， ∴.EF∥CD,DE=EF, ∴.∠FEH=∠KAO, AO EHB元 mLPI-分 第14题解图 设FH=t,则EH=2t, .EF=√FH+EH=√5t, .DE =EF =5t, ∠ADE=90°， mL0-2器-宁 ..AD =2DE=25t, .AE=√DE+AD=√(5t)2+(2V5t)2=5t, .AH=AE+EH=5t +2t=7t .0H=AH-0A=7t-1, .F(7t-1,t), 把F(7t-1,t)代人y=-x2+2x+3得t=-(7t- 1)2+2(7t-1)+3, 解得1=0（合去）或：多。 28 安徽数学 F(20.2 7’49)； (3)点P(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x+3上， 点Q(x1,y2)在抛物线y=x2-(4m-2)x+4m2+ 2上， .y1=-x7+2x1+3, y2=x号-(4m-2)x1+4m2+2, .y2-y1=x号-(4m-2)x1+4m2+2-(-x2+ 2x1+3)=2x7-4mx1+4m2-1=2(x1-m)2+ 2m2-1, 当m≤1时，若1≤x1≤2，则x1=1时，y2-y1的最 小值为3， .2(1-m)2+2m2-1=3, 解得m告（合去）成m1自 2 m=1-B 2； 当1<m<2时，若1≤x1≤2，则x1=m时，y2-y1 的最小值为3， 2m2-1=3, 解得m=√2或m=-√2（舍去）， .m=√2； 当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1=2时，y2-y1的最 小值为3， ∴.2(2-m)2+2m2-1=3, 解得m1=m2=1(舍去). 绿上所述，m的值为'2或2 题型五几何综合探究题 设问突破一线段问题 例1(1)解：在正方形ABCD中， ∠A=∠B=90°，AD=AB=BC=DC=5, .CH=1, .HF FB=AE=2, .BE=3. EG⊥EF, .∠GEF=90°， .∠FEB=∠EGA=90°-∠GEA, r∠EGA=∠FEB 在△AGE和△BEF中， ∠A=∠B LAE=BF .△AGE≌△BEF(AAS), .AG=BE=3, .DG=2; (2)证明：由(1)知△AGE≌△BEF .AG=BE 参考答案 .∴.DG=AE=BF=HF. 又.在正方形ABCD中，AD∥BC, .四边形DGFH为平行四边形， .GF=DH; (3)解：如解图1，过点H作HQ⊥PF于点Q, H > B E 例1题解图1 由(1)知△AGE≌△BEF, .∴.EG=EF .·EG⊥EF .∠GFE=45°， 由(2)知四边形DGFH为平行四边形， ·.DP∥GF, ∴.∠P=∠GFE=45° 设AE=BF=FH=m,则BE=2AE=2m, .EF=√BE+BF=√5m. ∠HFQ=∠EFB,∠B=∠HQF=90°， ∴.△EFB∽△HFQ, EF_BE=BE,即5m=2m=m HF HO FQ' m HQ FQ' ·0=25 m,f0=5 .·∠P=45°， PQ=H0=25 5m, p=3 5m, 35 FP 5 m FE5m=5 (4)证明：由(3)知∠DPE=45°， AE BF FH. .BE=FC. 又AE·EB=PF2, .PF2 =HF.FC, 器器 又.·∠PFH=∠CFP ∴.△PHF∽△CPF, ∴.∠FCP=∠HPF=45° 又：BD为正方形ABCD的对角线， .∠DBC=45°， ∴.∠DBC=∠PCB, ∴.BD∥CP; 安徽数学 (5)证明：如解图2，延长CM至点Q,使MQ=MC, 连接PQ,NQ,CN. 例1题解图2 'M为BP的中点，∠CMB=∠QMP, .BM=PM, BM=PM 在△CMB和△QMP中， ∠CMB=∠QMP, LMC =MO ∴.△CMB≌△QMP(SAS), .CB=PQ,∠CBM=∠QPM,∴.CB∥PQ, .∴.∠QPN=∠CFP 由(3)知∠DPE=45°， .DN⊥EP, ∴.△DNP为等腰直角三角形， .DN =PN, GE⊥EP,∴.DN∥GE, .∠CDN=90°-∠ADN=90°-∠AGE=∠GEA, 由(1)知∠GEA=∠EFB, .∴.∠CDN=∠EFB=∠CFP=∠OPN, 轮重难 四边形ABCD为正方形， ∴.CD=CB, 型 .CD=QP, CD=OP 在△DCN和△PQN中， ∠CDN=∠QPN, DN =PN ∴.△DCN≌△PQN(SAS), .NC =NO, 又CM=MQ, .NM⊥MC. 1.(1)解：：四边形ABCD是正方形， .AB=BC=AD=6,AD∥BC, .△ADF△EBF. E为BC的中点， =2. FG⊥BC, .FG∥AB, 能=所2 GE EF 1 GE=号E=名BC=1: (2)解：E为GC的中点， .设BG=1,GE=EC=x, 参考答案 29 .FG⊥BC,FH⊥CD, ∴.四边形FGCH为矩形， .FH=GC=2x. .BD为正方形ABCD的对角线 ∴.△BFG和△FHD均为等腰直角三角形， .BF=√2，DF=22x .AD∥BC,∴.△ADF∽△EBF, 0-DE,即2x+1_22 BE BE' x+1 2 解得x-受（负值已合去）， .HF=2x=√2，DF=2, AF_DE=2=: .B (3)证明：如解图，延长HF交AB于点N, 易知四边形NBGF为正方形， ∴.NF=FG=BN=BG,∠NFG=90°， .AN=GC=FH, AN =HF 在△ANF和△HFG中，{∠ANF=∠HFG, LNF=FG '.△ANF≌△HFG(SAS), ∴.∠NFA=∠FGH. 又.∠NFA+∠GFM=90°， 轮重 ∴.∠GFM+∠FGM=90°， ∴.∠FMG=90°， 即GH⊥EF 型 H B GE 第1题解图 2.（1)解：.四边形ABCD是矩形， .DC=AB,DC//AB.DO=AO=BO=CO. ·.AB=4,AD=3, .DB=5, 00-号B=3, :E为DC的中点， .'AB =2DE, DG DE 1 CB=AB=2 设DG=x,则BG=2x, 六DB=3x=5,解得x= 3, 00=D0-Dc=名 (2)(i)证明：如解图1，连接OE. :AD∥BC,E为DC的中点， 30 安徽数学 ·∠DAE=∠CFE .在△ADE和△FCE中， ∠ADE=∠FCE, DE=CE .∴.△ADE≌△FCE(AAS), ∴CF=AD=BC,AE=EF, AD∥BC,.△ADG∽△FBG, 能82 O为DB的中点， ∴.OE为△AFC的中位线， ∴.OE∥BF, .∴.△OEH∽△FCH FH_FC=2, OH-OE 0丽 FG FH FG FH ∴.FA=F0 又：∠GFH=∠AFO, .△FGH∽△FAO, ∴.∠FGH=∠FAO, .GH∥AC; (i)解：·GH∥AC, ∴.∠GH0=∠H0C. ·∠FC0>90°， ∴.∠H0C<90°， ∴.∠GH0不能为直角， 当∠H0G为直角时，如解图2， 在Rt△FOB中，C为FB的中点， ∴.FC=OC=CB, :四边形ABCD是矩形， .0C=0B,∠ABC=90°， ∴.△OCB为等边三角形，∴.∠0BC=60°， ∴.∠ABD=30°，∠GH0=∠F0C=∠0FB=30°， .·AD=m, ∴.BD=2m, 由(1)知c0=名8D=3m, 1 在R△cH0中，60=m,∠6H0=30, H0=3n 3, 1 11 ,Sac0=C0:H0=)x3m·3 当∠HG0=90时，如解图3. :GH∥AC, .AC⊥BD, .四边形ABCD为正方形， AD =m, 参考答案 .BD=√2m, 由(1)知G0=BD=2 6 ◆方m,GD51BD=3 3n, 易得G=DG=2m 3m, 6m. c0·HG=x2 3m=m2 Γ181 综上，△G0的面积为得皮袋 图1 图2 图3 第2题解图 突破设问二角度问题 例2(1)解：如解图1，过E点作EF1BC于点F. ∠BAC=90°，AB=AC, .∠ABC=∠C=45°， ∴EC=2EF, 又.EC=√2AE, .∴.AE=EF, .BE为∠ABC的平分线， ∠ABE=22.5°， .∠AEB=67.5°； (2)证明：如解图2，将△ADC以点A为中心，顺时 针旋转90°，到△AEB的位置，连接ED, ∴.AE=AD=2,BE=DC=1,∠DAC=∠EAB, ∴.△AED为等腰直角三角形， ED=22, 又BD=3, 在△BED中，BE2+ED2=12+(2N2)2=32=BD2, ∴.△BED为直角三角形， ∴.∠BED=90°， .∠ADC=∠AEB=90°+45°=135°； (3)解：如解图3，在AP上取一点E,使AE=CD,延 长EP至点F,使EP=PF 安徽数学 P为BD的中点， ∴.BP=PD 又：∠BPE=∠DPF, .△BPE≌△DPF(SAS), .BE=DF,∠BEP=∠F,.BE∥DF AB=AC,∠BAP=∠DCA,AE=CD, ∴.△ACD≌△BAE(SAS), ∴.AD=BE=DF,LABE=∠DAC, .∠DAF=∠F, 又：.·∠F=∠BEP=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠DAC, .∴.∠BAC=2∠FAD, ∠FAD=45,即sin∠PAD= 2 图 图2 图3 例2题解图 3.(1)解：当k=1时，AB=BC, .四边形ABCD为正方形， .∠ABD=45. 一轮重难题型培优 ,△PBC为等边三角形， .BC=BP=BA,∠PBC=60°， .∠ABP=30°， .∠PAB=75, ∴.∠AFB=180°-∠PAB-∠ABF=60°； (2)(i)解：解法1：如解图1，过P点作GH⊥AD交 AD于点G,交BC于点H,则易得四边形ABHG为 矩形， ∴.AB=GH=CD,AG=BH, :△PBC为等边三角形， .H为BC的中点， G为AD的中点， .GP为△ADE的中位线. E为CD的中点， .DE=EC, 设GP=x,则DE=EC=2x, ∴.GH=CD=2DE=4x, .PH=3x, .AG=BH tan 600=v3 参考答案 31题型五几何综合探究题(2题必 设问突破一 线段问题 (必考) 例1(2025合肥四十五中模拟改编)如图，°在正方形ABCD中，E,F分 别是4BBC边上两点具AE=BF,®过E点作EGLEF交AD于点G,点 H是FC上一点，且®FH=BF,连接DH并延长，交EF的延长线于点P. (1)如图1，若DC=5,CH=1,求DG的长； E 例1题图1 (2)如图2，连接FG,求证：GF=DH; 例1题图2 (3)如图2.若跳=24北，求的值： 42 安徽数学二轮重难题型培优 题干解读 ①AB=BC=CD=DA,∠A= ∠B=∠C=∠CDA=90°， 点E,F位置不确定，且 AE =BF ②在直线AB上存在一线 三垂直，即∠A=∠GEF= ∠B=90. ③F是BH的中点。 解题突破点 ④要求DG长，需知道AG 长，由一线三垂直模型可 知△AGE≌△BEF,则AG =BE,由AE=BF,则BE 可求 ⑤GF和DH是四边形 DGFH的一组对边，可以 考虑通过特殊四边形的 性质来确定这一组对边 的数量关系 ⑥设AE=m,则BE=2m, 由一线三垂直模型可知， GE=EF,则∠GFE=45°， 推出∠P=45°，可构造等 腰直角三角形，要求线段 比值，可考虑构造相似三 角形或用m表示FP,FE 的长度 (4)如图3，连接BD,CP,若AE·EB=FP2,求证：BD∥CP; 例1题图3 (5)如图4，连接BP,®M是BP的中点，过点D作DN1PE于点N,连接 MW,MC,求证：MW⊥MC. 例1题图4 几何图形中求线段比值的本质是连接几何图形性质与数量的关系 “桥梁”，寻求不变性是核心问题.比值问题大致有以下一些策略： 计算比值 平行线分线段成比例 变化中 勾股定理 的不变性 相似三角形性质 建系法 三角函数 等面积法 安徽数学二轮重难题型培优 ⑦.AE=BF=FH, .BE=FC, ∴.AE·EB=FH·FC= FP2,得到相似三角形. ⑧M为BP的中点，可考 虑倍长中线，延长CM至 MQ,使得MQ=MC,证得 △CWQ为等腰三角形，根 据等腰三角形三线合一 性质证明即可 43 针对训练 1.优质原创在正方形ABCD中，E为BC边上2.(2025合肥包河区九上期中改编)已知在矩形 一点，连接AE交对角线BD于点F,过F点作 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为CD FG⊥BC于点G. 边的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于 (1)如图1，若AB=6,E为BC的中点，求GE 点F,交BD于点G 的长； (1)如图1，若AB=4,AD=3,求G0的长； (2)如图2，过F点作FH⊥CD于点H,若E为 (2)如图2，连接OF交CD于点H,连接GH. 6C的中点，求的值： (i)求证：GH∥AC; (ii)若AD=m,△GH0为直角三角形，求 (3)如图3，连接GH交EF于点M,求证：GH LEF. △GHO的面积（用含m的代数式表示）. DA D H M GE C B C B C GE 图1 图2 图3 第1题图 图 图2 第2题图 44 安徽数学二轮重难题型培优