题型4 二次函数综合题-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优

设C的表达武为y=a(-1)2+3, 将(3,0)代入，得0=a(3-1)2+2, 3 3 3 解得a=-8,.a的取值范围为-8≤a≤-49 1.解：(1)顶点V的坐标为(80,60).由题意得，抛物 线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， .顶点坐标为(80,60) 设抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60, 图象过原点， a(0-80)2+60=0,解得a=-320, 3 拢物线的函数表达式为y=一易x-80)+60: (2).点P的坐标为(0,75)， .第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向 上平移75个单位长度得到的， 3 ·新的抛物线的函数表达式为)y=一320(x-80)2+ 3 60+75=320x-80)2+135, 3 令y=-320(x-80)2+135=0, 解得x1=200,x2=-40(舍去)， 起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为 重 200cm (3)该平台的高度为6cm. 型 类型2利润问题 2.解：(1)由题意得y=80-5×700=-2x+180, .160<x≤2×160，∴.160<x≤320， ∴y与x之间的函数关系式为y=-分+180(160 <x≤320)： (2)设日利润为w元，根据题意得w=(x-160) (-7+180）=-22+260-280=-3 (x-260)2+5000. -分<0，且160<x≤320， .当x=260时，w有最大值为5000元. 即销售单价为260元时，所获得的日利润最大，最 大日利润为5000元. (3)由题意可知，320×(260-160)+320×40(1+ m%)+320×40(1+m%)2=80000, 解得m1=50,m2=-350<0(舍去)， .m的值为50. 3.解：(1)设y=ax2+bx+100,把(10,160)，(30， 340)代入得， 18 安徽数学 190a+306+10=340解得{-01， 100a+10b+100=160 1b=5, y与x之间的函数关系式为y=0.1x2+5x+100; (2)由题意得11.5x=0.1x2+5x+100, 即0.1x2-6.5x+100=0, 解得x1=25,x2=40. 答：该农场计划种植新型农作物25亩或40亩； (3)设总收益为W元，则W=x(x+b)-(0.1x2+ 5x+100)=(k-0.1)x2+(b-5)x-100, 当x=-品时，即有最大值，即-28)=0， b-5 x=50时，Q=12.5=50k+b, b-5 联立方程组ˉ2(k-0.1)=50 50k+b=12.5 解得k=0.05,b=10. 题型四二次函数综合题 难点突破一二次函数中的代数推理 例1解：该二次函数的图象与x轴有两个公共点， （-4)2-4m>0, 解得m<4. 追问1解：由题意知x2-4x+m=2x-1,即x2-6x+ m+1=0有两个不相等的实数根， .（-6)2-4(m+1)>0, 解得m<8. 追问2解：由追问1可知，当该二次函数与一次函数 y=2x-1的图象有两个公共点时，m<8. 令x2-4x+m=2x-1,即x2-6x+m+1=0, 令y=x2-6x+m+1,该函数的对称轴为直线x= 由题意可知，当x≤4时，y'的图象与x轴有两个 交点， 当x=4时，y≥0，即16-24+m+1≥0， 解得m≥7， .7≤m<8 1.证明：：二次函数y=（x-x1)(x-x2)的图象经过 (0,m)和(2，n)两点， .m=x1x2,n=(2-x1)(2-x2), .mn=x1x2(2-x1)(2-x2） =x1(2-x1)x2(2-x2）, 配方得mn=[-(x1-1)2+1][-(x2-1)2+1]. 0<x1<x2<2, .0<-(x1-1)2+1≤1,0<-(x2-1)2+1≤1. x1≠x2, -(x1-1)2+1与-(x2-1)2+1不能同时取到 1,∴.0<mm<1. 30 2.证明：由题可知该函数的对称轴为直线x=-20 参考答案 ,且as0. 3 当x=时x=骨0-2=1-知 40, -4a-3=0,解得a=-1或a=4(舍去)， .y=-x2+3x-2. M(x,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的不 同两点， M,N两点关于直线x=子对称， .x1+x2=3,-x12+3x1-2=m, 4（-1)22 mx1-2 （x1-1)23-x1-2 -x2+3x1-2 x1-2 (x1-1)2 -x1+1 =-(x-1)(x-2)名-2 -(x1-1)-(-x1+1) 书-2 =0, 气-1)--2 m x1-2 3.解：把b=2a代入二次函数表达式得y=3x2- 6ax+2a2, ·该二次函数图象对称轴为直线x=-60 6 =a. 3>0,.该二次函数图象开口向上， 在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4 时，y随x的增大而增大，.1≤a≤3， 4解：由题意得C三-4 a二4 16+c0解得 c=-4 12 则抛物线的表达式为y=4-4, 联立直线，和抛物线的表达式得太x-2=子父 -4, 则xg+xp=4k1, yE +yr=kxE-2+k*r-2=4ki-4, 则点M(2k1,2-2), 同理可得N(2k2,2-2). 当6=-2时， 由点M,N的坐标得，直线MW的表达式为y=(k,+ k2)(x-2k)+2-2=(k,+k2)x-1, 当x=0时，y=-1, 即直线MN过定点(0，-1). 难点突破二利用二次函数的性质求最值 例2解：令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x=-1或 x=3, 安徽数学 令x=0,则y=3, ∴.A,B,C三点的坐标分别为(-1,0)，(3,0)，(0， 3), 易得直线BC的表达式为y=-x+3, PQ⊥x轴，设P(m,-m2+2m+3), 则Q(m,-m+3), ∴.PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m= -(m-3+, 9 :-1<0当m=时，P0有最大值为号 追问1解：设P(m,-m2+2m+3),Q(x,-x+3), PQ∥x轴， .-m2+2m+3=-x+3,即x=m2-2m, .Q(m2-2m,-m2+2m+3), .PQ=%p -%o=m -(m2-2m)=-m2 +3m= -(m+ 当m=时，PQ有最大值为} 追问2解：S四边形CMB=S△PB+S△MCB,且S△ACB= 24B.0c=6, .当S△PcB最大时，Ss边形PCaB取得最大值.。 Sa=2P0:0B=3P0, .当PQ最大时，SAPCE最大， 由例题可知PQ的最大值为， 3927 此时Saas=2X4=8' 一轮重难题型培优 Sau=5am+Sw-g+6-g 81 :四边形PC4B面积的最大值为空 追问3解：易得直线AC的表达式为y=3x+3. 设P(m,-m2+2m+3), PQ∥AC,∴.令直线PQ的表达式为y=3x+b, 将P(m,-m2+2m+3)代入， 得-m2+2m+3=3m+b, 即b=-m2-m+3, ∴.直线PQ的表达式为y=3x-m2-m+3. 联立直线PQ与BC的表达式， 得~x+3 x=m+m 4 y=3x-m2-m+3解得 =3-m2+m 4 0四年，3m). 4 易得AC=√10， 指而 参考答案 19 即P0=o(m)=-(m-3m) 4 -4m-2》96 16 <0, 当=号时，P0有最大值为治 5.解：令y=+x+4=0, 解得x1=-2,x2=4, 令x=0,得y=4, A(4,0),B(0,4), 易得直线AB的表达式为y=-x+4, D(m,0), C(m,-m+4),(m,m2+m+4), :EC=22m2+m+4-(-m+4)三三 +2m, .OB=OA,∴.∠DAC=45°， .∠ECF=∠ACD=45. .·EF⊥FC, 、.△ECF为等腰直角三角形， EFCnm(m-2) 重 20, ∴.当m=2时，EF有最大值为W2,此时E(2,4). 型 6.解：解法1：如解图，连接CN. 优 第6题解图 :△CEB为等边三角形，N为EB的中点， .CN⊥EB, .∠CWB=90°， .'∠DCA=∠EBC=60°， .DC∥EB, ∴.∠MCN=∠CWB=90°. 设CM=x,则AC=2x,BC=6-2x,BN=3-x, .在Rt△MCN中， MN2=CM2+CN2 CM2+CB2 BN2=x+(6- 2-(8-2-42-18+27=4-2+。 4>0, 当=号时，心有最小值为平 N的最小值为识 解法2：可建立坐标系，利用两点距离公式求解 20 安徽数学 难点突破三二次函数的平移变换 例3解：(1)由题意得C1:y=x2-2x+3-m, 存在点(c,1)在C1上， .c2-2c+3-m=1, 即c2-2c+2-m=0有实数根， （-2)2-4(2-m)≥0， 解得m≥1， .m的取值范围为m≥1； (2)将原抛物线的表达式化为顶点式为y=(x- 1)2+2, 则C2:y=(x-1-n)2+2, .C2的对称轴为x=1+n, .抛物线的开口向上，且n>0, .当-3≤x≤0时，C2在x=-3处取得最大值， 在x=0处取得最小值， .（-3-1-n)2+2+(0-1-n)2+2=33, 解得n1=1,n2=-6(舍去)， .n=1; (3)由(2)得抛物线的顶点式为y=(x-1)2+2, :抛物线平移后的顶点在直线y=x+1上， .设抛物线平移后的顶点为(m,m+1), .平移后抛物线的表达式为y=(x-m)2+m+1, 当x=0时，y=m+m+1=(m+分产+子， 3 当m=一宁时y有最小值为经 ,∴.平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最小值 为好经 (4)当y=(x-1)2+2向右平移h个单位长度时， C3:y=(x-1-h)2+2=[x-(1+h)]2+2, :当1≤x≤4时，C3的最小值为3， .h+1>4且x=4时，y=3, 即h>3且(4-1-h)2+2=3, 解得h1=2(舍去)，h2=4; ②当y=(x-1)2+2向左平移h个单位长度时， C3:y=(x-1+h)2+2=[x-(1-h)]2+2, 当1≤x≤4时，C3的最小值为3， .1-h<1且x=1时，y=3, 即h>0且(1-1+h)2+2=3, 解得h1=-1(舍去)，h2=1. 综上所述，h的值为4或1. 7.解：根据题意得平移后的抛物线解析式为y= (x+1-n)2-3, .平移后的抛物线的对称轴为直线x=n-1, ①当n-1<0,即n<1时， 在x=3时取得最大值为y=(4-n)2-3, 在x=0处取得最小值为y=(1-n)2-3, .(4-n)2-3-[(1-n)2-3]=5. 参考答案 解得n= 3(舍去)： 5 ②当0<a-1≤子，即1<m≤时， 在x=3处取得最大值为y=(4-n)2-3, 在x=n-1处取得最小值为y=-3, .(4-n)2-3-(-3)=5. 解得n1=4-√5，n2=4+5(舍去)； ③当≤n-1<3,即3≤m<4时， 在x=0处取得最大值为y=(1-n)2-3, 在x=n-1处取得最小值为y=-3, .(1-n)2-3-(-3)=5. 解得n1=1-√5（舍去），n2=1+√5； ④当n-1≥3，即n≥4时， 在x=0处取得最大值为y=(1-n)2-3, 在x=3处取得最小值为y=(4-n)2-3, .(1-n)2-3-[(4-n)2-3]=5. 解得n=9(合去). 综上所述，n的值为4-√5或1+√5. 8.解：已知t=2a,则抛物线C1:y=ax2-4a2x=a(x- 2a)2-4a3, C2:y=a(x-2a-2)2-4a3, ~点4（受，x)在抛物线C,上， 把x=-3a代入C 可得y1=a(3a-2a)2-4a3=a3-4a3=-3a3, 点B(x2,y2)在抛物线C2上，把x=x2代入C2, 可得y2=a(x2-2a-2)2-4a3, .y1>y2, .-3a3>a(x2-2a-2)2-4a3, 整理得a(x2-2a-2)2<a3. .a>0, .(x2-2a-2)2<a2,即-a<x2-2a-2<a, 解不等式-a<x2-2a-2可得x2>a+2, 解不等式x2-2a-2<a可得x2<3a+2, 又：5<x2<6时，总有y1>y2, 3a+2≥6解得号55 「a+2≤5 综合训练 1. 解：(1)该二次函数图象的顶点坐标为(1，-4)； (2)(m,n)在函数y=a(x-1)2+p的图象上， .n=a(m-1)2+p, .n-p=a(m-1)2=9a, a>0, .(m-1)2=9, .m1=4,m2=-2; 安徽数学 (3)m1是定值. t (m+t,n+t)和(2-m+t,n-2t)在函数y= a(x-1)2+p的图象上， .n+t=a(m+t-1)2+p①， n-2t=a(2-m+t-1)2+p②， 由①-②得，3t=4at(m-1), .…t≠0， 六a(m-1)=是 :(m,n)在函数y=a(x-l)2+p的图象上， .∴.n=a(m-1)2+p③， 由①-③得t=at(2m+t-2), t≠0,2a(m-1)+at=l,w=-2, 1 at -2t 2.解：(1)抛物线对称轴为直线x=1,且与x轴交 于A(-1,0),B两点， .根据对称性可得B(3,0), 故可设y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 又抛物线y=ax2+bx+3,∴.-3a=3, 解得a=-1, .抛物线表达式为y=-x2+2x+3,当x=1时， y=4,∴.顶点坐标为(1,4)； 轮 (2)画出抛物线如解图，A(-1,0),C(0,3),延长 AC交直线x=1于点D. 难 y↑ D 型 B 第2题解图 由待定系数法可知直线AC的表达式为y=3x+3, .D(1,6) 设P(1,P), 55a=20p1-0)=4, .0P=8..16-pl=8, 解得p=-2或p=14,.P(1,-2)或(1,14)； (3)由抛物线y=ax2+(b+m)x+3+n上仅存在 一个点Q(x1,y1),使得2x1+y1=0, 则联立'-2x Ly=ax2+(b+m)x+3+n" 即方程ax2+(b+m+2)x+3+n=0有两个相等 的实数根， 参考答案 21题型四 二次函数综合题(23题必考) 难点突破一二次函数中的代数推理 (2025.23,2024.23) 例1若二次函数y=x2-4x+m(m为常数)的图象与x轴有两个公共点，求m的取值范围！ 追问1若该二次函数与一次函数y=2x-1的图象有两个公共点，求m的取值范围。 追问2若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y=2x-1的图象有两个公共点，求m的取值 范围 ⊕针对训练 1.若二次函数y=(x-x1)(x-x2)的图象经过3.(2025山东节选)已知二次函数y=x(x-a)+ (0,m)和(2，n)两点(m,n是实数)，且0< (x-a)(x-b)+x(x-b),其中a,b为两个不 x1<x2<2,求证：0<mn<1. 相等的实数，当b=2a时，若该函数在0≤ x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时， y随x的增大而增大，求a的取值范围. 2.(2025福建改编)在平面直角坐标系中，二次4.(2025合肥校级模拟)抛物线y=ax2+c交x 函数y=a2-3a-2的最大值为1-子0，若 轴于点A(4,0),B两点，顶点C(0,-4),点P 为第一象限内抛物线上一点，直线y1=kx-2 M(x1,m),N(x2,m)为该二次函数图象上的 交抛物线于E,F,直线y2=k2x-2交抛物线 不同两点，且m≠0，求证：（-1)_名-2 于G,H,M为EF的中点，N为GH的中点，当 m x1-21 k点=-2时，求直线MN一定经过的定点的 坐标 32 安徽数学二轮重难题型培优 难点突破二 利用二次函数的性质求最值 (2024.23) 例2已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴分别交于A,B(点A在点B左侧)两点，与y轴交于点C, 点P是第一象限抛物线上的一个动点，Q为线段BC上一点，连接PQ,若PQ∥y轴，求线段PQ的最 大值. 追问1若PQ∥x轴，求线段PQ的最大值， 追问2连接PC,AC,PB,求四边形PCAB面积的最大值. 追问3若PQ∥AC,求线段PQ的最大值. 针对训练 5.(2025宿州一模改编)已知抛物线y=-1 6.【多解法】(2025合肥名校联考)如图，AB=6, 点C是AB上的动点，以AC,BC为边在AB同 x+4与x轴正半轴，y轴分别交于点A,B,在 侧作等边三角形，M,N分别是CD,BE的中 线段OA上有一动点D(m,0),点D不与点O, 点，求MN的最小值， A重合，过点D作x轴的垂线分别交直线AB 于点C,交抛物线于点E,过点E作EF⊥AB, 垂足为点F,当点E坐标为多少时，线段EF 的长最大，最大值为多少？ C 第6题图 安徽数学二轮重难题型培优 33 难点突破目 二次函数的平移变换 例3已知抛物线y=x2-2x+3. (1)将该抛物线向下平移m(m>0)个单位长度得到抛物线C1,若存在点(c,1)在C1上，求m的取 值范围； (2)将该抛物线向右平移(n>0)个单位长度，平移后的图象所对应的函数C2在-3≤x≤0的范围 内最大值与最小值的和为33，求n的值； (3)【多解法】平移抛物线，使其顶点在直线y=x+1上，求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最 小值； (4)将该抛物线沿x轴平移h(h>0)个单位长度，得到抛物线C3,且当自变量x满足1≤x≤4时，C3 的最小值为3，求h的值. 针对训练 7.(2025河南改编)在平面直角坐标系中，已知8.(2025合肥蜀山区二模节选)在平面直角坐标 二次函数y=x2+2x-2,将二次函数的图象 系x0y中，将抛物线C1:y=ax2-2atx(a>0)》 向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若 向右平移2个单位得到抛物线C,点A(头， 图象对应的函数最大值与最小值的差为5，求 n的值. y1)在抛物线C1上，点B(x2,y2)在抛物线C2 上.当t=2a,5<x2<6时，总有y1>y2,求a的 取值范围。 34 安徽数学二轮重难题型培优