题型5 解直角三角形的实际应用-【练客中考】2026年安徽新中考数学二轮重难题型培优

题型五 解直角三 (建议用时 1.(2025兰州)天文学家运用三角函数解决了曾 困扰古人数百年的难题.某天文研究小组探 究用三角函数知识计算月球与地球之间距离 的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据 和计算数据，得出月球与地球之间的近似距 离.具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 秀 月球 A地球 为了便于观测月球，在地球上先确定 两个观测点A,B,以线段AB作为基准 线，再借助天文经纬仪从A,B两点同 时观测月球P(将月球抽象为一个 说明 点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数， 根据实际问题画出平面示意图（如 图)，过点P作PH⊥AB于点H,连接 AP,BP AB≈0.8万千米，∠ABP=8925'37.43, 数据 ∠BAP=8922'38.09” 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距 离PH.(结果精确到1万千米) (参考数据：tan89°25'37.43”≈100.00， tan8922'38.09"≈92.00，sin8925'37.43"≈ 0.99995,sin89°22'38.09"≈0.99994， c0s892537.43”≈0.00999，c0s8922'38.09"≈ 0.01087) 安徽数学二轮 角形的实际应用（必考） 30分钟) 2.@新情境[航天科技](2025阜阳校级一模) 如图1是中国空间站材料舱外暴露实验装 置.2024年3月14日，装置及装置中安装的 首批400余个材料样品圆满完成舱外暴露实 验，成功返回中国空间站内.如图2是制作实 验装置的某块原材料示意图，已知∠D=90°， ∠BAD=71.6°，∠ABC=63.4°，AD=CD= 1米，求四边形原材料ABCD的面积.（参考数 据：tan63.4°≈2，tan26.6°≈0.5，tan71.6°≈3) B63.4071.6° 图1 图2 第2题图 3.(2025合肥蜀山区一模)如图，在淮河的右岸 边有一座高楼AB,左岸边有一坡度i=1:√2的 山坡CF,点C与点B在同一水平面上，CF与 AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量 楼AB的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角 为45°，然后沿坡面CF上行了20√3米到达点 D处，点D在水平面上的投影为点E,此时在 D处测得楼顶A的仰角恰好等于∠DCE,求楼 AB的高度.（结果保留整数.参考数据： √2≈1.414) F D 450 TT淮河丁B i=1:2 第3题图 重难题型培优 9 4.(2025合肥瑶海区一模)如图1所示，在水平 桌面上放置着一盏台灯.如图2，水平桌面记 为l,台灯的底座高度OA为2cm,支撑架AB 长度为10cm,连接杆BC长度为32cm,且点 A,B,C在一条直线上，灯盘CD与连接杆BC 垂直，其长度为15cm.如图2，当连接杆BC 绕点B逆时针旋转53°后得到BC',且灯盘 CD'始终与连接杆BC'垂直，求此时点D'离 桌面l的高度.（结果保留整数.参考数据： 5,c0s53°≈3 sin53o≈ ，am53°≈子) D---口C 53° B 图1 图2 第4题图 5.(2025山西改编)项目学习 项目背景：“源池泉涌”为某景区的一个景点， 主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于 内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池， 池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正 八边形，内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学 围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活 动，形成了如下活动报告. 10 安徽数学二轮 项目主题：景物的测量与计算 驱动问题：如何测量内栏墙围成泉池的直径， 活动内容：利用视图、三角函数等有关知识进 行测量与计算 活动过程：如图1为该景点俯视图的示意图， A,D是正八边形中一组平行边的中点，BC为 圆的直径，图中点A,B,C,D在同一条直线 上.如图2为测量方案示意图，直径BC所在 水平直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙 AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF, BE,CF均表示步道的宽，BE=CF.图中各点 都在同一竖直平面内.在点A处测得点B和 点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC= 8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计. 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直 径BC的长.（结果精确到1米.参考数据： sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈ 0.15,sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75) 外栏墙 道 内栏墙 F C泉池B (E) 图1 D 地画环 地面 档 栏 B 步道内 内步 墙 图2 第5题图 重难题型培优题型五解直角三角形的实际应用 1.答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万 千米. 2.答：四边形原材料ABCD的面积约为1平方米 3.答：楼AB的高度约为137米 4.答：此时点D'离桌面l的高度约为19cm. 5.答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米. 题型六与圆有关的综合题 1.(1)证明：：点D为BC的中点，OB=OC, .OD⊥BC,BD=CD, :AB为⊙0的直径， .∠ACB=90°，∴.AC⊥BC, AC∥OD, .∠CAD=∠AD0, 又.·∠CAD=∠CBE,∴.∠ADO=∠CBE: (2)解：AB=4, .OA=OB=OC=2 .'∠B0C=120°，OB=OC,0D⊥BC .∠COD=∠BOD=60°，∠OCD=∠OBD=30°， AC=7AB=2,0D=20B=1,BD=CD=5, .在Rt△ACD中，AD=√AC+CD= √22+(3)2=万， 一轮重 由(1)得AC∥0D, ·△CG△0c…See-2. 型 .AG 号w22 31 优 2.(1)证明：如解图，设AC与BD交于点M. A D 0 CF 第2题解图 CO的延长线垂直AB, ,AH=BH,∠AHC=∠BHC=90°， .AC=BC, ∴.∠HAC=∠HBC,∠OCB=∠OCA, ·点D为AC上一点，且LABD=∠OCB, .∠ACO=∠ABD, :∠BAC+∠OCA=90, ∠ABD+∠BAC=90, .∠AMB=90°，.AC⊥BD; (2)解：DF平分∠CDE, ∠CDF=∠EDF, 设∠CDF=∠EDF=x,则LCDE=2x, 14 安徽数学 .·四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ABC=∠CDE, ∴.∠BAC=∠ABC=∠CDE=2x, .∠ACH=90°-2x,∠ACD=∠ABD=90°- ∠BAC=90°-2x, .∠0CD=∠ACH+∠ACD=180°-4x, .∠OCD=∠CDF+∠DFC, .180°-4x=x+45°，解得x=27°， .∴.∠DCE=180°-x-45°=180°-27°-45°=108°. 3.（1)证明：如解图，F是△ABD的内心， .∠1=2，∠3=∠4， .CD=CB, .∠1=∠2=∠5， ∴.∠2+∠4=∠5+∠3， .∠CFB=LCBF, ∴.CF=CB, :AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， 第3题解图 ∴，△FCB是等腰直角三角形， .BF=√2BC; (2)解：如解图，作OG⊥AC于点G, ..AG=CG, 'BF=√2BC,∠CFB=∠CBF=45°， .CF=BC=3, A0=B0,.OG是△ABC的中位线， 0G=2c=, BF⊥OF,.∠BF0=90°，∴.∠0FG=45°， △0FG是等腰直角三角形FG=0G=子， 39 AG=CG=3+2=2, AF=AG+PG-号+号-6 4.（1)证明：如解图，连接0E,则0E=0A, ∴.∠OEA=∠DAE, ⊙O切BC于点E, ∴.BC⊥OE, ∴.∠OEC=∠ABC =90°， .OE∥AB, .∠OEA=∠EAF, .∠DAE=∠EAF, .DE =EF. 第4题解图 ∴.DE=EF; (2)解：BG=AG,∴.∠GBA=∠GAB, ∠GBE+∠GBA=90°，LGEB+∠GAB=90°， ∴.∠GBE=∠GEB,.BG=EG, .AG=EG,..AF=EF, 参考答案