微专题3 与函数有关的定点、交点、最值问题-【练客中考】2026年安徽新中考数学精讲册

微专题三 与函数有关的定点、交点、最值问题[5年5考] 类型1定点、定值问题(2025.23,2021.14) 通性通法 ⊙常考类型 1.特殊值法 1.一次函数过定点问题 方法：给参数赋予特殊值，得到具体的函数表达式，联立表达 (1)基本形式：对于一次函数y= 式求解方程组，得到的解即为定点坐标 x+b(k,b为常数，k≠0)，当x= 示例y=-x2+2mx+3m,令m=0和m=1,得到y=-x2和 0时，y=b,所以一次函数图象一 7-t+2x+3,联立两个方程可得定点(-子，-？》 定过点(0，b) 4 (2)含参数的一次函数：将函数 2.分离参数法 整理成y=k(x-a)+b的形式， 方法：对含有参数的项进行集中，将所有含参数的项进行因式 令x-a=0,即x=a,此时y=b, 微 分解，把参数提出来，提出公因式后令剩下的因式等于0，得 所以函数图象一定过点(a,b). 到一个关于自变量x的方程，解方程得到x的值，再代入表达 2.二次函数过定点问题 三 式得到y的值，即为定点坐标. (1)基本形式：对于二次函数y= 示例y=mx2+(1-2m)x+1-3m,整理得y=m(x2-2x- ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠ 与 3)+x+1,令x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,对应的y值 0),当x=0时，y=c,所以二次函 数 分别为4和0，所以定点为(3,4)和(-1,0). 数图象一定过点(0，c). 关 3.变换主元法 (2)含参数的二次函数：将函数 的 方法：把函数的表达式化为am=b(m为参数，a,b为含有x,y 整理成y=a(x-m)(x-n)+p 定 的代数式)的形式，令a=0且b=0,得到关于x,y的二元方程 的形式，令(x-m)(x-n)=0,即 组，方程组的解即为定点的坐标。 交 x=m或x=n,此时y=p,所以函 示例y=mx2+(1-2m)x+1-3m,整理得(x2-2x-3)m=义 数图象一定过点(m,p),(n,p). 二x-1,令x2-2x-3=0具y-x-1=0,解得x=3或x=-1 、最值 对应的y值分别为4和0，所以定点为(3,4)和(-1,0). 线针对训练 1.(2025芜湖三模改编)在平面直角坐标系中， 3. 优质原创已知抛物线y1=ax2+bx经过点 有直线L:y=m(x+4)-2(m≠0，m为常 (4,0),抛物线y2=2x2-4x,点A(x1,y1),点 数)，直线1经过的定点坐标为 B(x2,y2)分别在抛物线y1和y2上，且x2= 2.(2025滁州一模)已知抛物线y=-x2+(m- 2x1,若直线AB与x轴所夹锐角的正切值是 1)x+m的对称轴与x轴正半轴相交， 定值，求a,b的值. (1)不论m取何值时，该抛物线过一定点，则 该点坐标为 (2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)在该抛物线上， 且x2-x1=3,y2<0<y1,则m的取值范围 是 第三章函数 49 类型2与直线的交点问题(2021.22) 通性通法 例2直线y=x-4与x,y轴分别交于A,B 1.与直线的交点个数 两点，抛物线y=x2-3x-4经过A,B两点， (1)代数法 与x轴负半轴交于点F,C为第四象限抛物线 联立二次函数与直线表达式，根据一元二次 上一动点，过点C作CE⊥x轴于点E,交直线 方程根的判别式求解个数. AB于点D,D在C上方，求CD的最大值及此 (2)图象法 时点C的坐标 通过画出函数的图象和直线，直观地观察它 解：设C(x,x2-3x-4),D(x,x-4),则 们的交点个数. CD=yn-yc=x-4-(x2-3x-4)=-x2+ 2.已知与直线的交点求线段长 4x,开口向下的抛物线，其对称轴为直线x= (1)通过求交点坐标计算线段长度 2,当x=2时，CD有最大值为-22+4×2= 方法：先求出二次函数与直线的交点坐标，再 4,此时C(2,-6) 根据两点间距离公式计算线段长度.若线段 (3)利用几何变换求线段最值 微 平行于坐标轴，计算更简便，平行于x轴的线 方法：通过平移、旋转、对称等几何变换，将问 段长度为两点横坐标之差的绝对值，平行于 题转化为更易求解的形式，再结合二次函数 题 y轴的线段长度为两点纵坐标之差的绝 与直线的交点关系求解. 三 对值 与 例1二次函数y=x2-2x-3与直线y=x+ 例3已知二次函数了=一子-亭+2的图 1,求它们交点间线段的长度 象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）， 数 解：先联立方程x2-2x-3三x+1,解得x= 与y轴交于点C,P为其对称轴上一动点，当 -1或x=4,对应的y值分别为y=0,y=5, PB+PC最小时，求点P的坐标 所以交点为(-1,0)，（4,5).根据两点间距 解：求出A(-3,0),B(1,0),C(0,2),A,B 定 离公式，线段长度为√(4+1)2+(5-0)2= 关于对称轴对称，∴.PA=PB,连接AC,与对称 轴的交点即为P,此时PB+PC=PA+PC=AC √25+25=√50=5√2 交 最小.求出直线AC的解析式为y= 点 (2)利用函数性质求线段最值 3x+2, 方法：当线段与坐标轴不平行时，可将线段长 最 度表示为关于某变量的函数，再利用函数的 与=1联立，可得P(-1,). 问 性质（如二次函数的顶点式）求最值， 题 针对训练 4.(2025合肥寿春中学二模)在平面直角坐标 点，若二次函数y=x2-x+c(c为常数)在 系x0y中，已知点A(0,1),B(2,2),下列函 -2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的 数图象中，与线段AB没有公共点的是 取值范围是 ( 7.(2021安徽22题节选)已知抛物线y=ax2 A.y=5x B.y=-x+4 2x+1(a≠0)的对称轴为直线x=1.设直线 C.y=5 D.y=-x2+4 y=m(m>0)与抛物线y=ax2-2x+1交于 点A,B,与抛物线y=3(x-1)2交于点C,D, 5.(2025合肥蜀山区三模)直线y=2与y= 求线段AB与线段CD的长度之比， ax(1-x)的图象有两个不同的交点，则a的 取值范围是 6.（2025合肥蜀山区三模)新定义：若一个点的 纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍 50 安徽数学精讲册 8.（2025马鞍山一模节选)抛物线y=x2-4x与直线y=x交于原点0和点B,与x轴交于另一点A, 顶点为D.M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0<m< 5),连接0交直线0B于点E,求92的最大汽 类型3最值问题(2024.23,2022.23,2021.14) 微专题 通性通法 ②一轴：表示二次函数的对称轴； 1.利用二次函数顶点式求最值 ③开口：表示二次函数的开口方向， 与函 2.区间范围内利用增减性求最值 通过数形结合方法，根据函数的增减性分类 (1)二次函数区间最值类型 讨论解决问题. ①定轴定区间：对称轴和区间都固定； (3)四种区间情况讨论 ②定轴动区间：对称轴固定，区间动； ①对称轴在区间右边； ③动轴定区间：对称轴动，区间固定； ②对称轴在区间左边； 有关的定点 ④动轴动区间：对称轴和区间都动. ③对称轴在区间内，且靠近右端点； (2)解题方法三要素 ④对称轴在区间内，且靠近左端点. ①三点：区间的两个端点和中点； 例已知二次函数y=x2-mx-3,当-1≤x≤5时，求该函数的最大值和最小值.（用含m的式子表 交点、最值问题 示) 解题突破点 a=1>0,c=-3<0,对称轴为直线x=究，区间为-1≤x≤5（当对称轴在区间正中间时，最小值在x=受处取得， 最大值同时在x=-1或x=5处取得) 第三章函数51 当对称轴在区间左侧当对称轴在区间右侧 当对称轴在区间之间，且更靠 当对称轴在区间之间，且更靠近直 时，即受≤-1 时，即受≥5 近直线x=-1时，即-1< 2 线x=5时，即-1< 2<5,且5 <5,且5-受>%-(-1) <-(-) 5花 直线x=罗 直线x=罗 直线x= 直线=受 金针对训练 9.(2025合肥庐阳区校级二模)若直线x=-1 12.(动轴定区间)已知二次函数y=-x2+2x-3 微 是二次函数y=（x+p)(x+q)图象的对 (m>0),当-1≤x≤3时，函数的最大值为 称轴。 1,求m的值. 题 (1)该抛物线顶点的纵坐标的最大值为 (2)在0≤x≤1时，y的最大值为 10.(2025芜湖模拟)已知点A(x1,m)在抛物线 函数有关的 y=-x2+4x+c(c为常数)上，点B(x2,n) 在抛物线y=-x2+2x+c上.若x2=2x1+ 0.5,求n-m的最大值. 点、交点、最值问题 13.(定轴动区间)已知二次函数y=x2-6x+5, 11.(定轴定区间)已知二次函数y=mx2-2mx+ 当m≤x≤4时，函数的最大值与最小值的和 3(m为常数，且m≠0)，当-1≤x≤2时，函 为-7，求m的取值范围. 数的最小值为2，求m的值. 温馨提示请完成《课后提升练》P24~25习题 52 安徽数学精讲册(4)x<1;(5)-5;(6)y2>y1=y3(或y3=y1<y2). 例2(1)2-2x+2:(2)(x+1)2+3: (3)2(x+3)(x-2)或-2(x+3)(x-2) 变式2b=4例3A变式32 例4(1)x1=-1,x2=5;(2)(0,2),(4,2); (3)-1<x<5,x<0或x>4 变式4B 安徽真题随堂测 1.B2.(1)(1,-4);(2)0<a≤1或a≤-4 3.y=x+3x-4 精 4.a=1,抛物线与x轴交点坐标为(3,0)和(-1,0) 讲 5.抛物线的表达式为y=-x2-3x+4; 册 顶点坐标为(-多宁 6抛物线的函数表达式为y=-2+x+4 7.(1)0:(2)2 第五节二次函数的图象与系数a,b,c的关系 教材知识夯基础 ①左②右③正④负⑤没有 例(1)<；(2)>；(3)=；(4)>，>；(5)=，=； (6)=;(7)> 变式B 安徽真题随堂测 1.C2.D3.A4.C5.C 微专题三与函数有关的定点、交点、最值问题 类型1定点、定值问题 1.(-4,-2)2.(1)(-1,0);(2)1<m<2 3.a=8,b=-32 类型2与直线的交点问题 4.C5.a<0或a>86.-4<c<4 9 7铝=百8器的最大值为院 类型3最值问题 例解：当m≤-2时，该函数的最大值为22-5m,最 小值为m-2; 当-2<m≤4时，该函数的最大值为22-5m,最小 值为-T-3: 当4<m<10时，该函数的最大值为m-2,最小值 为- -3 当m≥10时，该函数的最大值为m-2,最小值为22 -5m. 9(1)0:(2)410.-m最大值为号 1.m的值为1或-号12.m=2 13.m的取值范围为2≤m≤3 第六节二次函数性质综合题 题型精讲攻重难 例1（1)抛物线的对称轴是直线x=2; 又 安徽数学 1 (2)(i)y>y()a=2,b=-2 例2(1)抛物线表达式为y=-x2-3x+4, 顶点坐标为(-2孕： (2)}≤7≤空：(3)m2-2m的最大值为15 安徽真题随堂测 1.(1)b=4;(2)h=3;()h最大值为号 2.(1)点B在直线y=x+m上，理由略； (2)a=-1,b=2; (3)平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大 值为子 3.(1)a为-1，b为4；(2)(i)SA0n+S△4ce=2; ()存在，4=3 第七节二次函数的实际应用 题型精讲攻重难 例1（1)抛物线的函数表达式为y=-x2+16(-4 ≤x≤4)； (2)答：DE的长为6米，CF的长为3米； (3)符合设计要求的矩形周长的最大值为☑米 例2任务1：50-x; 任务2：y与x之间的函数表达式为y=-5x2+120x +4000(x≥20)： 任务3：每天安排20人加工“旗袍”，30人加工“国 风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是 4400元 安徽真题随堂测 L解：1)y=-言+8： (2)(il=-2m2+2m+24,1的最大值为26： (i)方案一：矩形PP2P3P4的面积最大值为27， 此时点P,的横坐标的取值范围为-√30+9≤p ≤√30. 方案二：矩形PP,PPR,的面积最大值为， 此时点B的横坐标的取值范围为-V万+是≤印 ≤w21 2.(1)y=-(x-1)2+2.25;(2)0.3<d<1.7; 3.(1)y1=0.6xy2=-0.2x2+2.2x; (2)(i)W=-0.2(t-4)2+9.2, 答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是 9200元； (i)答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400 元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适 参考答案