3.7 二次函数的实际应用-【练客中考】2026年安徽新中考数学精讲册

第七节 二次函数的实际应用 [2022.23,14分] Q2022年版课标重要变化 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能解决相应的实际问题（改动） 题型精讲攻重难 题型1)抛物线型问题 解题突破点 例1(2025合肥蜀山区三模)问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园 ①如图3，建立坐标系， 的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB AB=8,则OA=0B=4→ 点A,B坐标可求； 组成的封闭图形，点A,B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进 行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案 ②顶点为P,且P0=16 方案设计：如图2，·4B=8米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P,与4B →顶点P坐标可求； 交于点0，。点P是抛物线的顶点，具P0=16米.明明同学设计的方案 如下： ③△ACB是直角三角形， 第一步：®在线段OP上确定点C,使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC,BC 且AC,BC关于OP对称 分隔出△ABC区域，种植串串红； →△ACB是等腰直角三 第二步：在线段CP上取点F(不与C,P重合)，。过点F作AB的平行 角形； 线，交抛物线于点D,E.用篱笆沿DE,CF将线段AC,BC与抛物线围成的 区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季 ④点C,F的横坐标相等， 方案实施：学校采用了明明的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔 利用纵坐标可求CF长； 后，·发现仅剩9米篱笆材料若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需 ⑤点D,F,E的纵坐标相 确定DE与CF的长.为此，如图3建立平面直角坐标系， 等，根据表达式，设点D, 解决问题： E横坐标，则DE长度 (1)求抛物线的函数表达式； 可求； (2)当9米材料恰好用完时，分别求DE与CF的长； (3)种植区域分隔完成后，明明又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯 DE+CF=9; 带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个 顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC,BC上，求符合设计要求 ⑦矩形的四条边分别垂 的矩形周长的最大值. 直于y轴和平行于y轴， 根据两点间距离公式表 海棠 海 海棠 示线段长，注意矩形关于 y轴对称，列出函数关系 花 式，根据顶点纵坐标求最 海 海 大值. B 图1 图2 图3 例1题图 56 安徽数学精讲册 题型2利润问题 解题突破点 例2(2025安徽校级模拟)【生产背景】背景1：某服装厂安排50名工人 ①若有x名工人，则加工 加工生产“旗袍”和“国风女装”，因工艺需要，·每名工人每天可加工且只 x件旗袍，或2x件国风 女装； 能加工1件旗袍或2件国风女装 背景2：每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情 ②多加工1件，每件旗袍 况是： 利润少5元，若多加工x (1)旗袍：®当每天加工20件时，每件旗袍获利100元，如果每天多加工1 件，每件利润少5x元，则 件，那么平均每件旗袍的获利将减少5元； 每件的利润为100-5x; (2)国风女装：每件获利40元. 【探究任务】现在安排x(x≥20)名工人加工旗袍，服装厂每天的总利润为 y元. 任务1：用含x式子表示加工国风女装的工人人数； 任务2：求y与x之间的函数表达式； 任务3：®制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润 ③根据关系式：利润=每件 是多少？ 的利润×数量，总利润=国 风女装的利润+旗袍的 利润，列函数关系式，根 据二次函数最值性质求 最大值. 通性通法+++++++++++++++++++++++一 利润问题求最值 (1)设未知数：可以设售价为x,也可以设价格的变化量为x,即涨了x元或降 了x元，根据题目情况选择合适的设未知数方法； (2)建立函数关系式：根据已知条件，建立单个利润和销售量与未知数x之 间的函数关系式，再根据总利润公式建立二次函数关系式； (3)求二次函数的最值：将二次函数一般式通过配方法转化成顶点式求 最值； (4)考虑实际意义：根据题目中的实际限制条件，如售价的范围、销售量的范 围等，确定自变量的取值范围，然后在该范围内求二次函数的最值. 第三章函数 57 安徽真题随堂测 @建议用时：30分钟 命题点1)抛物线型问题(2022.23) 1.(2022安徽23题14分)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边 BC为12米，另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平 面直角坐标系xOy,规定一个单位长度代表1米.E(0,8)是抛物线的顶点 (1)求此抛物线对应的函数表达式； B 0 C 第1题图1 (2)在隧道截面内（含边界）修建“T门”型或“H”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1,P4在x 轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长1为图中粗线段PP2,P2P3,P3P4,MN长 度之和，请解决以下问题： (i)修建一个“T门”型栅栏，如图2，点P2,P3在抛物线AED上.设点P的横坐标为m(0<m≤6)， 求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； BP O(M)P C 第1题图2 (i)现修建一个总长为18米的栅栏，有如图3所示的“T口”型和“円”型两种设计方案，请你从中选 择一种，求出该方案下矩形PP2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P的横坐标的取值范围(P, 在P4右侧). B P OM P Cx C 图3（方案一） 图3（方案二） 第1题图 58安徽数学精讲册 拓展训练 命题点2利润问题(2018.22,2017.22) 2.(2025合肥庐阳区校级模拟)某公园要在小 拓展训练 广场建造一个喷泉景观.在小广场中央0处 3.（2025安庆二模)根据对某市相关的市场物 垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱 价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批 子OA,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷 发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1(千元)》 水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线 与进货量x(吨)之间的函数y1=x的图象如 路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线 图1所示，乙种蔬菜的销售利润y2(千元)与 路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设 进货量x(吨)之间的函数y2=ax2+bx的图 计成水流在距OA的水平距离为1米时达到 象如图2所示。 最大高度，此时离地面2.25米， (1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式 (1)以点0为原点建立如图2所示的平面直 (2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10 角坐标系，水流到直线OA的水平距离为x 吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨， 米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限 ()写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和 内的抛物线表达式（不要求写出自变量的取 W(千元)与t(吨)之间的函数关系式.并求 值范围)； 当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润 (2)张师傅在喷泉景观内维修设备期间，喷 之和最大，最大利润是多少元？ 水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却 (ⅱ)为了获得两种蔬菜的利润之和不少于 没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距 8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内 离为d米，求d的取值范围； 合适？ (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面 y(千元) ↑（千元） B,C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成 45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱 子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解 x(吨) 析式为y=-x+4,求光线与抛物线水流之间 图 图2 的最小垂直距离 第3题图 O地面 图1 图2 图3 第2题图 ©培优题型链接 二次函数的实际应用 见《二轮重难题型培优》P29~31 温馨提示请完成《课后提升练》P28~29习题 第三章函数 59(4)x<1;(5)-5;(6)y2>y1=y3(或y3=y1<y2). 例2(1)-2x+2:(2)。(x+1)2+3: (3)2(x+3)(x-2)或-2(x+3)(x-2) 变式2b=4例3A变式32 例4(1)x,=-1,x2=5;(2)(0,2),(4,2): (3)-1<x<5,x<0或x>4 变式4B 安徽真题随堂测 1.B2.(1)(1,-4);(2)0<a≤1或a≤-4 3.y=x2+3x-4 精 4.a=1,抛物线与x轴交点坐标为(3,0)和(-1,0) 讲 5.抛物线的表达式为y=-x2-3x+4: 册 顶点坐标为（一孕） 6抛物线的函数表达武为y=一子+x+4 7.(1)0:(2)2 第五节二次函数的图象与系数a,b,c的关系 教材知识夯基础 ①左②右③正④负⑤没有 例(1)<；(2)>；(3)=；(4)>，>；(5)=，=； (6)=;(7)> 变式B 安徽真题随堂测 1.C2.D3.A4.C5.C 微专题三与函数有关的定点、交点、最值问题 类型1定点、定值问题 1.（-4,-2)2.(1)(-1,0):(2)1<m<2 3.a=8,b=-32 类型2与直线的交点问题 4.C5.a<0或a>86.-4<c<4 .9 7品=58器的最大值为资 类型3最值问题 例解：当m≤-2时，该函数的最大值为22-5m,最 小值为m-2; 当-2<m≤4时，该函数的最大值为22-5m,最小 值为-年-3 当4<m<10时，该函数的最大值为m-2,最小值 为--3 当m≥10时，该函数的最大值为m-2,最小值为22 -5m. 9.(1)0:(2)410.-m最大值为号 1.m的值为1或-号12.m=2 13.m的取值范围为2≤m≤3 第六节二次函数性质综合题 题型精讲攻重难 例1(1)抛物线的对称轴是直线x=2; 又 安徽数学 1 (2)(i)%>y:(i)a=2,b=-2 例2(1)抛物线表达式为y=-x2-3x+4, 顶点坐标为(-之学： (2)≤y=空：(3)m2-2m的最大值为15 安徽真题随堂测 1.(1)6=4:(2)h=3:()h最大值为 2.（1)点B在直线y=x+m上，理由略； (2)a=-1,b=2: (3)平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大 值为子 3.(1)a为-1，b为4；(2)(i)S△on+SAACE=2: ()存在4= 第七节二次函数的实际应用 题型精讲攻重难 例1(1)抛物线的函数表达式为y=-x2+16(-4 ≤x≤4)： (2)答：DE的长为6米，CF的长为3米： (3)符合设计要求的矩形周长的最大值为？米 例2任务1：50-x; 任务2：y与x之间的函数表达式为y=-5x2+120x +4000(x≥20)； 任务3：每天安排20人加工“旗袍”，30人加工“国 风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是 4400元 安徽真题随堂测 1解：(y=石+8： (2)(i1=-2m2+2m+24,1的最大值为26： (i)方案一：矩形P,PP,P4的面积最大值为27， 此时点P,的横坐标的取值范围为-30+9≤p ≤√30. 方案二：矩形PPPA,的面积最大值为， 此时点P的横坐标的取值范围为-V21+号≤印 ≤/21 2.(1)y=-(x-1)2+2.25;(2)0.3<d<1.7: (3)子米 3.(1)y1=0.6xy2=-0.2x2+2.2x; (2)(i)W=-0.2(t-4)2+9.2, 答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是 9200元； (i)答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400 元，则乙种蔬菜进货量应在2≤1≤6范围内合适 参考答案