3.4 二次函数的图象与性质-【练客中考】2026年安徽新中考数学精讲册

第四节 二次函数的图象与性质 [必考，14~18分] Q2022年版课标重要变化 ①能用描点法画二次函数的图象（删除），通过图象了解二次函数的性质 ②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增） ③会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增），能解决相应的实际问题（改动） ④知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增） ⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数（删除） 教材知识夯基础 知识点1二次函数的图象与性质难点 知识梳理 例1一题串知识已知二次函数y=-x2+2x+3,尝 表达式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 试探究该函数图象的性质，并解答下列问题 开口 开口向上 开口向下 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出该二次函 方向 (a>0) (a<0) 数的图象； 大致 3头 图象 2 1 2寸023文 对称轴 直线x=① -1日 顶点坐标 ② -2 例1题图 在对称轴左侧，y在对称轴左侧，y 随x的增大而随x的增大而 (2)顶点坐标是 减小； ④ (3)该二次函数的图象与x轴的交点坐标为 增减性 在对称轴右侧，y在对称轴右侧，y 和 随x的增大而随x的增大而 (4)当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ③ ⑤ (5)当0<x≤4时，y的最小值是 当x=- 当x=- (6)若点A(-2),B(2,),C()在该二次函 会时， 时 最值 y有最小值，为y有最大值，为 数的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 ⑥ @ 通性通法 比较二次函数值大小的方法 【知识拓展】二次函数图象的对称轴的不同求法 已知图象上几个点的横坐标，比较其纵坐标的大小： (1)顶点式：y=a(x-h)2+k的图象的对称轴 (1)代入求值比较大小； 为直线x=h: (2)根据函数增减性比较大小：若这些点在对称轴的同 (2)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)的图象的对称 一侧，可通过增减性比较；若不在对称轴的同一侧，可利 轴为直线=+名。 2 用对称性，转化为在同一侧，然后再进行比较； (3)已知抛物线上纵坐标相等的两点A(x1,y), (3)根据距离法比较大小：若开口向上，则离对称轴越远，函 数值越大，若开口向下，则离对称轴越远，函数值越小， B(西)，则对称轴为直线=名+ 2 第三章函数 43 知识点2二次函数表达式的确定重点 知识梳理 例2已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 1.三种表达式(a≠0) (1)若该二次函数的图象经过(0,2)，（1,1)，（3,5) (1)一般式：y=ax2+bx+c; 三点，则表达式为y= ;(用一 (2)顶点式：y=ax+2总2+a 4a 般式表示) (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1, (2)已知二次函数的最小值为3，对称轴为直线 x2是抛物线与x轴交点的横坐标 x=-1,且经过点(2,8)，则表达式为y= 【知识拓展】对称点式：y=a(x-x1)(x-x2)+ (用顶点式表示) k,其中(x1,k),(x2,k)是抛物线上两点。 (3)【易错】若该二次函数的图象与x轴的交点坐标 2.待定系数法求表达式 为(-3,0)，(2,0)，且与二次函数y=2x2的图象形状 (1)表达式已给出，需要求几个字母，则找出 相同，则表达式为y= (用交点 抛物线上的几个点的坐标代入，联立方程 式表示) (组)求解； 变式2（2025合肥校级模拟)若抛物线y1=-x2+bx+ (2)表达式未给出，则需要设表达式(a≠0)； 1的顶点横坐标比抛物线y2=-x2+2x+1的顶点横 已知任意三个点的坐标 y=ax2+bx+c 坐标大1，求b的值， 已知顶点坐标 y=a(x-h)2+h 已知纵坐标相同的点 已知与x轴的两个交点 坐标 y=a(x-x1) 已知与x轴的一个交点+ （x-x2) 对称轴 知识点3二次函数图象的变换 知识梳理 例3(2025合肥庐阳区校级模拟)将抛物线y=x2向 1.二次函数图象的平移变换 右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物 设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k(h, 线的表达式为 ( k为常数，a≠0) A.y=(x-2)2-3 平移方式 平移后 口诀 B.y=(x+3)2-2 (m>0)】 的表达式 C.y=(x+2)2-3 向上平移 y=a(x-h)2 给等号右边 D.y=(x-3)2+2 m个单位 +k+m 整体上“+” 技巧点拨+++++++++++++++++++ 向下平移 ⑧ 下“-” 二次函数图象的平移 m个单位 (1)实质是图象上所有点的平移（一般研究顶点坐标）； 向左平移 y=a(x-h+ (2)平移过程中a的值不变，因此可以先求出其顶点坐 m个单位 m)2+k 给x左“+” 标，再根据点坐标的平移规律求解. 向右平移 右“-” ⑨ m个单位 变式3若抛物线y=a(x-1)2+3先向右平移1个单位， 2.二次函数图象的轴对称变化 再向上平移2个单位后经过点(1,7)，则a= (1)关于x轴对称，x不变，y变相反数； (2)关于y轴对称，y不变，x变相反数 44 安徽数学精讲册 知识点4二次函数与方程、不等式的关系 知识梳理 例4一题串知识沪科九上P34T2改编】如图是二 1.二次函数与方程的关系 次函数y=ax2+bx+c的部分图象，根据图象解决下 (1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交 列问题： 点的横坐标台一元二次方程ax2+bx+c=0 的根； (2)①二次函数y=aa2+bx+c的图象与x 2 轴有两个交点b2-4ac>0台一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； 例4题图 ②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 (1)方程ax2+bx+c=0的解是 且只有一个交点b2-4ac=0台一元二次方 (2)直线y=2与抛物线的交点坐标是 程ax2+bx+c=0有两个⑩ 的实 (3)不等式ax2+bx+c>0的解集是 ,不等 数根 式ax2+bx+c<2的解集是 ③二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没 技巧点拨十+++++++++++++++十++ 有交点台b2-4ac<0曰一元二次方程ax2+ 求一元二次方程ax2+bx+c=m(a≠0，m≠0)的根或不 bx+c=0① 实数根。 等式ax2+bx+c>m(a≠0，m≠0)的解集，可转化为求抛 2.二次函数与不等式的关系 物线y=ax2+bx+c与直线y=m的交点，再借助数形结 (1)不等式ax2+bx+c>0的解集台二次函 合思想分析判断 数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方部分 十十#十一十一十十 对应的x的取值范围； 变式4(2025阜阳三模)已知P(1,3),Q(2,4), (2)不等式ax2+bx+c<0的解集台二次函 M(2,2),N(1,1),若抛物线y=ax2+bx+2与x轴有 数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方部分 两个交点，则此抛物线可能经过 对应的x的取值范围。 A.点P和点Q B.点P和点M C.点Q和点M D.点M和点N 安徽真题随堂测 建议用时：20分钟 命题点1]二次函数的图象与性质（必考）】 拓展训练 2.(2025合肥包河区一模)已知抛物线y=ax2 1.（2025合肥蜀山区模拟)在平面直角坐标系 2a2x-3(a≠0) 中，二次函数y=ax2-2ax+a(a≠0)的图象 (1)当a=1时，抛物线的顶点坐标为 可能是 (2)点A(3a,y1),B(n,y2)为抛物线上两点， 若3<n<4,总有y1<y2,则a的取值范围 是 第三章函数 45 命题点2二次函数表达式的确定（必考） 6.[2025合肥校级模拟节选(1)]直线y=-x+ 拓展训练 4与x轴、y轴分别交于点A与点B,抛物线 3.[2025芜湖一模节选(1)]在平面直角坐标系 y=-2+低+经过点A,B求抛物线的函 中，设函数y=(x-m)(x-n)(m,n是实 数表达式 数).当m=1时，若该函数的图象经过点(2， 6),求函数的表达式， 4.[2025合肥庐阳区二模节选(1)]已知二次函 数y=ax2-（a+1)x-2a-1(a为常数，a> 0).若该二次函数图象关于直线x=1对称， 求a的值及抛物线与x轴交点坐标. 5.[2025合肥包河区二模节选(1)]已知抛物线 y=ax2+bx+c交x轴于A(-4,0),B两点， 交于轴于点c(0,4),对称轴为直线=一》 ©培优题型链接 二次函数性质 求抛物线的表达式及顶点坐标. 见《二轮重难题型培优》P26 命题点3二次函数图象的平移(2021.14) 7.（2021安徽14题5分)设抛物线y=x2+ (a+1)x+a,其中a为实数 (1)若抛物线经过点(-1，m),则m=; (2)将抛物线y=x2+（a+1)x+a向上平移 2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大 值是 温馨提示清完成《裸后提升练》P20~21习题 46安徽数学精讲册第三节一元二次方程及其应用 教材知识夯基础 ①±Vm②-m±Vn③x=-b±yB-4ac 2a ④62-4ac⑤>⑥相等⑦无⑧-6⑨ a ⑩a(1+x)2①a(1-x)2②(a-2x)(b-2x) B(a-x)(b-x)④(a-x)(b-x） 安徽真题随堂测 5 1.x1=3,x2=-12.为1=3,62=-2 3.D4.25.C6.B7.A 8.(1)500: (2)答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 第四节一元一次不等式（组）及不等式的应用 教材知识夯基础 ①>②>③<④x<a⑤x≤a⑥x≤b ⑦无解 安徽真题随堂测 1.C2.A3.x>44.B5.A 6.答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个 微专题二代数推理 一阶练思维 例1D例2A例3D例4D例5C 二阶练能力 1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.C 8.A9.D10.D11.C12.C13.15 14.(1)2;(2)11 第三章函数 第一节平面直角坐标系与函数 教材知识夯基础 ①(-，+)②(+，-）③y=0④x=0 ⑤x=-y⑥纵坐标⑦横坐标⑧(-x,y) ⑨(-x,-y）0(x-c,y）①(x+c,y) 2(-y,x)B(-x,-y）④ly1⑤1x ⑥ly2-y1I⑦x≥0⑧x>0 例1（1)二，（-2,3)；(2)(-2，-3)，(2,3)，(2 -3);(3)右，2；(4)5；(5)(-2,4)（答案不唯一） 变式1-1(1)m>1;(2)三 变式1-2(1)1；(2)(6，-3)，(-2,9) 例2(1)5；(2)2√10，(-4，-1)； (3)(0,-4)或(-6，-4) 变式2(1)3或-1；(2)-1 例3-1(1)x≤1且x≠-2；(2)-2<x≤1；(3)x> -2且x≠-1；(4)全体实数 例3-2A变式3C 安徽真题随堂测 1.A2.D3.A变式A4.B 第二节一次函数及其应用 教材知识夯基础 ①b=0②一、三③二、三、四④减小 安徽数学 ⑤(-名，0)⑥(0,6)@y=+b-m ®y=(x-m)+6⑨x=-冬四 ly=q 例1(1)C:(2)-三、四，(2,0)：(3)k<0: (4)-2(答案不唯一) 变式1-1B变式1-2A 例2-1B 例2-2(1)y=2x-4;(2)上，1；(3)4； 1 (4)y=2x-3:(5)y=-2x+2 3 例3x≤2 精 【拓展设问】(1) {=2:2x<2(3)= 册 9 2 y=6 例4C变式4C 安徽真题随堂测 1.D2.D3.D4.B5.D 第三节反比例函数及其应用 教材知识夯基础 ①二、四②异号③减小④增大⑤y=-x ⑥原点⑦1k1⑧b 例1(1)k<0; (2)①=名，②-1<y<0:③x<-2或x>0:④<： (3)(1,2);(4)y1<y3<2 例22+25变式2-1-35变式2-26 例3（1)y-是y=2s-5 (2)自变量x的取值范围为x<- 2或0<x<4 (3)点M的坐标为（名.0）： (4)E的坐标为（号，0）或（分，0）.。 变式324例43 安徽真题随堂测 1.A2.33.(1)3;(2)44.A5.2 6(1)a=-乃k=6:(2)△C0D的面积为16 7(1m=3-子： (2)作图略； x的取值范围是x>3或-3<x<0 第四节二次函数的图象与性质 教材知识夯基础 ①-品@(-品“。增大0增大 5减小64c-&⑦4ac-& 4a Aa ⑧y=a(x-h)2+k-m ⑨y=a(x-h-m)2+k⑩相等①没有 例1(1)作图略；(2)(1,4)；(3)（-1,0)，(3,0)； 参考答案 3 (4)x<1;(5)-5;(6)y2>y1=y3(或y3=y1<y2). 例2(1)2-2x+2:(2)(x+1)2+3: (3)2(x+3)(x-2)或-2(x+3)(x-2) 变式2b=4例3A变式32 例4(1)x1=-1,x2=5;(2)(0,2),(4,2); (3)-1<x<5,x<0或x>4 变式4B 安徽真题随堂测 1.B2.(1)(1,-4);(2)0<a≤1或a≤-4 3.y=x+3x-4 精 4.a=1,抛物线与x轴交点坐标为(3,0)和(-1,0) 讲 5.抛物线的表达式为y=-x2-3x+4; 册 顶点坐标为(-多宁 6抛物线的函数表达式为y=-2+x+4 7.(1)0:(2)2 第五节二次函数的图象与系数a,b,c的关系 教材知识夯基础 ①左②右③正④负⑤没有 例(1)<；(2)>；(3)=；(4)>，>；(5)=，=； (6)=;(7)> 变式B 安徽真题随堂测 1.C2.D3.A4.C5.C 微专题三与函数有关的定点、交点、最值问题 类型1定点、定值问题 1.(-4,-2)2.(1)(-1,0);(2)1<m<2 3.a=8,b=-32 类型2与直线的交点问题 4.C5.a<0或a>86.-4<c<4 9 7铝=百8器的最大值为院 类型3最值问题 例解：当m≤-2时，该函数的最大值为22-5m,最 小值为m-2; 当-2<m≤4时，该函数的最大值为22-5m,最小 值为-T-3: 当4<m<10时，该函数的最大值为m-2,最小值 为- -3 当m≥10时，该函数的最大值为m-2,最小值为22 -5m. 9(1)0:(2)410.-m最大值为号 1.m的值为1或-号12.m=2 13.m的取值范围为2≤m≤3 第六节二次函数性质综合题 题型精讲攻重难 例1（1)抛物线的对称轴是直线x=2; 又 安徽数学 1 (2)(i)y>y()a=2,b=-2 例2(1)抛物线表达式为y=-x2-3x+4, 顶点坐标为(-2孕： (2)}≤7≤空：(3)m2-2m的最大值为15 安徽真题随堂测 1.(1)b=4;(2)h=3;()h最大值为号 2.(1)点B在直线y=x+m上，理由略； (2)a=-1,b=2; (3)平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大 值为子 3.(1)a为-1，b为4；(2)(i)SA0n+S△4ce=2; ()存在，4=3 第七节二次函数的实际应用 题型精讲攻重难 例1（1)抛物线的函数表达式为y=-x2+16(-4 ≤x≤4)； (2)答：DE的长为6米，CF的长为3米； (3)符合设计要求的矩形周长的最大值为☑米 例2任务1：50-x; 任务2：y与x之间的函数表达式为y=-5x2+120x +4000(x≥20)： 任务3：每天安排20人加工“旗袍”，30人加工“国 风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是 4400元 安徽真题随堂测 L解：1)y=-言+8： (2)(il=-2m2+2m+24,1的最大值为26： (i)方案一：矩形PP2P3P4的面积最大值为27， 此时点P,的横坐标的取值范围为-√30+9≤p ≤√30. 方案二：矩形PP,PPR,的面积最大值为， 此时点B的横坐标的取值范围为-V万+是≤印 ≤w21 2.(1)y=-(x-1)2+2.25;(2)0.3<d<1.7; 3.(1)y1=0.6xy2=-0.2x2+2.2x; (2)(i)W=-0.2(t-4)2+9.2, 答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是 9200元； (i)答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400 元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适 参考答案