3.1 平面直角坐标系与函数-【练客中考】2026年安徽新中考数学精讲册

品数知识脉络图 待定系数法求表达式，也 各象限内的点 坐标轴上的点 点的坐 可根据k的几何意义求解 各象限角平分线上的点 标特征 >0 表达式y=k≠0) 与坐标轴平行的直线上的点 无限接近坐标轴， 图象。双曲线 啡 但与坐标轴永不相交 对称 点的坐 增减性 注意反比例函数讨论增 平移：左减右加，上加下减 标变换 性质 减性需在每个象限内 旋转 对称性 平面直角 反比例函数 (0) 点到坐标轴、原点的距离 k的几何意义 点的距 坐标系与 SE形OAPB= B P(x,y） 平行于坐标轴的直线上的两点的距离 离特征 函数初步 与一次函数、几何图形综合问题 平面内两，点之间的距离 OA x 常量与变量 实际应用行程问题、工程问题、跨学科问题、其他生活问题 函数的表示方法：列表法、解析法、图象法 函数及 待定系数法求表达式 图 自变量的取值范围]， 相关概念 画函数图象的步骤：列表、描点、连线 函数 一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 函数图象的分析与判断 表达式 顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0) >0y 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) b>0 a>0 S 0 图象。抛物线 b<0 开口方向。a>0,开口向上；a<0,开口向下 待定系数法求表达式 一次函数：y=+b,b为常数，k≠0) 表达式 顶点坐标：会兰 正比例函数：y=kk≠0) 二次函数 顶点坐标与对称轴 对特轴：直线一立 一条直线 图象 性质 增减性由开口方向和对称轴共同决定 k的正负决定增减性 最小值：4ac-b b的正负决定函数图象与y轴的交点位置 a>0 4a 与x轴交点坐标(-冬，0) 性质 一次函数 最值 最大值：4ac-b2 a<0 Aa 与y轴交点坐标(0，b) 系数a,b,c与图象的关系 注意区别，点的平移规律 与方程（组）、不等式的关系 图象平移规律：左加右减，上加下减 最优方案或方案选择问题、行程问题、利润问题实际应用 与方程、不等式的关系 实际应用。抛物线型问题、利润问题、几何图形面积问题 核心素养：抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识 第一节平面直角坐标系与函数 [5年2考，4分] Q2022年版课标重要变化 ①结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例（删除） ②理解函数值的意义（新增） ③结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置（删除） 教材知识夯基础 知识点平面直角坐标系中点的坐标特征 知识梳理 例1一题串知识点A(a,b)在平面直角坐标系中的1.各象限内的点 位置如图所示。 4 第二象限3第一象限 ① 2 (+,+) -43-2-10 1234元 第三象限-2 第四象限 3 3210 234x ② 2.坐标轴上的点 (1)点(x,y)在x轴上③ (2)点(x,y)在y轴上④ 例1题图 (3)原点的坐标为(0,0) (1)点A在第 象限，点A的坐标为 3.各象限角平分线上的点 (2)点A关于x轴对称的点的坐标为 ,关于y (1)点(x,y)在第一、三象限的角平分线上台 轴对称的点的坐标为 ,关于原点对称的点的 x=y; (2)点(x,y)在第二、四象限的角平分线上台 坐标为 ； ⑤ (3)点A向 平移 个单位长度后，得 4. 与坐标轴平行的直线上的点 到的点在y轴上； (1)平行于x轴的直线上的点的⑥ (4)点A向下平移 个单位长度后，得到的点 相等； 在第三象限的角平分线上； (2)平行于y轴的直线上的点的⑦ (5)若直线AP∥y轴，则点P的坐标可以为 相等 5.点的对称 (写出一个即可) 变式1-1(2025芜湖模拟)在平面直角坐标系中，已 (1)P(x,y) 关于x轴对称P,(x,-y): 关于y轴对 知点P(m+3,-m+1): (2)P(x,y) →P2⑧ (1)若点P在第四象限，则m的取值范围 (3)P(x,y) 关于原点对称P,⑨】 是 (4)P(x,y) 关于(a,b)对称P,(2a-x,2b-y): (2)若m为任意实数，则点P不可能在第 【巧记口诀】关于谁对称(x轴或y轴)，谁不变， 象限 另一个相反；关于原点对称都相反， 第三章函数 31 变式1-2【人教九上P70T4改编)已知平面直角坐标6.点的平移 系中有两点A(a,-3),点B(-2,b+2) (1)P(x,y) 向上平移c个单位长度P,(x,y+c)； (1)若点A与点B关于原点对称，则a-b= (2)P(x,y) 向下平移e个单位长度P,(x,y-c); (2)若点A与点B关于点C(2,3)对称，则点A的坐标 (3)P(x,y) 向左平移e个单位长度P,⑩ 为 ,点B的坐标为 (4)P(x,y) 向右平移e个单位长度，P,@ 【巧记口诀】纵坐标y上加下减，横坐标x右加 左减 7.点的旋转 (1)P(x,y)绕原点顺时针旋转90°的对应点 P(y,-x); (2)P(x,y)绕原点逆时针旋转90°的对应点 P2② (3)P(x,y)绕原点旋转180°的对应点 P,B 知识点2平面直角坐标系中的距离 知识梳理 例2一题串知识在平面直角坐标系中，已知点A1.点到坐标轴及原点的距离 （-3,-4) (1)点(x,y)到x轴的距离为④ (1)点A到原点的距离为 (2)点(x,y)到y轴的距离为固 (2)若点B的坐标为(-5,2)，则A,B两点间的距离 (3)点(x,y)到原点的距离为√x2+y2. 为 线段AB的中点坐标为 2.平面内两点间的距离 (3)【易错】若直线AC∥x轴，且线段AC=3,则点C 任意两点A(x1,y1),B(x2,y2): 的坐标为 (1)若点A,B在x轴上或AB∥x轴，则 AB=1x2-%1; 变式2在平面直角坐标系中，已知点P(2m+4,m- (2)若点A,B在y轴上或AB∥y轴，则 1) AB=⑥ (1)【易错】若点P到x轴的距离是2，则m的值 是」 (3)AB=√(x2-x)2+(y2-1); (2)若点P到两坐标轴的距离相等，且点P在第四象 (④线段4的中点坐标为(，””)。 2 限，则m的值是 知识点3函数及函数图象重难点 知识梳理 例3-1求下列函数自变量的取值范围： 1.函数的概念 (1)y=-x 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x, x+2 y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个 值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说 (2)y= 1-x Nx+2 y是x的函数，其中x是自变量. 2.函数的表示方法 (3)y= 1 +（(x+1)°： √Jx+2 列表法、解析法、图象法 3.画函数图象的步骤 (4)y= 1 √x2+x+1 列表→描点→连线。 32安徽数学精讲册 例3-2(2025合肥庐阳区一模)如图，已知菱形 4.函数自变量的取值范围 ABCD的边长为3，点E从点A处出发，以每秒1个单 自变量的 类型 位长度的速度，顺着菱形的边顺时针运动一周(A→ 取值范围 B→C→D→A)后停止，设y为点E运动t秒后△AOE 分式型，如y= x≠0 x 的面积，当A,0,E三点共线时y=0,那么y关于t的 函数图象大致为 二次根式型，如y=√： ⑦ 分式二次根式型， 如y=a ⑧ 0369121 036912i 零指数幂或 B 底数不为零 负整数指数幂 实际问题 要符合实际意义 例3-2题图 技巧点拨+++++++++++ 036912i 369127 几何图形中动点问题的函数图象的分析 D (数形结合思想) 变式3(2025合肥四十五中一模)如图1，在平行四边 (1)看两轴：先确定横、纵坐标轴表示的 形ABCD中，BC⊥BD,点F从点B出发，以2cm/s的 意义； 速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以 (2)看点：图象中的起点、拐点、与坐标轴的 2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终 交点、终点、最高点（最低点）及其对应的坐 点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积 标值，并与几何图形对应； S(cm)随时间t(s)变化的函数图象（图中MN为线段）， (3)看线：判新函数图象的趋势，注意特殊 的函数图象（如平行于坐标轴、直线形、曲 当△BEP的面积为cm时，运动时间为 线形等)，并与几何图形对应； (4)把图象信息转化为几何信息，利用几何 tS/cm 图形的性质求解 【巧记口诀】 4.57.5is 一变一不变是直线； 图1 图2 两个都变是曲线； 变式3题图 同增同减口向上； 4.35 B. C.15 D.25 一增一减口向下. 4 4 8 安徽真题 随堂测 圈建议用时：15分钟 命题点分析判断函数图象(2024.10,2022.5) ↑路程km 类型1根据实际问题分析判断函数图象(2022.5) 甲 1.(2022安徽5题4分)甲、乙、丙、丁四个人步 乙 丙 行的路程和所用的时间如图所示，按平均速 度计算，走得最快的是 () 0102030405060时间/mim 第1题图 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 第三章函数 33 拓展训练 变式如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= 2.(2025合肥瑶海区三模)小明在游乐场坐过 4,BC=3,∠ABC的平分线交斜边AC于点D, 山车，在某一段60秒时间内，过山车的高度 点E,F分别在边AB,BC上（不含端点)，且 h(米)与时间t(秒)之间的函数关系图象如 DE⊥DF.设AE=x,△DEF与△BEF的面积 图所示，下列结论正确的是 th/米 之差为y,则y关于x的函数图象可能为 98 ( 80 58 0 3041 5360t/秒 第2题图 A.当t=40时，h=15 B.这60秒内过山车有3段下行路线 C.当35≤t≤53时，高度h(米)随时间t(秒) 变式题图 的增大而增大 D.在0≤t≤60范围内，当过山车高度是70 米时，t的值有4个 拓展训练 类型2根据几何图形动态问题分析判断函数 4.(2025合肥瑶海区一模)如图1，在口ABCD 图象(2024.10) 中，连接AC,LACB=90°，tan BAC=2动 3.（2024安徽10题4分)如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，AB=4,BC=2,BD是边AC上的 点M从点A出发，沿AB边匀速运动，运动到 高.点E,F分别在边AB,BC上（不与端点重 点B停止.过点M作MN⊥AC交CD边于点 合)，且DE⊥DF.设AE=x,四边形DEBF的面 N,连接AN,CM.设AM=x,AN+CM=y,y与 积为y,则y关于x的函数图象为 x的函数图象如图2所示，则函数图象最低 点的坐标为 第3题图 m 16 16 图 图2 45 4 第4题图 B A.(2,5) B.(5,2√5) y 16 C.(2,4) D.(5,5) ©培优题型链接 4 0 根据几何图形分析判断函数图象 D 见《二轮重难题型培优》P17~19 温馨提示请完成《课后提升练》P14~15习题 34 安徽数学精讲册第三节一元二次方程及其应用 教材知识夯基础 ①±Vm②-m±Vn③x=-b±yB-4ac 2a ④62-4ac⑤>⑥相等⑦无⑧-6⑨ a ⑩a(1+x)2①a(1-x)2②(a-2x)(b-2x) B(a-x)(b-x)④(a-x)(b-x） 安徽真题随堂测 5 1.x1=3,x2=-12.为1=3,62=-2 3.D4.25.C6.B7.A 8.(1)500: (2)答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 第四节一元一次不等式（组）及不等式的应用 教材知识夯基础 ①>②>③<④x<a⑤x≤a⑥x≤b ⑦无解 安徽真题随堂测 1.C2.A3.x>44.B5.A 6.答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个 微专题二代数推理 一阶练思维 例1D例2A例3D例4D例5C 二阶练能力 1.C2.D3.B4.D5.A6.B7.C 8.A9.D10.D11.C12.C13.15 14.(1)2;(2)11 第三章函数 第一节平面直角坐标系与函数 教材知识夯基础 ①(-，+)②(+，-）③y=0④x=0 ⑤x=-y⑥纵坐标⑦横坐标⑧(-x,y) ⑨(-x,-y）0(x-c,y）①(x+c,y) 2(-y,x)B(-x,-y）④ly1⑤1x ⑥ly2-y1I⑦x≥0⑧x>0 例1（1)二，（-2,3)；(2)(-2，-3)，(2,3)，(2 -3);(3)右，2；(4)5；(5)(-2,4)（答案不唯一） 变式1-1(1)m>1;(2)三 变式1-2(1)1；(2)(6，-3)，(-2,9) 例2(1)5；(2)2√10，(-4，-1)； (3)(0,-4)或(-6，-4) 变式2(1)3或-1；(2)-1 例3-1(1)x≤1且x≠-2；(2)-2<x≤1；(3)x> -2且x≠-1；(4)全体实数 例3-2A变式3C 安徽真题随堂测 1.A2.D3.A变式A4.B 第二节一次函数及其应用 教材知识夯基础 ①b=0②一、三③二、三、四④减小 安徽数学 ⑤(-名，0)⑥(0,6)@y=+b-m ®y=(x-m)+6⑨x=-冬四 ly=q 例1(1)C:(2)-三、四，(2,0)：(3)k<0: (4)-2(答案不唯一) 变式1-1B变式1-2A 例2-1B 例2-2(1)y=2x-4;(2)上，1；(3)4； 1 (4)y=2x-3:(5)y=-2x+2 3 例3x≤2 精 【拓展设问】(1) {=2:2x<2(3)= 册 9 2 y=6 例4C变式4C 安徽真题随堂测 1.D2.D3.D4.B5.D 第三节反比例函数及其应用 教材知识夯基础 ①二、四②异号③减小④增大⑤y=-x ⑥原点⑦1k1⑧b 例1(1)k<0; (2)①=名，②-1<y<0:③x<-2或x>0:④<： (3)(1,2);(4)y1<y3<2 例22+25变式2-1-35变式2-26 例3（1)y-是y=2s-5 (2)自变量x的取值范围为x<- 2或0<x<4 (3)点M的坐标为（名.0）： (4)E的坐标为（号，0）或（分，0）.。 变式324例43 安徽真题随堂测 1.A2.33.(1)3;(2)44.A5.2 6(1)a=-乃k=6:(2)△C0D的面积为16 7(1m=3-子： (2)作图略； x的取值范围是x>3或-3<x<0 第四节二次函数的图象与性质 教材知识夯基础 ①-品@(-品“。增大0增大 5减小64c-&⑦4ac-& 4a Aa ⑧y=a(x-h)2+k-m ⑨y=a(x-h-m)2+k⑩相等①没有 例1(1)作图略；(2)(1,4)；(3)（-1,0)，(3,0)； 参考答案 3