寒假作业06 有理数的乘除运算（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 有理数的乘除运算 一、有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 二、倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 三、有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 四、多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 五、有理数相除 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 六、有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 7、 有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 两个有理数的乘法运算 1.在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 题型二 多个有理数的乘法运算 2.已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 题型三 有理数的乘法的实际应用 3．如在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 题型四 倒数 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 题型五 有理数乘法运算律 5．张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 题型六 有理数的除法运算 6．如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型七 有理数除法的应用 7．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？ 题型八 有理数乘除混合运算 8．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 题型九 有理数乘除中的简便运算 9．阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 题型十 有理数混合运算的应用 10．“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求： (1)行人通过人行横道的时间； (2)若车闯黄灯，是否会撞到行人； (3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数） 1．用简便方法计算． （1）； （2）； （3）； （4）﹣3.14×35.2+6.28×（﹣23.3）﹣1.57×36.4． 2．自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值． 3．已知|a+5|+|b﹣3|+|c+2|＝0，求ab﹣bc﹣ac的值． 4．给定4×4方格表，一定可以从小于100的正整数中选出16个不同的数填入方格表（每格一数），使得每一行所填数的乘积和每一列所填数的乘积都等于同一个数．这个数最小是 　 　 ． 5．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况：　 　 ． 6．已知|m|＝5，|n|＝2，且|m﹣n|＝﹣（m﹣n），求m•n的值． 7．在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2020这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它的的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三位同学，第三位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四位同学………照这样的方法直到全班40人全部传完，最后一位同学将听到的结果告诉李老师，你知道最后的结果吗？ 8．式子2×3×0.5×（﹣7）＝（2×0.5）×[3×（﹣7）]中，运用的运算律是（　　） A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 9．已知|x|＝5，|y|＝3． （1）若x﹣y＞0，求x+y的值； （2）若xy＜0，求|x﹣y|的值； （3）求x﹣y的值． 10．阅读下列材料：|x|，即当x＜0时，1．用这个结论可以解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．今天是星期天，那么再过2100是星期几？大家都知道，一个星期有7天，要解决这个问题，我们只需知道2100被7除的余数是多少，假设余数是1，因为今天是星期天，那么再过这么多天就是星期一；假设余数是2，那么再过这么多天就是星期二；假设余数是3，那么再过这么多天就是星期三… 因此，我们就用下面的实践来解决这个问题．首先通过列出左侧的算式，可以得出右侧的结论： （1）21＝0×7+2显然21被7除的余数为2； （2）22＝0×7+4显然22被7除的余数为4； （3）23＝1×7+1显然23被7除的余数为1； （4）24＝2×7+2显然24被7除的余数为2； （5）25＝　 　 ，显然25被7除的余数为　 ； （6）26＝　 　 ，显然26被7除的余数为　 ； （7）27＝　 　 ，显然27被7除的余数为　 　 ； … 然后仔细观察右侧的结果所反映出的规律，我们可以猜想出2100被7除的余数是　 　 ． 所以，再过2100天必是星期　 　 ． 2．一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前 的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”． （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由． （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”． ①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除． ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 有理数的乘除运算 一、有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 二、倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 三、有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 四、多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 五、有理数相除 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 六、有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 七、有理数的四则运算 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 两个有理数的乘法运算 1.在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 【答案】35 【解析】解：要使所得的积最大，两数字必定同号， ， ∵， ∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35， 故答案为：35． 题型二 多个有理数的乘法运算 2.已知x，y表示两个数，规定新运算“”及“”如下： ，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：原式 ； 故答案为：． 题型三 有理数的乘法的实际应用 3．如在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】解：∵三三数之剩二， ∴ ， ∵五五数之剩三，∴ ∵七七数之剩二．∴ ∵最小正整数解记为a．∴， ∵，∴， 故答案为：． 题型四 倒数 4．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【答案】(1)，，； (2)3或 【解析】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）当时，原式； 当时，原式， 则原式的值为3或． 题型五 有理数乘法运算律 5．张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【解析】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型六 有理数的除法运算 6．如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 题型七 有理数除法的应用 7．中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？ 【答案】“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米． 【解析】解：“和谐号”的速度为：（千米/小时） “复兴号”的速度为：（千米/小时）． 答：“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米． 题型八 有理数乘除混合运算 8．如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【解析】解：， ，输出； 故答案为：128． 题型九 有理数乘除中的简便运算 9．阅读下列材料，完成后面任务． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 任务： (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法 是错误的．（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法 比较简便．（填序号） (3)请你进行简便计算：． 【答案】(1)①；(2)③；(3) 【解析】（1）解：解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，乘法的分配律，比较简便． 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 题型十 有理数混合运算的应用 10．“闯黄灯”已成为引发路口交通事故的主因之一．如图所示的十字路口，该路段交通信号灯红灯亮之前，会有亮黄灯的时间．某时刻，小车以的速度沿着中心线行驶到停止线时交通灯恰好变为黄灯，此时人行道的红绿灯也在后变成绿灯，行人以的速度过马路．已知马路宽，停止线到斑马线的距离，小车的尺寸为：长度，宽度．求： (1)行人通过人行横道的时间； (2)若车闯黄灯，是否会撞到行人； (3)若人行道处有一长为的美团外卖摩托车以的速度横过马路，则小车速度在什么范围不会撞到摩托车．（不计摩托车宽度，保留两位小数） 【答案】(1)行人通过人行横道的时间为；(2)小车不会撞到行人；(3)小于或大于 【解析】（1）解：行人通过人行横道的时间：； （2）解：， ， ， ， 所以，小车不会撞到行人； （3）解：①摩托车车头碰到小车车尾时，， 所以小车的速度大于不会撞上摩托车； ②当小车的车头刚好撞上摩托车的车尾，则摩托车行驶的路程为 摩托车行驶的时间为：， 小车的车头刚好撞上摩托车的车尾的速度为：， 所以小车的速度小于也不会撞上摩托车； 综上可知，要使小车与摩托不相撞，小车的速度范围是或． 1．用简便方法计算． （1）； （2）； （3）； （4）﹣3.14×35.2+6.28×（﹣23.3）﹣1.57×36.4． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）（）×（﹣24）， （﹣24）（﹣24）（﹣24）（﹣24）＝12﹣4+9﹣10＝21﹣14＝7； （2）（﹣3）×（﹣7）＝（）（）＝（﹣5）×（﹣3）＝15； （3）49（﹣5）＝（50）×（﹣5）＝50×（﹣5）（﹣5）＝﹣250＝﹣249； （4）﹣3.14×35.2+6.28×（﹣23.3）﹣1.57×36.4＝﹣3.14×35.2+3.14×（﹣46.6）﹣3.14×18.2， ＝﹣3.14×（35.2+46.6+18.2）＝﹣3.14×100＝﹣314． 2．自选题：如图，显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：，，1，2，4，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：这9个数的积为1×2×4×8×16×32×64＝643， 所以，每行、每列、每条对角线上三个数字积为64， 得ac＝1，ef＝1，ax＝2，a，c，e，f分别为，，2，4中的某个数， 对a进行讨论，只有当a时，x不是，，2，4中某个数； 推得x＝8． 3．已知|a+5|+|b﹣3|+|c+2|＝0，求ab﹣bc﹣ac的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵|a+5|+|b﹣3|+|c+2|＝0， ∴a+5＝0，b﹣3＝0，c+2＝0， 解得b＝3 c＝﹣2 a＝﹣5； 原式＝（﹣5）×3﹣3×（﹣2）﹣（﹣5）×（﹣2） ＝﹣19． 4．给定4×4方格表，一定可以从小于100的正整数中选出16个不同的数填入方格表（每格一数），使得每一行所填数的乘积和每一列所填数的乘积都等于同一个数．这个数最小是 　5040　 ． 【答案】5040． 【解析】解：如图1，将四种花色的A、K、Q、J分别放在4×4的方格中，使得每一行每一列的四张牌花色和字母不相同，约定A、K、Q、J分别表示1，2，3，4，用1，5，6，7分别表示黑桃、红桃、方块、梅花， 将每个格子所放牌代表的字母与数字表示的数相乘，得到的结果如图2， ∴每行每列所放的数的乘积都等于1×2×3×4×1×5×6×7＝5040， 故答案为：5040． 5．把40，44，45，63，65，78，99，105平均分成两组，并且使这两组数的乘积相等，直接写出分组情况：　40，99，65，63；44，78，45，105　 ． 【答案】40，99，65，63；44，78，45，105 【解析】解：偶数组：40＝2×2×2×5，44＝2×2×11，78＝2×3×13； 奇数组：45＝3×3×5，63＝3×3×7，65＝5×13，99＝3×3×11，105＝3×5×7， （1）先看偶数组，40第一组，44和78第二组（因为40分解出3个2；44有2个2，78有1个2）； （2）44中含有11，则99为第一组；78中含有13，则65为第一组；另外两个分解出含有5的数是45，105，其中105为第二组， 答：第一组有40，99，65，63；第二组为44，78，45，105． 故答案为：40，99，65，63；44，78，45，105． 6．已知|m|＝5，|n|＝2，且|m﹣n|＝﹣（m﹣n），求m•n的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵|m|＝5，|n|＝2，且|m﹣n|＝﹣（m﹣n）， ∴m＜n， ∴m＝﹣5，n＝2或m＝﹣5，n＝﹣2， ∴m•n＝﹣10或10 7．在学习有理数乘法时，李老师和同学们做了这样的游戏，将2020这个数说给第一位同学，第一位同学将它减去它的的结果告诉第二位同学，第二位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第三位同学，第三位同学再将听到的结果减去它的的结果告诉第四位同学………照这样的方法直到全班40人全部传完，最后一位同学将听到的结果告诉李老师，你知道最后的结果吗？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：根据题意，得第二个人听到的结果是2020×（1）， 第三个人听到的结果是2020×（1）×（1）， 以此类推， 第四十个人听到的结果是2020×（1）×（1）×（1）×…×（1）， ∴原式＝2020＝2020 答：最后的结果是． 8．式子2×3×0.5×（﹣7）＝（2×0.5）×[3×（﹣7）]中，运用的运算律是（　　） A．乘法交换律及结合律 B．乘法交换律及分配律 C．加法结合律及分配律 D．乘法结合律及分配律 【答案】A 【解析】解：根据题意可知，式子2×3×0.5×（﹣7）＝（2×0.5）×[3×（﹣7）]，使用了乘法交换律和乘法结合律． 故选：A． 9．已知|x|＝5，|y|＝3． （1）若x﹣y＞0，求x+y的值； （2）若xy＜0，求|x﹣y|的值； （3）求x﹣y的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵|x|＝5， ∴x＝5或﹣5， ∵|y|＝3， ∴y＝3或﹣3， （1）当x﹣y＞0时，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3， 此时x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2， 即x+y的值为：8或2； （2）当xy＜0， x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3， 此时|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8， 即|x﹣y|的值为：8； （3）①x＝5时，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2； ②x＝5时，y＝﹣3时，x﹣y＝5+3＝8； ③x＝﹣5时，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8； ④x＝﹣5时，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2， 综上：x﹣y＝±2或±8． 10．阅读下列材料：|x|，即当x＜0时，1．用这个结论可以解决下面问题： （1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，求的值； （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时， ①a＜0，b＜0，1﹣1＝﹣2； ②a＞0，b＞0，1+1＝2； ③a，b异号，0． 故的值为±2或0． （2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时， ①a＜0，b＜0，c＜0，1﹣1﹣1＝﹣3； ②a＞0，b＞0，c＞0，1+1+1＝3； ③a，b，c两负一正，1﹣1+1＝﹣1； ④a，b，c两正一负，1+1+1＝1． 故的值为±1，或±3． （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0． 所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负， 所以 ＝﹣[]＝﹣1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/8 15:26:10；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．今天是星期天，那么再过2100是星期几？大家都知道，一个星期有7天，要解决这个问题，我们只需知道2100被7除的余数是多少，假设余数是1，因为今天是星期天，那么再过这么多天就是星期一；假设余数是2，那么再过这么多天就是星期二；假设余数是3，那么再过这么多天就是星期三… 因此，我们就用下面的实践来解决这个问题．首先通过列出左侧的算式，可以得出右侧的结论： （1）21＝0×7+2显然21被7除的余数为2； （2）22＝0×7+4显然22被7除的余数为4； （3）23＝1×7+1显然23被7除的余数为1； （4）24＝2×7+2显然24被7除的余数为2； （5）25＝　4×7+4　 ，显然25被7除的余数为　4　 ； （6）26＝　9×7+1　 ，显然26被7除的余数为　1　 ； （7）27＝　18×7+2　 ，显然27被7除的余数为　2　 ； … 然后仔细观察右侧的结果所反映出的规律，我们可以猜想出2100被7除的余数是　2　 ． 所以，再过2100天必是星期　二　 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：完成填空（5）、（6）、（7），可发现余数2、4、1为循环； 由此可知2100被7除时，其余数经过100÷3＝33个循环，然后余1，即余数为2 所以再过2100天，必是星期二． 2．一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357＝26，26能被13整除，因此383357是“十三数”． （1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由． （2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”． ①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除． ②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差． 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）解：3253不是“十三数”，254514是“十三数”，理由如下： ∵3﹣253＝﹣250，不能被13整除， ∴3253不是“十三数”， ∵254﹣514＝﹣260，﹣260÷13＝﹣20 ∴254514是“十三数”； （2）①证明：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数）， ∵10a+b， ∵a、b为整数， ∴10a+b是整数， 即任意一个四位“间同数”能被101整除； ②解：解法一：由①可知：这个四位“间同数”表示为101（10a+b），它是13的倍数， ∵1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数， ∴当a＝9，b＝1时，最大为9191， 当a＝1，b＝3时，最小为1313， ∴9191﹣1313＝7878； 解法二：设任意一个四位“间同数”为（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数）， ∵， ∵这个四位自然数是“十三数”， ∴101b+9a是13的倍数， 当a＝1，b＝3时，101b+9a＝303+9＝312，312÷13＝24，此时这个四位“间同数”为：1313； 当a＝2，b＝6时，101b+9a＝606+18＝624，624÷13＝48，此时这个四位“间同数”为：2626； 当a＝3，b＝9时，101b+9a＝909+27＝736，936÷13＝72，此时这个四位“间同数”为：3939； 当a＝5，b＝2时，101b+9a＝202+45＝247，247÷13＝19，此时这个四位“间同数”为：5252； 当a＝6，b＝5时，101b+9a＝505+54＝559，559÷13＝43，此时这个四位“间同数”为：6565； 当a＝7，b＝8时，101b+9a＝808+63＝871，871÷13＝67，此时这个四位“间同数”为：7878； 当a＝9，b＝1时，101b+9a＝101+81＝182，182÷13＝14，此时这个四位“间同数”为：9191； 综上可知：这个四位“间同数”最大为9191，最小为1313， 9191﹣1313＝7878， 则满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为7878； 解法三：由①可设4位的间同数可表示为101（10a+b），因其能被13整除，而101不能被13整除，所以10a+b是13的倍数，故10a+b最小为13，最大为91 ∴最大值与最小值之差为：101（91﹣13）＝7878． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $