精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期期末考试初二年级 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共3页．全卷满分120分．考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握无理数的概念． 根据无理数的定义，即无限不循环小数或不能表示为两个整数之比的实数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵A选项，是分数，属于有理数； B选项，，是整数，属于有理数； C选项，是无限不循环小数，不能表示为分数，属于无理数； D选项，，是整数，属于有理数． 故选：C． 2. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零； 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选：B 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，正确运用各运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项相关运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 等腰三角形中有两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的定义，分腰为或腰为两种情况讨论，结合三角形三边关系定理判断是否构成三角形，即可得解． 【详解】解：等腰三角形两边长为和， 若腰长为，底边长为，则，不满足三角形三边关系； 若腰长为，底边长为，则，，满足三角形三边关系， 周长为． 故选：D． 5. 如图，点E，F在上，，，，下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识．利用线段的和差即可判断A选项；利用“”即可证明，判断B选项；利用全等三角形的性质和平行线的判定，即可判断C、D选项． 【详解】解：， ， ，A选项正确； 在和中， ， ，B选项正确； ， ，， ， ，C选项不正确，D选项正确． 故选：C． 6. 下列调查适合做抽样调查的是（ ） A. 对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B. 调查一批节能灯管的使用寿命 C. 审核书稿中的错别字 D. 对六（6）班同学的视力进行调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和全面调查，熟知两种调查的特点是正确解答此题的关键. 根据抽样调查和全面调查的特点进行判断：抽样调查适用于调查对象数量大、具有破坏性或无法全面调查的情况；全面调查适用于结果要求精确或样本较小的情况，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A. 对高铁乘客安检必须全面检查，确保安全，适合全面调查； B. 调查灯管寿命具有破坏性（测试至损坏），适合抽样调查； C. 审核错别字需逐字检查，适合全面调查； D. 六（6）班人数较少，易实施全面调查． 故选B． 7. 如图，在平行四边形中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为，则平行四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图知，垂直平分，可得 ， 通过的周长为，结合线段的等量代换可得 ，从而根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长为， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：D． 8. 如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点落在点 处，折痕为，且，则 的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换及勾股定理，熟知折叠是种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．先根据矩形的特点可得的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵是翻折而成， ∴，，是直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键． 根据反证法证明命题的步骤求解即可． 【详解】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论， 所以先假设． 故答案为：． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解决本题的关键是熟练掌握运算法则并正确计算． 将多项式中的每一项分别除以单项式，并利用指数法则简化即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 若是完全平方式，则m的值为______． 【答案】0或6##6或0 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，解决本题的关键是熟练掌握完全平方式的结构特征． 根据完全平方式的结构特征，分情况讨论，求解m即可． 【详解】解：∵是完全平方式，且常数项为， ∴该式可写为或， 当，即，解得； 当，即，解得； 故答案为：0或6． 12. 如图，中，为垂足，如果，则等于___________° 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等得到，再由直角三角形锐角互余即可求解． 【详解】解：四边形平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图所示，一只蚂蚁需要从一个长、宽、高分别是，，的长方体的顶点A爬到顶点B，则它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】先展开，的一条直角边为，另一边为，根据勾股定理计算即可． 本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，正确展开，活用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，展开图如下， 则的一条直角边为，另一边为， 根据勾股定理，得， 故答案为：10． 14. 如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点，给出下面五个结论：；；；平分；上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】 【解析】 【分析】结合正方形性质、等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质可判断；结合等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，，平分， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，，故正确； ，故正确； ，， ，即， 是等腰直角三角形， 又平分， ，垂直平分， ， ，故错误； 是等腰直角三角形， ， 又， ，即不是的平分线，故错误； ， ，， 在中，， ，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，解题关键是熟练掌握相关知识点． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则． （1）先计算乘法，再计算加减； （2）先根据二次根式的性质化简，再计算加减． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，多项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行积的乘方，再利用单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式、合并同类项法则是解题的关键．先运用乘法公式、合并同类项得到最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，则的长为______． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质推出， ，进而推出，即可得证； （2）根据平行的性质及角平分线定义可证明，然后根据等腰三角形的判定推出，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即． 故答案为：． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． （1）在图中，画一个以为边，面积是的只是中心对称的四边形，要求顶点在格点上； （2）在图中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； （3）在图中，画一个以为对角线的矩形，且使得，． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质以及题目要求作出图形即可； （2）根据正方形的判定与性质以及题目要求作出图形即可； （3）根据矩形的判定与性质以及题目要求作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，四边形即为所求作的； ，， 四边形是以为边的平行四边形， 四边形只是中心对称图形，且四边形的面积为， 故满足要求； 【小问2详解】 解：如图，四边形即为所求作的； ， 四边形是菱形，， ，即， ， 四边形是正方形， 四边形是以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； 【小问3详解】 解：如图，四边形即为所求作的； 由图可知，，，， 四边形是平行四边形，，即， ， 四边形是矩形， 即四边形是以为对角线的矩形，且使得，． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形的对称性，勾股定理，解题的关键是熟练掌握各图形的性质与特征． 21. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在七年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：组“”；组“”；组“”；组“”；组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查的总人数． （2）请补全条形统计图． （3）组人数占本次调查人数的百分比______；在扇形统计图中，组所对应的圆心角度数为______度． （4）若该校七年级共有名学生，请你估计该校组学生有多少人？ 【答案】（1）本次调查的总人数为人 （2）见解析 （3）； （4）估计该校组学生有人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数． （2）计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整． （3）根据组人数和求出的总人数，即可计算组所占的百分比；再进一步计算组所占的圆心角度数即可． （4）根据“该校学生总人数本次调查学生中组的人数占比”，即可得解． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为：（人）． 答：本次调查的总人数为人． 【小问2详解】 解：组的人数为：（人）．补全条形统计图如图所示， 【小问3详解】 解：组人数占本次调查人数的百分比为：； 组所对应的圆心角度数为：． 故答案为：；； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计该校组学生有人． 22. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：______（______）； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2）， （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解； （2）先配方，再根据完全平方式的非负性求最小值； （3）先作差，然后配方，再根据完全平方式的非负性得到，即可得解． 【小问1详解】 解：； 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 23. 【问题发现】如图，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接，猜想与的数量关系为______，______． 【类比探究】和均为等腰直角三角形，，如图，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图，当，，则的值是______． 【答案】【问题发现】，；【类比探究】，理由见解析；【拓展延伸】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质结合角的等量代换可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． （2）根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得，可得，，从而可证得，在中，由勾股定理即可得出结论． （3）连接，根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得，可得，，从而可证得，在中，由勾股定理即可得解． 【详解】解：【问题发现】和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，． 故答案为：，． 【类比探究】，理由如下： 和均为等腰直角三角形，， ，，，， 即， 在和中， ， ， ，； ； 在中，由勾股定理，得：， ； 【拓展延伸】如图所示，连接， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理，得：． 故答案为：． 24. 如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． （1）______； （2）求证：； （3）当四边形的面积为20时，求出此时的长． （4）在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）5 （2）证明见解析 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解； （2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证； （3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形性质解答即可； （4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ∴，， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴， 故答案为：5 【小问2详解】 证明：∵点P关于的对称点为点E， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵四边形的面积为20， ∴， ∵点O为对角线的中点， ∴，， 当点P在边上时，过点O作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当点P在边上时，过点O作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； 【小问4详解】 解：设， 如图，当点P在边上时，设交于点N， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点P在边上时，延长交于点M， ∵四边形菱形， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第一学期期末考试初二年级 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共3页．全卷满分120分．考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形中有两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，点E，F在上，，，，下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查适合做抽样调查的是（ ） A. 对搭乘高铁的乘客进行安全检查 B. 调查一批节能灯管使用寿命 C. 审核书稿中的错别字 D. 对六（6）班同学的视力进行调查 7. 如图，在平行四边形中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为，则平行四边形的周长为（ ） A B. C. D. 8. 如图，长方形纸片中，，折叠纸片使边落在对角线上，点落在点 处，折痕为，且，则 的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 用反证法证明“在中，若，则”，第一步应假设______． 10. 计算：______． 11. 若是完全平方式，则m的值为______． 12. 如图，中，为垂足，如果，则等于___________° 13. 如图所示，一只蚂蚁需要从一个长、宽、高分别是，，的长方体的顶点A爬到顶点B，则它从点A开始经过4个侧面到达点B所走的最短路程为____________． 14. 如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于点，给出下面五个结论：；；；平分；上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，则的长为______． 20. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上． （1）在图中，画一个以为边，面积是的只是中心对称的四边形，要求顶点在格点上； （2）在图中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的图形； （3）在图中，画一个以为对角线的矩形，且使得，． 21. 为落实“双减”政策，优化作业管理．某中学在七年级随机抽取部分学生对作业完成时间进行调查，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：组“”；组“”；组“”；组“”；组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查总人数． （2）请补全条形统计图． （3）组人数占本次调查人数的百分比______；在扇形统计图中，组所对应的圆心角度数为______度． （4）若该校七年级共有名学生，请你估计该校组学生有多少人？ 22. 把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：______（______）； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 23. 【问题发现】如图，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接，猜想与的数量关系为______，______． 【类比探究】和均为等腰直角三角形，，如图，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图，当，，则的值是______． 24. 如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形． （1）______； （2）求证：； （3）当四边形的面积为20时，求出此时的长． （4）在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $