2026届高三上学期一模考前数学模拟试题

2026届高三年级一模考前 数学模拟卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，则     A. B. C. D. 2.已知复数其中i为虚数单位，则     A. B. C. 1 D. 2 3.已知单位向量，满足，则，(    ) A. B. C. D. 4.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为    A. 2 B. C. 4 D. 5.已知，则的值为     A. 70 B. 126 C. 56 D. 84 6.若定义在R上的函数满足：为偶函数，为奇函数，当时，，则    A. B. 0 C. D. 7.已知抛物线，O为坐标原点，F为C的焦点，直线与C交于，两点，记和的面积分别为，，则(    ) A. B. C. 2 D. 4 8.已知实数x，y满足，则x，y的大小关系不可能是    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.智慧农业又称数字农业或信息农业，通过利用人工智能、机器学习、物联网等技术使农业更加智能化，推动了农业生产变革，同时也促进了高校毕业生等青年的就业.某智慧农场计划招聘一批员工，为了制定更为合理的招聘策略，统计了现有的100名员工的年龄岁的情况，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是(    ) A. B. 这100名员工的年龄的众数的估计值为50 C. 这100名员工的年龄的中位数的估计值为 D. 从这100名员工中任选两人，两人的年龄都在内的概率为 10.已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，M是上异于A，B的一个动点，记直线AM，BM的斜率分别为，，则下列说法正确的是(    ) A. 的离心率为 B. C. 当时， D. 直线与恰有一个公共点 11.在中，，，，点P为内一点，AP的延长线交BC于点D，则下列说法正确的是      A. 若P为的重心，则 B. 若P为的外心，则 C. 若P为的垂心，则 D. 若P为的内心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，若，，则          . 13.已知正四棱台的上下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该正四棱台外接球的表面积为          . 14.现有N个箱子，每个箱子均有个小球，第…，个箱子中有个白球，其余为黑球，在这n个箱子中任取一个箱子，再从该箱子中依次选出3个小球，若第3次选出的小球恰为黑球的概率是，则          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 随着双休政策的推进，某同学记录了2025年月份连续6个双休日某校积极参与运动的同学人数单位：人，6个双休日分别用表示，并绘制表格如下. x 1 2 3 4 5 6 y 248 282 370 420 440 520 经过统计分析，发现x与y具有线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程系数精确到 从这6个双休日积极参与运动的同学人数中随机抽取3个数据，记最大的数据为X，求X的分布列及数学期望. 附：回归方程，其中，， 16.本小题15分 记为正项数列的前n项和，已知 求数列的通项公式； 设数列，求数列的前2n项和 17.本小题15分 如图，四棱锥的底面为矩形，平面ABCD，，点E，F分别为棱CD，PA的中点. 证明：平面平面 点H为线段AD上的点，且满足平面 ⅰ确定点H在AD上的位置; ⅱ若，，求直线PC与直线FH所成角的余弦值. 18.本小题17分 已知椭圆，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． 求椭圆C的标准方程； 设分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点，且， 证明：直线l过定点； 求面积的最大值． 19.本小题17分 已知函数 求曲线在点处的切线方程； 若，，求的极大值； 若，，求证：的所有零点之和大于且小于 答案 1.C  解：因为，所以，则 故选：C 2.D  解：因为， 所以 故选：D 3.B  解：单位向量，满足， ， 即， ， 又， ，， 故选 4.D  解：设圆台的母线长为l，原圆锥的母线长为x， 则， 又，解得， 故原圆锥的母线长为 5.B  解：两项中不存在，对于其余部分， 展开式中的系数为，展开式中的系数为，……，展开式中的系数为， 所以， 故选： 6.A  解：由为偶函数，得，即，， 由为奇函数，得，即， 因此，即，则， 所以 故选：A 7.D  解：抛物线的焦点， 联立，消去x， 化简得：，且， 解得 又直线过， 所以 故选 8.A  解：已知， 则原等式可化为， 设，，， 因为，所以，，则，这表明在上单调递增， 由，可得， 当时，因为单调递增，所以，即， 移项可得， 令，， ， 当时，，， 所以，在上单调递减，， 所以，这与矛盾，所以不可能成立; 当时，，即，移项可得， 由的单调性可知，当时，，所以该情况可能成立; 当时，，即，移项可得， 当时，有解，所以该情况可能成立; 当时，，即，移项可得， 当时，有解，所以该情况可能成立. 故选： 9.AC  解：，解得，A正确; 这100名员工年龄的众数的估计值为，B错误; 因为前2组的频数之和为35，前3组的频数为75， 所以中位数y在第3组中， 所以，解得，C正确; 这100名员工中，年龄在内的有人， 从这100名员工中任取两人，两人的年龄都在内的概率为，D错误. 故选： 10.ACD  解：对于A，双曲线中，，， 则，故， 离心率，故A正确； 对于B，设，则，即， ，，故，， 则，故B错误； 对于C，当时，直线AM方程为， 代入双曲线方程化简得， 解得舍去，故， 则， 所以 ，故C正确； 对于D，联立直线与双曲线方程， 消去y得，仅有一解，故直线与双曲线恰有一个公共点，故D正确. 11.BCD  解：在中，根据余弦定理： ， 所以， 对于选项A，P为的重心， 则D是BC边中点，且，所以， 从而 ， 得，从而，选项A错误； 对于选项B，P为的外心，则AP是外接圆半径， 由正弦定理可得， 得，选项B正确； 对于选项C，P为的垂心，则AD是中BC边上的高， 又， 解得，选项C正确； 对于选项D，P为的内心，则AD平分，所以， 而， 即， 即， 解得，选项D正确. 故选： 12.  解：， 因为，，所以， 故， 所以 故答案为： 13.  解：正四棱台的上下底面均为正方形，设上下底面的中心分别为、O， 上底面正方形边长为2，则上底面中心到上底面顶点的距离即上底面外接圆半径可得， 下底面正方形边长为4，则下底面中心O到下底面顶点的距离即下底面外接圆半径同理，， 正四棱台的侧棱长，上下底面外接圆半径之差， 根据正四棱台的高h、侧棱长l与d的关系，可得：， 设外接球的球心为，半径为R，球心在直线上，设，则， 根据球心到上下底面顶点的距离都等于半径R， 由勾股定理可得：，且， 所以， 解得， 可得：， 所以外接球表面积为 故答案为： 14.9  解：记“选到第k个箱子”为事件，“从箱子中依次选出3个小球且第3个小球是黑球”为事件B， 则，每个箱子均有个小球，第k个箱子中有个白球和个黑球， 则， 由全概率公式，， 解得 15.解：由题意：， ， 由，， ， 所以， 故线性回归方程为 原数据按从小到大排列为248，282，370，420，440，520， 故X的可能取值为370，420，440，520， 且， ， 故X的分布列为 X 370 420 440 520 P 所以  详细解答和解析过程见 16.解：，当时，， 当时， 两式相减得，得， 因为，所以， ， 为等差数列，；   详细解答和解析过程见 17.解：证明：连接AE，如图所示. 因为四棱锥的底面为矩形，，点E为棱CD的中点， 所以，且，所以， 同理， 所以，即 因为平面ABCD，平面ABCD，所以 又因为， EB、平面PBE， 所以平面 又因为平面PAE， 所以平面平面PBE，即平面平面PBE； 连接BH交AE于点 因为平面BFH，平面PAE，平面平面，所以， 因为点F为棱PA的中点，所以点G为AE的中点. 设K为AB的中点，连接EK交BH于点 又因为点E为CD的中点，四边形ABCD为矩形， 所以，且， 所以≌，所以， 故，所以， 即点H为AD的一个三等分点，靠近点D的位置； 因为四棱锥的底面为矩形，且平面ABCD， 所以以点B为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，， 所以，，， 由知，，故，， 所以，， 所以， 所以直线PC与直线FH所成角的余弦值为   详细解答和解析过程见 18.解：根据题意作图如下： 由题意得，所以， 因为，所以椭圆C的标准方程为 证明：由可知， 设直线AN的斜率为k，则直线BM的斜率为3k，设， 则直线AN的方程为，直线BM的方程为， 联立，化简得， 因为，所以，即， 联立，化简得， 因为，所以，即， 则， 所以直线MN的方程为，整理得， 所以直线l过定点，即右焦点 由得， 令，则，则， 因为在上单调递增，所以时，取得最大值， 此时，直线MN的发方程为   详细解答和解析过程见 19.解：由条件，，则， 所求切线方程为，即 由，得， 令，得或令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为 由，得， 记，则， 记，则 当时，，单调递增;当时，，单调递减; 当时，，单调递增. ，，， 所以，，使得， 当时，，从而 当时，，从而 所以在和单调递增，在单调递减， ，，，， 所以，，使得， 当时，，从而在和上单调递减; 当时，，从而在上单调递增. ，，，， 所以存在两个零点和，且，从而 由，，得且， 由，知，从而， 而，，在上单调递增，所以，从而 综上可知，的所有零点之和大于且小于  1 学科网（北京）股份有限公司 $