精品解析：重庆市复旦中学教共体2025-2026学年九年级上学期一调模拟数学试题

重庆复旦中学教共体2025-2026学年度上期一调模拟 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上． I卷 客观题 一、单选题（共40分，每题4分）在每个小题的下面，都给出A，B，C，D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下图是天气预报中的图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线（k是常数且）经过点，则下列也在该双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的开口方向向上 B. 它的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 与y轴交点 6. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 7. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B=10，则； ②，则x需要满足的条件是； ③，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5． 上面说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分，每题4分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 一个不透明的盒子里装有3个红球和6个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为______． 13. 如图，将绕点逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_______°． 14. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 15. 如图是函数的图象，则图象与y轴的交点坐标为___________；若直线与函数图象有2个交点，则m的取值范围是__． 16. 如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则_________，____________． Ⅱ卷 主观题 三、解答题（共86分，17、18题每题8分，19-25题每题10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 重庆复旦中学为了提高学生动手实践操作能力，开设了插花、烹饪、种植3种选修课程，每位同学可以随机选择其中一种课程参加学习． （1）旦小雅同学选择插花课程的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图的方法，求复小博、旦小雅两名同学选择同一种课程的概率． 19. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； （2）以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，则点B2的坐标为_______． （3）点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 21. 春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广，某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元．随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子．已知矩形硬纸板的长宽分别为，． （1）求从正月初一到初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）求纸盒的高 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）求的面积． 23. 如图，在矩形中，，，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→D方向运动；动点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动．当点P追上点Q时，P、Q均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合函数图象，若直线与函数图象只有1个交点，请直接写出t的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在等边中，点D 是边上的一动点，点E是射线上的一动点，连接． （1）如图1，，若点D为线段的中点，线段，求线段的长； （2）如图2，若点E在延长线上，以为边，在右侧作等边；过点F作交于点G，当时，求证∶； （3）如图3，点E在延长线上，，将沿直线翻折得到，点E的对应点为点．内部有一动点 P，满足，若，当的长度最小时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教共体2025-2026学年度上期一调模拟 初2026届数学试题 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为I卷和Ⅱ卷，考试时间120分钟，满分150分．请将答案工整地书写在答题卡上． I卷 客观题 一、单选题（共40分，每题4分）在每个小题的下面，都给出A，B，C，D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下图是天气预报中的图形，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形；根据中心对称图形的定义：平面内，把一个图形绕着某个点旋转后，能与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形，解答即可． 【详解】解：是中心对称图形的是C， 故选：C． 2. 若双曲线（k是常数且）经过点，则下列也在该双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；将点P代入求出k值，再验证各选项点是否满足方程． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得， ∴双曲线方程为． A、：，该选项不符合题意； B、：，该选项不符合题意； C、：，该选项不符合题意； D、：，该选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理可得，进而即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当Δ<0时，方程无实数根．通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：C． 5. 下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的开口方向向上 B. 它的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 与y轴交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：A、因为，所以二次函数的开口方向向下，故本选项错误，不符合题意； B、二次函数的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意； C、当时，y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意； D、，所以二次函数的图象与y轴交点，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6. 如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 7. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设道路宽度为x米，根据种植地的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】解：设道路宽度为x米， 根据题意得，， 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口方向向下， ， 对称轴为直线， ， 与轴的负半轴相交， ， 的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数图象在第二、四象限， 只有A选项图象符合． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识点，发现阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积是解题的关键．先根据矩形的性质以及勾股定理求得，再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面为：． 故选：A． 10. 已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B=10，则； ②，则x需要满足的条件是； ③，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5． 上面说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用可求出，故①错误；对分情况讨论可知②正确；若，则或，利用根的判别式可知，时，方程无解，故③正确；由为整数，可得是整数，可求出，2，4，5，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴①当时，则，解得：，故①错误； ②当，则， 当时，，解得：； 当，，解得：； 当，，解得：（舍去）； 综上所述：，故②正确； ③若，则或， 当时，，，无解； 当时，，，无解； ∴，关于x的方程无实数根；故③正确； ④∵， 若为整数，则是整数， ∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确； ∴正确的有②③④ 故选：C 【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的关键． 二、填空题（共24分，每题4分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，由此求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 12. 一个不透明的盒子里装有3个红球和6个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用红球的个数除以球的总数量即可得． 【详解】解：在这3个红球和6个白球共9个球中，红球有3个， 从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 13. 如图，将绕点逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，解题关键是弄清旋转角及旋转方向． 根据和旋转角可求得的度数． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转后得到， ∴， 又，， ∴，解得：， 故答案为：． 14. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 故答案为：． 15. 如图是函数的图象，则图象与y轴的交点坐标为___________；若直线与函数图象有2个交点，则m的取值范围是__． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画出函数的图象是解题的关键．求得函数的图象与坐标轴的交点，然后根据图象即可求得符合题意的交点坐标；根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出m的取值范围． 【详解】解：令，即， 解得，， 函数与x轴的交点坐标为，， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为， 作出的图象，如图所示， 当直线经过点时与函数的图象只有一个交点， 当直线经过点时与函数的图象有三个交点， 联立， 消去y后可得：， 令，可得， 解得， 即时，直线与函数的图象只有3个交点， 观察图象，当或时，直线与函数的图象有2个交点． 故答案为：或． 16. 如图，以为直径的，点E在圆外，且，与交于点D，过D作于点H，连接交于点F、交于点G．若，，则_________，____________． 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．连接，由垂径定理和勾股定理即可求出长；连接，分别证明，，，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，； 如图，连接， 在中，． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴，． 在中，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：8，． Ⅱ卷 主观题 三、解答题（共86分，17、18题每题8分，19-25题每题10分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）使用因式分解法求解即可； （2）使用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 18. 重庆复旦中学为了提高学生动手实践操作能力，开设了插花、烹饪、种植3种选修课程，每位同学可以随机选择其中一种课程参加学习． （1）旦小雅同学选择插花课程的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图的方法，求复小博、旦小雅两名同学选择同一种课程的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求事件的概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率；熟练掌握其方法的一般步骤是解题关键． （1）根据题意，列举出所有可能结果，代入概率计算公式求得相应的概率； （2）根据题意，可以画出相应的树状图，代入概率计算公式从而求得相应的概率． 【小问1详解】 解：∵某校开设了插花、烹饪、种植3个选修课程， ∴旦小雅同学选择插花课程的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把插花、烹饪、种植3个选修课程分别记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中复小博、旦小雅两名同学选择同一种课程的结果有3种， ∴复小博、旦小雅两名同学选择同一种课程的概率为． 19. 如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为BC的中点，连接DE． （1）求证：DE是半圆⊙O的切线； （2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长． 【答案】（1） 证明：连接OD，BD，如图， 是直径， ， ， E是BC的中点， ， 即 是半径， DE是半圆⊙O的切线． （2）AD=6 【解析】 【分析】(1)连接OD，BD，证明BDC为直角三角形，由点E为BC的中点可得BE=DE=CE，所以，证明出后，可以得出+，所以DE是半圆⊙O的切线． （2）求出BC的长度后，由直角三角形的性质可求出AC的长度，证明DCE是等边三角形后，可得到CD的长度，由即可求出AD的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定，还用到了等边对等角的性质及勾股定理，牢固掌握切线的判定方法和准确计算是做出本题的关键． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕原点顺时针旋转的，则点的坐标为_______； （2）以点为位似中心，在第一象限内，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，则点B2的坐标为_______． （3）点是轴上一点，若点到，的距离之和最小．请写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图： 点的坐标为； （2） 解：如图： 的坐标为． （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—作旋转图形、作位似图形，“将军饮马”问题： （1）作出各顶点绕原点顺时针旋转后的点，连接各点即可； （2）将各顶点与原点O连接并延长两倍得到对应的点，连接各点即可得到放大二倍的位似图形； （3）取关于x轴对称点为，连接，与x轴的交点即为所求P点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图： 关于x轴对称点为，连接，与x轴的交点即为所求P点， 设直线为， 则，解得， ∴直线为， 当时，，解得， 故P为． 21. 春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推广，某影院正月初一的票房收入为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元．随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售，盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是．如图，该长方体盒子可在矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子．已知矩形硬纸板的长宽分别为，． （1）求从正月初一到初三该影院票房收入的日平均增长率． （2）求纸盒的高 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决平均增长率的问题及图形问题： （1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为a，根据题意列出方程并求解即可； （2）设纸盒的高为，根据图形表示出盒子底面积并列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为a， 则， 解得：，（舍去）， 即从正月初一到正月初三该影院票房收入的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设纸盒的高为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：纸盒的高为． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． （3）求的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积的计算，根据函数图象确定出不等式的解集，熟练掌握函数性质解决问题的关键． （1）先用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数与反比例函数的图象即可得出答案； （3）将分割为和两个三角形分别计算面积． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 故反比例函数表达式为； 将代入，解得， 即， 将，代入，得 解得，， 故一次函数表达式为． 【小问2详解】 由图可知，当时，一次函数图象在反比例函数下方； 当时，一次函数图象在反比例函数下方； 故的解集为或． 【小问3详解】 如图所示，设一次函数图象与轴交于点， 故 则， ， ， ， ． 23. 如图，在矩形中，，，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→D方向运动；动点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动．当点P追上点Q时，P、Q均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合函数图象，若直线与函数图象只有1个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2）函数y的图象如下， 当时，的面积最大为9（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合问题，画出二次函数与一次函数的图象是解题的关键． （1）分两种情况，当时和当时，根据三角形面积公式求解即可得出答案． （2）根据二次函数和一次函数的性质画出图象，再根据函数图象写出一条性质即可． （3）由题意直线与直线平行，画出一次函数的图象，利用函数图象求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， 当时，，， ∴ 当时，，， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由题意，，抛物线顶点为：过和． 如图所示：当时，的面积最大为9（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由题意，直线与直线平行， 又当直线过时，则， ∴． 又当直线过时，则， ∴． ∴结合图象，根据直线与函数图象只有1个交点，则或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点，使得．写出所有符合条件的点的横坐标．并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），此时 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移问题等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点作于点，求出，由三线合一定理可得，设， 求出，则，，可得则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出平移后的解析式为，当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线l的对称点E，则，由轴对称的性质可得，则可得，即可得到点M即为线段与抛物线的交点；当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得，则，求出直线解析式为，进而求出，证明，则点M即为射线与抛物线的交点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 当时，， ∴ ， ∴， 设，直线的解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴，，， ∴ ∴ ∵，开口向下，且， ∴当时，， 此时 【小问3详解】 解：∵ ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴相当于将抛物线向上移动个单位向左平移个单位； ∵原抛物线解析式为 ∴平移后的抛物线解析式为， 当点M在点C上方时，过点C作平行于x轴，作点B关于直线的对称点E，则， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴点M即为线段与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为； 当点M在点C下方时，如图所示，取中点H，连接，在上取一点F使得， ∵， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， 解得， ∴， ∴直线解析式为 ∵直线解析式为，直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M即为射线与抛物线的交点， 联立得， 解得或（舍去）， ∴点M的横坐标为； 综上所述，点M的横坐标为或． 25. 如图，在等边中，点D 是边上的一动点，点E是射线上的一动点，连接． （1）如图1，，若点D为线段的中点，线段，求线段的长； （2）如图2，若点E在延长线上，以为边，在右侧作等边；过点F作交于点G，当时，求证∶； （3）如图3，点E在延长线上，，将沿直线翻折得到，点E的对应点为点．内部有一动点 P，满足，若，当的长度最小时，求的最小值． 【答案】（1）1 （2） 过点D作，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵、为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明，，证明是等边三角形，则，，证明，即可求解； （2）过点D作，交于点N，通过证明为等边三角形，，得出，再证明，得出，根据，得出，则，即可求证； （3）易证，以为边在右边作等边三角形，则，可得点A、P、C、Q四点共圆，过点A作，过点C作，相交于点O，根据圆周角定理推出点A、P、C、Q四点在以点O为圆心，为半径的圆上，过点O作于点H，求出，当点E、P、O在同一条直线上时，取最小值．根据将沿直线翻折得到，可得点在与夹角为的直线上运动，则当时，取最小值，求出，连接，于相交于点P，根据勾股定理可得：，再根据求解即可．． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴在中，， 以为边在右边作等边三角形，则， ∴， ∴点A、P、C、Q四点共圆， 过点A作，过点C作，相交于点O， ∴，， ∴在中，，， ∵， ∴点A、P、C、Q四点在以点O为圆心，为半径的圆上， 过点O作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴当点E、P、O在同一条直线上时，取最小值． ∵将沿直线翻折得到， ∴，则， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴当时，取最小值， ∵， 此时， ∴， 连接，于相交于点P， 根据勾股定理可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以及圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $