第08讲 圆与扇形 全章复习（知识梳理+10大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）六年级数学新教材沪教版五四制

第08讲 圆与扇形 全章复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的周长 1、圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 知识点2：弧长 1、弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；A B O 称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点3 ：圆的面积 1、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积： 知识点4：扇形的面积 1、 扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB．A B O 2、 扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 3.同圆中的之间的关系： 【题型1】 圆的概念及特点 例1．（2025六年级下·上海·专题练习）在下边的图形中，点O是( )，线段是( )，线段是( )． 变式1．画圆时，圆规两脚张开的距离是，则圆的直径是 ． 变式2．“太极”是中国古代哲学的核心概念之一，蕴含着深邃的宇宙观与辩证思维，太极强调“阴阳互根”“对立统一”，如昼夜、寒暑、动静等矛盾双方既相互依存，又此消彼长，体现中国传统哲学的辩证智慧．如图方格图中有一个简化版的“太极图”，图中每个格子都是边长相同的正方形． (1)画一画．利用圆规和尺子，在方格图中画出左边的“太极图”，要求画出的图案与原图案大小、形状相同． (2)如果方格图中每个格子的边长为1厘米，求阴影部分的周长是多少厘米？（结果保留） 【题型2】 圆的周长 例2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）下列说法中正确的是（    ） A．的值等于 B．的值是圆周长与直径的比值 C．的值与圆的大小有关 D．是一个有理数 例3．（24-25六年级下·上海·期中）汽车轮胎半径长为米，如果汽车以每秒转动轮胎5圈的速度行驶，那么这辆汽车每小时可行驶 米．（取） 变式1．（24-25六年级下·上海·月考）如图，甲、乙两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从甲挡板开始沿直线滚动到乙挡板，正好滚动3周，甲、乙两块挡板之间的距离是（   ）． A．62.52 B．59.52 C．56.52 D．53.52 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 【题型3】 弧、圆心角、扇形的认识 例4．一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如果圆的半径，那么的圆心角所对的弧长 ． 变式2．小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈．       (1)求这个圆扫过的面积是 ． (2)小明又用同样长度的木条做了个正五边形（五条边相等，五个内角相等的图形）的框架，那么再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈其扫过的面积又是 ． (3)当用同样长度的木条做正n边形（n条边相等，n个内角相等的图形）的框架，再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，现标记这个扇形的圆心角大小为，正n边形的内角大小为，请写出与之间的数量关系 ， 并用含n的式子表示的大小，则 ． 【题型4】 求弧长 例5．下列判断中正确的是（    ） A．半径越大的弧越长 B．所对圆心角越大的弧越长 C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大 D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变 变式1．（24-25六年级下·上海·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为厘米，则这个扇形的周长为 厘米．（取） 变式2．（24-25六年级下·上海宝山·月考）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． (1)如图，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是厘米，那么点经过的路程是___________厘米．（结果用含有的式子表示） 【题型5】 圆的面积 例6．（24-25六年级下·上海·期中）下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的是（   ） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 例7．（24-25六年级下·上海·月考）一个圆的半径是10厘米，这个圆的面积是 平方厘米．（π取） 例8．（24-25六年级下·上海普陀·期中）学校要在周长为米的圆形花坛外围修一条宽2米的环形塑胶跑道．那么这个圆形花坛的半径是多少米？环形塑胶跑道的面积是多少平方米？（取） 变式1．（24-25六年级下·上海·月考）如果两个圆的直径之比是，那么这两个圆的面积之比是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆的面积为，半径为，圆周长为；一个半圆形的面积为，半径为，半圆弧长为，那么以下结论成立的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是 平方米． 变式4．（24-25六年级下·上海青浦·期中）你还记得圆的面积公式推导过程吗？我们把圆等分成若干份，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积也就越接近于圆的面积，故就由长方形的面积公式推导出圆的面积公式． (1)如图，近似长方形的一边的长度相当于圆的_______________；另一边的长度相当于圆的_______________； (2)当时，则这个圆的周长为_____________，面积为_______________．（结果保留） (3)若将一个圆等分成12份，其中一个扇形的周长是，求这个圆的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【题型6】 圆环的面积 例9．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米．（结果保留） 例10．（24-25六年级下·上海·月考）一个圆形花坛的周长是9.42米，在花坛外围1米铺上石路，问石路的面积是多少平方米？（取） 变式1．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是 ．（取3.14） 变式2．（2025六年级下·上海·专题练习）计算下图中涂色部分的面积．（单位：） 【题型7】 扇形的周长和面积 例11．（24-25六年级下·上海·期中）已知一扇形半径扩大到原来的2倍，要保持扇形的面积不变，扇形的圆心角应（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 例12．（24-25六年级下·上海·单元测试）一弧长为厘米，圆心角为，这条弧的半径为 厘米．（取） 例13．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，求阴影部分图形的周长（结果保留）． 变式1．（24-25六年级下·上海青浦·期中）如果一个扇形的圆心角缩小为原来的，半径扩大到原来的4倍，那么新的扇形面积与原扇形面积的比值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式2．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一个边长是厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向的翻转，到达图中最右边三角形的位置，那么顶点所经过的路程是 厘米．（结果保留）    变式3．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)如图2，求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是多少分米？（结果用含有的式子表示） 【题型8】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例14．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图，四边形是一个边长为的正方形，在的延长线上且，则涂色部分面积为 ． 例15．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 变式1．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 变式2．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【题型9】 阴影部分的周长和面积 例16．（24-25六年级下·上海·月考）将半径是厘米和3厘米的两个半圆如图放置，阴影部分的周长是 厘米． 变式1．（24-25六年级下·上海松江·期末）如图．长方形的长，宽．求阴影部分的周长和面积（结果保留）． 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）（1）求阴影部分的周长和面积．（取） （2）求阴影部分的面积．（取） 【题型10】 不规则图形的面积 例17．如图：直角三角形ABC中，，，以BC为直径画半圆O，如果阴影甲的面积等于阴影乙的面积，那么AC长为 cm． 变式1．（2025六年级下·上海·专题练习）中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计．图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 变式2．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 一、单选题 1．圆的大小是由圆的（　　）决定的． A．半径 B．圆心 C．圆心和半径 D．对称轴 2．（24-25六年级下·上海·期末）“滴水湖”的湖面呈圆形，半径约是千米．“滴水湖”的周长大约为（    ）千米 A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海·单元测试）一个圆的半径增加，则这个圆（   ） A．周长增加 B．周长增加 C．面积增加 D．面积增加 4．（24-25六年级下·上海·期中）下列语句正确的是（   ） A．弧所在的圆的半径越大，则弧越长 B．弧对应的圆心角越大，则弧越长 C．圆的半径扩大3倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大3倍 D．圆的半径不变，圆心角扩大3倍，则对应的扇形面积扩大3倍 二、填空题 5．（24-25六年级下·上海·期中）若一弧长为厘米，所对圆心角为，则这弧所在圆的半径是 厘米． 6．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）在一张长为，宽为的纸上剪一个最大的圆，则这个圆的周长是 ． 7．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 8．（24-25六年级下·上海·期中）将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，拼成近似的长方形后长方形的周长比圆的周长长8厘米，则圆的面积是 平方厘米．（结果保留） 9．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 10．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，以长方形的一个顶点为圆心画圆，如果长方形与圆重叠部分的面积相当于长方形面积的，那么长方形与圆的面积之比是 ． 11．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，由直径分别为厘米、厘米和厘米的三个半圆所组成的图形，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．（结果保留 ） 三、解答题 12．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，圆心角为的扇形减去直径为12厘米的半圆，求阴影部分的周长和面积（结果保留π）． 13．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 14．（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，三角形的边长都为，分别以、、三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．（取3.14） 15．（2025六年级下·上海·专题练习）希望小学为提升校园环境，新建了一个外沿的周长是米的圆形花坛． (1)如果把其中种上一串红，其余按种上菊花和牡丹花，种植菊花的面积是多少平方米？ (2)要在花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路，这条鹅卵石路的面积是多少平方米？ 16．（24-25六年级下·上海金山·月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 17．（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． (1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） (2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 18．（24-25六年级下·上海·期中）阅读：乐乐同学在学习了圆的周长与面积的相关内容后发现：如果用表示圆的面积，表示圆的周长，表示圆的半径，圆的面积公式可表示为． 理由如下： 解：因为 又因为 即： 所以． (1)模仿：如果用表示扇形的面积，表示扇形的弧长，表示扇形所在圆的半径，则扇形的面积公式可表示为，请模仿乐乐的思路说明此公式的正确性． (2)应用上述结论解决下列问题： ①定义：如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．如图，将周长为12的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的“等边扇形”（忽略铁丝的粗细），则所得的等边扇形的面积为________． ②如图，已知圆的周长与扇形所对的弧长的比值为1，，那么圆的面积与扇形的面积的比值为________． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 圆与扇形 全章复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的周长 1、圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 或 知识点2：弧长 1、弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；A B O 称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点3 ：圆的面积 1、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积： 知识点4：扇形的面积 1、 扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB．A B O 2、 扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 3.同圆中的之间的关系： 【题型1】 圆的概念及特点 例1．（2025六年级下·上海·专题练习）在下边的图形中，点O是( )，线段是( )，线段是( )． 【答案】 圆心 半径 直径 【知识点】 圆的概念及特点 【分析】本题考查了圆的概念，圆心决定圆的位置，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径． 【详解】解：点O是（圆心），线段是（半径），线段是（直径）． 故答案为：圆心，半径，直径． 变式1．画圆时，圆规两脚张开的距离是，则圆的直径是 ． 【答案】/10厘米 【知识点】 圆的概念及特点 【分析】本题同圆或等圆中半径和直径之间的关系，圆规两脚间的距离即半径，由直径与半径的关系“”可知，画成的圆的直径是圆规两脚间的距离的倍，据此进行解答即可．解题的关键是明确圆规两脚间的距离即半径． 【详解】解：， 答：圆的直径是． 故答案为：． 变式2．“太极”是中国古代哲学的核心概念之一，蕴含着深邃的宇宙观与辩证思维，太极强调“阴阳互根”“对立统一”，如昼夜、寒暑、动静等矛盾双方既相互依存，又此消彼长，体现中国传统哲学的辩证智慧．如图方格图中有一个简化版的“太极图”，图中每个格子都是边长相同的正方形． (1)画一画．利用圆规和尺子，在方格图中画出左边的“太极图”，要求画出的图案与原图案大小、形状相同． (2)如果方格图中每个格子的边长为1厘米，求阴影部分的周长是多少厘米？（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)厘米 【知识点】 圆的周长、 圆的概念及特点 【分析】本题主要考查画圆、圆周长计算等知识点，掌握圆的周长公式成为解题的关键． （1）观察“太极图”可知图案是由一个大圆和两个小半圆的弧长组成，大圆的半径即为两个小半圆的直径，两个小半圆的直径和大圆的直径共线，据此作图即可； （2）观察阴影部分的周长组成，可知阴影部分的周长是由大圆周长的一半和两个小圆周长的一半组成，两个半圆周长即为一个圆的周长，根据“圆周长”，据此计算即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）解：． 答：阴影部分的周长是厘米． 【题型2】 圆的周长 例2．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）下列说法中正确的是（    ） A．的值等于 B．的值是圆周长与直径的比值 C．的值与圆的大小有关 D．是一个有理数 【答案】B 【知识点】 圆的周长、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类及圆周率，解题的关键是根据圆周率π的定义和性质及有理数的意义，依次对各个选项逐一分析即可． 【详解】解：A．，原说法不正确，故此选项不符合题意； B．的值是圆周长与直径的比值，原说法正确，故此选项符合题意， C．是定值，与圆的大小无关，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．是一个无限不循环小数，不能表示为分数，它不是有理数，原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 例3．（24-25六年级下·上海·期中）汽车轮胎半径长为米，如果汽车以每秒转动轮胎5圈的速度行驶，那么这辆汽车每小时可行驶 米．（取） 【答案】56520 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查圆周长，解题的关键是正确计算出圆的周长． 用轮胎周长乘以每秒转的圈数，再乘以每个小时的3600秒，据此计算可得答案． 【详解】解：这辆汽车每小时可行驶（米）， 故答案为：56520． 变式1．（24-25六年级下·上海·月考）如图，甲、乙两块挡板之间有一个半径为的圆，圆从甲挡板开始沿直线滚动到乙挡板，正好滚动3周，甲、乙两块挡板之间的距离是（   ）． A．62.52 B．59.52 C．56.52 D．53.52 【答案】A 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长计算，根据题意可知，甲、乙两块挡板之间的距离等于半径为的圆的周长的3倍加上一个直径，据此根据圆周长计算公式求解即可． 【详解】解：， 所以甲、乙两块挡板之间的距离是， 故选：A ． 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 【答案】(1)①；②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 (2)①，，；②自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是千米和千米； (3)小明需每分钟蹬圈圈 【知识点】 圆的周长、比的应用、 比的化简 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． （1）①根据题意化简比，即可求解； ②根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解； （2）①根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，进而根据前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数，即可求解； ②分别求得最小传动比和最大传动比，计算后轮的周长，进而求得最大距离和最小距离，注意单位的换算； （3）先转化单位，进而求得后轮要转的圈数，根据传动比，即可求解． 【详解】（1）解：①前齿轮齿后齿轮齿 故答案为：． ②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 ∵ ∴ （2）①明想在上坡时更省力，传动比越小越省力， ∴应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为 ∵前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数 解得： ∴此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈 故答案为：，，． ②小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、， ∴最小传动比为： 最大传动比为： 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚， ∵后轮直径厘米 ∴每分钟，后车轮前进的最少距离为：米，最大距离为：米 ∴自行车每小时行驶的最小距离为：千米，自行车每小时行驶的最大距离为：千米 （3）解：千米/小时 ∵后轮直径厘米 ∴后轮要转圈 ∵传动比， ∴小明需每分钟蹬圈圈 【题型3】 弧、圆心角、扇形的认识 例4．一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），熟记公式是解题的关键． 变式1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如果圆的半径，那么的圆心角所对的弧长 ． 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了弧长计算的知识；求解的关键是熟练掌握弧长计算的方法，从而完成求解．根据弧长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：的圆心角所对的弧长， 故答案为：． 变式2．小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈．       (1)求这个圆扫过的面积是 ． (2)小明又用同样长度的木条做了个正五边形（五条边相等，五个内角相等的图形）的框架，那么再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈其扫过的面积又是 ． (3)当用同样长度的木条做正n边形（n条边相等，n个内角相等的图形）的框架，再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，现标记这个扇形的圆心角大小为，正n边形的内角大小为，请写出与之间的数量关系 ， 并用含n的式子表示的大小，则 ． 【答案】(1)； (2)； (3)；． 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、求扇形面积 【分析】本题考查了求扇形的面积，扇形的圆心角度数，理解题意是解题的关键． （1）根据题意，求得三个长方形和一个圆的面积即可求解； （2）根据（1）的方法，面积为五个长方形和一个圆的面积，即可求解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意可知，这个圆扫过的面积是个长方形的面积与个半径为的扇形面积的和， 转过的每个扇形的圆心角度数为： ， ∴这个圆扫过的面积是， 故答案为：； （2）解：依题意可知，这个圆扫过的面积是个长方形的面积与个半径为的扇形面积的和， 转过的每个扇形的圆心角度数为： ， ， 故答案为：； （3）解：依题意，长方形的每个角为，根据题意，圆扫过的图形中扇形的圆心角之和为，则边形中，每一个扇形的角度， 又∵， ∴， ， 故答案为：； ． 【题型4】 求弧长 例5．下列判断中正确的是（    ） A．半径越大的弧越长 B．所对圆心角越大的弧越长 C．所对圆心角相同时，半径越大的弧越大 D．半径相等时，无论圆心角怎么改变，弧长都不会改变 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】根据弧长公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．圆心角的度数不一定，所以无法确定弧长，此选项说法错误； B．半径不确定，所以无法确定弧长，此选项说法错误； C．根据弧长公式可得，所对圆心角相同时，半径长越大的弧越长，此选项说法正确； D．半径相等时，圆心角越大，弧长越长，此选项说法错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 变式1．（24-25六年级下·上海·期中）已知扇形的圆心角为，弧长为厘米，则这个扇形的周长为 厘米．（取） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长．设这个扇形的半径为r厘米，根据弧长公式可得r的值，即可求解． 【详解】解：设这个扇形的半径为r厘米，根据题意得： ， 解得：， ∴这个扇形的周长为厘米． 故答案为： 变式2．（24-25六年级下·上海宝山·月考）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． (1)如图，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是厘米，那么点经过的路程是___________厘米．（结果用含有的式子表示） 【答案】(1)（厘米） (2)（平方厘米） (3) 【知识点】求扇形面积、求弧长 【分析】本题主要考查了弧长和扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形面积公式是解题的关键． （1）求出的长即可； （2）将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去扇形，进行求解即可； （3）根据点经过的路程是厘米，求出旋转角的度数，再根据弧长公式求出点经过的路程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即旋转角为， ∴点经过的路程为（厘米）． （2）解∵三角形旋转得到三角形， ∴， ∴ （平方厘米）． （3）解：∵点经过的路程是厘米， ∴， ∵厘米，厘米 ∴厘米， ∴点经过的路程是（厘米）． 故答案为：． 【题型5】 圆的面积 例6．（24-25六年级下·上海·期中）下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的是（   ） A．（1）（4） B．（2）（4） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4） 【答案】D 【知识点】 圆的面积 【分析】本题主要考查的是正方形的面积公式和圆的面积公式的应用．根据题意，左图与图（1）、（2）、（4）中空白部分的图形可以分别组成一个以正方形的边长为直径的圆，阴影部分的面积可用正方形的面积减去里面最大圆的面积即可，图（3）中的阴影部分的面积就是正方形内最大圆的面积，可设正方形的边长为2，根据正方形的面积公式和圆的面积公式进行计算即可得到各个图形中阴影部分的面积，然后再进行比较即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为2， 正方形的面积为：， 正方形内最大圆的半径就为：， 里面最大圆的面积为：， 图（1）、（2）、（4）与左图的阴影部分的面积都为：， 图（3）中阴影部分的面积为， 故选：D 例7．（24-25六年级下·上海·月考）一个圆的半径是10厘米，这个圆的面积是 平方厘米．（π取） 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，直接根据圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：平方厘米， 所以这个圆的面积为平方厘米， 故答案为：． 例8．（24-25六年级下·上海普陀·期中）学校要在周长为米的圆形花坛外围修一条宽2米的环形塑胶跑道．那么这个圆形花坛的半径是多少米？环形塑胶跑道的面积是多少平方米？（取） 【答案】这个圆形花坛的半径是米，环形塑胶跑道的面积是平方米． 【知识点】 圆的周长、圆环的面积、 圆的面积 【分析】此题考查了圆的面积和周长，根据题意正确列式是关键．根据圆的周长和面积公式列式计算即可． 【详解】解：， 即这个圆形花坛的半径是米， （平方米） 即环形塑胶跑道的面积是平方米． 变式1．（24-25六年级下·上海·月考）如果两个圆的直径之比是，那么这两个圆的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比的应用、 圆的面积 【分析】本题考查圆的面积，掌握圆面积的计算方法是正确解答的关键．设两个圆的直径，根据圆面积的计算方法用直径表示两个圆的面积，再求出面积的比即可． 【详解】解：设大圆直径为，则小圆的直径为， 所以大圆的面积为，小圆的面积为， 因此这两个圆的面积的比为， 故选：D． 变式2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）一个圆的面积为，半径为，圆周长为；一个半圆形的面积为，半径为，半圆弧长为，那么以下结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆的面积、 圆的周长 【分析】根据圆的面积公式和半圆的面积公式，求出半径的关系；再根据圆的周长和半圆弧长的公式，比较周长关系，从而确定正确选项。 【详解】依题意，， ∴， 圆的周长 。 半圆的弧长 。 因此，，，即 。 故B、C、D选项不正确， 故A选项正确． 故选：A． 变式3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是 平方米． 【答案】 【知识点】 圆的面积、 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长和面积，解题关键是熟练掌握圆的周长和面积公式． 根据周长是米，先求出半径，进而求花坛面积． 【详解】解：面积 (平方米)． 故答案为：． 变式4．（24-25六年级下·上海青浦·期中）你还记得圆的面积公式推导过程吗？我们把圆等分成若干份，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积也就越接近于圆的面积，故就由长方形的面积公式推导出圆的面积公式． (1)如图，近似长方形的一边的长度相当于圆的_______________；另一边的长度相当于圆的_______________； (2)当时，则这个圆的周长为_____________，面积为_______________．（结果保留） (3)若将一个圆等分成12份，其中一个扇形的周长是，求这个圆的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【答案】(1)半径长，周长的一半 (2)， (3) 【知识点】 圆的周长、扇形的周长和面积、 圆的面积 【分析】本题考查圆的周长和面积，解题的关键是得到长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径长． （1）根据图形易得长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径长，进行作答即可； （2）根据圆的周长和面积公式进行计算即可； （3）根据扇形的周长等于2条半径的长加上弧长，求出半径，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知：的长度相当于圆的半径长，的长度相当于圆的周长的一半； 故答案为：半径长，周长的一半； （2）解：当时，即圆的半径为， ∴圆的周长为：，圆的面积为：， 故答案为：，； （3）解：设圆的半径为，由题意，得：， ∴， ∴圆的面积是． 【题型6】 圆环的面积 例9．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）已知一个圆形喷水池的半径是4米，沿它的外侧铺一条1米宽的小路，那么这条小路的面积等于 平方米．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题考查圆的面积，由题意，用大圆的面积减去小圆的面积进行计算即可． 【详解】解：（平方米）； 故答案为：． 例10．（24-25六年级下·上海·月考）一个圆形花坛的周长是9.42米，在花坛外围1米铺上石路，问石路的面积是多少平方米？（取） 【答案】石路的面积是12.56平方米 【知识点】 圆的周长、圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆的周长和圆的面积计算，先利用圆的周长公式求出半径长，再利用圆的面积计算公式求解即可． 【详解】解：花坛的半径米， 石路宽1米，因此外圆半径米， 则石路面积为： （ 平方米） 答：石路的面积是12.56平方米． 变式1．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是 ．（取3.14） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题考查了圆环的面积，掌握圆环的面积公式是解题关键．设大圆半径为，小圆的半径为，先利用三角形面积公式阴影的面积，得到，再根据圆环的面积公式计算即可． 【详解】解：设大圆半径为，小圆的半径为， 因为阴影部分的面积是， 所以，即， 所以圆环的面积是， 故答案为：． 变式2．（2025六年级下·上海·专题练习）计算下图中涂色部分的面积．（单位：） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题考查了圆的面积公式，掌握圆环面积求法是解题的关键． 分析图形可知，涂色部分的面积等于一个边长为的正方形面积减去中间圆环的面积；圆环的面积等于半径为的大圆面积减半径为的小圆面积，由圆的面积公式，可以推出圆环的面积为，由此列式可计算． 【详解】解： ， ∴涂色部分的面积． 【题型7】 扇形的周长和面积 例11．（24-25六年级下·上海·期中）已知一扇形半径扩大到原来的2倍，要保持扇形的面积不变，扇形的圆心角应（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形面积，根据扇形面积公式，分析半径扩大后的面积变化，通过等式求解圆心角的变化比例． 【详解】解：设原扇形半径为，圆心角为，面积为． 当半径扩大为时，新面积． 由题意， 代入得： 两边约去， 得， 即． 因此圆心角应缩小为原来的， 故选D． 例12．（24-25六年级下·上海·单元测试）一弧长为厘米，圆心角为，这条弧的半径为 厘米．（取） 【答案】4 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为， 由弧长公式，得 解得：． ∴该弧所在圆的半径为厘米． 故答案为：4． 例13．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，圆心重合的两圆半径分别为4，2，，求阴影部分图形的周长（结果保留）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了弧长公式，关键是找出图中阴影部分周长的计算方法．根据阴影部分的周长等于两个弧长加上大圆半径减去小圆半径差的两倍求解即可． 【详解】解：阴影部分扇环的圆心角为：， 阴影部分图形的周长为：． 变式1．（24-25六年级下·上海青浦·期中）如果一个扇形的圆心角缩小为原来的，半径扩大到原来的4倍，那么新的扇形面积与原扇形面积的比值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查扇形的面积，设原来的圆心角的度数为，半径为，根据扇形的面积公式，进行判断即可． 【详解】解：设原来的圆心角的度数为，半径为， 由题意，得：新的扇形面积为：； 故新的扇形面积与原扇形面积的比值为8； 故选D． 变式2．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一个边长是厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向的翻转，到达图中最右边三角形的位置，那么顶点所经过的路程是 厘米．（结果保留）    【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了圆的周长公式． 根据题意，B的运动轨迹是3个以1厘米为半径、圆心角是的弧长，即一个半径是1厘米的圆的周长．利用圆的周长公式：，把数代入计算即可． 【详解】解：如图：   （厘米） 答：顶点B所经过的路程是厘米． 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点经过的路程；（结果保留） (2)如图2，求边扫过的阴影面积；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是多少分米？（结果用含有的式子表示） 【答案】(1)分米 (2)平方分米 (3)分米 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查弧长，扇形的面积，熟练掌握弧长和扇形的面积公式是解题的关键． （1）求出弧的长即可； （2）将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去扇形，进行求解即可； （3）根据点经过的路程是分米，求出旋转角的度数，再根据弧长公式求出点经过的路程即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，即旋转角为， 所以点经过的路程为（分米）； （2）解：由旋转可得，， 所以， 所以                   （平方分米）； （3）解：因为点经过的路程是分米， 所以， 因为分米，分米 所以分米， 所以点经过的路程是（分米）． 【题型8】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例14．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）如图，四边形是一个边长为的正方形，在的延长线上且，则涂色部分面积为 ． 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的面积．观察得到和的面积相等，根据涂色部分面积为计算即可求解． 【详解】解：观察得到和的面积相等， ∴涂色部分面积为， 故答案为：． 例15．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）如图，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题主要考查了圆和半圆的周长，根据图形计算半圆的周长和小圆的周长，即可求解． 【详解】解：， ， ． 变式1．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 【答案】5 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题主要考查了求圆的半径，周长，弧长，长方形的周长等知识，先求出圆的半径，长方形为的长，最后根据阴影部分的周长计算即可． 【详解】解：根据题意， 则圆的半径为：， 圆的面积为：， 长方形的面积为，则长方形的长为： ， 则阴影部分的周长为：， 故答案为：5 变式2．（24-25六年级下·上海·期中） 圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O和圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，试画出圆O滚过的区域，并求出该区域的面积． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)平方厘米 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （3）圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域，据此画出示意图，并求解面积即可． 【详解】（1）解：（厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （2）解：（厘米）， （厘米）， 所以圆心O经过的距离为厘米； （3）解：如图所示，圆O滚过的区域为三个长方形区域和三个圆心角度数为的扇形区域， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 所以圆O滚过区域的面积为平方厘米。 【题型9】 阴影部分的周长和面积 例16．（24-25六年级下·上海·月考）将半径是厘米和3厘米的两个半圆如图放置，阴影部分的周长是 厘米． 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查了组合图形的周长，阴影部分的周长等于半径是厘米和3厘米的两个半圆的弧长加上半径是3厘米的半圆的直径． 根据阴影部分的周长等于半径是厘米和3厘米的两个半圆的弧长加上半径是3厘米的半圆的直径，列式计算即可． 【详解】解：阴影部分的周长为（厘米）， 故答案为：． 变式1．（24-25六年级下·上海松江·期末）如图．长方形的长，宽．求阴影部分的周长和面积（结果保留）． 【答案】阴影部分的面积为，周长为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积和周长，阴影部分的周长等于最大半圆的弧长加上最大半圆的直径减去的长，再加上两个小扇形的弧长，再加上长方形的宽减去小扇形半径的差的2倍，阴影部分的面积等于最大半圆的面积减去长方形面积加上两个小扇形的弧长，据此列式求解即可． 【详解】解：； ； 答：阴影部分的面积为，周长为． 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）（1）求阴影部分的周长和面积．（取） （2）求阴影部分的面积．（取） 【答案】（1）阴影部分的周长为，面积为；（2）阴影部分的面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】此题主要考查了半圆的周长和面积计算方法的灵活应用，即根据半圆的周长求半径． （1）根据半圆的周长求解即可；用大半圆的面积减去2个小半圆的面积求解即可； （2）用2个半圆的面积减去三角形的面积求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）． 【题型10】 不规则图形的面积 例17．如图：直角三角形ABC中，，，以BC为直径画半圆O，如果阴影甲的面积等于阴影乙的面积，那么AC长为 cm． 【答案】 【知识点】不规则图形的面积、 圆的面积 【详解】解：如图，标注字母， 而 而 故答案为： 【点睛】本题考查的直角三角形的面积的计算，半圆面积的计算，理解题意推导得到是解本题的关键. 变式1．（2025六年级下·上海·专题练习）中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计．图中正方形的边长是2米，正方形和圆之间部分的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【知识点】不规则图形的面积 【分析】该题考查了方中圆和圆中方的面积问题、正方形的面积、圆的面积，已知外方内圆的图形中正方形的边长是2米，那么正方形内最大圆的直径等于正方形的边长；观察图形可知，正方形和圆之间部分的面积正方形的面积圆的面积，根据正方形的面积公式，圆的面积公式，代入数据计算求解． 【详解】解：（平方米）， （平方米）， （平方米）， 答：正方形和圆之间部分的面积是平方米． 变式2．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 【答案】(1) (2)， 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积，扇形面积，解本题的关键是数形结合． （1）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积； （2）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得，即可得到和的数量关系；最后根据，即可求出． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； ， 故答案为：，． 一、单选题 1．圆的大小是由圆的（　　）决定的． A．半径 B．圆心 C．圆心和半径 D．对称轴 【答案】A 【知识点】 圆的概念及特点 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆心决定位置，半径决定大小即可求解． 【详解】解：圆的大小是由圆的半径或直径的长度决定的， 故选：A． 2．（24-25六年级下·上海·期末）“滴水湖”的湖面呈圆形，半径约是千米．“滴水湖”的周长大约为（    ）千米 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查圆的周长的计算，掌握其计算公式是关键． 根据圆的周长公式直接计算． 【详解】解：已知圆的半径千米，圆的周长公式为， 代入数据得：， 故选：B． 3．（24-25六年级下·上海·单元测试）一个圆的半径增加，则这个圆（   ） A．周长增加 B．周长增加 C．面积增加 D．面积增加 【答案】B 【知识点】 圆的周长、 圆的面积 【分析】本题考查了圆的周长公式和圆的面积公式． 假设一个圆的半径是，根据圆的周长公式和圆的面积公式判断即可． 【详解】解：圆的周长公式，圆的面积公式， 假设一个圆的半径是， ，， 圆的半径增加， 则，， 这个圆周长增加，面积增加， 只有B符合题意， 故选：B． 4．（24-25六年级下·上海·期中）下列语句正确的是（   ） A．弧所在的圆的半径越大，则弧越长 B．弧对应的圆心角越大，则弧越长 C．圆的半径扩大3倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大3倍 D．圆的半径不变，圆心角扩大3倍，则对应的扇形面积扩大3倍 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了根据弧长和扇形面积．逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A．仅半径大但圆心角可能较小，弧长不一定更长，故A错误； B．若圆心角大但半径很小，弧长也可能较短，故B错误； C．扇形面积，半径扩大3倍（即变为），面积变为，扩大9倍，故C错误； D． 圆心角扩大3倍（即变为），面积变为，扩大3倍，故D正确； 故选：D． 二、填空题 5．（24-25六年级下·上海·期中）若一弧长为厘米，所对圆心角为，则这弧所在圆的半径是 厘米． 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为，由弧长公式，得 解得：； ∴该弧所在圆的半径为． 故答案为：． 6．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）在一张长为，宽为的纸上剪一个最大的圆，则这个圆的周长是 ． 【答案】25.12 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查圆的周长公式的灵活运用，根据题意可知，在这张长方形纸上剪一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长公式，把数据代入公式解答． 【详解】解：， 所以，这个圆的周长是， 故答案为：25.12． 7．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【详解】解：圆环的面积为：（平方厘米）， 故答案为：． 8．（24-25六年级下·上海·期中）将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，拼成近似的长方形后长方形的周长比圆的周长长8厘米，则圆的面积是 平方厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积公式推导以及求圆的面积，根据题意求出圆的半径是解答本题的关键．把一个圆等分成若干个小扇形后拼成一个近似的长方形，周长比原来增加了8厘米，是因为近似的长方形的周长比圆的周长多了圆的两个半径．据此可求出圆的半径，然后求圆的面积即可． 【详解】解：因为将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，拼成近似的长方形后长方形的周长比圆的周长长8厘米， 所以圆的半径为厘米， 所以圆的面积为平方厘米， 故答案为：． 9．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了求弧长公式，根据弧长代入求解即可． 【详解】解：弧的长为：， 故答案为： 10．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，以长方形的一个顶点为圆心画圆，如果长方形与圆重叠部分的面积相当于长方形面积的，那么长方形与圆的面积之比是 ． 【答案】 【知识点】比的应用、扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了比的应用，扇形的面积计算，根据题意可得重叠部分的面积占整个圆的面积的四分之一，再求出圆的面积是重叠部分的面积的4倍，长方形的面积是重叠部分的面积的倍，据此可得答案． 【详解】解：因为重叠部分是一个圆心角为90度的扇形， 所以重叠部分的面积占整个圆的面积的四分之一， 所以圆的面积是重叠部分的面积的4倍， 因为长方形与圆重叠部分的面积相当于长方形面积的， 所以长方形的面积是重叠部分的面积的倍， 所以长方形与圆的面积之比是， 故答案为：． 11．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，由直径分别为厘米、厘米和厘米的三个半圆所组成的图形，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．（结果保留 ） 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的面积公式的应用，解题的关键是通过分析图形，将阴影部分面积转化为几个半圆面积的组合来计算． 分别计算出三个半圆的面积，再根据图形组合关系求出阴影部分的面积． 【详解】解；直径为10厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 直径为厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 直径为厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 通过观察图形可知，阴影部分的面积（平方厘米） 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，圆心角为的扇形减去直径为12厘米的半圆，求阴影部分的周长和面积（结果保留π）． 【答案】周长为厘米；阴影部分的面为36π 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则． 阴影部分的周长为的圆心角所对的弧长、扇形的半径和半圆的长度的和；阴影部分的面积等于扇形的面积减去半圆的面积． 【详解】解：阴影部分的周长厘米； 阴影部分的面积． 答：周长为厘米；阴影部分的面为 13．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、扇形的周长和面积 【分析】本题考查弧长，扇形面积的实际应用，求出该邮票的对应的圆心角度数是解题的关键． 先求出每一枚邮票的圆心角，再由弧长公式求出该邮票的“下圆弧”的半径，然后由扇形面积公式求解单枚邮票的面积． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得： ∴单枚邮票的面积为：． 14．（24-25六年级下·上海·月考）如图所示，三角形的边长都为，分别以、、三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．（取3.14） 【答案】阴影部分的周长是 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查求不规则图形的周长，解题的关键是观察出图形中阴影部分的周长是以3为半径的圆的周长的一半．因为三角形的边长都为，所以三角形为等边三角形，根据图中阴影部分的位置知道，以3为半径的圆的周长的一半就是阴影部分的周长． 【详解】解：由题意知：圆的半径是3， 通过观察图形可知：阴影部分的周长是以3为半径的圆的周长的一半， ， 答：阴影部分的周长是． 15．（2025六年级下·上海·专题练习）希望小学为提升校园环境，新建了一个外沿的周长是米的圆形花坛． (1)如果把其中种上一串红，其余按种上菊花和牡丹花，种植菊花的面积是多少平方米？ (2)要在花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路，这条鹅卵石路的面积是多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【知识点】比的应用、圆环的面积、 圆的面积 【分析】本题考查了圆环的面积、比的应用、圆的面积的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据圆的半径周长圆周率，圆的面积圆周率半径的平方，求出花坛面积，将花坛面积看作单位“1”，菊花和牡丹花的面积占，花坛面积菊花和牡丹花的对应百分率菊花和牡丹花的面积，将比的前后项看成份数，菊花和牡丹花的面积总份数一份数，一份数菊花对应份数菊花面积，据此列式即可解答； （2）鹅卵石路的形状是个圆环，小圆半径就是花坛半径，大圆半径花坛半径鹅卵石路的宽，根据圆环面积圆周率（大圆半径的平方小圆半径的平方），即可求出鹅卵石路的面积． 【详解】（1）解：（米）， （平方米）， （平方米）， （平方米）， 答：种植菊花的面积是平方米． （2）解：（米）， （平方米）， 答：这条鹅卵石路的面积是平方米． 16．（24-25六年级下·上海金山·月考）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)能够浇灌的最大面积是平方米 (2)能够浇灌的最大面积是平方米． 【知识点】 圆的面积、 组合图形的面积 【分析】本题考查不规则图形的面积，解题的关键是画出图形，掌握圆形面积公式的运用． （1）求出半径是11米的圆面积即可； （2）画出图形，由圆面积公式即可计算得到答案． 【详解】（1）解：某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”， 能够浇灌的最大面积是（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米； （2）解：喷头可在边长为20米的正方形的四条边上自由运动，能够浇灌的最大面积如图： “自动旋转喷头”射程为12米， 米， （平方米），（平方米），正方形（平方米）， 能够浇灌的最大面积是（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米． 17．（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． (1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） (2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，读懂勒洛三角形和勒洛五角形的定义是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得出，，进而可知弧弧弧，进而根据弧长公式可求出每段的弧长，最后乘以3即可得出答案． （2）设与交于点P，与相交于点Q，设，，，，，由三角形内角和定理和平角的定理等量代换可得出，再由弧长公式分别求出每段的弧长，最后相加即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∴弧弧弧 由弧长公式得：弧的长 ∴勒洛三角形的周长为： （2）解：设与交于点P，与相交于点Q，如图所示： 设，，，，， ∵，， ∴， 同理可得出：， ∴， 在中，， ∴， 即．， 由弧长公式得∶弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ 弧长长为∶ ∴勒洛五边形的周长是∶ 18．（24-25六年级下·上海·期中）阅读：乐乐同学在学习了圆的周长与面积的相关内容后发现：如果用表示圆的面积，表示圆的周长，表示圆的半径，圆的面积公式可表示为． 理由如下： 解：因为 又因为 即： 所以． (1)模仿：如果用表示扇形的面积，表示扇形的弧长，表示扇形所在圆的半径，则扇形的面积公式可表示为，请模仿乐乐的思路说明此公式的正确性． (2)应用上述结论解决下列问题： ①定义：如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．如图，将周长为12的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的“等边扇形”（忽略铁丝的粗细），则所得的等边扇形的面积为________． ②如图，已知圆的周长与扇形所对的弧长的比值为1，，那么圆的面积与扇形的面积的比值为________． 【答案】(1)见解析 (2)①8；② 【知识点】 圆的周长、 求比值、扇形的周长和面积、 圆的面积 【分析】本题考查圆的周长与面积公式，扇形的周长与面积公式． （1）设扇形的圆心角为，则，，即可得到； （2）①根据“等边扇形”的定义得到扇形的弧长和半径都为，再由题意中的扇形面积公式即可求解； ②设圆O的半径为r，扇形的半径为R，圆的周长与扇形所对的弧长都为a，从而得到，．根据题意中面积公式求出圆O的面积，扇形的面积，进而求出比值即可． 【详解】（1）解：设扇形的圆心角为， 因为， 又因为， 即， 所以． （2）解：①∵扇形是“等边扇形”， ∴弧长和半径都为， ∴由（1）可得等边扇形的面积为． 故答案为：8 ②设圆O的半径为r，扇形的半径为R， ∵圆的周长与扇形所对的弧长的比值为1， ∴设圆的周长与扇形所对的弧长都为a， ∴，， ∴， ∴圆O的面积为， 扇形的面积为， ∴圆的面积与扇形的面积的比值为． 故答案为：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $