第06讲 分式方程及其应用（复习讲义，3考点7题型4重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式方程及应用”核心考点，涵盖概念、解法、解的情况（有解、增根、无解）、应用四大模块，通过知识网络构建梳理内在联系。教学流程设计“考情剖析-考点解析-命题预测-分层训练”，结合近3年北京中考真题讲解解法步骤，帮助学生突破验根、字母取值等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“重难突破”模块的思维进阶设计，如“巧解复杂分式方程”培养运算能力，“分式方程与不等式综合应用”强化推理意识，通过分层练习落实模型意识。例如结合“无人机打药作业面积”应用题，引导学生用数学语言建立等量关系，提升解决实际问题能力。教师可借助命题预测把握复习重点，学生通过限时训练高效提升应考技能，实现复习效果最大化。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 2 04·命题洞悉·题型预测 5 命题点一 分式方程概念及解法 题型01分式方程的概念 题型02解分式方程 命题点二 分式方程解的情况 题型01 分式方程有解求字母的值 题型02分式方程有增根求字母值 题型03分式方程无解求字母的值 命题点三 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02分式方程的应用 05·重难突破·思维进阶难 11 突破一 巧解复杂的分式方程 突破二 根据分式方程解的范围求字母的取值范围 突破三 分式方程与一次方程（组）的综合应用 突破四 分式方程与不等式（组）的综合应用 06·优题精选·练能提分 15 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解分式方程 北京卷 T11 北京卷 T11 北京卷 T11 了解分式方程的概念，区分整式方程与分式方程。知道如何找最简公分母，掌握解分式方程的方法（化为整式方程→解整式方程→检验）。明白增根的含义。 命题预测 结合分式方程的解法（去分母化为整式方程→解整式方程→检验），在验根的环节注意增根的出现。多以填空题出现，较简单，容易得分，注重答案的准确性。 考点一 分式方程的概念及解法 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件 （1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数； 3. 分式方程的解法：去分母，把分式方程转化为整式方程 4. 解分式方程的一般步骤 5. 检验方程解的方法 （1）将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （2）也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检所得的解是否正确。 1．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ． 2．（2024·北京·中考真题）方程的解为 . 3．（2023·北京·中考真题）方程的解为 ． 考点二 分式方程解的情况 增根 分式方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像这样的根，称为原方程的增根。 增根产生的原因：去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了。 1．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个方程的解是负数，求的取值范围； (2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案） 2．（22-23八年级上·北京石景山·期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若分式方程有增根，求m的值． 考点三 分式方程的应用 1. 常用的等量关系 在数轴上不同 （1） 行程问题：速度 x 时间 = 路程 （2） 利润问题：利润 = 售价 - 进价 ； 利润率 = 利润 ÷ 进价 x 100% （3） 工程问题： 工作量 = 工作效率 x 工作时间 1．（2025·北京石景山·二模）某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由． 2．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 3．（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 命题点一 分式方程的概念及解法 ►题型01 分式方程的概念 / 【典例】1．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►题型02 解分式方程 / 【典例】1．（2025·北京·一模）方程的解为 ． 2．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 【变式】1．（2025·北京海淀·模拟预测）方程的解为 2．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 3．（2025·北京·三模）分式方程的解为 ． 命题点二 分式方程解的情况 ►题型01 分式方程有解求字母的值 / 【典例】1．（2025·四川乐山·一模）方程的解是，则的值（    ） A． B． C． D．无解 2．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 【变式】1．（2025·广东梅州·一模）已知是关于x的方程的解，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 3．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型02 分式方程有增根求字母的值 / 【典例】1．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 2．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【变式】1．（2025·山东潍坊·三模）当 时，解分式方程会出现增根． 2．（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 3．（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 题型03 分式方程无解求字母的值 / 【典例】1．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 2．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【变式】1．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 3．（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 / 【典例】1．（25-26八年级上·北京延庆·期中）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【变式】1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 . 3．（23-24八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 题型02 分式方程的应用 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 2．（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【变式】1．（2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 2．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 3．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 突破一 巧解复杂的分式方程 【典例】1．（2025·广东阳江·模拟预测）解方程：． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【变式】1．（2024·广西河池·一模）解方程：． 2．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 3．（24-25湖北宜昌）解方程． 突破二 根据分式方程解的范围求字母的取值范围 【典例】1．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 2．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是 ． 2．（2025·西藏日喀则·一模）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 3．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 突破三 分式方程与一次方程（组）的综合应用 【典例】1．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 2．（2025·重庆·模拟预测）列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． (1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ (2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多．求每个B牌修正带的价格？ 【变式】1．（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 2．（2025·内蒙古包头·三模）今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． (1)①每张成人票单价为_______元，每张儿童票单价为_______元； ②某培训机构计划支持国产电影，拿出850元资金购买成人票与儿童票若干张，请帮忙算算有几种购买方案，能够刚好花完850元； (2)金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 3．（2025·重庆永川·模拟预测）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． (1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? (2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 突破四 分式方程与不等式（组）的综合应用 【典例】1．（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 2．（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式】1．（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 2．（2025·重庆渝北·一模）若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 3．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是 ． 1．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知关于x的分式方程，若分式方程有增根，求m的值． 6．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． (1)求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ (2)“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 1．（2024·陕西西安·二模）解方程： 2．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 3．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 5．（2025·辽宁抚顺·中考真题）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同． (1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？ 1．（24-25八年级下·安徽·期末）对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 4．（2025·四川成都·一模）方程的全体实数根的积为 ． 5．（22-23八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 6．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第06讲 分式方程及应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 2 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 分式方程概念及解法 题型01分式方程的概念 题型02解分式方程 命题点二 分式方程解的情况 题型01 分式方程有解求字母的值 题型02分式方程有增根求字母值 题型03分式方程无解求字母的值 命题点三 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02分式方程的应用 05·重难突破·思维进阶难 25 突破一 巧解复杂的分式方程 突破二 根据分式方程解的范围求字母的取值范围 突破三 分式方程与一次方程（组）的综合应用 突破四 分式方程与不等式（组）的综合应用 06·优题精选·练能提分 39 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 解分式方程 北京卷 T11 北京卷 T11 北京卷 T11 了解分式方程的概念，区分整式方程与分式方程。知道如何找最简公分母，掌握解分式方程的方法（化为整式方程→解整式方程→检验）。明白增根的含义。 命题预测 结合分式方程的解法（去分母化为整式方程→解整式方程→检验），在验根的环节注意增根的出现。多以填空题出现，较简单，容易得分，注重答案的准确性。 考点一 分式方程的概念及解法 1.分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2.判断一个方程是分式方程的条件 （1）是方程；（2）含有分母；（3）分母中含有未知数； 3. 分式方程的解法：去分母，把分式方程转化为整式方程 4. 解分式方程的一般步骤 5. 检验方程解的方法 （1）将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 （2）也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检所得的解是否正确。 1．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 2．（2024·北京·中考真题）方程的解为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 3．（2023·北京·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 考点二 分式方程解的情况 增根 分式方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根，不是原分式方程的根，像这样的根，称为原方程的增根。 增根产生的原因：去分母后，分式方程转化为整式方程，未知数的取值范围扩大了。 1．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知关于的分式方程． (1)若这个方程的解是负数，求的取值范围； (2)若这个方程无解，则______．（直接写出答案） 【答案】(1)且； (2)3，10，． 【分析】（1）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得，且求解即可； （2）将分式方程化为整式方程，求得，由题意可得或，求解即可． 【详解】（1）解： 化为整式方程可得：， 即， 由方程的解是负数可得， 则，且 解得且； （2）解：由（1）可得方程可化为， 当时，，方程化为，无解，符合题意； 当时，，， 由题意可得：这个方程无解，则或 即或， 解得或， 综上可得：或或， 故答案为：3，10，． 【点睛】此题考查了分式方程的求解，涉及了分式方程增根的情况，解题的关键是熟练掌握分式的方程的有关知识． 2．（22-23八年级上·北京石景山·期末）若关于的分式方程的解为正数，求正整数的值． 【答案】1 【分析】把分式方程化为整式方程，再解出整式方程可得，再由原方程的解为正数，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：原方程可化为：， ． 原方程的解为正数， ， ， ， ， ， ， ∴的取值范围为且， 正整数的值为1． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意算出的答案要去除分母为0的情况． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）若分式方程有增根，求m的值． 【答案】或6 【分析】此题主要考查了分式方程的增根．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到或，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：方程两边都乘，得， 原方程有增根， 或， 当时，， 当时，． 或6． 考点三 分式方程的应用 1. 常用的等量关系 在数轴上不同 （1） 行程问题：速度 x 时间 = 路程 （2） 利润问题：利润 = 售价 - 进价 ； 利润率 = 利润 ÷ 进价 x 100% （3） 工程问题： 工作量 = 工作效率 x 工作时间 1．（2025·北京石景山·二模）某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由． 【答案】使用型计算机，能在分钟内处理完张图像；见解析 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 先判断为能在分钟内处理完，再说明理由，设型计算机处理图像的速度是张/分钟，可用表示出型计算机处理图像的速度，根据“在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟”，列出分式方程求解． 【详解】解：使用型计算机，能在分钟内处理完，理由如下： 设型计算机处理图像的速度是张/分钟，则型计算机处理图像的速度是张/分钟． 由题意可知，． 解得． 经检验：是原方程的解且符合实际意义． 所以． 因为，， 所以使用型计算机，能在分钟内处理完张图像． 2．（2024·北京朝阳·二模）无人机是现代科技领域的重要创新之一，使用无人机对茶园进行病虫害防治，可以提高效率．已知使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是人工每小时对茶园打药的作业面积的6倍，若使用无人机对600亩茶园打药的时间比人工对300亩茶园打药的时间少20小时，求使用无人机每小时对茶园打药的作业面积． 【答案】使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 【分析】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，根据等量关系列出分式方程即可求解 【详解】解：设人工每小时对茶园打药的作业面积是x亩，则使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是亩．                                        由题意，得．                    解得．                                经检验，是原方程的解，且符合题意．   答：使用无人机每小时对茶园打药的作业面积是60亩． 3．（2024·北京海淀·二模）我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键． 【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原式有意义， ∴中间弦的长度为 ． 命题点一 分式方程的概念及解法 ►题型01 分式方程的概念 / 【典例】1．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意； B、是整式方程，故此选项不符合题意； C、是分式方程，故此选项符合题意； D、不是分式方程，故此选项不符合题意； 故选：C 2．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 【变式】1．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． ►题型02 解分式方程 / 【典例】1．（2025·北京·一模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 2．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，方程两边乘以，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可，熟练掌握解分式方程方法及步骤是解题的关键． 【详解】解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·北京海淀·模拟预测）方程的解为 【答案】 【分析】本题考查分式方程，掌握分式方程的解题步骤是解题的关键． 根据解分式方程的步骤，方程两边同乘以，将分式方程化为一元一次方程，求出x的值，最后检验是否符合原方程即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得 ， ， ， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 2．（2025·北京·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为， 故答案为：． 3．（2025·北京·三模）分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 解得，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 命题点二 分式方程解的情况 ►题型01 分式方程有解求字母的值 / 【典例】1．（2025·四川乐山·一模）方程的解是，则的值（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程解答即可求解，掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正确求出方程的解． 先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的方程求解． 【详解】解：方程，解得：，， 当时，将代入，得，解得：； 当时，此时分母，分式方程无意义，所以不是方程的解． 故选： B． 【变式】1．（2025·广东梅州·一模）已知是关于x的方程的解，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，解分式方程，由题意可得，再解分式方程即可得解，熟练掌握解分式方程的方法是解此题的关键． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， 解得：， 当时，， ∴是分式方程的解， 故选：C． 2．（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数．把代入方程，解方程即可求解． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得， 检验：当时，， ∴m的值为3 故选：D． 3．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知分式方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程解的意义，将代入分式方程后即可得出答案．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．也考查了解一元一次方程． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：C． 题型02 分式方程有增根求字母的值 / 【典例】1．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 2．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东潍坊·三模）当 时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解方程可得，再由增根的定义可得，求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分母可知，分式方程的增根是， ∴当时，，解得， 故答案为：2． 2．（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同．先解方程，再根据方程的增根为，可求出k值． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 关于的分式方程的增根是， ， 故答案为：3． 3．（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m 的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3 题型03 分式方程无解求字母的值 / 【典例】1．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 2．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． 【变式】1．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的情况是解答本题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，由题意得到原方程无解，故是原方程的增根，由，得到，由此得到答案． 【详解】解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或/1或 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，把原方程去分母并化简后得到，根据原方程无解可得或当时，原方程有增根，据此讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时满足原方程无解； 当，即时，解得， ∵原方程无解， ∴是原方程的增根， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 3．（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解， ①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：1或3． 命题点三 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 / 【典例】1．（25-26八年级上·北京延庆·期中）某校八年级学生到距学校的延庆民俗博物馆参观．一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度．设自行车的速度为．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据一部分学生骑自行车先走，出发后，其余学生乘汽车沿相同的路线行进，结果他们同时到达，结合时间等于路程除以速度，列出方程即可． 【详解】解：设自行车的速度为，则汽车的速度为，，由题意，得： ； 故选D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据亩产量和种植面积的关系，杂交水稻种植面积比传统水稻少2亩，列出方程． 【详解】设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克 根据题意得，． 故选：B． 【变式】1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可． 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是， ∴物体A的密度为，物体B的密度为． ∵A，B两个物体的密度之比为， ∴． 故选A． 2．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 3．（23-24八年级上·北京西城·期末）甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书．如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量工作效率工作时间．先设乙单独清点这批图书需要的时间是小时，根据“甲3小时清点完一批图书的”和“两人合作2.4小时清点完另一半图书”列出方程． 【详解】解：设乙单独清点这批图书需要， 根据题意，得， 故答案为：． 题型02 分式方程的应用 / 【典例】1．（2025·北京·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】1000公里 【分析】本题考查了分式方程在行程问题中的应用，涉及路程，速度和时间这三个行程问题的基本量，解决本题的关键是由“节省10天”这一条件建立分式方程． 先设出巴拿马运河航线每天能走的公里数为未知数，根据“时间=路程速度”这一关系分别表示出巴拿马运河航线和北极航道所需的时间，然后由时间差列方程求解即可． 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里， ， 解得，（舍）， 经检验，是原方程的解， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 2．（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 【变式】1．（2024·北京西城·模拟预测）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多元，用元购进的鲜肉粽比用元购进的红枣粽重千克．求该商场每千克红枣粽进价是多少元？ 【答案】该商场每千克红枣粽进价是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找出相等关系是解题的关键． 设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的重千克，列分式方程求解即可； 【详解】解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元， 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 该商场每千克红枣粽进价是元； 答：该商场每千克红枣粽进价是元． 2．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 3．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）列方程解应用题： 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，是中国十大传世名画之一．如图是小李所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度． 【答案】边衬的宽度为 【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键． 设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可． 【详解】解：设边衬的宽度为．依题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意. 答：边衬的宽度为． 突破一 巧解复杂的分式方程 【典例】1．（2025·广东阳江·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．先将分式方程变形得，两边通分后再去分母转化为整式方程求解并检验即可． 【详解】解：整理，得， 即， 移项，得， ， 去分母，得， 整理，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 2．（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 【答案】或或 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为0的形式，再进行求解，最后进行检验即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或； 经检验或或是原方程的解． ∴原方程的解为：或或． 【变式】1．（2024·广西河池·一模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设，原方程变为，解得或．再分别代入，求出，或或，代入最简公分母进行检验即可求解． 【详解】解：设，则， 原方程变为， 去分母得：， 解得或． 当时，去分母得：， 解得：； 当时，去分母得：， 解得：或， 检验：当时，，当或时，， ∴分式方程的解为． 2．（25-26八年级上·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，灵活掌握解方程的方法是做题的关键．根据方程的构成发现规律，将原方程变形再计算即可． 【详解】解：原方程变形得，， 化简得，， ， ， ， ， 即， 解得，， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 3．（24-25湖北宜昌）解方程． 【答案】，，，． 【分析】将化为，设，则原方程可化为，解得，，即：或，分别求解即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 设，则原方程可化为， 化简得： ∴ ∴，， 即：或 解之得：，，或，， 经检验，，，，都是原方程得解， 则原方程得解为：，，，． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键． 突破二 根据分式方程解的范围求字母的取值范围 【典例】1．（2025·江苏扬州·三模）已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 2．（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 【变式】1．（2025·江苏宿迁·二模）已知关于的分式方程的解为负数，则字母的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键． 解分式方程得，由题意可知，当时，，方程有增根．即可求出答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 解得：， ∵解为负数， ∴， ∴， 当时，， ∴且， 故答案为：且． 2．（2025·西藏日喀则·一模）分式方程的解为正数，则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，先解分式方程，求出方程的解，根据题意列出不等式且，求出不等式的解集即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 3．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 突破三 分式方程与一次方程（组）的综合应用 【典例】1．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】（1）设甲车间增加工人前每天加工个，则增加工人后每天加工个，根据题意列出方程解得即可； （2）设乙车间改进技术前每天加工个，根据题意列出分式方程解得即可． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 2．（2025·重庆·模拟预测）列方程（组）解决下面问题 修正带是学生常用的一种学习用品，因其修改书写错误方便，受到学生的欢迎． (1)某修正带有一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产2000个外壳或生产8000个齿轮，现打算安排30名工人生产修正带，如何安排使每天生产的修正带外壳和齿轮数量恰好配套？ (2)阳光文具店打算向厂家购进A牌和B牌两种修正带，每个A牌修正带比B牌修正带便宜0.5元．用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多．求每个B牌修正带的价格？ 【答案】(1)安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名 (2)每个B牌修正带的单价为元 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名，根据“修正带由一个外壳和两个齿轮构成，某文具厂一个工人每天可生产个外壳或生产个齿轮”列出一元一次方程，解方程即可； （2）设每个B牌修正带的单价为元，则每个A牌修正带单价为元，根据“用1800购进A牌修正带的数量，比用1500元购进B牌修正带的数量多”列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安排生产修正带外壳有名工人，则生产齿轮的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产修正带外壳有名工人，生产齿轮工人有名； （2）解：设每个B牌修正带的单价为元，则每个A牌修正带单价为元， 由题可知：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：每个B牌修正带的单价为元． 【变式】1．（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 2．（2025·内蒙古包头·三模）今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，成为全民话题，片中各角色的经历和所做所为共同构成了一部生动的教育启示录，“哪吒2”的成功上映，不仅意味着国漫崛起，也是一场教育哲学的胜利，它告诉我们：真正的教育不是矫正与规训，而是唤醒与赋能．“哪吒2”的教育意义深远，吸引了大量市民踊跃观影，各大影院积极推送．金字塔电影院最初上映时准备了成人票和儿童票，发现购买3张成人票和5张儿童票共需350元；若购买6张成人票和3张儿童票共需420元． (1)①每张成人票单价为_______元，每张儿童票单价为_______元； ②某培训机构计划支持国产电影，拿出850元资金购买成人票与儿童票若干张，请帮忙算算有几种购买方案，能够刚好花完850元； (2)金字塔电影院预估正月初一到正月初六处于观看高峰阶段，不再分类购票，实行票价统一．据统计正月初一该影院票房收入费用为40000元，正月初二该影院票房收入费用为43200元，但正月初二的电影票单价在正月初一的票价上涨了，且正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张，那么正月初一该影院的电影票的单价是多少元？ 【答案】(1)①50；40；②共有5种购买方案，能够刚好花完850元； (2)正月初一该影院的电影票的单价是40元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是： （1）①设每张成人票x元，每张儿童票y元，根据“购买3张成人票和5张儿童票共需350元；购买6张成人票和3张儿童票共需420元”列方程组求解即可；②设购买成人票a张，购买儿童票b张，根据850元资金购买成人票与儿童票若干张列二元一次方程求解正整数解即可． （2）设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是，根据“正月初二售出的电影票张数比正月初一售出的张数少了100张”，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：①设每张成人票x元，每张儿童票y元， 根据题意，得， 解得， 答：每张成人票50元，每张儿童票40元； ②设购买成人票a张，购买儿童票b张， 由题意得， 整理得， ∵a、b为非负整数， ∴，；，；，；，；，； ∴共有5种购买方案，能够刚好花完850元； （2）解：设正月初一该影院的电影票的单价是m元，则正月初二该影院的电影票的单价是， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：正月初一该影院的电影票的单价是40元． 3．（2025·重庆永川·模拟预测）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． (1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? (2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 【答案】(1)甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次 (2)优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用和分式方程的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． （1）设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次，根据“一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次”列二元一次方程组，求解即可； （2）设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次，根据“进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒”列争式方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次， 根据题意得，， 解得 答：甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次； （2）解：设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次， 根据题意得，， 解得， 优化后为， 答：优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次． 突破四 分式方程与不等式（组）的综合应用 【典例】1．（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 2．（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先根据不等式组的解的情况得出的取值范围，再根据分式方程的解为负整数解进一步得出的值，即可得出答案，熟练掌握它们的解的情况是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 由， ， ∴． ∵关于的分式方程有负整数解， ∴为负整数，且， ∵为整数， ∴或或或，且， ∴或或或， 又∵， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【变式】1．（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组有解且最多有4个整数解， ， 解得：， ∵， 分式方程去分母得：， 解得：，且， ∴， 分式方程的解为整数， 或， 则满足题意整数之和为． 故答案为：． 2．（2025·重庆渝北·一模）若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】解：由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为正整数， ∴是2的倍数，即a是偶数．， 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 3．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次不等式组、解分式方程，首先根据二元一次方程组的解是，可知，解分式方程可得：，根据分式方程有非负整数解，可以确定或或，又因为当时，是分式方程的增根，所以舍去，从而可求符合条件的所有整数的值之和． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 又不等式组的解集是， ， 解分式方程， 可得：， 关于的分式方程有非负整数解， 且为整数， 或或， 当时，， 此时， 是分式方程的增根， 或， 符合条件的所有整数的值之和是． 故答案为： ． 1．（2024·甘肃甘南·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，设规定时间为天，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为，由快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， 由题意得，慢马速度为里/天，快马速度为里/天， ， 故选B． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 3．（2025·北京顺义·二模）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解； 两边都乘以，得 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的分式方程的解是非正数，那么a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，通过解分式方程得到的表达式，根据解为非正数且分母不为零的条件，列出不等式求解． 【详解】解：解分式方程， 两边同乘（需保证），得， 所以， 由于分母，即， 代入，得，即， 又因为解为非正数，即， 所以，即， 因此，且， 故答案为：且． 5．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）已知关于x的分式方程，若分式方程有增根，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程求出，根据分式方程有增根得到，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母，得 解得， 分式方程有增根， ∴ ∴， 解得． 6．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）为了提前准备六一活动，哪吒受陈塘关幼儿园园长之托，到厂家选购“乾坤圈”牌和“混天绫”牌的儿童服装．每套“乾坤圈”牌服装进价比“混天绫”牌服装每套进价多25元，已知哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍． (1)求“乾坤圈”、“混天绫”两种品牌服装每套进价分别为多少元？ (2)“乾坤圈”牌服装每套售价为130元，“混天绫”牌每套售价为95元，陈塘关的服装店老板决定，购进“混天绫”牌服装的数量比购进“乾坤圈”牌服装的数量的2倍还多4套，两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，则最少购进“乾坤圈”牌的服装多少套？ 【答案】(1)“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元 (2)至少购进“乾坤圈”牌的服装28套 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式，是解题的关键： （1）设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，根据哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750元购进“混天绫”牌服装数量的2倍，列出方程即可； （2）设购进“乾坤圈”牌的服装a套，根据两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴； 答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元； （2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装套， 由题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为28， 答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套． 1．（2024·陕西西安·二模）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及检验是解题的关键． 先去分母，将其化为整式方程，再解方程，然后检验即可． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得， 系数化成1，得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】12 【分析】本题综合考查不等式组的整数解分析与分式方程解的存在性与限制条件，关键在于准确处理边界情况及排除使分母为零的情况，同时注意整数解的个数限制与代数解之间的关系，逻辑严密才能正确求解．先解一元一次不等式组，求出x的取值范围，然后根据关于x的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求出a的取值范围，再解分式方程，根据关于y的分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的值，从而求出答案即可． 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为， ∵一元一次不等式组有且只有4个整数解，即2，3，4，5， ∴， ∴, ∴或5或6或7或8或9， 关于y的分式方程的解为， ∵分式方程有非负整数解， ∴，为非负整数， 即为非负偶数， ∴或6或4或2或0， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴或4或2或0． ∵， ∴符合条件的整数a有4，8． ∴． 3．（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 【答案】(1)乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元 (2)甲种月饼至少购进68盒 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元，列分式方程求解后检验即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元， 由题意得：， 解得：． 检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ． 答：乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元； （2）解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： 解得： 为整数 答：甲种月饼至少购进68盒． 5．（2025·辽宁抚顺·中考真题）麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B两种型号的收割机进行小麦收制作业．已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦，一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同． (1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？ (2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台A型收割机？ 【答案】(1)一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷 (2)至少要安排7台A型收割机 【分析】（1）设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，然后根据一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同列出方程求解即可； （2）设每天要安排y台A型收割机，然后根据确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷，则一台B型收割机平均每天收割小麦公顷． 根据题意，得， 解得 经检验：是所列分式方程的根 ∴（公顷）． 答：一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷，一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷． （2）解：设每天要安排y台A型收割机， 根据题意，得， 解得， 答：至少要安排7台A型收割机． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键． 1．（24-25八年级下·安徽·期末）对于非零实数，，规定，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据定义的新运算，将转化为分式方程，解方程并检验即可. 【详解】解：根据题意，运算， 代入得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 化系数为1得：， 检验：当时，分母， 因此，的值为， 故选：A 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 3．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解题关键． 解关于的不等式组，得，根据不等式组有解且至多有个整数解，得，再解关于的分式方程得，根据分式方程的解为整数且分母不为可得符合条件的的值，再求和即可． 【详解】解： 由①解得：， 由②解得：， ． 关于x的不等式组有解且至多有个整数解， ， 当时，解得：， 当时，解得：， ， 关于的分式方程， 化简，得：， 关于的分式方程的解为整数，且， ， 或， 所有满足条件的整数的值之和． 故答案为：． 4．（2025·四川成都·一模）方程的全体实数根的积为 ． 【答案】 【分析】用换元法转化为关于的分式方程．先求，再求检验后求它们的积即可． 本题主要考查了换元法解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤以及解分式方程的方法和步骤． 【详解】解：原方程变形为：， 设，于是原方程变为， 整理，得，解得，， 当时，则，即， 解得，； 当时，则，即， ，无解， 经检验，，是原方程的根， ． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·江苏南通·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于x的方程的解为，． (1)理解应用：方程的解为：______，______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，，且，求k的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】（1）类比题目中的例子可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，根据，得方程，求解即可． 【详解】（1）解：的解为，， 的解为或， 故答案为：3，； （2）解：， ，， ； （3）解：可化为， ， ， ． 【点睛】本题考查分式方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 6．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $