第07讲 一元二次方程及其应用（复习讲义，4考点13题型3重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一元二次方程及其应用”专题，覆盖概念解法、根的判别式、根与系数关系及应用四大核心考点，构建“概念-解法-判别式-应用”递进知识网络。通过考点解析梳理知识要点，命题洞悉预测题型，真题训练突破难点，实现系统性与针对性复习。 亮点在于分层设计与核心素养培养，如“根与系数关系求代数式值”典例训练推理意识，“面积问题”应用培养模型意识。设基础到新趋势三级练习，配合近三年中考真题即时反馈，助力学生高效突破重点，教师可灵活调控复习节奏，提升应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第07讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 一元二次方程的概念及其解法 题型01识别一元二次方程 题型02由一元二次方程的定义求参数 题型03由一元二次方程的根求参数 题型04 解一元二次方程 命题点二 一元二次方程根的判别式 题型01 判断一元二次方程根的情况 题型02根据一元二次方程根的情况求参数 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 题型01 根据根与系数的关系求涉根代数式的值 题型02根据根与系数的关系求字母的值 命题点四 一元二次方程的应用 题型01 增长率问题 题型02图形面积问题 题型03商品销售问题 题型04数字问题 题型05工程问题 05·重难突破·思维进阶难 46 突破一 利用一元二次方程的根求代数式的值 突破二 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 突破三 利用一元二次方程解决与函数有关的问题 06·优题精选·练能提分 56 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程根的情况求参数 北京卷 T5 北京卷 T4 北京卷 T5 了解一元二次方程的概念，知道如何运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。 命题预测 对于一元二次方程的考察，多为选择题，难度系数不大。只要掌握一元二次方程根的判别式及如何判断一元二次方程根的情况即可作答。但对于一元二次方程根与系数的关系也需要牢牢掌握住。 考点一 一元二次方程的概念及其解法 1.正数与负数一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的“三要素”：（1）整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2. 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：一般形式是（为常数，）其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （） 0 （） 0 （） 0 0 3. 无理数一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 【补充】三个重要结论（拓展）（1）有一个根为⇔ （2）有一个根为⇔ （3）有一个根为⇔ 4. 一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法：利用平方根的应意义直接开平方，求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。 方程的解（根）的情况 ①当时，方程有两个不相等的实数根 ②当时，方程有两个相等的实数根 ③当时，方程有无实数根 （2） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 用配方法解一元二次方程的一般步骤 （3） 公式法：求根公式 是一元二次方程（且）的求根公式.（需把方程化成一般形式） （4）因式分解法：通过因式分解，将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。 1．（24-25八年级下·北京延庆·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出一次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）若是方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握方程的根能使方程左右两边相等是解题的关键．将方程的根代入方程，通过计算求出的值． 【详解】解：把代入方程，得， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法．根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”，即可求得方程的解． 【详解】解：， ∴，， 故选：C． 考点二 一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程根的判别式定义 一元二次方程（）根的情况由来确定。我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用符号“”来表示，即 2. 一元二次方程根的情况 （1） （）有两个不相等的实数根 （2） （）有两个相等的实数根 （3） （）无实数根 （4） （）有实数根 （5） 1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 2．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3．（2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 如果（）的两个根为，，那么 .这个关系称为韦达定理. 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为 . 设它的两根为， ， 这时有 ， 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 2．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据根的情况确定参数的范围，由即可求解； （）利用根与系数的关系得出，解方程即可； 此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，，熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）设，是关于的一元二次方程的两个实数根， 则， 解得：． 考点四 一元二次方程的应用 1. 常见问题的数量关系 1．（2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 【答案】车道的宽为4米 【分析】设车道宽度为米，根据停车位总占地面积为390平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设车道宽度为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：车道的宽为4米． 2．（2024·北京石景山·二模）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 【答案】(1) (2)该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系． （1）当时，根据若每份售价不超过10元，每天可销售400份”，列关系式即可； 当时，根据“若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份”，列关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，． 即． 故答案为：； （2）当时，， 当时，，解得：（舍去）， 由（1）知，， 当时，， 解得：， 答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元． 3．（2024·北京朝阳·一模）燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？    【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键． 设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每张桌面的宽为尺， 根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺， 故可得， 解得：，（舍去）， ∴， 答：长桌的长为尺． 命题点一 一元二次方程的概念及其解法 ►题型01 识别一元二次方程 / 【典例】1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 【变式】1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A． 含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件． B． 含有两个未知数和，是二元二次方程，不符合条件． C． 若，则方程变为一次方程；若，才是一元二次方程．由于的值不确定，无法保证其符合条件． D． 仅含一个未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 故选D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项． 【详解】解：A、，展开得，是一元二次方程； B、化简得，不是一元二次方程； C、 ，若，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程； D、不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：A． 3．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解决此题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：A：当时，方程变为，不是二次方程，不符合题意； B：方程中含有分式，不是整式方程，不符合题意； C：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，不符合题意； D：方程只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合题意． 故选：D． ►题型02 由一元二次方程的定义求参数 / 【典例】1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【变式】1．（25-26九年级上·西藏昌都·期末）关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为0是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且． 解方程，得，即， ∴或． ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 2．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程的定义，需满足未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即且． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， 则x的最高次数为2， 即， 解得或． 又∵二次项系数， 即， ∴． 故答案为． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． ►题型03由一元二次方程的根求参数 / 【典例】1．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键． 将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ， 解得 ． 故答案为：5． 2．（2020·山东枣庄·中考真题）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 【变式】1．（24-25八年级下·北京顺义·期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于的方程即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程：， 化简得：， 解得：， 因此，的值为1， 故选：A． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）若0是关于的一元二次方程的一根，则值为（   ） A．1 B．0 C．1或0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出的值，再根据二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵0是关于的一元二次方程的一根， ∴， 解得或， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·江西新余·月考）如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． ►题型04 解一元二次方程 / 【典例】1．（24-25八年级下·北京平谷·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元 二次方程的方法是解题的关键． （1）移项，提公因式分解因式解答； （2）用二次三项式的因式分解方法分解因式解答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 提公因式，得， ∴，， ∴． （2）解：， 分解因式，得， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·北京·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 【变式】1．（24-25八年级下·北京·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2） ，， ∴，； （3）， ， ， ，, ∴或 ∴，． 2．（24-25八年级下·北京·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： ， ， ， ∴， 解得：，． 3．（24-25八年级下·北京房山·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）先将方程变形为，再利用直接开平方法解方程即可得； （2）利用公式法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 所以方程的解为． （2）解：方程中的， 方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即． 命题点二 一元二次方程根的判别式 ►题型01 判断一元二次方程根的情况 / 【典例】1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况”是解本题的关键．对于，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，据此即可解答． 【详解】解：， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 2．（2025·北京大兴·二模）方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断，即可解题． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式】1．（2025·河南南阳·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键． 根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论． 【详解】∵在方程中， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算判别式 的值，即可判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 / 【典例】1．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了根的判别式，根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，然后求出的值即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，且二次项系数不为零．本题中二次项系数为1，已满足，故只需判别式大于零． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴， ∴ ，即， ∴ 实数的取值范围为． 故选：A． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程有两个不相等的实数根，那么判别式大于0，即，再由一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：D． 2．（2025·北京朝阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． 且 D． 且 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键． 由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】∵ 关于的一元二次方程有实数根， ∴ 且，即且， 解得且， 故选：C． 3．（2025·北京·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：B． 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 根据根与系数的关系求涉根代数式的值 / 【典例】1．（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 2．（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即． 又∵， ∴ ． 故答案为：． 【变式】1．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式，一元二次方程的解． 由一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而可得，结合，即可得的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 故答案为：． 3．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 题型02 根据根与系数的关系求字母的值 / 【典例】1．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 2．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况、根与系数的关系．熟练掌握根的判别式和根与系数的关系，是解题关键． （1）根据根的判别式即可验证； （2）利用根与系数的关系可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：根据题意可知：， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得：， ∴， 解得． 【变式】1．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 2．（25-26八年级上·上海·月考）若方程的两根之和为，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键． 由根与系数的关系结合两根之和为，即可求出值． 【详解】解：在中，两根之和等于， 关于的一元二次方程的两根之和为， ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01 增长率问题 / 【典例】1．（24-25八年级下·北京通州·期末）交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】设该品牌头盔销售量的月增长率为20% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 2．（24-25八年级下·北京延庆·期末）某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为 【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得， 解得：（舍去） 答：单台服务器运行成本的月平均降低率为． 【变式】1．（25-26九年级上·北京·期中）某校为提升学生读书热情，加强了对校图书馆的经费投入，2023年投入约300万元，2025年投入约363万元．求图书投入经费的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设图书投入经费的年平均增长率为x，根据等量关系式：2023年的投入2025年投入，列出方程求解即可． 【详解】解∶ 设图书投入经费的年平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（舍去） 答：图书投入经费的年平均增长率为． 2．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 题型02 图形面积问题 / 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键． （1）设其中较短一段长为，则另一段长为，就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于，建立方程求出其解即可； （2）根据题意，判断方程解的情况即可． 【详解】（1）解：其中较短一段长为，则另一段长为， 依题意得， 解得， 因为是较短的一段， 所以，即， 故不合题意，舍去， 答：的值为时，围成的两个正方形面积之和为； （2）解：小红的说法正确 ， 整理得，， ，原方程无实数根， 两个正方形的面积之和不可能等于， 答：小红的说法正确． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为8 (3)苗圃的面积不可以达到，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【详解】（1）解：依据题意，， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； （3）解：不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用和根的判别式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据各边之间的关系，可得出的长，即可求解； （2）根据面积公式列出，然后即可求解； （3）根据题意列出方程，然后根据根的判别式的知识即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得或， 当时， ， 不符合题意， 舍去； 当时， ， 符合题意， ∴的长为； （3）解：不能，理由：由题意可得方程， ∴， ∵， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的实验田； 2．（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 【答案】长方形的长取15米，宽取10米． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设长方形的长为米，根据木板材料的长度，表示出宽的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，则每个长用的木板材料为米，每个宽用的木板材料为米， ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 题型03 商品销售问题 / 【典例】1．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【答案】(1)每件服装应降价20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； (2)如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】(1)， (2)9元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、代数式表示量等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由第二周单价降低x元销售一周，可得出第二周的销售数量为个，用总量减去第一周和第二周的销售量即可得到第三周的销售量； （2）由第二周单价降低x元销售一周，可得第二周的每个售价为，然后根据“总利润=总售价-进货总价”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入即可求出第二周每个旅游纪念品的销售价格． 【详解】（1）解：单价降低x元，由题意可得第二周的销售数量为个； 则第三周的销售量为：个． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：，解得：， 所以第二周每个旅游纪念品的销售价格为元． 【变式】1．（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 2.（23-24九年级上·四川巴中·期中）商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． (1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ (2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】(1)降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； (2)每件商品应降价60元． 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用． （1）先求出每件的利润．再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润； （2）设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】（1）解：由题意，得（元）． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元， 由题意，得， 解得：． ∵有利于减少库存， ∴． 答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元． 题型04 数字问题 / 【典例】1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： （2）根据题意有：， ∴， 解得，（负值舍去）， 故的值为9． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 【答案】最小数为10，最大数为18 【分析】本题考查了用一元二次方程的实际应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键. 设最小数为，则最大数为，根据虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设最小数为，则最大数为 根据题意， 可列方程， 解方程，得，不合题意，（舍去） 所以． 答：最小数为10，最大数为18． 【变式】1．（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设个位数字为x，则十位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出这个两位数是或． 【详解】解：设这个两位数个位数字为，则十位数字为， 依题意得方程：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故这个两位数为或． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． (1)求这三个连续的自然数． (2)在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 【答案】(1)三个连续的自然数是4，5，6 (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件、概率公式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）设这三个连续的自然数分别为， 根据题意可列方程为， 求出的值，即可得出答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两数之积大于20的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵两数的积的最大值是30且三个自然数是连续的，设这三个数是，x，，则， 解得（舍去），， ∴较大的两个数是5和6． 则三个连续的自然数是4，5，6． （2）树状图如下： ∴ 题型05 工程问题 / 【典例】1．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 2．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵 (2)物业管理公司实际购买两种树共56棵 【分析】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵，根据题意列出方程即可得出答案． （2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为元每棵，元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到方程式求出满足条件的值，即可得出答案． 【详解】（1）设原计划购买小叶榕棵，则购买香樟棵， 根据题意，可得， 解得，． 答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵． （2）根据题意，可得， 整理得，， 解得：，， ∵，∴， ∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟， 答：物业管理公司实际购买两种树共56棵． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列出正确的方程解决本题的关键． 【变式】1．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 【答案】(1)甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件 (2)10 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，根据题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据“甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．”列出方程，即可求解； （2）先求出更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据“甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，” 列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件， 则乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意，此时， 答：甲每小时生产60个零件， 则乙每小时生产50个零件； （2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为，乙每小时生产个零件，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 即m的值为10． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 突破一 利用一元二次方程的根求代数式的值 【典例】1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 利用m是方程的根，满足方程关系，将所求表达式中的用m表示后代入计算． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴． 故选：B． 【变式】1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的化简求值，熟练掌握方程根的定义并对代数式进行合理变形是解题的关键． 利用一元二次方程的根的定义，得出的值，再对所求分式进行化简，通过变形求出分母的值，进而得出分式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴，则， ∴ ， ∴． 故选：． 突破二 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 【典例】1．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且； (2)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，掌握根的情况与判别式的关系和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围； （2）利用根与系数的关系，根据将代入，即可求出的值，再看是否满足（1）中的取值范围，从而确定的值是否存在． 【详解】（1）解:由题意得，且， 解得， 的取值范围为且； （2）不存在． 由根与系数的关系得，，， 解得， 由（1）得，， 满足条件的值不存在． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为，则；若一元二次方程有实数根，则；据此即可求解． 【详解】解：存在，使得等于44，理由如下： ∵方程的两个实数根为， 则 ∴ 令，即 解得： ∵方程有实数根， ∴ 即： 综上所述： 【变式】1．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】（1）解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为且． （2）解：设方程两根为，则：， 代入得， 解得：或， 经检验，或是方程的解， 当时，判别式，不符合实数根条件． 当时，判别式，符合条件． 综上，． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，且 (2)不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系：当一元二次方程有两个不相等的实数根；当一元二次方程有两个相等的实数根；当一元二次方程无实数根；一元二次方程根与系数的关系：．熟记一元二次方程根的情况与判别式关系、根与系数的关系，得出方程求解是解决问题的关键． （1）由题意可得，且，解不等式即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，代入解方程，再由（1）中，且判断即可得到答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得，且； （2）解：不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0， 理由如下： 设关于的方程的两个不相等的实数根为，， 则， 方程的两个实数根的倒数之和等于0， ， 则， 解得， 由（1）知，，且， 不存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0． 突破三 利用一元二次方程解决与函数有关的问题 【典例】1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 【答案】(1)抛物线W经过的定点坐标为和 (2)①a；② 【分析】（1）将变形为，即可解答； （2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴抛物线W经过的定点坐标为和． （2）解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称， ∴， 即抛物线的解析式为． ②由得抛物线W的顶点坐标为， 整理得，代入抛物线的解析式，得， 整理得， 解得． ∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧， ∴，即， ∴或 ∴，则不合题意，舍去， 故a的值为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键． 2．（25-26九年级上·天津北辰·月考）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【答案】(1)； (2)当为或时，劳动基地的面积为 (3)196；160 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）篱笆总长，的长为，则，边长为正数，故且，即可得； （2）根据题意列一元二次方程，求解即可； （3）设，则，矩形的面积为，可得，依据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：篱笆总长，的长为，则， 又边长为正数，故且， ∴； 故答案为：；； （2）解：设的长为，则，根据题意得： ， 整理得， 解得或， ∴当为或时，劳动基地的面积为； （3）解：设，则，矩形的面积为，根据题意得： ， 解得， ∴， ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为， 当时，S有最小值，最小值为， 故答案为：196；160． 【变式】1．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． 【答案】(1)x的值为9； (2)当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）依据题意，结合（1）可得，苗圃园的面积，又，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； （2）解：由题意，结合（1）可得，苗圃园的面积 墙长为 ． ． 又， 当时，苗圃园的面积S取最大值，最大值为． 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义可得，，由于，可得，恒不为零，即可求解． 【详解】解：由题意可得，二次项系数， 又∵， ∴，恒成立， ∴取任意实数， 故选A． 2．（25-26八年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，方程的解．利用一元二次方程的判别式，方程的解，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①若 ，则该方程没有实数根，正确； ②若 ，此时，若，该方程没有实数根，故原说法错误； ③若 ，，则该方程一定有两个实数根，正确； ④若该方程的一个根是 ，此时，即， 当时，不一定为0，则无法确定是否为方程的根，故原说法错误； 综上，正确说法有①和③，共2个． 故选：B 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据根与系数的关系可得，根据方程的解的定义可得，进而推出，而，据此计算求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）设是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根．根据根与系数的关系可得，由根的意义得，将转化为后代入求值，即可作答． 【详解】解：∵ , 是一元二次方程 的两个根， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴. 故答案为：2025 5．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 6．（24-25八年级下·北京房山·期末）某学校为筹备2025年家长开放日活动，八年级师生以“墨韵书香润校园，非遗传承启新程”为主题，在学校中心广场设置6个相同的长方形文化展示区（如“非遗剪纸工作坊”“古法造纸体验区”“诗词灯谜互动角”等），每个展示区通过实物陈列，技艺演示，亲子互动等形式，让传统文化“可触可感”．中心广场长20，宽15，各展示区按2行3列排列（如图所示），广场四周设1宽的安全通道，相邻展示区之间的甬道宽度相同．已知每个展示区的面积是，请你帮助活动负责人计算甬道的宽度． 【答案】甬道的宽度为3米． 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设甬道的宽度为x米，根据图形列出方程求解即可． 【详解】解：设甬道的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴甬道的宽度为3米． 1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）先计算出根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （）先由求根公式得到，，再利用且得，然后根据和都是正整数可确定的值； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解法，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴，， ∵方程的两个根都是正数， ∴且， 解得， ∵方程的两个根都是正整数， ∴和都是正整数， ∴的最小值为． 2．（17-18九年级上·贵州六盘水·月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 【答案】(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 3．（2025·安徽合肥·三模）二次函数的图象与轴交于和两点． (1)当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； (2)当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1)①；②当或时，函数最大值和最小值的差为； (2)． 【分析】（1）①将代入得到，结合，解二元一次方程组即可得解； ②先结合二次函数的图象与性质得到在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小，分三种情况考虑：当时；当时；当，时，找到各自情况的最大值和最小值即可求出的值； （2）根据根与系数的关系得，，结合可得，利用配方法可得，要使恒成立，即可得的取值范围为． 【详解】（1）解：①将代入中，可得，即， 联立，解得； ②由①知，抛物线表达式为，则抛物线的对称轴为直线， ， 在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小， 当，即时，都在对称轴左侧， 此时在处，有最小值，在处，有最大值， 代入可得：，解得； 当时，都在对称轴右侧， 此时在处，有最大值，在处，有最小值， 代入可得：， 解得； 当，，即时， 此时在处，有最大值，最大值为， 若最大值与最小值差为，则最小值为， 令，则， 解得或， 若，则不在的范围内，故舍去， 若，即，则不在的范围内，故舍去， 综上所述，当或时，函数最大值和最小值的差为． （2）解：由题意可知，，， ， 代入可得，， ，， ， ． 恒成立， 的取值范围为． 【点睛】本题考查的知识点是求二次函数解析式、解二元一次方程组、二次函数的图象与性质、根与系数的关系、配方法的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)应该定价45元 (3)商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，配方法的意义，一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式和列出方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，据此列出方程求解即可； （3）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，设出总利润关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把图象上两点，代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得（舍去）或， 答：应该定价45元； （3）解：设商店的利润为W元， 由题意得 ， ∵， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 【答案】(1)四、五月份销售量平均增长率为； (2)商品降价5元时，商场获利2250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）设四、五月份销售量平均增长率为x，那么四月份的销量为，五月份销量为，根据题意列出方程求出x的值即可； （2）设商品降价m元，那么销量为件，每件的利润为元，利用销量每件商品的利润列方程求解即可． 【详解】（1）解：设四、五月份销售量平均增长率为， 则， 解得，（舍去） 答：四、五月份销售量平均增长率为． （2）解：设商品降价m元，则 解得，（舍去） 答：商品降价5元时，商场获利2250元． 1．（25-26九年级上·浙江·月考）对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义运算，由于恒成立，因此运算使用第二种情况，将方程化为二次方程，根据判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵， ，且， ∴， ∴， ∴方程化为，即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先利用新规定得到，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据规定得，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 3．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 4．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 5．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第07讲 一元二次方程及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 一元二次方程的概念及其解法 题型01识别一元二次方程 题型02由一元二次方程的定义求参数 题型03由一元二次方程的根求参数 题型04 解一元二次方程 命题点二 一元二次方程根的判别式 题型01 判断一元二次方程根的情况 题型02根据一元二次方程根的情况求参数 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 题型01 根据根与系数的关系求涉根代数式的值 题型02根据根与系数的关系求字母的值 命题点四 一元二次方程的应用 题型01 增长率问题 题型02图形面积问题 题型03商品销售问题 题型04数字问题 题型05工程问题 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 利用一元二次方程的根求代数式的值 突破二 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 突破三 利用一元二次方程解决与函数有关的问题 06·优题精选·练能提分 23 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元二次方程根的情况求参数 北京卷 T5 北京卷 T4 北京卷 T5 了解一元二次方程的概念，知道如何运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。 命题预测 对于一元二次方程的考察，多为选择题，难度系数不大。只要掌握一元二次方程根的判别式及如何判断一元二次方程根的情况即可作答。但对于一元二次方程根与系数的关系也需要牢牢掌握住。 考点一 一元二次方程的概念及其解法 1.正数与负数一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的“三要素”：（1）整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2. 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：一般形式是（为常数，）其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项。 特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （） 0 （） 0 （） 0 0 3. 无理数一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。 【补充】三个重要结论（拓展）（1）有一个根为⇔ （2）有一个根为⇔ （3）有一个根为⇔ 4. 一元二次方程的解法 （1） 直接开平方法：利用平方根的应意义直接开平方，求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。 方程的解（根）的情况 ①当时，方程有两个不相等的实数根 ②当时，方程有两个相等的实数根 ③当时，方程有无实数根 （2） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 用配方法解一元二次方程的一般步骤 （3） 公式法：求根公式 是一元二次方程（且）的求根公式.（需把方程化成一般形式） （4）因式分解法：通过因式分解，将一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法。 1．（24-25八年级下·北京延庆·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）若是方程的一个根，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．6 3．（24-25九年级上·北京·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 考点二 一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程根的判别式定义 一元二次方程（）根的情况由来确定。我们把叫做一元二次方程（）根的判别式，通常用符号“”来表示，即 2. 一元二次方程根的情况 （1） （）有两个不相等的实数根 （2） （）有两个相等的实数根 （3） （）无实数根 （4） （）有实数根 （5） 1．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 3．（2023·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 考点三 一元二次方程根与系数的关系 1. 一元二次方程的根与系数的关系 如果（）的两个根为，，那么 .这个关系称为韦达定理. 当一元二次方程的二次项系数为1时，它的一般形式为 . 设它的两根为， ， 这时有 ， 2.与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形 1．（2024·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 2．（2021·北京·中考真题）已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 3．（23-24九年级上·北京东城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 考点四 一元二次方程的应用 1. 常见问题的数量关系 1．（2024·北京·三模）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为19米，若停车位总占地面积为390平方米，停车场内车道的宽都相等，求车道的宽． 2．（2024·北京石景山·二模）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 3．（2024·北京朝阳·一模）燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？    命题点一 一元二次方程的概念及其解法 ►题型01 识别一元二次方程 / 【典例】1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A．2，5，3 B．5，2，3 C．，2， D．2，， 【变式】1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川雅安·一模）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 由一元二次方程的定义求参数 / 【典例】1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（25-26九年级上·西藏昌都·期末）关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 2．（25-26九年级上·山东·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为 ． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． ►题型03由一元二次方程的根求参数 / 【典例】1．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ． 2．（2020·山东枣庄·中考真题）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【变式】1．（24-25八年级下·北京顺义·期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）若0是关于的一元二次方程的一根，则值为（   ） A．1 B．0 C．1或0 D． 3．（25-26九年级上·江西新余·月考）如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． ►题型04 解一元二次方程 / 【典例】1．（24-25八年级下·北京平谷·期末）解方程： (1) (2) 2．（24-25九年级上·北京·期末）解方程：． 【变式】1．（24-25八年级下·北京·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级下·北京·期末）解方程： (1) (2) 3．（24-25八年级下·北京房山·期末）解方程： (1)； (2)． 命题点二 一元二次方程根的判别式 ►题型01 判断一元二次方程根的情况 / 【典例】1．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2025·北京大兴·二模）方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【变式】1．（2025·河南南阳·一模）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．（2025·辽宁抚顺·一模）关于的一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 题型02 根据一元二次方程根的情况求参数 / 【典例】1．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·北京·模拟预测）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 2．（2025·北京朝阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． 且 D． 且 3．（2025·北京·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 命题点三 一元二次方程根与系数的关系 ►题型01 根据根与系数的关系求涉根代数式的值 / 【典例】1．（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 2．（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【变式】1．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为 ． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 3．（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 题型02 根据根与系数的关系求字母的值 / 【典例】1．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 2．（2022·北京大兴·一模）已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，若，求m的值． 【变式】1．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 2．（25-26八年级上·上海·月考）若方程的两根之和为，则的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 命题点四 一元二次方程的应用 ►题型01 增长率问题 / 【典例】1．（24-25八年级下·北京通州·期末）交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 2．（24-25八年级下·北京延庆·期末）某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【变式】1．（25-26九年级上·北京·期中）某校为提升学生读书热情，加强了对校图书馆的经费投入，2023年投入约300万元，2025年投入约363万元．求图书投入经费的年平均增长率． 2．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 题型02 图形面积问题 / 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·一模）数学小组同学进行如下操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为厘米； (1)如果围成的两个正方形的面积之和等于，那么是多少厘米？ (2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为．”小红的说法对吗？请说明理由． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米．    (1)长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） (2)若苗圃的面积为，求的值； (3)苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）某校生物实验兴趣小组的同学计划用长的栅栏靠墙围成如图所示的试验田，种植甲、乙两种植物，其中墙长为． (1)设边的长为，则边的长为 ．（用含的代数式表示） (2)若所围成的试验田的总面积为，求的长． (3)能否围成总面积为的试验田？请说明理由． 2．（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 题型03 商品销售问题 / 【典例】1．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； (2)如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【变式】1．（24-25九年级下·重庆万州·期中）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 2.（23-24九年级上·四川巴中·期中）商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． (1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ (2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 题型04 数字问题 / 【典例】1．（25-26九年级上·江西南昌·期中）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图是2025年7月份的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数． 【变式】1．（25-26九年级上·全国·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，求这个两位数． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）一个封闭的布袋里装有三个大小一样的小球，它们各自标有1个自然数，且这三个自然数是连续的．现从袋子中摸出一个球，记下数字后不放回，再从袋子中摸出一个球，记下数字，经过反复实验，得到两数的积的最大值是30． (1)求这三个连续的自然数． (2)在得到两数之积的所有事件中，请用树状图或列表求出两数之积大于20的概率． 题型05 工程问题 / 【典例】1．（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 2．（22-23九年级上·重庆合川·期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元． (1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？ (2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降元（），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？ 【变式】1．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解下列问题： 甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同． (1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？ (2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了，乙每小时比原来多生产个零件，甲、乙两人同时工作小时共可以生产1500个零件，求的值． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 突破一 利用一元二次方程的根求代数式的值 【典例】1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 2．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．13 B． C．39 D．65 【变式】1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 突破二 利用根与系数的关系及根的判别式解决存在性问题 【典例】1．（25-26八年级上·上海·月考）如果关于的一元二次方程有实数根， (1)求的取值范围； (2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级上·陕西延安·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式】1．（24-25八年级下·山东威海·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·山东威海·期末）关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数之和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 突破三 利用一元二次方程解决与函数有关的问题 【典例】1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 2．（25-26九年级上·天津北辰·月考）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． (1)的长为____________m，的取值范围是____________； (2)当为何值时，劳动基地的面积为； (3)点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【变式】1．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 2．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答． (1)若苗圃园的面积为，求x的值； (2)当x为多少时，苗圃园的面积最大，最大面积是多少． 1．（25-26八年级上·上海闵行·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是（    ） A．取任意实数 B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海·期中）关于 的方程 ，下列说法中正确的有（     ）个 ①若 ，则该方程没有实数根； ②若 ，则该方程的两个根互为相反数； ③若 ，则该方程一定有两个实数根； ④若该方程的一个根是 ，则另一个根是 ． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 4．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）设是一元二次方程的两个根，则 ． 5．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 6．（24-25八年级下·北京房山·期末）某学校为筹备2025年家长开放日活动，八年级师生以“墨韵书香润校园，非遗传承启新程”为主题，在学校中心广场设置6个相同的长方形文化展示区（如“非遗剪纸工作坊”“古法造纸体验区”“诗词灯谜互动角”等），每个展示区通过实物陈列，技艺演示，亲子互动等形式，让传统文化“可触可感”．中心广场长20，宽15，各展示区按2行3列排列（如图所示），广场四周设1宽的安全通道，相邻展示区之间的甬道宽度相同．已知每个展示区的面积是，请你帮助活动负责人计算甬道的宽度． 1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 2．（17-18九年级上·贵州六盘水·月考）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 3．（2025·安徽合肥·三模）二次函数的图象与轴交于和两点． (1)当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； (2)当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 5．（25-26九年级上·广东深圳·期末）某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到200件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变． (1)求四、五两个月销售量的月平均增长率； (2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利2250元？ 1．（25-26九年级上·浙江·月考）对于实数a、b，定义运算“★”：，关于x的方程恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·期末）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成，并规定，例如，则的根的情况为（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 3．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ． 4．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 5．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $