第07讲 圆与扇形的面积（知识梳理+7大题型精讲+过关测）（寒假预习讲义）六年级数学新教材沪教版五四制

第07讲 圆与扇形的面积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的面积 1、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积： 知识点2：扇形的面积 1、 扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB．A B O 2、 扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 3.同圆中的之间的关系： 【题型1】 圆的面积 例1．（24-25六年级下·上海·单元测试）面积相等的一个正方形和一个圆，它们的周长相比（   ） A．正方形周长大 B．圆的周长大 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【知识点】 圆的面积、 圆的周长 【分析】本题考查了圆的面积与周长，熟练掌握圆的面积与周长公式是解题的关键．设这个圆的半径为，正方形的边长为，则这个圆的面积为，周长为；这个正方形的面积为，周长为，再根据这个正方形的面积与这个圆的面积相等可得，然后求出，即，则可得，由此即可得出结论． 【详解】解：设这个圆的半径为，正方形的边长为， ∴这个圆的面积为，周长为；这个正方形的面积为，周长为， ∵这个正方形的面积与这个圆的面积相等， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 又∵与都是正数， ∴， 即正方形的周长比圆的周长大， 故选：A． 例2．（24-25六年级下·上海·单元测试）一个小圆的半径是一个大圆半径的 ，小圆面积是大圆面积的 （填分数）． 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查了圆的面积，熟记圆的面积公式是解题的关键． 通过圆的面积公式得到两圆面积的比是半径比的平方即可求得答案． 【详解】一个小圆的半径是一个大圆半径的 ， 根据圆的面积公式，两圆面积的比是半径比的平方， 所以小圆面积是大圆面积的， 故答案为：． 例3．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 【答案】小狗活动的范围有平方米． 【知识点】 圆的面积 【分析】此题主要考查的是圆的面积公式的灵活应用．根据题意，小狗能到达的面积是由三部分组成，一部分是以6米为半径的圆的面积，另一部分是以为半径的圆的面积，最后一部分是以为半径的圆的面积，根据圆的面积公式进行计算，最后再把三部分的面积相加即可得到答案． 【详解】解： （平方米）． 答：小狗活动的范围有平方米． 变式1．（24-25六年级下·上海·单元测试）如果把底面直径是2分米的一根圆柱形木料截成两段圆柱形，那么表面积增加了（取）（ ） A．平方分米 B．平方分米 C．平方分米 D．平方分米 【答案】B 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查了圆的面积，熟练掌握圆的有关计算公式是关键．把底面直径是2分米的圆柱形木料锯成2段后，表面积增加了2个底面的面积，知道底面直径可求底面积，进而可求增加的表面积． 【详解】解：圆柱的底面积：（平方分米）， 增加的表面积：（平方分米）． 故选：B． 变式2．（24-25六年级下·上海·单元测试）把边长为分米的正方形剪成一个最大的圆，则这个圆的面积 ． 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查圆的面积计算，解题的关键在于明确在正方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长．先确定正方形中最大圆的直径，再求出圆的半径，最后根据圆的面积公式计算即可． 【详解】在正方形中剪一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长， 故这个圆的半径（分米）， 根据圆的面积公式可得， 这个圆的面积（平方分米） 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，已知扇形，，，以为直径画半圆，点为弧上一动点（不与点与点重合），联结． (1)①若，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果保留） ②填空：阴影甲的面积与阴影乙的面积大小比较：________． A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．相等    D．无法比较 (2)若阴影甲的面积比阴影乙的面积大，求弧与弧的比值． 【答案】(1)①，；②C (2) 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、 圆的面积 【分析】本题考查了与圆有关的计算，解决本题的关键是掌握圆的面积公式． （1）根据扇形面积公式即可求出结果；观察图形可得观察图形可知：阴影甲的面积，阴影乙的面积，进而可得结果； （2）设，则，根据，求出，得到，，再求出，即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， ； ②如图： 观察图形可知：阴影甲的面积， 阴影乙的面积， 则阴影甲的面积与阴影乙的面积相等； 故答案为：C． （2）解：设，则， ， ， ， ， ，则， ， 弧与弧的比值为． 【题型2】 圆环的面积 例4．（24-25六年级下·上海·单元测试）一个圆环的外圆直径是 厘米，内圆直径是 厘米，则它的面积是 平方厘米． 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积．用外圆的面积减去内圆的面积，即可求解． 【详解】解： 平方厘米． 故答案为：． 例5．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 【答案】(1)10 米 (2)平方米 【知识点】圆环的面积、 圆的周长 【分析】本题主要考查圆的周长和面积计算，以及圆环面积的应用问题． （1）已知圆的周长求半径，直接利用周长公式变形求解． （2）石子路是圆环，面积等于外圆面积减去内圆面积，需先确定外圆半径（花坛半径米）． 【详解】（1）解：圆形花坛的半径（米）， 答：圆形花坛的半径是 10 米． （2）解：外圆半径（米）， 石子路面积为：（平方米）， 答：石子路的面积是平方米． 变式1．环形铁片的外半径是，内直径是，它的面积是（   ）（取） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆环的面积计算，用外圆的面积减去内圆的面积即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 变式2．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是 平方米．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查环形的面积，掌握大圆面积小圆面积环形面积是关键． 根据环形的面积公式结合题意列出算式即可求解． 【详解】解：由题意得 五环图案的面积 ． 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海·单元测试）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示．已知图中大圆半径为，小圆半径为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题考查了圆的面积公式． 用大圆面积减去小圆面积求出圆环面积，乘以求出圆环中的阴影面积，再加上下方小圆的面积即可． 【详解】解： ． 【题型3】 扇形的周长和面积 例6．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的应用．半径相等的两个扇形，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比．扇形面积公式是，由于两个扇形的半径相等，则扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比；依此即可求解． 【详解】解：由扇形面积公式可知，半径相等，扇形的面积与扇形的圆心角度数成正比． 因为一个扇形的圆心角扩大到原来的2倍，所以它的面积扩大到原来的2倍． 故选：D． 例7．（24-25六年级下·上海·单元测试）已知扇形的圆心角为 ，弧长为 厘米，扇形的面积为 平方厘米． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了扇形的弧长公式及面积公式，熟练掌握该公式是解题的关键．先根据弧长公式求出扇形的半径，再利用半径和弧长计算扇形的面积即可． 【详解】设该扇形所在圆的半径为， 由扇形的弧长厘米，圆心角为，弧长公式， 可得， 解得（厘米）， 根据扇形的面积公式， 可得扇形的面积（平方厘米）， 故答案为：． 例8．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且 分米．以点为圆心、为半径画弧交于点．以点为圆心， 为半径画弧，分别交，于点，．求阴影部分的面积． 【答案】平方分米 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了不规则图形的面积计算. 连接，根据题意和图形可以得到阴影部分的面积是的面积的一半，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 等腰直角三角形，，是斜边的中点，且分米， 阴影部分的面积为(平方分米)． 变式1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若扇形的圆心角扩大为原来的4倍，半径是原来的，则扇形的弧长为原来的（    ） A．2倍 B．1倍 C． D．4倍 【答案】A 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查扇形的弧长．熟记扇形的弧长公式是解题的关键．根据扇形的弧长公式，进行求解即可． 【详解】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为， ∴扇形的弧长， 圆心角扩大为原来的4倍，半径是原来的，扇形的弧长变为： ， ∴这个扇形的弧长为原来的2倍； 故选：A． 变式2．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是 （答案保留）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，用半径为，圆心角度数为60度的扇形面积减去半径为，圆心角度数为60度的扇形面积即可得到答案． 【详解】解： ， 所以图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海·单元测试）将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形，求最大的扇形与最小扇形的面积之差为多少平方厘米．（结果保留 ） 【答案】平方厘米 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了扇形的面积公式． 根据题意可知扇形的半径为厘米，根据求出每份的圆心角度数，再用最大的圆心角减去最小的圆心角根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】∵将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形， ∴扇形的半径为厘米， ∵圆心角为， ∴每份的圆心角度数为， ∴最大的扇形与最小扇形的面积之差为（平方厘米）． 【题型4】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例9．（24-25六年级下·上海·期中）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了与圆有关的图形的周长，根据图形分别计算各选项中阴影部分的周长，即可求解． 【详解】解：以下计算中，取 A. 阴影部分周长为： B. 阴影部分周长为： C. 阴影部分周长为：     D. 阴影部分周长为： 阴影部分周长最长的是C选项 故选：C 例10．（24-25六年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，，半径为r的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，则在此运动过程中，扫过区域的面积是 （结果保留） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握圆面积、扇形面积以及长方形面积的计算方法是正确解题的关键．根据题意画出图形如图，将运动路径分为，根据圆面积、扇形面积以及矩形面积，即进行计算即可． 【详解】解：如图所示：运动路径如图： ． 故答案为：． 例11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，在长方形中，，连接，并以为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】此题考查的是求阴影部分的面积，解题关键是利用．利用正方形的面积扇形的面积的面积即可求出结论． 【详解】解：如图，设的中点为O， ． 变式1．（2025六年级下·上海·专题练习）如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A．16 B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积）、扇形的周长和面积 【分析】本题考查圆的面积的应用，掌握圆的面积公式是解题关键．观察图形可知，阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和，由此可知，3个阴影扇形可以组成半径为4厘米的半圆，再根据圆的面积公式，代入数据计算求解． 【详解】解：由图可知阴影部分是3个半径为4厘米的扇形，它们的圆心角之和等于三角形的内角和， ∴（平方厘米）． 故选：C． 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）如果长为，宽为的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的周长为 厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的周长，正确得出最大的圆的直径是解题关键．根据长方形的宽可以确定最大的圆的直径，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：∵在一个长，宽的长方形中，画一个最大的圆，它的直径为， ∴它的周长为， 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，梯形中，、F分别为上的点，且，一个半径为的圆在梯形的外侧，沿着梯形的边连续地从点E经过点B、C无滑动地滚动到点F，求圆滚过区域的面积（结果保留）． 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查与圆有关的面积问题．根据题意把圆滚过的面积分为7部分，3个长方形，起点、终点分别为两个半圆，拐角处分别为半径为的扇形，起点、终点加起来正好是一个半径长为圆的面积；拐角处面积之和是半径为2厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【详解】解：如图， ∵，且， ∴，，， ∴， ∵， ∴拐角处为半径为，圆心角为的扇形，拐角处为半径为，圆心角为的扇形， ∵， ∴拐角处面积之和是半径为2厘米的半圆的面积， ∵起点、终点加起来正好是一个半径长为圆的面积，点E到点B，点B到点C，点C到点F，都为长方形，且， ∴圆滚过区域的面积． 【题型5】 组合图形的面积 例12．（24-25六年级下·上海闵行·期末）图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小 ．（结果保留π） 【答案】/ 【知识点】 组合图形的面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查圆与长方形面积的计算，解题的关键是分别求出图和图阴影部分的面积． 分别计算图、图阴影部分面积，再求二者差值． 【详解】图A阴影部分面积等于长方形的面积减去减去4个空白的叶形的面积， ， 图B阴影部分面积等于4个阴影的叶形的面积， ， 图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小， ， 故答案为：． 变式1．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，在外墙角处用长9米的绳子拴着一只羊，墙长10米，墙长6米，求这只羊能吃到草的最大面积．（墙角都是直角，墙外均为草地，结果保留） 【答案】平方米 【知识点】 组合图形的面积 【分析】本题主要考查扇形面积公式在实际生活中的应用，解题的关键是弄清羊吃到草的面积分为哪几部分．先根据题意和扇形面积公式列出算式，即可求解． 【详解】解：如图 依题意，这只羊能吃到草的最大面积为平方米． 答：这只羊能吃到草的最大面积为平方米． 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【答案】该场馆铺设该草坪需要费用244200元 【知识点】 组合图形的面积 【分析】本题考查扇形、长方形面积的计算方法，掌握扇形面积和长方形面积的计算方法是正确计算的前提； 先求出草坪的面积，再求出需要的费用. 【详解】解：（平方米）， （平方米） （平方米）， 所以铺设该草坪需要费用元， 答：该场馆铺设该草坪需要费用244200元. 【题型6】 阴影部分的周长和面积 例13．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则 厘米． 【答案】30 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了圆的面积和三角形的面积计算根据题意可推出半圆的面积比的面积多28平方厘米，求出半圆的面积，则可求出三角形的面积，再根据三角形面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：因为阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米， 所以阴影a的面积加上空白部分的面积比阴影b的面积加上空白部分的面积多28平方厘米， 所以半圆的面积比的面积多28平方厘米， 平方厘米， 厘米， 所以厘米， 故答案为：30． 例14．（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了阴影部分周长和面积的计算，熟练掌握扇形面积公式和圆的周长计算，是解题的关键．根据弧长和圆的面积和周长计算公式进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的周长：， 上部空白面积； 阴影部分的面积． 变式1．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查不规则图形的周长，需要将不规则图形转化为规则图形，再进行求解；观察图形可得，阴影部分可看作四个圆心角为90度、半径为4的扇形和4个长度为2的线段围成，据此求解即可． 【详解】解：阴影部分可看作四个圆心角为90度、半径为4的扇形和4个长度为2的线段围成， 四个圆心角为90度、半径为4的扇形可看作一个半径为4的圆形， ∴阴影部分周长：， 故选：C． 变式2．（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是 平方厘米（结果保留） 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查求阴影部分的面积，用各自阴影部分所在的扇形面积减去直角三角形的面积，再相加即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的边长是1厘米， ∴， 由题意，得：， ∴阴影部分面积之和为： （平方厘米）； 故答案为：． 变式3．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图： (1)求阴影部分的周长．（结果保留） (2)求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查了圆的周长与面积公式，正确计算是解题的关键． （1）根据阴影部分周长等于大半圆的弧加上两个小半圆的弧求解即可； （2）根据阴影部分面积等于大半圆面积减去两个小半圆面积求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型7】 不规则图形的面积 例15．（24-25六年级下·上海·期中）下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查了不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形． 借助割补法，将不规则图形转化为规则图形，对比选项分析判断即可． 【详解】解： 根据观察，结合割补法可知， 选项中阴影部分面积不等于正方形面积的，选项、、中阴影部分面积等于正方形面积的， ∴只有选项符合题意， 故选：． 例16．（24-25六年级下·上海·期中）如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】不规则图形的面积、 圆的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，不规则图形的面积，设每个阴影的面积为，求出，根据，求出结果结果即可． 【详解】解：如图所示， 设每个阴影的面积为， ∵两个圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 例17．（24-25六年级下·上海·期中）如图，四边形是长方形，长为4厘米，宽为2厘米，以A为圆心，2厘米为半径，作扇形，又以B为圆心，4厘米为半径作另一个扇形，形成阴影部分甲和乙．求这两部分面积之差．（保留π） 【答案】（平方厘米） 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查了长方形、正方形与扇形的面积计算，正确补图、掌握求解的方法是关键； 补全图形如图，则四边形是边长为4的正方形，先计算，，再两式相减即可得解． 【详解】解：补全图形如图，则四边形是边长为4的正方形， 所以①， ②， ，得（平方厘米）． 变式1．（2022六年级上·上海·专题练习）如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（      ） A．π B． C． D．4 【答案】D 【知识点】不规则图形的面积 【分析】先根据题意确定正方形的边长，然后利用阴影部分的面积等于正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵四个圆的半径均为1， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，对于不规则的阴影部分的面积通过割补的方法转化为规则图形的面积． 变式2．（2022六年级上·上海·专题练习）等腰直角三角形中，以直角顶点A为圆心，以高为半径，画一条弧，交、分别于E、F，厘米，图中阴影部分的面积是 平方厘米．（取3.14） 【答案】0.86 【知识点】不规则图形的面积 【分析】根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积计算即可． 【详解】由厘米，可得：厘米， ∴厘米， （平方厘米）， 故答案为：0.86． 【点睛】本题考查阴影部分的面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积． 变式3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）如图a，四边形是长方形，长为10，宽为6，求阴影部分的面积．（保留） （2）如图，正方形边长为2，为边的中点，求图中阴影部分面积．（正方形中过点作边的高相等） 【答案】（1）；（2）． 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查阴影部分面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据阴影部分的面积扇形的面积（矩形的面积扇形的面积）求解即可； （2）证明的面积的面积，求出的面积即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积扇形的面积（长方形的面积扇形的面积） ； （2）由题意，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∵正方形中过点作边的高相等，， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积． 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的面积是它所在的圆的面积的（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形和圆的面积公式得“扇形面积与其所在圆面积的比等于圆心角与周角（）的比”，据此求解即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，周角为， ∴扇形面积占圆面积的比例为， ∴该扇形的面积是所在圆面积的， 故选：B． 2．（24-25六年级下·上海·单元测试）用两根同样长的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆形．则下列说法中正确的是（   ） A．圆的周长大于正方形的周长 B．圆的面积大于正方形的面积 C．圆的面积等于正方形的面积 D．圆的面积小于正方形的面积 【答案】B 【知识点】 圆的面积、 圆的周长 【分析】本题考查了正方形和圆的周长和面积，熟练掌握正方形和圆的周长公式和面积公式是解题的关键． 根据两根同样长的铁丝围成一个正方形和一个圆形可得正方形和圆的周长相等，设铁丝长为1，根据周长公式求出正方形的边长和圆的半径，然后根据面积公式求出正方形和圆的面积再进行比较，即可求解． 【详解】解：∵用两根同样长的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆形， ∴圆的周长等于正方形的周长，故选项A错误，不符合题意， ∴设铁丝长为1， ∴正方形的边长，圆的半径， ∴正方形的面积， 圆的面积， ∵， ∴圆的面积大于正方形的面积． 故选：B． 3．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【答案】D 【知识点】 阴影部分的周长和面积、不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，解答本题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形．如图把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形，大正方形的对角线的长度正好等于两条直径的和，然后根据正方形的面积=对角线的长度×对角线的长度解答即可． 【详解】解：如图，把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形， ∴圆的直径是：(厘米)， (平方厘米)， 故选：D． 4．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列各正方形的边长相同，其中图中各扇形的半径都是正方形边长的一半，那么下面4个图形中阴影部分面积与图中阴影部分面积不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了扇形的面积，正方形的面积，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．设正方形的边长为，根据正方形的面积-扇形的面积即可作判断． 【详解】解：设正方形的边长为，则图中阴影部分面积， A、图中阴影部分面积， B、图中阴影部分面积， C、图中阴影部分面积 D、图中阴影部分面积（r为右下角扇形半径）， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）两个圆的半径之比是，它们面积的比是 ． 【答案】 【知识点】比的应用、 圆的面积 【分析】此题考查的目的是掌握圆的面积公式，明确：圆的面积与半径的平方成正比，所以它们面积的比等于半径的平方比． 根据圆的面积公式：，又因为圆的面积与半径的平方成正比，所以它们面积的比等于半径的平方比．据此解答． 【详解】解：因为圆的面积与半径的平方成正比例，所以它们面积的比等于半径的平方比． 因此，两个圆的半径之比是，它们的面积之比是． 故答案为：． 6．（24-25六年级下·上海宝山·期中）某圆环外圆半径为，内圆半径为，那么该圆环的面积为 ． 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积解答可． 本题考查了圆环的面积计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：圆环的面积为：． 故答案为：． 7．（24-25六年级下·上海·期中） 如果圆中圆心角所在的扇形面积为，那么该圆中圆心角所在的扇形面积为 （答案保留）． 【答案】 【知识点】比的应用、扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了比的运用，圆的面积计算，分别计算出两个扇形面积在圆中的占比，进而求出两个扇形的面积之比，据此可得答案． 【详解】解：因为， 所以圆中圆心角所在的扇形面积与圆中圆心角所在的扇形面积的比为， ∵圆中圆心角所在的扇形面积为， ∴该圆中圆心角所在的扇形面积为， 故答案为：． 8．（24-25六年级下·上海·期中）如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为 ．（结果保留两位小数） 【答案】 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，，然后根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴阴影部分的弧长总和为：， ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：． 9．（24-25六年级下·上海·期中）图中两块阴影部分的面积之和为 平方厘米（结果保留，单位：厘米）． 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积，观察图形可知阴影部分的面积等于四分之一圆的面积减去直角边长为10厘米的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可． 【详解】解： 平方厘米， 故答案为：． 10．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）如图，大圆的半径等于小圆的直径，那么图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是 ． 【答案】/ 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查了割补法求阴影部分面积； 如图，将大圆分成4部分，把大阴影分成了①②两部分，将①②③平移到④⑤⑥，可得阴影部分的面积占大圆面积的，问题得解． 【详解】解：如图，将大圆分成4部分，把大阴影分成了①②两部分， 由图可得，①、②和④、⑤的面积相等，③和⑥的面积相等， 将①②③平移到④⑤⑥，可得阴影部分的面积占大圆面积的， ∴图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查了圆的面积公式．先求出经过60分钟分针的顶端所走的路程，再乘以即可． 【详解】解：∵分针针尖到中心的距离为， ∴经过60分钟，分针的顶端所走的路程是 ∴经过20分钟，分针的顶端所走的路程是． 答：分针的顶端所走的路程是． 12．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图，两个相邻的正方形边长分别是和，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查圆周长的计算，理解图示，掌握周长的计算公式是关键． 根据题意，分别算出，，，，，根据阴影部分的周长为，代入计算即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意，，，， ∴，， ∴，，， ∴阴影部分的周长为 ． 13．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一个直径是 米的圆形花坛，在花坛周围有一条 米宽的小路． (1)如果在小路的外面围上一层篱笆保护花苗，篱笆长多少米？ (2)这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】 圆的周长、圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆的周长以及面积，熟练掌握圆的周长以及面积公式是解题的关键． （1）根据圆的周长公式解答即可； （2）用大圆的面积减去小圆的面积的即可求解． 【详解】（1）解：（米）， 答：篱笆长米； （2）解： （平方米）， 答：这条小路的面积是平方米． 14．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，三角形是等腰直角三角形，，， cm，以为直径画半圆交于点，以点为圆心，为半径画弧． (1)求弧的长度；（取） (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形的周长和面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了弧长公式，扇形的面积公式，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键． （1）根据弧长公式即可解答； （2）根据题意可得，依据扇形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径画弧，， cm， ， ； （2）解：连接， 以点为圆心，为半径画弧，，， cm，以为直径画半圆交于点， ，， 图中阴影部分的面积． 15．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，一个边长是1的等边三角形，等边三角形的每个内角为，将它沿直线作若干次顺时针方向的滚动，如从三角形滚动到三角形为一次滚动． (1)求第一次滚动的过程中，点所经过的路程（结果保留）； (2)求滚动七次的过程中，点所经过的总路程（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了扇形的弧长，求某点的弧形运动路径长度，掌握圆的周长公式是解决问题的关键． （1）由图可得点A经过的路径为弧形，根据圆的周长公式计算即可； （2）画出图形，观察滚动七次的过程中，点A移动了几个弧形长度，即可求解． 【详解】（1）解： ． 答：第一次滚动的过程中，点所经过的路程为． （2）解：如图，滚动七次的过程中，点移动了5个弧形长度， 答：滚动七次的过程中，点所经过的总路程为． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 圆与扇形的面积 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：圆的面积 1、圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积： 知识点2：扇形的面积 1、 扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB．A B O 2、 扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： ． 3.同圆中的之间的关系： 【题型1】 圆的面积 例1．（24-25六年级下·上海·单元测试）面积相等的一个正方形和一个圆，它们的周长相比（   ） A．正方形周长大 B．圆的周长大 C．一样大 D．无法比较 例2．（24-25六年级下·上海·单元测试）一个小圆的半径是一个大圆半径的 ，小圆面积是大圆面积的 （填分数）． 例3．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，长方形建筑物，一只狗拴在墙角处，不能够进入长方形内部，长方形长 米，宽为 米，绳子长 米，求出小狗活动的范围有多少平方米？ 变式1．（24-25六年级下·上海·单元测试）如果把底面直径是2分米的一根圆柱形木料截成两段圆柱形，那么表面积增加了（取）（ ） A．平方分米 B．平方分米 C．平方分米 D．平方分米 变式2．（24-25六年级下·上海·单元测试）把边长为分米的正方形剪成一个最大的圆，则这个圆的面积 ． 变式3．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，已知扇形，，，以为直径画半圆，点为弧上一动点（不与点与点重合），联结． (1)①若，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果保留） ②填空：阴影甲的面积与阴影乙的面积大小比较：________． A．甲的面积大    B．乙的面积大    C．相等    D．无法比较 (2)若阴影甲的面积比阴影乙的面积大，求弧与弧的比值． 【题型2】 圆环的面积 例4．（24-25六年级下·上海·单元测试）一个圆环的外圆直径是 厘米，内圆直径是 厘米，则它的面积是 平方厘米． 例5．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）学校建一个周长为米的圆形花坛，并在花坛周围铺了一条1米的石子路． (1)圆形花坛的半径是多少米？ (2)这条石子路的面积是多少平方米？（本题取） 变式1．环形铁片的外半径是，内直径是，它的面积是（   ）（取） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图是某体育馆在草坪上修建出的五环图案，已知每个圆环的内、外半径分别为3米和4米，图中重叠部分的每个小曲边四边形的面积都为1平方米，则该五环图案的面积是 平方米．（结果保留） 变式3．（24-25六年级下·上海·单元测试）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示．已知图中大圆半径为，小圆半径为，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【题型3】 扇形的周长和面积 例6．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）若扇形半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则面积为（    ） A．和原来一样大 B．原来的4倍 C．原来的一半 D．原来的2倍 例7．（24-25六年级下·上海·单元测试）已知扇形的圆心角为 ，弧长为 厘米，扇形的面积为 平方厘米． 例8．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，已知等腰直角三角形，，是斜边的中点，且 分米．以点为圆心、为半径画弧交于点．以点为圆心， 为半径画弧，分别交，于点，．求阴影部分的面积． 变式1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）若扇形的圆心角扩大为原来的4倍，半径是原来的，则扇形的弧长为原来的（    ） A．2倍 B．1倍 C． D．4倍 变式2．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，图中阴影部分的面积是 （答案保留）． 变式3．（24-25六年级下·上海·单元测试）将一个直径为厘米的圆分割成半径相同且圆心角为 的四个扇形，求最大的扇形与最小扇形的面积之差为多少平方厘米．（结果保留 ） 【题型4】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例9．（24-25六年级下·上海·期中）下列图形中阴影部分周长最长的是（　　） A． B． C． D． 例10．（24-25六年级下·上海长宁·期末）如图，已知，，，半径为r的从点A出发，沿方向滚动到点C时停止，则在此运动过程中，扫过区域的面积是 （结果保留） 例11．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，在长方形中，，连接，并以为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留） 变式1．（2025六年级下·上海·专题练习）如图，扇形的半径都是4厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米． A．16 B． C． D．无法确定 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）如果长为，宽为的长方形纸片上剪一个最大的圆，则这个圆的周长为 厘米．（结果保留） 变式3．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）如图，梯形中，、F分别为上的点，且，一个半径为的圆在梯形的外侧，沿着梯形的边连续地从点E经过点B、C无滑动地滚动到点F，求圆滚过区域的面积（结果保留）． 【题型5】 组合图形的面积 例12．（24-25六年级下·上海闵行·期末）图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小 ．（结果保留π） 变式1．（24-25六年级下·上海宝山·期中）如图，在外墙角处用长9米的绳子拴着一只羊，墙长10米，墙长6米，求这只羊能吃到草的最大面积．（墙角都是直角，墙外均为草地，结果保留） 变式2．（24-25六年级下·上海·期中）一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【题型6】 阴影部分的周长和面积 例13．（24-25六年级下·上海·期中） 如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则 厘米． 例14．（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长与面积．（长度单位：厘米，计算结果保留） 变式1．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是 平方厘米（结果保留） 变式3．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图： (1)求阴影部分的周长．（结果保留） (2)求阴影部分的面积．（结果保留） 【题型7】 不规则图形的面积 例15．（24-25六年级下·上海·期中）下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 例16．（24-25六年级下·上海·期中）如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是 ．（结果保留） 例17．（24-25六年级下·上海·期中）如图，四边形是长方形，长为4厘米，宽为2厘米，以A为圆心，2厘米为半径，作扇形，又以B为圆心，4厘米为半径作另一个扇形，形成阴影部分甲和乙．求这两部分面积之差．（保留π） 变式1．（2022六年级上·上海·专题练习）如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（      ） A．π B． C． D．4 变式2．（2022六年级上·上海·专题练习）等腰直角三角形中，以直角顶点A为圆心，以高为半径，画一条弧，交、分别于E、F，厘米，图中阴影部分的面积是 平方厘米．（取3.14） 变式3．（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）如图a，四边形是长方形，长为10，宽为6，求阴影部分的面积．（保留） （2）如图，正方形边长为2，为边的中点，求图中阴影部分面积．（正方形中过点作边的高相等） 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海·期中）如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的面积是它所在的圆的面积的（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25六年级下·上海·单元测试）用两根同样长的铁丝，分别围成一个正方形和一个圆形．则下列说法中正确的是（   ） A．圆的周长大于正方形的周长 B．圆的面积大于正方形的面积 C．圆的面积等于正方形的面积 D．圆的面积小于正方形的面积 3．（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 4．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列各正方形的边长相同，其中图中各扇形的半径都是正方形边长的一半，那么下面4个图形中阴影部分面积与图中阴影部分面积不同的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）两个圆的半径之比是，它们面积的比是 ． 6．（24-25六年级下·上海宝山·期中）某圆环外圆半径为，内圆半径为，那么该圆环的面积为 ． 7．（24-25六年级下·上海·期中） 如果圆中圆心角所在的扇形面积为，那么该圆中圆心角所在的扇形面积为 （答案保留）． 8．（24-25六年级下·上海·期中）如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为 ．（结果保留两位小数） 9．（24-25六年级下·上海·期中）图中两块阴影部分的面积之和为 平方厘米（结果保留，单位：厘米）． 10．（23-24六年级上·上海杨浦·期末）如图，大圆的半径等于小圆的直径，那么图中阴影部分的面积的和与大圆的面积之比是 ． 三、解答题 11．（24-25六年级下·上海宝山·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过20分钟，分针的顶端所走的路程是多少？ 12．（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图，两个相邻的正方形边长分别是和，求图中阴影部分的周长．（结果保留） 13．（24-25六年级下·上海·单元测试）如图，一个直径是 米的圆形花坛，在花坛周围有一条 米宽的小路． (1)如果在小路的外面围上一层篱笆保护花苗，篱笆长多少米？ (2)这条小路的面积是多少平方米？ 14．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，三角形是等腰直角三角形，，， cm，以为直径画半圆交于点，以点为圆心，为半径画弧． (1)求弧的长度；（取） (2)求图中阴影部分的面积．（结果保留） 15．（24-25六年级下·上海宝山·期末）如图，一个边长是1的等边三角形，等边三角形的每个内角为，将它沿直线作若干次顺时针方向的滚动，如从三角形滚动到三角形为一次滚动． (1)求第一次滚动的过程中，点所经过的路程（结果保留）； (2)求滚动七次的过程中，点所经过的总路程（结果保留）． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $