专题07 统计和概率（专项训练）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 统计与概率 专题07 统计和概率（专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：列举法求概率 易｜混｜易｜错 1）未系统列出所有等可能结果 2）忽略对称性或重复情况 1．（2025·重庆·中考）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ． 2．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·二模）在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 3．（2025·重庆永川·二模）不透明的袋子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为 解｜题｜技｜巧 1）系统分类：按时间/类别顺序展开。 2）双重验证：完成列举后检查。 考点二：树状图或列表法求概率 易｜混｜易｜错 1）遗漏可能情况。 2）混淆有序与无序事件。 3）未排除不可能事件。 4．（2024·重庆·中考）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为 ． 5．（2025·重庆八中·二模）2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为 ． 6．（2025·重庆南开中学·二模）一个口袋中装有个红球，个黄球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到黄球的概率为 ． 解｜题｜技｜巧 1）先画图/表再计算。 2）标注关键概率值。 3）用不同方法交叉验证结果。 考点三：概率与物理化学综合问题 易｜混｜易｜错 学科交叉特性导致错误。 7．（2025·重庆綦江·赶水中学·二模）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是 ． 8．（2025·重庆杨家坪中学教育集团·一模）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ． 9．（2025·重庆市綦江区联盟校·一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是 ． ∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故答案为：． 10．（2025·重庆·中考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况 解｜题｜技｜巧 概率模型与物理定律是否自洽。所有特殊约束条件是否已考虑。 考点四：选择适当的调查方式 易｜混｜易｜错 1）数量多但需用普查的特殊情况。 2）数量少但需用抽样调查的特殊情况。 11．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·中考冲刺）下列调查中，适合采用抽样调查的是（    ） A．调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况 B．重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机的飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查重庆市中学生的周末作业完成时间 12．（2025·重庆·重庆实验外国语学校·三模）在下列调查中，适宜采用全面调查的是（    ） A．检测某城市的空气质量 B．调查全国中小学生课外阅读情况 C．为保证“神七”的成功发射，对其零件检查 D．调查一批汽车的抗撞击能力 解｜题｜技｜巧 考查了全面调查和抽样调查，根据全面调查和抽样调查的特点逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 考点五：扇形统计图 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 13．（2024·重庆·中考）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 14．（2025·重庆·中考）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 15．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·二模）为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析 ．成绩（用x 表示，单位：分）分为A，B，C，D 四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 九年级名学生的竞赛成绩为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级B 等级的学生竞赛成绩为： ，，，，，，，． 八 、九年级所抽学生竞赛成绩统计表                  年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级           a      八年级      b           八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，    ，    ，    ； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好? 请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次竞赛，估计该校八、 九年级参加此次竞赛成绩为A 等的学生人数总共是多少 解｜题｜技｜巧 考查了方差、中位数、众数及折线统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用． 考点六：条形统计图 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 16．（2025·重庆八中·中考一模）教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间（单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生在组的数据是：62，65，78，78，82，85，88 抽取的九年级学生的数据分别是： 32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105 八、九年级所抽学生课后作业时间统计表 八年级所抽学生课后作业时间条形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 77 77 中位数 85 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并填空：___________，___________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 17．（2025·重庆巴蜀中学·一模）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： (1)填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； (2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 18．（2025·重庆复旦中学·二模）语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班，2班中各随机抽取20名学生的练习成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 1班20名学生的练习成绩为： 5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6，10 2班20名学生的练习成绩条形统计图如图： 1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 1班 7.5 a 7.5 c 2班 7.5 7 b (1)直接写出上述表中的a，b，c的值； (2)根据以上数据，你认为1班，2班中哪个班学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)1班，2班共110名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？ 解｜题｜技｜巧 考查了方差、中位数、众数及折线统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用．． 考点七：折线统计图 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 19．（2025·重庆一中·一模）今年是“一带一路”倡议提出的周年，为加深群众对该战略精神的认识，帮助大家了解沿线国家风土人情和合作发展成果，小南联合社区党员在甲、乙两小区开展了“一带一路”宣讲活动，并围绕宣讲内容进行了问卷竞答．从甲、乙两小区随机抽取了份问卷竞答成绩（成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 抽取的乙小区不含分及分的所有竞答成绩：、、、、、、、、 甲、乙小区竞答成绩统计表                    小区 平均数 中位数 众数 优秀率 甲 乙 甲小区竞答成绩拆线统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)请填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为甲、乙两小区的竞答成绩谁更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若甲小区收回份竞答问卷，乙小区收回份竞答问卷，估计这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是多少？ 20．（2025·重庆市九龙坡区育才中学·二模）为了了解某射击队中各队员射击水平，从中随机抽取甲、乙两名队员10次射击训练成绩，并制成了如图的统计图（部分）． 教练又根据甲、乙两名队员射击成绩绘制了数据分析表： 选手 平均数 中位数 众数 极差 方差 甲 8 8 4 1.2 乙 6和9 2.65 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）补全队员甲10次成绩频数分布图：并填空___________，___________，___________，___________； （2）综合甲、乙两名队员的10次成绩，谁的成绩更好？（说明一条理由即可） （3）如果该射击队共有20名队员，根据甲、乙两名队员的成绩，估计全体队员10次射击总环数． 21．（2025·重庆市南岸区·一诊）在防疫知识普查考试中，某次测试试题的满分为20分．某校为了解该校部分学生的成绩情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 抽取的20名七年级学生成绩是： 20，20，20，20，19，19，19，19，18，18， 18，18，18，18，18，17，16，16，15，14． 抽取的40名学生成绩统计表 七年级 八年级 平均分 18 18 众数 a b 中位数 18 c 方差 2.7 2.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上表中a，b，c的值； （2）在这次测试中，你认为是七年级成绩好，还是八年级成绩好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？    解｜题｜技｜巧 考查了方差、中位数、众数及折线统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用． 考点八：条形统计图和扇形统计图综合 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 22．（2025·重庆江津中学·二模）图书《宗师列传·唐宋八大家》的出版，使读者可以通过文字的力量穿越千年时空，探寻唐宋八大家的人生经历与文学魅力．某校为提高学生的古诗文鉴赏能力，在校内组织了为期一个月的以“探寻唐宋八大家的文学魅力”为主题的读书活动，并在之后举办了与此相关的古诗文知识竞赛．现从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．所有学生的成绩均不低于80分（竞赛成绩用 表示，共分为四组：A． ；B． ；C． ；D． ，成绩在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级 C 组学生的竞赛成绩分别为：94，92，93，91； 八年级 C组学生的竞赛成绩分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 a 95 八年级 91 93 b (1)填空： ________ ， ________， ________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的古诗文鉴赏能力更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级有500名学生、八年级有400名学生参加了此次古诗文知识竞赛，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数是多少？ 23．（2025·重庆德阳初中教育集团·适应性测试）4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.8 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______；_______；_______； (2)根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校初三年级共有学生1200人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 24．（2025·重庆凤鸣山中学·三模）自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的DeepSeek－R1开源AI大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入DeepSeek这一重磅生成式AI应用的巨浪．某公司接入一款AI软件，先组织甲、乙两个部门进行了学习，过后为了解员工掌握情况进行了一场测试，现从该公司甲、乙两个部门中各随机抽取20名员工的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 甲部门组员工的分数分别为：，，，； 乙部门员工的分数分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两个部门选取的员工成绩统计表： 部门 平均数 中位数 众数 优秀率 甲 87 95 乙 88 89 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若甲部门有280名员工，乙部门有240名员工，估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数； (3)根据以上数据，你认为哪个部门员工对培训知识的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 1．下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 2．已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 0 4 0 4 3．如图，转盘的黑色扇形和白色扇形的圆心角分别是和，让转盘自由转动次，则指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率是 （指针指在黑白交界处时，重新转动转盘一次）． 4．为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）． (1)张老师调查的学生人数是______；并补全条形统计图． (2)若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑． (3)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率． 5．为推进深圳电动自行车“一盔一带”安全整治，某交警中队在南山区某商圈周边，随机抽查了未规范佩戴头盔的骑行者，调查结果根据年龄x（岁）分为四类，A类：；B类：；C类：；D类：．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中的信息解答下列问题： (1)此次调查一共随机抽查了______名未规范佩戴头盔者； (2)请将条形统计图补充完整； (3)已知年龄在“D类”的四名骑行者中，有两名男性和两名女性现需要从这四名骑行者中随机选择两名开展“安全头盔”宣讲，请利用画树状图或列表的方法，求所选两名恰好是一男一女的概率． (4)若该商圈日均未规范佩戴头盔的骑行者有500人，根据样本数据，估计其中B类人数约为多少人？ 1．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 2．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．   b．八年级学生成绩在这一组的是： 81  83  84  84  84  86  89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； (3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 3．某村启动“乡村振兴”项目，根据当地的地理条件，在村里利用大棚技术种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下： ①天气寒冷，大棚加温可改变经济作物生长率．大棚恒温时每天的成本为100元，但加温导致每天成本增加，根据实地调查，发现一个大棚加温时30天的成本情况如图1，采用30天的平均成本作为加温至时的成本． ②经济作物的生长率p与温度t（℃）有如（图2）关系； ③按照经验，经济作物提前上市的天数m（天）受生长率p的影响，大致如下表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 20    请根据上面信息完成下列问题： (1)求加温至的平均每天成本． (2)用含t的代数式表示m． (3)计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但若欲加温到摄氏度，要求成本太高，所以计划加温至．请问加温多少摄氏度时增加的利润最大？并说明理由．（注：经济作物上市售出后大棚暂停使用） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 统计与概率 专题07 统计和概率（专项训练） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：列举法求概率 易｜混｜易｜错 1）未系统列出所有等可能结果 2）忽略对称性或重复情况 1．（2025·重庆·中考）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 ． 【答案】 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：袋子里一共有个球，红球有1个． ∴摸出红球的概率． 故答案为：． 2．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·二模）在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 【答案】 【详解】解：∵在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的9个球，其中有4个红球和5个白球， ∴摸出的球是红球的概率为． 故答案为：． 3．（2025·重庆永川·二模）不透明的袋子中有1个红色小球，1个黑色小球，1个黄色小球，它们除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为 【答案】 【详解】解：不透明的袋子中共有3个球，其中有1个黑球， 所以，从袋子中随机取出一个球，则取到黑色小球为的概率为， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1）系统分类：按时间/类别顺序展开。 2）双重验证：完成列举后检查。 考点二：树状图或列表法求概率 易｜混｜易｜错 1）遗漏可能情况。 2）混淆有序与无序事件。 3）未排除不可能事件。 4．（2024·重庆·中考）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为 ． 【答案】 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故答案为：． 5．（2025·重庆八中·二模）2025年春节档热映多部精彩电影．小李、小王分别从四部影片：《唐探1900》《哪吒之魔童闹海》《封神》《重启未来》中随机选择一部观看，则两人选择的影片相同的概率为 ． 【答案】 【分析】利用画树状图法解答即可． 本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：设“《唐探1900》”表示为A，“《哪吒之魔童闹海》” 表示为B，“《封神》”表示为C，“《重启未来》” 表示为D，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中甲乙恰好选中同一项目的结果有4种， 两人恰好选中同一部电影的概率是， 故答案为：． 6．（2025·重庆南开中学·二模）一个口袋中装有个红球，个黄球，这些球除颜色外都相同，若从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到黄球的概率为 ． 【答案】 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】本题考查了画树状图法求概率，画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到黄球有种等可能结果，然后利用概率公式计算即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到黄球有种等可能结果， ∴两次都摸到黄球的概率为， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1）先画图/表再计算。 2）标注关键概率值。 3）用不同方法交叉验证结果。 考点三：概率与物理化学综合问题 易｜混｜易｜错 学科交叉特性导致错误。 7．（2025·重庆綦江·赶水中学·二模）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：， 故答案为：． 8．（2025·重庆杨家坪中学教育集团·一模）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列表法求概率，解题的关键是掌握列表法求解概率的方法．将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表得出所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸分别记作，列表如下： 由表可知，共有种等可能结果，其中滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的有种结果， 所以滴入一滴酚酞试剂后只有一瓶呈现红色的概率为； 故答案为：． 9．（2025·重庆市綦江区联盟校·一模）在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是 ． 【答案】 【来源】重庆市綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试数学试题 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故答案为：． 10．（2025·重庆·中考）下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒2》的情况 【答案】D 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 解｜题｜技｜巧 概率模型与物理定律是否自洽。所有特殊约束条件是否已考虑。 考点四：选择适当的调查方式 易｜混｜易｜错 1）数量多但需用普查的特殊情况。 2）数量少但需用抽样调查的特殊情况。 11．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·中考冲刺）下列调查中，适合采用抽样调查的是（    ） A．调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况 B．重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检 C．为保证飞机的飞行安全，工人对其零部件进行检查 D．调查重庆市中学生的周末作业完成时间 【答案】D 【来源】重庆市鲁能巴蜀中学校2025年中考数学冲刺试题 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查．抽样调查是通过对样本调查来估计总体特征，其调查结果是近似的；而全面调查得到的结果比较准确；根据对调查结果的要求对选项进行判断即可． 【详解】解：A、调查重庆市鲁能巴蜀中学九年级（1）班50名同学的视力情况，人数较少，应采用全面调查，故不符合题意； B、重庆西站对乘坐高铁的旅客进行安检，安全责任重大，应采用全面调查，故不符合题意； C、为保证飞机的飞行安全，工人对其零部件进行检查，安全责任重大，应采用全面调查，故不符合题意； D、调查重庆市中学生的周末作业完成时间，应采用抽样调查，故符合题意； 故选：D． 12．（2025·重庆·重庆实验外国语学校·三模）在下列调查中，适宜采用全面调查的是（    ） A．检测某城市的空气质量 B．调查全国中小学生课外阅读情况 C．为保证“神七”的成功发射，对其零件检查 D．调查一批汽车的抗撞击能力 【答案】C 【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查，根据全面调查和抽样调查的特点逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、检测某城市的空气质量，适宜采用抽样调查，该选项不合题意； 、调查全国中小学生课外阅读情况，适宜采用抽样调查，该选项不合题意； 、为保证“神七”的成功发射，对其零件检查，适宜采用全面调查，该选项符合题意； 、调查一批汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查，该选项不合题意； 故选：． 解｜题｜技｜巧 考查了全面调查和抽样调查，根据全面调查和抽样调查的特点逐项判断即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 考点五：扇形统计图 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 13．（2024·重庆·中考）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】(1)，，； (2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析； (3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【分析】（）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解； 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 【详解】（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 八年级竞赛成绩中组：（人）， 组：（人）， 组：人，所占百分比为 组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数， 即组第个同学竞赛成绩的平均数， 故答案为：，，； （2）八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）（人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 14．（2025·重庆·中考）学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中__________，__________，__________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生航天知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】(1)，， (2)七年级成绩较好，理由见解析（答案不唯一） (3)人 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出组和组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级名学生竞赛成绩在组中的数据有（人），在组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第和个数据是，， ∴， ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴， ∵七年级名学生竞赛成绩在组中的数据共个， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，所以该校七年级学生航天知识竞赛的成绩较好； 或该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生航天知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数，所以该校八年级学生航天知识竞赛的成绩较好； （3）解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人． 15．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·二模）为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析 ．成绩（用x 表示，单位：分）分为A，B，C，D 四个等级，分别是：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 九年级名学生的竞赛成绩为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级B 等级的学生竞赛成绩为： ，，，，，，，． 八 、九年级所抽学生竞赛成绩统计表                  年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级           a      八年级      b           八年级所抽学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，    ，    ，    ； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好? 请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次竞赛，估计该校八、 九年级参加此次竞赛成绩为A 等的学生人数总共是多少 【答案】(1)90；；45 (2)九年级学生竞赛成绩较好，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了统计中的众数、中位数、百分比计算及用样本估计总体，解题的关键是从数据和图表中提取有效信息，正确计算统计量并进行分析推断． （1）通过九年级成绩中出现次数最多的数确定众数根据八年级各等级人数占比和为，结合B等级人数求出将八年级成绩排序，找第、位数据求中位数 （2）通过对比中位数、众数等统计量分析成绩优劣； （3）分别计算八、九年级A等级的样本百分比，再用样本估计总体求出A等总人数． 【详解】（1）解：九年级名学生成绩中，出现的次数最多次），故 八年级B等级有8人，占比为，由统计图知C占，D占，则A占比故 八年级成绩从小到大排列后，第、位在B等级，B等级成绩排序为， 第位为，第位为，故中位数． 故答案为：90；；45． （2）解：九年级学生竞赛成绩较好，理由：九年级成绩的中位数为，高于八年级的，说明九年级中间水平学生的成绩更优． （3）解：八年级A等人数估计：（人）； 九年级样本中A等有人，占比为，故九年级A等人数估计：（人）； 总人数：（人）． 答：该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共是人． 解｜题｜技｜巧 考查了方差、中位数、众数及折线统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用． 考点六：条形统计图 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 16．（2025·重庆八中·中考一模）教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间（单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息： 抽取的八年级学生在组的数据是：62，65，78，78，82，85，88 抽取的九年级学生的数据分别是： 32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105 八、九年级所抽学生课后作业时间统计表 八年级所抽学生课后作业时间条形统计图 年级 八年级 九年级 平均数 77 77 中位数 85 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并填空：___________，___________； (2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数． 【答案】(1) (2)八年级，见解析 (3)人 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】本题考查了统计图的应用，中位数，众数，用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出八年级组人数，补全统计图，根据中位数、众数的定义求出的值即可； （2）根据统计图信息分析即可； （3）用样本估计总体的方法计算即可． 【详解】（1）解：八年级组人数为人， 补全统计图如下， 根据题意得抽取的九年级学生的数据排在第位的是， ， 抽取的九年级学生的数据中最多，有个， ， 故答案为：； （2）解：我认为八年级的双减工作落实得更好， 八年级的课后作业时间中位数82小于九年级的课后作业时间中位数85； （3）解：人 答：估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数约为1120人 17．（2025·重庆巴蜀中学·一模）为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗文化知识竞赛”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：．，．，．，．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为： 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： (1)填空：______，______，并补全八年级的成绩条形统计图； (2)根据以上数据，你认为该中学八年级和九年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)规定在分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】(1)，，补图见解析 (2)九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由见解析 (3)人 【分析】（）根据中位数和众数的定义可求出，根据条形统计图求出成绩在组的学生人数，即可补全八年级的成绩条形统计图； （）根据平均数、中位数和众数判断即可； （）用乘以八、九年级参加知识竞赛的优秀人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图，平均数、中位数和众数，样本估计总体，掌握相关的统计知识是解题的关键 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵九年级抽取的学生竞赛成绩中分的人数最多， ∴， 故答案为：，， 由八年级的成绩条形统计图可得，成绩在组的学生人数为人， ∴补全八年级的成绩条形统计图如下： （2）解：九年级学生的竞赛成绩更优秀，理由如下： 两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，但九年级学生竞赛成绩的中位数和众数都高于八年级学生的，所以九年级学生的竞赛成绩更优秀； （3）解：， 答：估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有人． 18．（2025·重庆复旦中学·二模）语文王老师为了了解同学们的语文寒假作业完成情况，进行了一个简单的练习，现从1班，2班中各随机抽取20名学生的练习成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 1班20名学生的练习成绩为： 5，7，8，6，6，7，10，8，9，7，7，8，8，8，6，10，9，5，6，10 2班20名学生的练习成绩条形统计图如图： 1班、2班抽取的学生的练习成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如表所示： 年级 平均数 众数 中位数 8分及以上人数所占百分比 1班 7.5 a 7.5 c 2班 7.5 7 b (1)直接写出上述表中的a，b，c的值； (2)根据以上数据，你认为1班，2班中哪个班学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)1班，2班共110名学生参加此次练习，估计参加此次练习成绩合格的学生人数是多少？ 【答案】(1)8，7，； (2)1班学生掌握知识较好，理由见解析； (3)99人 【分析】本题考查了从条形统计图获取信息，求众数，求中位数，用样本估计总体，正确理解相关概念是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出、，再求出1班成绩中，8分及以上人数占比即可求出； （2）从平均数，中位数，众数和8分及以上的人数占比的角度进行求解即可； （3）根据样本估计总体的方法，用总人数乘以样本中合格的人数所占比即可得到答案． 【详解】（1）解：1班20名学生的成绩出现次数最多的是8分，因此众数是， 将2班20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数，即中位数， 1班8分及以上人数所占百分比为； （2）解：1班学生掌握知识较好，理由如下： 因为1班和2班平均分相等，但是1班的众数，中位数和8分及以上人数所占百分比都比2班的高； （3）解：（人）， 答：估计参加此次练习成绩合格的学生人数是99人． 解｜题｜技｜巧 考查了方差、中位数、众数及折线统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用．． 考点七：折线统计图 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 19．（2025·重庆一中·一模）今年是“一带一路”倡议提出的周年，为加深群众对该战略精神的认识，帮助大家了解沿线国家风土人情和合作发展成果，小南联合社区党员在甲、乙两小区开展了“一带一路”宣讲活动，并围绕宣讲内容进行了问卷竞答．从甲、乙两小区随机抽取了份问卷竞答成绩（成绩均为整数，满分为分，分及以上为优秀）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 抽取的乙小区不含分及分的所有竞答成绩：、、、、、、、、 甲、乙小区竞答成绩统计表                    小区 平均数 中位数 众数 优秀率 甲 乙 甲小区竞答成绩拆线统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)请填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为甲、乙两小区的竞答成绩谁更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若甲小区收回份竞答问卷，乙小区收回份竞答问卷，估计这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是多少？ 【答案】(1)，，； (2)甲小区的竞答成绩更好，因为甲、乙两小区的竞答成绩中，甲小区的平均数、中位数、众数。优秀率均高于乙小区； (3)这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是107份． 【分析】本题考查了折线统计图，中位数、众数以及平均数，用样本估计总体，掌握相关定义和意义是解题关键． （1）根据众数，中位数，优秀率的定义分别求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可； （3）分别用甲、乙两小区收回的竞答问卷份数乘以优秀率，相加即可． 【详解】（1）解：由折线图可知，甲小区第10、11名的成绩分别为8、8， 甲小区中位数； 乙小区的中位数为， 乙小区第10、11名的成绩分别为7、8， 乙小区分成绩有6人，优秀人数为3人， 乙小区分成绩有4人，8分人数有， 乙小区的众数，优秀率， 故答案为：，，； （2）解：甲小区的竞答成绩更好， 理由：因为甲、乙两小区的竞答成绩中，甲小区的平均数、中位数、众数。优秀率均高于乙小区，所以我认为甲小区的竞答成绩更好； （3）解：（份）， 答：这些问卷中两小区竞答成绩为优秀的总份数是107份． 20．（2025·重庆市九龙坡区育才中学·二模）为了了解某射击队中各队员射击水平，从中随机抽取甲、乙两名队员10次射击训练成绩，并制成了如图的统计图（部分）． 教练又根据甲、乙两名队员射击成绩绘制了数据分析表： 选手 平均数 中位数 众数 极差 方差 甲 8 8 4 1.2 乙 6和9 2.65 根据以上信息，请解答下面的问题： （1）补全队员甲10次成绩频数分布图：并填空___________，___________，___________，___________； （2）综合甲、乙两名队员的10次成绩，谁的成绩更好？（说明一条理由即可） （3）如果该射击队共有20名队员，根据甲、乙两名队员的成绩，估计全体队员10次射击总环数． 【答案】（1）分布图见解析，7.5，7.5，8，5；（2）见解析；（3）1550环 【分析】（1）根据题意和统计图中的数据，可以分别计算出a、b、c、d的值； （2）根据表格中的数据，可以得到甲、乙两名队员的10次成绩，谁的成绩更好，然后说出相应的理由即可，注意本题答案不唯一，只要合理即可； （3）根据表格中的数据，可知甲和乙的平均数，然后即可估计全体队员10次射击总环数，注意平均数取甲或乙的当做总的平均数都可以． 【详解】解：（1）=4， 补全统计图如下： a= =7.5， 乙组成绩按照从小到大排列是：5，6，6，6，7，8，9，9，9，10， b=（7+8）÷2=7.5， 成绩为8环的有10-1-2-2-1=4（次）， c=8， d=10-5=5， 故答案为：7.5，7.5，8，5； （2）综合甲、乙两名队员的10次成绩，甲的成绩更好，理由：甲的中位数大于乙的中位数，故甲的成绩更好； （3）（8+7.5）÷2×10×20=1550（环）， 答：估计全体队员10次射击总环数是1550环． 【点睛】本题考查频数分布直方图、折线统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21．（2025·重庆市南岸区·一诊）在防疫知识普查考试中，某次测试试题的满分为20分．某校为了解该校部分学生的成绩情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取了20名学生的成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 抽取的20名七年级学生成绩是： 20，20，20，20，19，19，19，19，18，18， 18，18，18，18，18，17，16，16，15，14． 抽取的40名学生成绩统计表 七年级 八年级 平均分 18 18 众数 a b 中位数 18 c 方差 2.7 2.7 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上表中a，b，c的值； （2）在这次测试中，你认为是七年级成绩好，还是八年级成绩好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有学生1000人，估计此次测试成绩不低于19分的学生有多少人？    【答案】（1）a＝18，b＝19，c＝18.5；（2）八年级好，理由见解析；（3）450人 【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得； （2）在平均分和方差相等的前提下，可从众数和中位数及满分人数等方面比较得出答案（答案不唯一，合理均可）； （3）用总人数乘以样本中七、八年级不低于19分的学生人数和所占比例即可得． 【详解】解：（1）七年级20名学生成绩的众数a＝18，八年级成绩的众数b＝19，中位数c＝＝18．5； （2）八年级的成绩好， ∵七年级与八年级成绩的平均分和方差相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数，即八年级高分人数稍多， ∴八年级的成绩好； （3）估计此次测试成绩不低于19分的学生有1000×＝450（人）． 解｜题｜技｜巧 考查了方差、中位数、众数及折线统计图，解题的关键是掌握众数、中位数的概念及样本估计总体思想的运用． 考点八：条形统计图和扇形统计图综合 易｜混｜易｜错 1）求中位数时需要先排序。 2）看清题目的解题要求。 3）注意单位的统一。 22．（2025·重庆江津中学·二模）图书《宗师列传·唐宋八大家》的出版，使读者可以通过文字的力量穿越千年时空，探寻唐宋八大家的人生经历与文学魅力．某校为提高学生的古诗文鉴赏能力，在校内组织了为期一个月的以“探寻唐宋八大家的文学魅力”为主题的读书活动，并在之后举办了与此相关的古诗文知识竞赛．现从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．所有学生的成绩均不低于80分（竞赛成绩用 表示，共分为四组：A． ；B． ；C． ；D． ，成绩在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级 C 组学生的竞赛成绩分别为：94，92，93，91； 八年级 C组学生的竞赛成绩分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 a 95 八年级 91 93 b (1)填空： ________ ， ________， ________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的古诗文鉴赏能力更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)该校七年级有500名学生、八年级有400名学生参加了此次古诗文知识竞赛，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数是多少？ 【答案】(1)92.5，94，45； (2)八年级学生古诗文鉴赏能力更好，见解析 (3)560人 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得a，b的值；先求出扇形统计图中C的百分比，可得，进而可得m的值． （2）结合七、八年级学生的古诗文鉴赏的平均数、中位数、众数的定义可得结论． （3）根据用样本估计总体，用500乘以七年级样本中的优秀率加上400乘以样本中八年级成绩的优秀率，即可得出答案． 【详解】（1）解：将七年级20名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为92分，93分， ∴（分）． 八年级20名学生的竞赛成绩分数段的人数分别为：A、（人）；D、（人）；C、9（人）；B、（人）； 而94分出现5次，出现次数最多，所以，众数； ∵， ∴． 故答案为：92.5；94；45． （2）解：八年级学生的古诗文鉴赏竞赛成绩更好． 理由：七、八年级学生的古诗文鉴赏竞赛的平均数相同，但八年级的中位数大于七年级的中位数， 所以八年级学生的古诗文鉴赏竞赛成绩更好． （3）解：（人）． 答：估计该校七、八年级参加此次古诗文鉴赏竞赛成绩为优秀的学生人数共有560人． 23．（2025·重庆德阳初中教育集团·适应性测试）4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50． 初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表 性别 男生 女生 平均数 47.8 48 中位数 a 49 众数 50 b 满分率 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_______；_______；_______； (2)根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校初三年级共有学生1200人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数． 【答案】(1)，50，10 (2)女生的体育中考成绩更优异，理由见解析 (3)810人 【来源】重庆市德阳初中教育集团2024-2025学年九年级下学期适应性测试数学试题 【分析】本题考查了中位数、众数及意义，利用样本估计总体，正确找出所需数据是解题关键． （1）由题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩分别为、，根据中位数的定义求解的值即可；再根据女生成绩的满分率，得出女生成绩50分的人数，根据众数的定义求解的值即可；求出男生成绩中A等级所占的百分比，即可得到的值； （2）根据平均数和中位数的定义分析即可； （3）用总人数乘以样本中初三年级男生和女生A等级的占比求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抽取20名男生的体考成绩中位数为第10和11名男生成绩的平均数，且A等级包含14个人， 男生成绩的中位数， 由条形统计图可知，抽取20名女生的体考成绩中A等级有13人， 女生成绩的满分率为， 50分的成绩人数为，人数最多， 女生成绩的众数， 男生成绩中A等级所占的百分比为， ； （2）解：女生的体育中考成绩更优异，理由如下： 因为男生和女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数，满分率均高于男生，所以女生的体育中考成绩更优异； （3）解：（人）， 答：估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数有810人． 24．（2025·重庆凤鸣山中学·三模）自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的DeepSeek－R1开源AI大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入DeepSeek这一重磅生成式AI应用的巨浪．某公司接入一款AI软件，先组织甲、乙两个部门进行了学习，过后为了解员工掌握情况进行了一场测试，现从该公司甲、乙两个部门中各随机抽取20名员工的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 甲部门组员工的分数分别为：，，，； 乙部门员工的分数分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲、乙两个部门选取的员工成绩统计表： 部门 平均数 中位数 众数 优秀率 甲 87 95 乙 88 89 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)若甲部门有280名员工，乙部门有240名员工，估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数； (3)根据以上数据，你认为哪个部门员工对培训知识的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)，， (2)估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数为196人 (3)甲部门员工对培训知识的掌握情况更好，详见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图相结合，中位数，众数，利用样本频数预估总体频数等内容，解题的关键是熟练掌握相关概念和公式． （1）利用中位数和众数定义进行求解即可； （2）利用样本频数预估总体频数即可； （3）根据优秀率进行描述即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可得成绩在组和组的人共有8个， 把数据从小到大排列后，排在第10，11位的数为86，88， 中位数； 由乙部门员工的分数可知89出现的次数最多． 众数； 甲部门的优秀率为， ； 故答案为：，，； （2）解：（人）， 答：估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数为196人； （3）解：甲部门员工对培训知识的掌握情况更好， 理由：由表格可知，甲部门员工的优秀率高于乙部门员工的优秀率， 甲部门员工对培训知识的掌握情况更好． 1．下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 【答案】D 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 根据不可能事件的定义（在一定条件下一定不会发生的事件），分析各选项是否可能发生． 【详解】解：不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件． A选项：任意选择电视频道可能播放动画片，是随机事件； B选项：任意掷一枚硬币可能正面朝上，是随机事件； C选项：射击运动员射击一次可能命中10环，是随机事件； D选项：只装有红球的袋子不可能摸出黑球，是不可能事件． 故选：D． 2．已知有四张正面分别标有数字，0，，4的卡片，这四张卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 0 4 0 4 由表格可得，共有16种等可能的结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为负数的情况有4种， 两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率． 故答案为：． 3．如图，转盘的黑色扇形和白色扇形的圆心角分别是和，让转盘自由转动次，则指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率是 （指针指在黑白交界处时，重新转动转盘一次）． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图展示出所有等可能结果，从中找出一黑一白的情况数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由树状图可知，共有种等可能结果，一黑一白有种结果， ∴ 一黑一白的概率是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了画树状图求概率，能准确分析并计算是解题的关键． 4．为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（A：书法，B：绘画，C：摄影，D：泥塑，E：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）． (1)张老师调查的学生人数是______；并补全条形统计图． (2)若该校共有学生1000名，请估计有多少名学生选修泥塑． (3)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率． 【答案】(1)50；见解析 (2)240 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． (1)由A的人数除以所占百分比即可得到总人数，计算出D组中人数，补图即可； (2)条形统计图中D的人数后除以(1)中调查的总人数，得到D所占的百分比，再乘以该校总人数1000即可求解； (3)画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：张老师调查的学生人数为：(名)； D组中人数为：， 如图所示： （2）选修泥塑所占的百分比为：， ∴ (名)， 故该校1000人中，共有240人选修泥塑； （3）把2人选修书法的记为，1人选修绘画的记为，1人选修摄影的记为， 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种， ∴所选2人都是选修书法的概率为． 5．为推进深圳电动自行车“一盔一带”安全整治，某交警中队在南山区某商圈周边，随机抽查了未规范佩戴头盔的骑行者，调查结果根据年龄x（岁）分为四类，A类：；B类：；C类：；D类：．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中的信息解答下列问题： (1)此次调查一共随机抽查了______名未规范佩戴头盔者； (2)请将条形统计图补充完整； (3)已知年龄在“D类”的四名骑行者中，有两名男性和两名女性现需要从这四名骑行者中随机选择两名开展“安全头盔”宣讲，请利用画树状图或列表的方法，求所选两名恰好是一男一女的概率． (4)若该商圈日均未规范佩戴头盔的骑行者有500人，根据样本数据，估计其中B类人数约为多少人？ 【答案】(1)20 (2)见解析 (3) (4)200人 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点． （1）根据样本中“B类”有8人，占被调查人数的，求出被调查的总人数即可； （2）求出样本中“C类”的人数即可补全条形统计图； （3）用树状图表示从“D类”的两男两女4人中任意抽取2人，所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （4）根据样本估计总体即可． 【详解】（1）解：（名）， 故答案为：20； （2）解：样本中“C类”的人数为（名）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：从“D类”的两男两女4人中任意抽取2人，所有等可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中2人中恰好是一男一女的有8种， 所以从“D类”的两男两女4人中任意抽取2人，其中2人中恰好是一男一女的概率． （4）解：（人）， 答：其中B类人数约为200人． 1．某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中的信息解答以下问题： (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整； (2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人； (3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等级人数除以其人数占比即可得出本次抽取的学生总人数，用乘以等级人数占比即可得出扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数，用本次抽取的学生总人数减去其他各等级人数即可得出等级人数，然后补全条形统计图即可； （2）利用样本估计总体即可； （3）先画出树状图，展示从这人中随机抽取人所有等可能的结果，再找出被抽取的人恰好是名男生名女生的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数共有： （人）， 扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是： ， 等级人数为： （人）， 故答案为：，， 补全条形统计图如下： （2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有： （人）， 故答案为：； （3）解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种， 被抽取的人恰好是名男生名女生的概率． 2．为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）．   b．八年级学生成绩在这一组的是： 81  83  84  84  84  86  89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； (3)成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】(1)83.5； (2)小宇，理由见解析； (3)105人． 【详解】（1）八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84 故中位数； （2）小宇； 理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； （3）（人）， 估计八年级获得优秀奖的学生有105人 3．某村启动“乡村振兴”项目，根据当地的地理条件，在村里利用大棚技术种植一种经济作物．农业技术人员在种植前进行了主要相关因素的调查统计，结果如下： ①天气寒冷，大棚加温可改变经济作物生长率．大棚恒温时每天的成本为100元，但加温导致每天成本增加，根据实地调查，发现一个大棚加温时30天的成本情况如图1，采用30天的平均成本作为加温至时的成本． ②经济作物的生长率p与温度t（℃）有如（图2）关系； ③按照经验，经济作物提前上市的天数m（天）受生长率p的影响，大致如下表： 生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 提前上市的天数m（天） 0 5 10 15 20    请根据上面信息完成下列问题： (1)求加温至的平均每天成本． (2)用含t的代数式表示m． (3)计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但若欲加温到摄氏度，要求成本太高，所以计划加温至．请问加温多少摄氏度时增加的利润最大？并说明理由．（注：经济作物上市售出后大棚暂停使用） 【答案】(1)200元 (2) (3)25摄氏度，理由见解析 【详解】（1）解：， ∴加温至的平均每天成本是200元； （2）解：由表格知：m是p的一次函数， 设， 则，解得， ∴， 当时， 设， 则，解得， ∴， ∴， 当时， 设， 则，解得， ∴， ∴， 综上，； （3）解：设利润为元， 则当时， ， 即， ∵， ∴w随t的增大而增大， 又， ∴当时，w取最大值， ∴加温25摄氏度时增加的利润最大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $