专题06 数比大小与构造函数型（题型专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题06 数比大小与构造函数型目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 常规思路 题型02 构造函数 题型03 放缩法 题型04 数形结合（交点问题） 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 常规思路 【例1-1】（2026·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·天津滨海新·月考）已知则三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. 【变式1-1】（2026·天津河东·月考）已知，，，则的大小关系为 ． 【变式1-2】（2026·天津·月考）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·天津滨海新·月考）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 题型02 构造函数 【例2-1】（2026·天津南开·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（   ）. A． B． C． D． 【例2-2】（2026·天津西青·联考）已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. 【变式2-1】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·天津西青·调研）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型03 放缩法 【例3-1】（2025·天津·调研），则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·天津武清·模拟预测）设，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 1. 【变式3-1】（2024·天津·联考）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型04 数形结合（交点问题） 【例4-1】（2025·天津静海·三模）已知关于的方程有一个实根，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 数比较大小+数形结合的核心技巧是把抽象的数转化为函数图像上的点的纵坐标，通过图像的高低、单调性、交点来判断大小。 核心步骤 1. 构造函数 把需要比较的数整理成同一函数的不同自变量取值，可构造统一模式。 天津高考常考的函数模型有：对数函数 y=ln x、指数函数 y=ex、幂函数 y=xa。 2. 绘制图像（或分析图像特征） 利用函数的单调性，函数交点，特殊点锚定范围。 3. 转化比较 将原数的大小比较，转化为对应函数图像上点的纵坐标的高低比较。 【变式4-1】（2025·天津滨海新·调研）已知函数，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当，时， 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知函数的图象如图所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·天津滨海新·联考）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 1．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津武清·模拟预测）设，，，则三者的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津红桥·一模）设，，，则三者的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津河东·一模）已知函数，它们的零点的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津河东·一模）偶函数在上递增，且，，大小为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·模拟预测）已知函数，，若，，则的大小为 A． B． C． D． 8．（2025·天津·模拟预测）已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 9．（2025·天津·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·天津·模拟预测）已知函数，则下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·天津·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·天津·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 14．（2024·天津·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 15．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数比大小与构造函数型目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 常规思路 题型02 构造函数 题型03 放缩法 题型04 数形结合（交点问题） 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 常规思路 【例1-1】（2026·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 【例1-2】（2026·天津滨海新·月考）已知则三者的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是单调递减函数，是单调递增函数，判断分析即可． 【详解】由于，故在R上是单调递减函数，且， 故，即， 又在上是单调递增函数，且 故， 故. 故选：C ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. 【变式1-1】（2026·天津河东·月考）已知，，，则的大小关系为 ． 【答案】. 【分析】利用对数函数，指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为对数函数在上单调递减，，因此， 因为指数函数在上单调递减，，且，因此， 因为对数函数在上单调递增，，因此， 综上，. 故答案为：. 【变式1-2】（2026·天津·月考）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、对数函数的单调性求得各数的范围，由此得出结果. 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，所以. 故选：A. 【变式1-3】（2026·天津滨海新·月考）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性及指数函数的图象得，再利用偶函数在关于原点对称的区间的单调性得函数在上单调递减，再利用函数在上单调递减得，进而利用偶函数的性质得结论. 【详解】因为， 而函数是增函数，所以， 而由函数的图象得， 因此， 又因为定义在上的偶函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 因此，即. 故选：D. 题型02 构造函数 【例2-1】（2026·天津南开·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小. 【详解】因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 则，， 根据指数函数单调性知，即， 由上知幂函数的解析式为，函数为上的单调递增函数， 又，所以，即. 故选：B. 【例2-2】（2026·天津西青·联考）已知奇函数是定义在上的增函数，若，，．则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性得到，根据指数和对数函数单调性，可确定自变量的大小关系；根据函数单调性得到函数值的大小关系，即，，的大小关系. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为函数是增函数，所以； 因为函数是增函数，所以. 所以. 因为函数是定义在上的增函数，所以，即. 故选：D. 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小. 【变式2-1】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 【变式2-2】（2025·天津滨海新·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数及对数函数的单调性即可得出判断． 【详解】因为在单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在单调递减，所以，即， 所以， 故选：A． 【变式2-3】（2025·天津西青·调研）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为偶函数可知其在上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到，即可求解. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 题型03 放缩法 【例3-1】（2025·天津·调研），则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，并利用导数研究其单调性，再通过函数单调性比较大小． 【详解】解：设，，则，， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，，，中最大， 又，，而， ，， 故， 故选：B． 【例3-2】（2025·天津武清·模拟预测）设，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式将分别化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可. 【详解】，， ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以，即， 所以在单调递减，因为，所以， 即，所以. 故选：D 1. 【变式3-1】（2024·天津·联考）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【详解】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D 【变式3-2】（2025·天津南开·模拟预测）设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三个式子的结构，构造函数，求导判断单调性，进而比较，，的大小，即可得，，的大小关系. 【详解】令，则， ，， 由可得且， 由可得；所以在上单调递减， 因为，所以， 所以， 故选：C. 【变式3-3】（2025·天津河北·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，，求导得到其单调性，结合，得到；构造，，求导得到其单调性，结合得到，即，从而得到答案. 【详解】构造，，则在上恒成立， 故在上单调递减，又， 故，故， 构造，， 则在上恒成立，故在单调递减， 又，，故，即， 故， 综上： 故选： D 题型04 数形结合（交点问题） 【例4-1】（2025·天津静海·三模）已知关于的方程有一个实根，则实数的取值范围为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程的根问题转化为函数图象交点问题，分情况讨论的表达式，利用导数分析的单调性和极值，画出函数的大致图象，结合图象即可求解. 【详解】由，因为，所以， 令， 当时，， 即单调递增；，， 当时，，令，得， 当时，，，即单调递增， 当时，，，即单调递减， 所以在处取得极大值，，， 方程有一个实根，即函数与函数有1个不同的交点， 结合图象可得或. 故选：A. 【例4-2】（2025·天津武清·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与函数极值点和导函数值之间的关系，分别判断正误. 【详解】因为在上单调递减，所以，所以B正确，D错误. 因为是函数极值点，所以，所以A错误，C错误. 故选：B. 数比较大小+数形结合的核心技巧是把抽象的数转化为函数图像上的点的纵坐标，通过图像的高低、单调性、交点来判断大小。 核心步骤 1. 构造函数 把需要比较的数整理成同一函数的不同自变量取值，可构造统一模式。 天津高考常考的函数模型有：对数函数 y=ln x、指数函数 y=ex、幂函数 y=xa。 2. 绘制图像（或分析图像特征） 利用函数的单调性，函数交点，特殊点锚定范围。 3. 转化比较 将原数的大小比较，转化为对应函数图像上点的纵坐标的高低比较。 【变式4-1】（2025·天津滨海新·调研）已知函数，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．当时， D．当，时， 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用导数分析函数在上的单调性，可判断C选项；设，结合零点存在定理可判断D选项. 【详解】对于A，取，则，， 此时，， ，故A错误； 对于B，当时，，令，得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增，即若， 则，则，故B错误； 对于C，取，则，，故C错误； 对于D，令， 若则，此时， 令，，所以在上单调递增， 因为，， 所以在上存在一个零点，即在上存在一个零点， 若则，则， 令，， 所以函数在单调递增， 因为，， 所以函数在存在唯一零点，即函数在存在唯一零点， 又因为，所以函数有且只有三个零点， 一个零点在区间，一个零点为，一个零点在区间， 当，时，必有，故D正确. 故选：D. 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知函数的图象如图所示，为的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义，结合函数图象，即可判断与、与，及其与0的大小关系. 【详解】由曲线上一点的导数表示该点切线的斜率， 结合图象知：，而. 故选：B. 【变式4-3】（2025·天津滨海新·联考）“切线放缩”是处理不等式问题的一种技巧．如：在点(0，1)处的切线为，如图所示，易知除切点(0，1)外，图象上其余所有的点均在的上方，故有．该结论可通过构造函数并求其最小值来证明．显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同．请根据以上材料，下列命题中正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】利用已知不等式，可变形得到，然后再进行赋值代入证明各选项，即可. 【详解】对于①，对，由于恒成立，可得，当时，两边取自然对数得， 所以有，即，故①正确； 对于②，对，由于恒成立，可得，即，故②正确； 对于③，对，由于恒成立，可得，因为， 所以有，即，故③正确； 对于④，对，由于恒成立，可得， 当时，两边取自然对数得， 把用代得：， 又因为，所以有，故④正确； 故选：D. 1．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 2．（2025·天津河东·一模）已知，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得，从而即可得答案. 【详解】解：因为，， ， 所以. 故选：C. 3．（2024·天津武清·模拟预测）设，，，则三者的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据符号判断三个数的大小，在符号相同时，根据函数的单调性再判断即可. 【详解】由对数函数的性质可知， ， 由对数换底公式得： ， 由对数函数的性质可知 ，∴ ， 由以上判断得： ； 故选：A. 4．（2025·天津红桥·一模）设，，，则三者的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别比较和的大小关系，进而得出结论. 【详解】因为，，， 所以， 故选：B. 5．（2025·天津河东·一模）已知函数，它们的零点的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把零点变成方程的解，现转化为函数图象与直线的交点，由图象可得大小关系． 【详解】，， ，， ，， 作出函数，，的图象及直线，由图象可得 ，，，所以． 故选：B． 6．（2025·天津河东·一模）偶函数在上递增，且，，大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对数性质化简自变量，再根据偶函数性质将自变量转化到已知区间，最后根据单调性确定大小. 【详解】因为，又在上递增，所以，选C. 7．（2025·天津·模拟预测）已知函数，，若，，则的大小为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，确定函数的单调性，然后确定这三个数之间的大小关系，最后利用函数的单调性判断出的大小关系. 【详解】，所以是上的增函数. ， 所以，故本题选C. 8．（2025·天津·模拟预测）已知、，且，则（   ） A． B． C． D．无法确定、的大小 【答案】A 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理可得出、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 9．（2025·天津·三模）已知定义域为 的连续函数 满足： ① 为偶函数； ② ； ③ ． 则 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据①得关于直线对称，再得其关于点对称，则得到其周期性，再利用其单调性即可比较大小. 【详解】由①，有关于直线对称； 由②，令，则，有关于点对称； 则，又因为，则， 则，则，则， 则的周期为12，故； 由③，知在单调递增，关于点对称， 在单调递增，又在上连续， 在单调递增，故有， 即． 故选：C. 10．（2025·天津·模拟预测）已知函数，则下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数判断函数的单调性，进而可得. 【详解】由可得函数的定义域为， 由题意知， 令函数，且， 则，即在单调递增，所以， 故在区间上恒成立，则在上单调递减， 所以，由函数的单调性可知. 故选：B 11．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 12．（2025·天津·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则，故. 故选：B. 13．（2025·天津·模拟预测）已知函数有两个零点，且，则（   ） A． B． C． D．与无法比较大小 【答案】C 【分析】将函数有两个零点问题转化为方程有两个解的问题，先对函数求导，判断单调性和的范围，然后判断并证明与-3的大小比较，最后得到答案. 【详解】函数有两个零点，即方程有两个不同的根． 设，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增． 又因为当时，，当时，，所以． 因为可以趋近于无穷小，所以猜测，下面给出证明． 先证当时，． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增． 由知，当时，，即，所以． 再证当时，． 令，则． 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即， 所以． 所以，所以． 故选：C． 14．（2024·天津·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D．无法确定，的大小 【答案】C 【分析】构造函数，求导得到其单调性，结合特殊点函数值，得到，再构造，求导得到，从而得到当时，，当时，，结合，，故，使得，得到. 【详解】令，则， 当时，，， 故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故零点，使得， 所以. 故选：C 15．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数，利用导数研究函数单调性，通过函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $