专题05 导数基础思维核心应用（题型专练）（天津专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题05 导数基础思维核心应用目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 导数的概念和几何性质 题型02 导数的运算 题型03 切线方程 题型04 导数中的同构问题 题型05 导数中的“距离”问题 题型06 原函数与导函数混合还原问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 导数的概念和几何性质 【例1-1】（2026·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，， 故，即． 故选：B． 【例1-2】（2026·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 【答案】 【分析】先求得切线方程为，再作出对应的三角形，并计算面积. 【详解】由题，，， 所以曲线在点处的切线方程为， 故得，即交点为； 得，即交点为； 得，即交点为； 如图，阴影部分即为围成的三角形，面积为. 故答案为： 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 【变式1-1】（2026·天津西青·月考）已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点，利用图象法解. 【详解】因为函数恰有2个零点， 所以和有两个交点， 作出函数的图象如图所示： 因为时，和相交，所以只需和再有一个交点， 当时，若与相切，则有的判别式，此时， 当时，若与相切，则有的判别式，此时， 当时，若与相切，设切点为， 由于， 则有，解得： 所以要使函数恰有2个零点， 只需或或，解得：或或， 即时函数恰有两个零点． 故答案为：． 【变式1-2】（2026·天津红桥·月考）已知， 设函数的图像在点处的切线为 ， 则 在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，得出切线的斜率，根据点斜式方程求出直线，得到在y轴上的截距. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以函数的图像在点处的切线为， 整理得：， 故在y轴上的截距为. 故选：D 【变式1-3】（2026·天津南开·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【分析】（1）求出和，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【详解】（1）因为，则， 可得，，即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为0，即. （2）因为函数的定义域为， 由（1）可知：， 当时，，所以， 则函数在上单调递增， 当时，，所以， 则函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且函数的极小值为，无极大值. 题型02 导数的运算 【例2-1】（2026·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为 ． 【答案】和 【分析】利用导数求已知函数的单调增区间即可. 【详解】函数的定义域为. . 令，则. 解得，或. 所以函数的单调增区间为和. 故答案为：和. 【例2-2】（2026·天津东丽·开学考试）函数在处的切线与直线垂直，则实数 . 【答案】 【分析】 先利用导数求出函数在处的切线的斜率，并求出直线的斜率，再根据两直线垂直得其斜率乘积为-1，列得关于a的方程，即可求出答案. 【详解】因为函数，所以, 所以,即函数在处的切线的斜率为. 直线，即, 所以直线的斜率为. 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以,解得：. 故答案为： 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 【变式2-1】（2026·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 【答案】D 【分析】首先利用导数公式求，再代入导数公式求的值. 【详解】，所以，得， 则，所以. 故选：D 【变式2-2】（2025·天津西青·联考）函数 则等于（    ） A．    B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本函数导数计算公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：A 【变式2-3】（2025·天津蓟州·月考）定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为 【答案】 【分析】由题意先求出，存在实数x使不等式对于恒成立，即对于恒成立，由此可得，解不等式即可得出答案. 【详解】因为，， 令，，解得：， 所以， 令，，所以，所以， 在R上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 存在实数x使不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 即，解得：或， 则实数m的取值范围为：. 故答案为：. 题型03 切线方程 【例3-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【答案】(1) (2)函数的极大值为，极小值为 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导研究函数得单调区间，进而根据单调区间确定函数的极值； （3）根据题意转化为在内有解，进而构造函数求解最大值即可. 【详解】（1）解：由题知， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为：. （2）解：由（1）知，定义域为， 令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值. 综上，函数的极大值为，极小值为 （3）解：函数，在定义域内有解， 故在内有解， 即在内有解， 所以在内有解， 所以 令 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以在上的值域为， 令，则， 显然当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以有最大值， 所以，即的取值范围为 【例3-2】（2025·天津武清·调研）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数，再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，根据主元法，构造函数，确定其在上单调递增，进而转化成恒成立，进而可求证. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）依题可知，在上恒成立. 令，则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 只需， 又，故. （3）令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令，则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 【变式3-1】（2026·天津南开·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于-1，求的取值范围； (3)当时，求的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)2个 【分析】（1）求出函数在时的解析式，再对其求导，得到切线的斜率，最后结合切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程. （2）求出函数的定义域及导数，根据的取值范围讨论函数的单调性，进而求出极小值，最后根据已知条件求出的取值范围. （3）求出的表达式，再对其求导，分析函数的单调性，然后根据函数的单调性及零点存在定理判断函数的零点个数. 【详解】（1）当时，. 则，，即切线斜率为-3. 又，故切线过点. 所以切线方程为：，即. （2）函数的定义域为. . 当时，，则，在上单调递减，无极值，不符合题意. 当时，令，即，解得. 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 因此是极小值点，极小值为， 由极小值小于-1可得，. 令（），则，代入得，即（）. 令（），则. 令，则，解得. 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，故的解集为且， 即且，解得且. 故的取值范围为. （3）当时，，定义域为. 令，则，即, 令，则和有相同的零点. . 令，，则. 因为，所以，即在上单调递增. 又，， 所以，使得. 所以当时，，即，此时单调递减； 当时，，即，此时单调递增； 所以的最小值为. 由得，，则，即. 令，，则，则在上单调递增. 因为，所以，则， 所以，即. 所以的最小值为. 当趋近于0或时，趋近于，又，所以， 所以在和各有1个零点， 故有2个零点. 【变式3-2】（2025·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义有，即可求； （2）对函数求导，根据导数的区间符号求单调区间. 【详解】（1）由题设，则， 又在点处的切线的斜率为，则，可得； （2）由题设且， 当，则，故在上单调递减， 当，则，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，时，的递减区间为，无递增区间， 时，的递减区间为，递增区间为. 【变式3-3】（2026·天津滨海新·联考）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数运算法则可求导数，再利用导数求出斜率，由点斜式可得切线方程． 【详解】设， 则； 所以，且， 即直线斜率，过点， 故曲线在处的切线方程为， 即， 故答案为：． 题型04 导数中的同构问题 【例4-1】（2025·天津滨海新·联考）若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】可将题意转化为，恒成立，即，令，可得在上单调递增，进而等价转化为对于恒成立.令，求出即可得出答案. 【详解】由题意可得：命题“，恒成立”（＊）为真命题， 所以（＊）式等价于，即， 令，则上式即为. 求导得对于恒成立， 所以在上单调递增，因此在上单调递增， 而当时，由于已知为正数，所以， 所以命题（＊）进一步等价于在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 当，在上单调递增； 当，在上单调递减. 所以， 所以. 故答案为：. 【例4-2】（2025·天津·调研）已知函数 在上不单调，则t的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数判断的单调性，利用函数在上不单调，建立不等式，即可求得的范围. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在，上单调递增，上单调递减， 若在上不单调， 则或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：． （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3） （4） （5） （6） 再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申： （7）； （8）； 【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）若正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由同构可得，记，利用导数求出该函数的单调性后可得，记，由导数研究该函数的单调性后求出的最大值. 【详解】由可得，即， 记，则， 所以当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减，从而， 因而，从而， 记，则， 所以当时，，故在单调递增， 当时，，故在调递减，即． 故答案为：. 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】原式变形为，令，求导可得，分，，三种情况对，讨论分离变量可求得的取值范围. 【详解】由，可得，令，则， 由，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以， 当，，令，求导得， 若，可得，所以在上单调递减， 若，可得，所以在上单调递增， 所以，所以， 当，可得，令，求导得， 所以在单调递减，此时， 所以， 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·天津·调研）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先不等式通过变形，再构造函数，转化为利用导数判断函数的单调区间，即可求参数的取值范围. 【详解】设，不等式，变形为， 设函数，则函数在区间单调递减， 由，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以. 故答案为：. 题型05 导数中的“距离”问题 【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间； （2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 【例5-2】（2025·天津·模拟预测）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离. 【详解】由题意可得，令得 所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以， 所以的图象如下图：    要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时， 与的距离即为A，B两点之间最小的距离， 令，解得．由， 所以直线的方程为，即 则与的距离的距离， 则A，B两点之间的最短距离是． 故答案为：． 1. 核心思路：转化为函数最值 距离问题（点到直线、点到曲线、两曲线间最短距离）的本质是构造距离相关的目标函数，通过求导找函数的极值点，进而确定最值。 2. 常见类型及解法 点到曲线的最短距离 设曲线方程为 y = f(x)，定点为 (x0,y0)， 因根号不影响最值的位置，可构造目标函数g(x)，求导 g'(x)，令 g'(x)=0 解得极值点，代入原距离公式即可。 关键结论：曲线在最短距离点处的切线，与定点和该点的连线垂直（斜率乘积为 -1），可作为验证条件。 两曲线间的最短距离 设两曲线为 y = f(x) 和 y = g(x)，最短距离对应的两点处切线平行（斜率相等，即 f'(x1)=g'(x2)）。 构造函数 h(x)=f(x)-g(x)，求 |h(x)| 的最小值，或设两点坐标后构造距离函数求导。 【变式5-1】（2025·天津·一模）若直线与函数,的图像分别交于点､,当､两点距离最近时, A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据图像关系时，，､两点距离距离为，构造函数，通过求导，求导单调区间，极值，最值，即可求解. 【详解】根据图像关系时，， ､两点距离距离为， 设， 当时，；当时，； 在单调递减，在单调递增， 时取得极小值，亦为最小值， 时，两点距离最小. 故选:D. 【变式5-2】（2025·天津·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）曲线上的一点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，由点到直线的距离公式可得点A到直线的距离为，设函数，利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】设，则点A到直线的距离为， 设函数，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，故． 故答案为： 题型06 原函数与导函数混合还原问题 【例6-1】（2025·天津·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，化简得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，所以， 因为当时，， 所以，所以在上单调递增， 因为， 且，所以，所以， 故选：B. 【例6-2】（2025·天津·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，利用的单调性解不等式. 【详解】设函数，则， 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，所以. 设，又，所以. 由，即. 所以，即. 故选：B 1.对于，构造，2.对于，构造 3.对于，构造，4.对于，构造 5.对于，构造，6.对于，构造 7.对于，构造，8.对于，构造 9.对于，构造，10.对于，构造11.对于，构造， 12.对于，构造 13对于，构造 14.对于，构造 15.；；； 16.；． 【变式6-1】（2024·天津·二模）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围. 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C 【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，令，得到，则函数在上单调递增，结合奇偶性即可逐项判断． 【详解】的图象关于点对称， 的图象关于点对称，即函数为奇函数， ，， 令，， 则， 即函数在上单调递增， 又函数为奇函数，为偶函数， 所以函数为奇函数， ，即， 整理得，则的大小无法确定，故AB错误； ，即， 整理得，则的大小无法确定，故C错误； ，即， ，即， 整理得，故D正确． 故选：D． 【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得是上的奇函数，且，再数形结合解不等式即可． 【详解】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】应用导数研究函数的区间单调性，结合区间值域及零点存在性定理判断零点个数. 【详解】由题设且定义域为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 当或时，故在定义域上有2个零点. 故选：C 2．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】考虑时，得到时，在上有两个零点，当取其他值时，只有1个零点，再考虑时，变形得到且时，，构造函数，写出分段函数，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到其与的交点个数，从而最终求出最多有4个零点，得到的取值范围. 【详解】，即， 当时，，即，故满足要求， 若，则无解，若，则，解得不满足； 若，则的解， 若，则的解，且当时，， 故当时，在上有两个零点， 当取其他值时，只有1个零点， 时，， 显然当时，无解， 当且时，， 令， ， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当时，， 故在，，上单调递增， 在，上单调递减， 又时，，其中，，，， 画出的图象如下： 当或或或时，有一个零点， 当时，有2个零点， 当时，有3个零点， 当时，无零点， 综上：最多有4个零点， 则. 故答案为：. 3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解； 【详解】对于A：，当时， ，故排除A； 对于B：当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，故排除B； 对于D，当时，，，所以在上单调递增，故排除D； 对于C，为偶函数，由可得，满足图象，故C正确. 故选：C． 4．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可； （2）利用导数研究的单调性，求出，转化为解不等式即可； （3）转化为，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式. 【详解】（1），可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，所以，在上单调递减， 当时，令， 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以， 若恒成立，则， 整理得，解得或. （3）由得， 即， 当时，，不等式成立； 当时，，不等式化为， 当时，不等式的左边右边，所以， ①当时，令， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 令， 则单调递减；单调递增， 所以， 所以，故， ②当时，不等式化为， 令， ，函数在上单调递增， 所以， 由，得， 所以不等式成立， 综上，不等式的解集为. 5．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 6．（2025·天津·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见不等式，结合对数与指数的运算，可得答案. 【详解】由在上恒成立，当且仅当时等号成立，则， 即，综上可得， 故选：B. 7．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先根据、得出的表达式，再通过导函数研究函数的单调性即可利用对称性以及图象变换画出的图象，利用图象交点得出的取值范围. 【详解】因关于直线对称，则，且， 则且，解得， 则， 经检验：对任意恒成立， 即的图象关于直线对称， 则符合题意； 因恰有6个零点， 则与的函数图象有6个交点， 现研究函数的单调性： 因 ， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因， 则根据图象变换以及对称性可画出函数的图象： 由图象可知，，则的取值范围为. 故答案为：. 8．（2025·天津西青·调研）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为偶函数可知其在上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到，即可求解. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 9．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由题意可得在上单调递增，且，所以，由此，通过放缩即可得出答案. 【详解】因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又因为， 且存在，使得，所以， 所以，令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以,即,当时取等号. 所以（当时取等号，此时满足题意）， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 10．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可根据垂直满足的斜率关系求解. 【详解】， 则， 由可得，故， 由于两切线互相垂直，因此，所以， 故选：D 11．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，且函数在上的最大值为，求的值． 【答案】(1)单调减区间为，增区间为； (2) 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （2）先求出导函数的零点，再分零点是否在区间进行讨论，求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）当时，，， 当时，，当时，， 所以函数的单调减区间为，增区间为； （2）， 若，令得（舍负）， 当时，，当，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当，即时， 所以函数在上单调递增， 则，得； 当，即时，函数在上递减，上递增， 则， 如若可以，只能，则（舍）； 当，即时，函数在上递减， 则（舍）. 综上可知，. 12．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，则与有两个交点，利用导数求出的单调性，即可求出函数的取值范围，从而求出的取值范围； 【详解】由， 可得当时，即，所以； 当时，，所以， 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以， 令，则与有两个交点， ①当时，，则在上单调递增，且； ②当时，则， 令，则， 所以当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 所以，所以恒成立， 所以恒成立，所以在上单调递减， 又，因为，所以， 且当时，，所以； 所以，即的取值范围是. 故答案为： 13．（2025·天津·调研）若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可. 【详解】，    令，得临界点（因，舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意， 故选：. 14．（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 【答案】 【分析】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到，然后作差，即可得到其大小关系. 【详解】因为， ， 且，则. 故答案为： 15．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见详解. 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）（i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数基础思维核心应用目录 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 【选填题破译】 题型01 导数的概念和几何性质 题型02 导数的运算 题型03 切线方程 题型04 导数中的同构问题 题型05 导数中的“距离”问题 题型06 原函数与导函数混合还原问题 第二部分 综合巩固 整合应用，模拟实战 题型01 导数的概念和几何性质 【例1-1】（2026·天津河东·月考）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·天津河东·月考）曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 . 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作或． ① 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ② 当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 【变式1-1】（2026·天津西青·月考）已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围为 . 【变式1-2】（2026·天津红桥·月考）已知， 设函数的图像在点处的切线为 ， 则 在y轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·天津南开·开学考试）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值． 题型02 导数的运算 【例2-1】（2026·天津·月考）函数，则函数的单调增区间为 ． 【例2-2】（2026·天津东丽·开学考试）函数在处的切线与直线垂直，则实数 . 1.求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 【变式2-1】（2026·天津东丽·开学考试）已知函数的导函数为，且满足，则（   ） A． B．0 C． D．-1 【变式2-2】（2025·天津西青·联考）函数 则等于（    ） A．    B． C． D． 【变式2-3】（2025·天津蓟州·月考）定义在R上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为 题型03 切线方程 【例3-1】（2025·天津红桥·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)函数，若在定义域内有解，求的范围． 【例3-2】（2025·天津武清·调研）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 1.在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2.过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 【变式3-1】（2026·天津南开·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于-1，求的取值范围； (3)当时，求的零点个数. 【变式3-2】（2025·天津武清·月考）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)求的单调区间； 【变式3-3】（2026·天津滨海新·联考）曲线在处的切线方程为 ． 题型04 导数中的同构问题 【例4-1】（2025·天津滨海新·联考）若命题“，能成立”为假命题，则正数a的最小值为 ． 【例4-2】（2025·天津·调研）已知函数 在上不单调，则t的取值范围是 . （1） 且时，有 （2） 当 且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3） （4） （5） （6） 再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申： （7）； （8）； 【变式4-1】（2025·天津北辰·三模）若正实数x，y满足，则的最大值为 ． 【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式4-3】（2025·天津·调研）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 题型05 导数中的“距离”问题 【例5-1】（2025·天津南开·一模）已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【例5-2】（2025·天津·模拟预测）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ． 1. 核心思路：转化为函数最值 距离问题（点到直线、点到曲线、两曲线间最短距离）的本质是构造距离相关的目标函数，通过求导找函数的极值点，进而确定最值。 2. 常见类型及解法 点到曲线的最短距离 设曲线方程为 y = f(x)，定点为 (x0,y0)， 因根号不影响最值的位置，可构造目标函数g(x)，求导 g'(x)，令 g'(x)=0 解得极值点，代入原距离公式即可。 关键结论：曲线在最短距离点处的切线，与定点和该点的连线垂直（斜率乘积为 -1），可作为验证条件。 两曲线间的最短距离 设两曲线为 y = f(x) 和 y = g(x)，最短距离对应的两点处切线平行（斜率相等，即 f'(x1)=g'(x2)）。 构造函数 h(x)=f(x)-g(x)，求 |h(x)| 的最小值，或设两点坐标后构造距离函数求导。 【变式5-1】（2025·天津·一模）若直线与函数,的图像分别交于点､,当､两点距离最近时, A． B． C．1 D． 【变式5-2】（2025·天津·模拟预测）已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【变式5-3】（2025·天津·模拟预测）曲线上的一点到直线的距离的最小值为 ． 题型06 原函数与导函数混合还原问题 【例6-1】（2025·天津·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，导数为，且当时有，若，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·天津·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1.对于，构造，2.对于，构造 3.对于，构造，4.对于，构造 5.对于，构造，6.对于，构造 7.对于，构造，8.对于，构造 9.对于，构造，10.对于，构造11.对于，构造， 12.对于，构造 13对于，构造 14.对于，构造 15.；；； 16.；． 【变式6-1】（2024·天津·二模）已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·天津·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·天津·模拟预测）设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·天津河北·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·天津·三模）设函数，记函数有且仅有个互不相同的零点，则当取到最大值时，实数的取值范围是 . 3．（2025·天津·二模）已知函数的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津南开·二模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式（其中为的导数）. 5．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·一模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·二模）若函数的图象关于直线对称，且恰有6个零点，则的取值范围为 . 8．（2025·天津西青·调研）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·天津河东·二模）设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 10．（2025·天津和平·二模）曲线与曲线在点处的切线互相垂直，则实数（    ） A．2 B．0 C． D． 11．（2025·天津·模拟预测）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，且函数在上的最大值为，求的值． 12．（2025·天津·一模）已知，函数若关于的方程，恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 ． 13．（2025·天津·调研）若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 14．（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 15．（2025·天津·模拟预测）已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $