专题08 概率与统计（专项训练）（全国通用）2027年春季高考数学

专题08 概率与统计 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 题型01 古典概型 2 题型02 事件独立性 3 题型03 数字特征 5 题型04 分层抽样 6 题型05 频率分布直方图 8 03 分层训练・达标过关 巩固过关 10 能力提升 13 1、解决概率与统计的基本思路是： （1）抽样与数据收集：看清抽样类型，分层抽样核心是按比例分配样本数量；拿到样本数据后，读懂频率分布直方图，利用矩形面积代表频率，计算各组频数、频率。 （2）数据特征计算：根据数据求平均数、中位数、众数、方差，用来描述一组数据的集中趋势与离散程度；直方图里的数值特征，利用每组中点值进行估算。 （3）概率计算：区分古典概型与独立事件。古典概型要数清全部基本事件和符合要求的事件个数；独立事件直接用概率乘法公式，最后检验概率结果在0到1之间。 题型01 古典概型 古典概型的解题技巧 （1）判断模型：先确认是不是古典概型，满足两个条件，所有基本事件总数有限，每个基本事件发生的可能性大小相等。 （2）计数方法：分别数出总的基本事件数量，以及满足题目要求的事件包含的基本事件数量，可以列举、画树状图或者列表，列举时做到不重复、不遗漏。 （3）计算求值：用符合条件的事件数除以总事件数得到概率；算出结果后检查，概率必须在0到1之间。 1．（2025·福建·合格考）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 2．（2024·江苏·合格考）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出从中任意取出2个球，共有多少种取法，确定取出的两个球都是白球的取法数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】由题意从中任意取出2个球，共有种取法， 其中取出的两个球都是白球的取法有种， 故取出的两个球都是白球的概率为. 故选：A. 3．（2024·云南·学业水平考试）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】根据古典概率的知识求得正确答案. 【详解】根据古典概型的知识可知，所求概率为. 故选：B 4．（2024·福建·合格考）从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算. 【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品， 由古典概型得， 故选：D. 题型02 事件独立性 事件独立性的解题技巧 （1）判断独立：两个事件相互独立，一个事件是否发生不会影响另一个事件发生的概率；注意和互斥事件区分，互斥是不能同时发生，二者不一样。 （2）概率计算：独立事件同时发生的概率，等于两个事件各自概率相乘。多个独立事件可以连续相乘。 （3）逆向分析：遇到“至少有一个发生”的问题，优先算对立事件（全都不发生）的概率，再用1减去该概率，简化计算。 1．（2024·江苏·合格考）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲乙各射击一次，则“甲中靶”与“乙中靶”相互独立， 所以，甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为. 故选：B. 2．（2024·山东·合格考）某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设甲答对概率，乙答对概率． 至少一人答对的概率为． 3．（2025·福建·合格考）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 【答案】/ 【分析】根据事件的独立性，利用独立事件的概率乘法公式计算两地同时下雨的概率. 【详解】设”甲地下雨”为事件，”乙地下雨”为事件，则，. 由两地下雨互不影响，可知事件与相互独立. 因此，甲乙两地都下雨的概率为. 4．（25-26·云南·合格考）2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. (1)求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； (2)求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用独立事件乘法公式求解； （2）利用对立事件的概率公式可求解. 【详解】（1）设事件“甲地下雪”， 事件“乙地下雪”， 因为甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4，所以, 又两地是否下雪是相互独立的，所以甲、乙两地都下雪的概率为. （2）甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率为. 题型03 数字特征 数字特征的解题技巧 （1）分清概念：平均数代表整体平均水平，中位数是数据从小到大排好后中间的数，众数是出现次数最多的数；方差描述波动，方差越大，数据波动越大。 （2）直接计算：先把数据排序，再对应计算。求中位数时，数据个数为偶数，取中间两个数的平均值；方差先算平均数，再求每个数据与平均数差值的平方的平均值。 （3） 数据变换性质：一组数据同加一个数，平均数增加，方差不变；一组数据同乘一个非零数，平均数乘该数，方差乘这个数的平方。 1．（2025·山东·学业水平考试）某企业三个分厂生产同一种电子产品，产量分布如图所示.若第一，第二，第三分厂生产每件电子产品的成本（单位：元）分别为，则该企业每件电子产品的平均成本约为（    ） A．9.02 B．9.06 C．9.94 D．9.96 【答案】D 【详解】该企业每件电子产品的平均成本约为（元）. 2．（25-26·云南·合格考）某校为纪念抗日战争胜利80周年举行了演讲比赛，8位评委对甲同学的演讲评分（单位：分）如下表： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 评委8 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.2 9.9 将8位评委的评分去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下6位评委评分的平均数为甲同学的最终得分，则甲同学的最终得分为（    ） A．8.1 B．8.0 C．7.9 D．7.8 【答案】B 【分析】首先去掉最低分和最高分，然后计算平均分. 【详解】在8位评委的评分中，最低分为7.5分，最高分为9.9分，去掉这两个分数后， 剩余的6个评分是：7.8、7.8、8.0、8.0、8.2、8.2， . 故选：B 3．（2026·天津·模拟）在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】C 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 4．（2024·山东·合格考）甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为，，则这次比赛中成绩更稳定的运动员是________． 【答案】甲 【详解】由方差的意义知成绩的方差越小，成绩越稳定，因为，故甲更稳定． 题型04 分层抽样 分层抽样的解题技巧 （1）确定分层：按照题目给出的类别把总体分成几层，分层的依据一般是年龄、性别、类别等不同特征。 （2）找准比例：核心是抽样比保持不变，抽样比等于样本总量除以总体总量，每一层抽取数量等于该层总体数量乘抽样比。 （3）验算核对：算出每层样本数量之后，把各层抽取数量相加，总和要等于题目要求的样本总数。 1．（2024·福建·合格考）学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（    ） A．18 B．20 C．22 D．30 【答案】B 【分析】求出高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比，再列式计算作答. 【详解】依题意，该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生人数比为：， 所以抽取的高二年级学生人数为. 故选：B 2．（2025·福建·合格考）男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（    ） A．22 B．18 C．16 D．12 【答案】C 【分析】利用男运动员的占比乘以样本容量即可求得抽取的男运动员人数. 【详解】，故抽取男运动员的人数为人. 3．（2025·江苏·合格考）某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 【答案】B 【分析】根据分层抽样的方法计算样本容量即可． 【详解】A，B产品产量之比为，型号的产品有40件 B型号的产品有60件， ． 故选：B． 4．（2024·云南·学业水平考试）某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________． 【答案】30 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可. 【详解】由题意，. 故答案为：30. 题型05 频率分布直方图 频率分布直方图的解题技巧 （1）读懂含义：每个小矩形的面积代表这一组的频率，矩形的高是频率除以组距，所有矩形面积相加等于1。 （2）求数字特征：用每组区间中点值乘以本组频率，全部相加估算平均数；中位数是把直方图面积平分成两半的横坐标；众数取最高矩形底边中点。 （3）计算频数频率：频率等于矩形面积，频数等于总体数量乘频率，看清题目给的是组距还是每组区间，防止直接拿高当成频率计算。 1．（2024·江苏·合格考）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（    ） A．11 B．22 C．34 D．44 【答案】B 【分析】由频率分布直方图的意义可求得结论. 【详解】由频率分布直方图的面积和公式可得， 解得， 所以用电量落在区间内的户数为. 故选：B. 2．（2024·山东·合格考）在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（   ） A．75 B．80 C．85 D．90 【答案】C 【详解】由图知40至80所占百分数为．80至90分占20%． 因此，80%分位数应为85． 3．（24-25·云南·合格考）某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. (1)求直方图中的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出时速在，，，范围内的汽车的频率，依据频率之和为1，可得时速在范围内的汽车的频率，再除以组距即为的值； （2）求出时速不低于的汽车频率，乘以汽车总数即为的值. 【详解】（1）时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 可得时速在范围内的汽车的频率为：， 故. （2）由（1）知，时速不低于的汽车频率为， 故. 巩固过关 1．（2025·山东·学业水平考试）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（    ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 【答案】D 【详解】A选项：抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面向上和反面向上两种等可能的结果，所以抛掷1次硬币，事件发生的概率为，故选项A错误； B选项：抛掷10次硬币，事件发生的次数是随机的，不一定是5次，故选项B错误； C选项：频率是指在多次试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是指事件发生的可能性的大小，是一个固定值，重复抛掷硬币，事件发生的频率会随着抛掷次数的变化而变化，它不一定等于事件发生的概率，故选项C错误； D选项：根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性，重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5，故选项D正确. 2．（25-26·云南·合格考）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为，再列举求概率即可． 【详解】根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为， 从一箱中随机一次性抽出2罐饮料， 则有共6种情况， 符合题意的有5种， 抽出的饮料中有中奖饮料的概率． 故选：A． 3．（2026·广东·春季高考）6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（    ） A．128 B．122 C．120 D．101 【答案】C 【分析】根据平均数的求法求得正确答案. 【详解】． 故选：C 4．（2024·福建·合格考）在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 【答案】D 【分析】先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解. 【详解】因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4， 所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6， 所以甲、乙两地都不下雨的概率为 故选：D 5．（2026·广东·合格考模拟）已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据分层抽样的概念求解即可. 【详解】因为参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人， 所以按分层抽样，老年人被抽到的人数是人， 故选：A 6．（24-25·云南·合格考）某住宅小区有、两种不同的户型，共有居民1万户，从中随机抽取200户，调查空调安装情况.调查结果如下表所示： 空调 户型住户（单位：户） 户型住户（单位：户） 已安装 50 30 未安装 60 60 则该小区已安装空调的住户估计有（   ） A．2500户 B．3000户 C．3500户 D．4000户 【答案】D 【分析】由样本数据确定安装比例，即可求解. 【详解】由表格可知安装空调共计户，所以安装空调的住户比例为， 所以该小区已安装空调的住户估计有， 故选：D 7．（24-25·云南·合格考）甲、乙两人独立地解答一道相同数学题，若甲解对的概率是，乙解对的概率是，则甲、乙两人都解对这道题的概率为______. 【答案】 【分析】甲、乙两人解对这道题的概率相互独立，根据独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】根据题意，甲、乙两人解对这道题的概率相互独立，则甲、乙两人都解对这道题的概率为. 故答案为：. 8．（2025·福建·合格考）某学校为检测数学成绩，共有500人，且所有人的分数都落在的分数段，则分数落在的人数为__________． 【答案】 【分析】通过计算频率来求得正确答案. 【详解】分数落在的频率为， 对应人数为. 能力提升 1．（2025·江苏·合格考）天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（   ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 【答案】A 【分析】利用对立事件求‘至少一个发生’的概率：“先计算两地都不降雨的概率，再用1减去该概率得到至少有一个地方降雨的概率”即可. 【详解】“设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B， 则，， “甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 故选：A． 2．（2025·江苏·合格考）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出总的可能情况，然后根据条件求概率即可. 【详解】从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果可能是6，10，15，它们是等可能的， 结果能被5整除的有10和15两个，所以结果能被5整除的概率为. 故选：D. 3．（24-25·云南·合格考）某校学生会体育部有4名学生，其中高一年级、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织学校篮球比赛，则这2名学生来自相同年级的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算得解. 【详解】从4名学生中任取2名的试验有个基本事件， 这2名学生来自相同年级的事件有个基本事件， 所以所求概率为. 故选：B 4．（2026·广东·春季高考）抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（    ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 【答案】A 【分析】分别求事件A与事件B结合互斥、对立事件判断BCD；结合古典概型判断A. 【详解】抛2枚硬币，总事件有：正正、正反、反正、反反， 则事件A：正正、正反；事件B：正反、反反； 可知事件A与事件B不相等，故B错误； 事件AB：正反，可知事件A、B不互斥，更不可能对立，故CD错误； 则，，故，故A正确； 故选：A. 5．（2024·山东·合格考）将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】掷两次六面体骰子，分别用表示两枚骰子的出现的点数， 则样本空间，共个样本点， 设“两次出现的点数之和是8”， 则，共个样本点， 所以． 6．（2025·江苏·合格考）已知数据的方差为3，则数据的方差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】因为数据的方差为3， 则数据的方差为. 故选：A. 7．（2025·山东·合格考）下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 【答案】D 【详解】A：均值为，则方差为， B：均值为，则方差为， C：均值为，则方差为， D：均值为，则方差为， 所以方差最大的一组是D. 8．（2024·云南·学业水平考试）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据平均数和方差的意义分析求解. 【详解】从数据来看丁的平均成绩最高，方差最小， 因此丁成绩好且发挥稳定，应选择丁. 故选：D. 9．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与互为对立求出，再由互斥事件的概率加法公式即可求得答案. 【详解】由与互为对立，则， 又与互斥，则. 故选：B. 10．（2024·福建·合格考）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________. 【答案】 【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可. 【详解】将样本数据按从小到大排列可得，，，， 又，所以样本数据的下四分位数为， 故答案为：. 11．（2026·广东·春季高考）已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． (1)高一应抽取多少人？ (2)从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用分层抽样的抽样比相同，即可计算出每一层抽的样本数； （2）利用列举法来表示样本空间和事件A的情形，即可求出概率. 【详解】（1）根据分层随机抽样方法，高一应抽取：（人）； （2）设事件A：高一、高二年级各有一人，设高一的三个人为：，高二两个人为：． 样本空间有：，，，，，，，，，， 所以总事件数为10种情况． 满足事件A的有：，，，，，，共6种情况， 所以． 12．（2026·广东·合格考模拟）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．    (1)求直方图中x的值； (2)估计月平均用电量的中位数； (3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 【答案】(1)0.0075；(2)224；(3)3 【分析】（1）根据频率分布直方图相关数据直接计算即可； （2）根据频率分布直方图相关数据直接计算中位数即可； （3）根据分层抽样相关知识，结合抽样比例进行计算即可. 【详解】（1）由，得， 所以直方图中x的值是0.0075 （2）因为， 所以月平均用电量的中位数在内， 设中位数为a，由，得， 所以月平均用电量的中位数是224 （3）月平均用电量为的用户有(户)， 月平均用电量为的用户有(户)， 月平均用电量为的用户有 (户)， 抽取比例， 所以月平均用电量在用户中应抽取户 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率与统计 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 题型01 古典概型 2 题型02 事件独立性 3 题型03 数字特征 4 题型04 分层抽样 5 题型05 频率分布直方图 5 03 分层训练・达标过关 巩固过关 7 能力提升 8 1、解决概率与统计的基本思路是： （1）抽样与数据收集：看清抽样类型，分层抽样核心是按比例分配样本数量；拿到样本数据后，读懂频率分布直方图，利用矩形面积代表频率，计算各组频数、频率。 （2）数据特征计算：根据数据求平均数、中位数、众数、方差，用来描述一组数据的集中趋势与离散程度；直方图里的数值特征，利用每组中点值进行估算。 （3）概率计算：区分古典概型与独立事件。古典概型要数清全部基本事件和符合要求的事件个数；独立事件直接用概率乘法公式，最后检验概率结果在0到1之间。 题型01 古典概型 古典概型的解题技巧 （1）判断模型：先确认是不是古典概型，满足两个条件，所有基本事件总数有限，每个基本事件发生的可能性大小相等。 （2）计数方法：分别数出总的基本事件数量，以及满足题目要求的事件包含的基本事件数量，可以列举、画树状图或者列表，列举时做到不重复、不遗漏。 （3）计算求值：用符合条件的事件数除以总事件数得到概率；算出结果后检查，概率必须在0到1之间。 1．（2025·福建·合格考）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏·合格考）盒中有3个大小，质地完全相同的球，其中1个红球、2个白球.若从中一次随机取出2个球，则取到的都是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·学业水平考试）某公司10名员工参加岗位技能比赛，获奖情况如下： 等级 一等奖 二等奖 三等奖 人数（单位：人） 3 6 1 现从这10名员工中任选1名员工参加经验交流活动．若每位员工被选到的概率相等，则选到获一等奖员工的概率为（   ） A．0.1 B．0.3 C．0.5 D．0.6 4．（2024·福建·合格考）从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（    ） A． B． C． D． 题型02 事件独立性 事件独立性的解题技巧 （1）判断独立：两个事件相互独立，一个事件是否发生不会影响另一个事件发生的概率；注意和互斥事件区分，互斥是不能同时发生，二者不一样。 （2）概率计算：独立事件同时发生的概率，等于两个事件各自概率相乘。多个独立事件可以连续相乘。 （3）逆向分析：遇到“至少有一个发生”的问题，优先算对立事件（全都不发生）的概率，再用1减去该概率，简化计算。 1．（2024·江苏·合格考）甲，乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，则两人都击中目标的概率为（    ） A．0.26 B．0.72 C．0.85 D．0.98 2．（2024·山东·合格考）某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建·合格考）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为__________． 4．（25-26·云南·合格考）2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. (1)求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； (2)求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 题型03 数字特征 数字特征的解题技巧 （1）分清概念：平均数代表整体平均水平，中位数是数据从小到大排好后中间的数，众数是出现次数最多的数；方差描述波动，方差越大，数据波动越大。 （2）直接计算：先把数据排序，再对应计算。求中位数时，数据个数为偶数，取中间两个数的平均值；方差先算平均数，再求每个数据与平均数差值的平方的平均值。 （3） 数据变换性质：一组数据同加一个数，平均数增加，方差不变；一组数据同乘一个非零数，平均数乘该数，方差乘这个数的平方。 1．（2025·山东·学业水平考试）某企业三个分厂生产同一种电子产品，产量分布如图所示.若第一，第二，第三分厂生产每件电子产品的成本（单位：元）分别为，则该企业每件电子产品的平均成本约为（    ） A．9.02 B．9.06 C．9.94 D．9.96 2．（25-26·云南·合格考）某校为纪念抗日战争胜利80周年举行了演讲比赛，8位评委对甲同学的演讲评分（单位：分）如下表： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7 评委8 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 8.2 8.2 9.9 将8位评委的评分去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下6位评委评分的平均数为甲同学的最终得分，则甲同学的最终得分为（    ） A．8.1 B．8.0 C．7.9 D．7.8 3．（2026·天津·模拟）在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 4．（2024·山东·合格考）甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为，，则这次比赛中成绩更稳定的运动员是________． 题型04 分层抽样 分层抽样的解题技巧 （1）确定分层：按照题目给出的类别把总体分成几层，分层的依据一般是年龄、性别、类别等不同特征。 （2）找准比例：核心是抽样比保持不变，抽样比等于样本总量除以总体总量，每一层抽取数量等于该层总体数量乘抽样比。 （3）验算核对：算出每层样本数量之后，把各层抽取数量相加，总和要等于题目要求的样本总数。 1．（2024·福建·合格考）学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（    ） A．18 B．20 C．22 D．30 2．（2025·福建·合格考）男女运动员的比例是，从中抽取容量为28的样本，则抽取男运动员的人数为（    ） A．22 B．18 C．16 D．12 3．（2025·江苏·合格考）某工厂生产A，B两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．80 B．100 C．120 D．200 4．（2024·云南·学业水平考试）某地区的高中学校分为A、B两类，A类高中学校共有学生6000人，B类高中学校共有学生2000人．现按A、B两类进行分层，用分层随机抽样的方法，从该地区的高中学校抽取学生40人进行调查研究．设抽到该地区A类高中学校学生x人，则__________． 题型05 频率分布直方图 频率分布直方图的解题技巧 （1）读懂含义：每个小矩形的面积代表这一组的频率，矩形的高是频率除以组距，所有矩形面积相加等于1。 （2）求数字特征：用每组区间中点值乘以本组频率，全部相加估算平均数；中位数是把直方图面积平分成两半的横坐标；众数取最高矩形底边中点。 （3）计算频数频率：频率等于矩形面积，频数等于总体数量乘频率，看清题目给的是组距还是每组区间，防止直接拿高当成频率计算。 1．（2024·江苏·合格考）为了解居民用电情况，现从某小区抽取100户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在到之间.进行适当分组后，画出如图所示的频率分布直方图，则月用电量落在内的户数为（    ） A．11 B．22 C．34 D．44 2．（2024·山东·合格考）在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（   ） A．75 B．80 C．85 D．90 3．（24-25·云南·合格考）某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. (1)求直方图中的值； (2)求的值. 巩固过关 1．（2025·山东·学业水平考试）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（    ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 2．（25-26·云南·合格考）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·春季高考）6户用电量：105、128、101、142、116、128（单位：），则平均数为（    ） A．128 B．122 C．120 D．101 4．（2024·福建·合格考）在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（    ） A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 5．（2026·广东·合格考模拟）已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25·云南·合格考）某住宅小区有、两种不同的户型，共有居民1万户，从中随机抽取200户，调查空调安装情况.调查结果如下表所示： 空调 户型住户（单位：户） 户型住户（单位：户） 已安装 50 30 未安装 60 60 则该小区已安装空调的住户估计有（   ） A．2500户 B．3000户 C．3500户 D．4000户 7．（24-25·云南·合格考）甲、乙两人独立地解答一道相同数学题，若甲解对的概率是，乙解对的概率是，则甲、乙两人都解对这道题的概率为______. 8．（2025·福建·合格考）某学校为检测数学成绩，共有500人，且所有人的分数都落在的分数段，则分数落在的人数为__________． 能力提升 1．（2025·江苏·合格考）天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（   ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 2．（2025·江苏·合格考）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25·云南·合格考）某校学生会体育部有4名学生，其中高一年级、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织学校篮球比赛，则这2名学生来自相同年级的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·春季高考）抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（    ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 5．（2024·山东·合格考）将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏·合格考）已知数据的方差为3，则数据的方差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．（2025·山东·合格考）下列样本数据中，方差最大的一组是（    ） A．5，5，5，5，5 B．4，4，5，6，6 C．3，3，5，7，7 D．2，2，5，8，8 8．（2024·云南·学业水平考试）甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8.5 9 9.5 9.9 0.25 1 0.65 0.09 根据表中数据，若从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2024·福建·合格考）幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________. 11．（2026·广东·春季高考）已知某高中高一年级150人，高二年级100人，现采用分层随机抽样从中抽取5人参加该活动． (1)高一应抽取多少人？ (2)从这5人中随机抽取2人作为本次活动的联络人，求高一、高二年级各有1人的概率． 12．（2026·广东·合格考模拟）某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．    (1)求直方图中x的值； (2)估计月平均用电量的中位数； (3)在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？ 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $