专题05 相交线与平行线和三角形（专项训练）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 图形的性质 专题05 相交线与平行线和三角形 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：相交线与平行线性质求角度 易｜混｜易｜错 看清题目的具体问题，根据两直线平行，同位角相等即可解答。 1．（2025·重庆·中考）如图，，直线分别与交于点E，F．若，则的度数是 ． 2．（2024·重庆·中考）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆铜梁区巴川中学·二模）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解｜题｜技｜巧 可以用量角器帮助检查． 考点二：三角形相关的求解 易｜混｜易｜错 考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质找边之间的关系。 4．（2024·重庆·中考）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 5．（2025·重庆渝中区·二模）如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为 ． 6．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，在等腰中，，是上一点，，，且，交于点，则的长度为 ． 解｜题｜技｜巧 将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 考点三：三角形相关的最值问题 易｜混｜易｜错 最小值问题，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键． 7．（2025·重庆市育才中学·一模）如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为 ． 8．（2025·重庆·重庆实验外国语学校·三模）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=cm，，AD⊥BC于点D，点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ∽△ABC，连接DQ，则DQ的最小值为 cm． 9．（2025·重庆缙云教育联盟·一诊）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ． 解｜题｜技｜巧 全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 考点四：平行线相关作图题 易｜混｜易｜错 区分垂直平分线和过已知点作已知直线的垂线的不同。 10．（2025·重庆市大渡口区·一诊）在数学课上老师提出了如下问题： 如图，，当与满足什么关系时，? 小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M，使（只保留作图痕迹）． ∵， ∴①_____________ ∵ ∴②_________， ∵， ∴③__________， ∴④_____________ ∴． 所以满足的关系为：当时，． 11．（2025·重庆凤鸣山中学·三模）如图，在中，点D为边上的中点，连接．    (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴，（ ① ） 在和中， ∴（ ② ） ∴ ③ ， 在和中 ∴（ ④ ）   ∴， ∴（ ⑤ ）． 12．（2025·重庆渝中区·二模）如图，已知点D．为的边上一点，请在边上确定一点E，（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）；    下面是小东设计的尺规作图过程． 作法： ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点G、F； ②以点D为圆心，长为半径画弧，交于点M； ③以点M为圆心，长为半径画弧，交弧于点P； ④作射线交于点E，则； ⑤连接，则· 根据小东设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明： 分别过点D和点E作，垂足分别为K、H， ∵， ∴ ； ∵， ∴ °； ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴ ； ∵ ， ； ∴· 解｜题｜技｜巧 全等三角形的性质与判定，平行线的判定，作与已知角相等的角的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 考点五：三角形相关的作图题 易｜混｜易｜错 考查尺规作图—作一个角等于已知角，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键。 13．（2025·重庆垫江中学·中考模拟）如图，在中，，D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在右侧上方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是矩形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵D为边上的中点，∴． 在和中， ∴， ∴②______． ∵， ∴③______． ∴四边形是平行四边形． 又∵④______， ∴四边形是矩形． 14．（2025·重庆九龙坡区·二模）在学习了直线与圆的位置关系相关知识后，创新小分队结合直角三角形进行深入探究发现：在直角三角形中，圆心在角所对直角边上且与这个直角三角形另两边都相切的圆，圆心分这条边所得两条线段的比等于与这两条线段相邻的三角形的边之比．可利用证明三角形全等、证明切线和计算面积得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，，用无刻度直尺和圆规作的平分线，交于点O，以点O为圆心、为半径作圆（不写作法，保留作图痕迹）；） (2)在（1）的条件下，过点O作于点F．证明：与相切；． 证明：过点O作于点F， ， 平分， ① ， 在与中， ， ③ ， 与相切于点F； ， ， ． 进一步思考，从作图过程可以发现：一个角的平分线与对边相交的交点为圆心，交点到这个角两边距离为半径的圆与这个角的两边相切，圆心分圆心所在边的两条线段长度之比等于④ ． 15．（2025·重庆九龙坡区·育才中学·三模）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，分别为的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空． (1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；(保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证：，． 证明：∵为的中点， ∴， 又∵， ∴① ． 在和中， ， ∴， ∴③ ，， ∵为的中点， ∴， ∴④ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴⑤ ， ∴． 解｜题｜技｜巧 尺规作角等于已知角，平行四边形边的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 考点六：三角形相关的折叠问题 易｜混｜易｜错 勾股定理，折叠问题，30度所对的直角边等于斜边的一半，构造直角三角形是解题的关键。 16．（2025·重庆綦江·赶水中学·二模）如图，在中，，，将折叠，点恰好落在的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则的长度为 17．（2025·重庆南开中学·二模）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连接．将沿折叠，使点落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 ． 18．（2025·重庆沙坪坝·二模）如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连接．将沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 ．    解｜题｜技｜巧 勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点并结合图形求解是解题关键． 考点七：三角形相关的几何压轴题 易｜混｜易｜错 了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键。 19．（2025·重庆綦江·赶水中学·二模）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 20．（2025·重庆市綦江区联盟校·一模）如图，在中，，D为直线上一点（不与A、C重合），将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若D在边上，，，求的长； (2)如图2，若D在边上，连接，延长交于F，求证：； (3)如图3，若D在的延长线上，连接，延长交于F，M为射线上一点，连接，使得，连接、，当为直角三角形时，请直接写出此时的值． 21．（2024·重庆·中考）在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点．    (1)如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； (3)如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 1．如图，，直线分别交、于点、，平分，交于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，以、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为 ． 4．在学习了全等三角形的判定和性质后，小明进行了更深入的研究，他发现时， 若与的高分别为， 则一定有，，可利用证明三角形全等得到此结论，根据他的想法和思路完成以下作图和填空： (1)如图， 在与中，是的高，用尺规做直线的垂线，交于点N（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，与的高分别为，求证： 证明:∵ ， ∴， _______①_____， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴____②_____． ∴（ ③ ）． ∴． 将上述已证明的结论用文字可表述为： ④ 5．如图，在中，，D为直线上一点（不与A、C重合），将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若D在边上，，，求的长； (2)如图2，若D在边上，连接，延长交于F，求证：； (3)如图3，若D在的延长线上，连接，延长交于F，M为射线上一点，连接，使得，连接、，当为直角三角形时，请直接写出此时的值． 1．如图，和为等腰直角三角形，． (1)如图1，点、点分别在、上，连接，若，求的长度； (2)如图2，连接，点为上一点，连接、，满足，，请探究和的数量关系并证明； (3)如图3，在（1）的条件下，将绕着点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 2．如图，在中，，，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，，且，过C点作交于点N． (1)求证：； (2)若直线交直线l于点H，求证：； (3)已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章图形的性质 专题05相交线与平行线和三角形 目录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 相交线与平行线性质求角度 相交线与平行线 平行线相关作图题 相交线与平行线和三角 形 三角形相关的求解 三角形相关的最值问题 三角形 三角形相关的作图题 三角形相关的折叠问题 三角形相关的几何压轴题 考点 考点一：相交线与平行线性质求角度 易混易错 看清题目的具体问题，根据两直线平行，同位角相等即可解答。 1.(2025重庆.中考)如图，AB∥CD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F.若∠1=70°，则∠2的度数 是」 【答案】70° 【来源】2025年重庆市中考数学试题 1/45 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：：AB‖CD, .∠2=∠1=70°， 故答案为：70°. 2.(2024重庆中考)如图，AB∥CD，,∠1=65°，则∠2的度数是() A B D A.105° B.115° C.125° D.135° 【答案】B 【来源】2024年重庆市中考真题(A卷)数学试题 【详解】解：如图， B 3 :AB∥CD, ∠3=∠1=65°， :∠2+∠3=180°， ∠2=115°， 故选：B, 3.(2025重庆铜梁区巴川中学.二模)如图，在ABC中，∠C=60°，直线DE经过点A,且DE∥BC·若 ∠DAB=20°，则∠BAC的度数为() D B A.70° B.80° C.909 D.100° 【答案】D 【详解】解：：DE∥BC, .∠EAC=∠C=60°， ∴.∠BAC=180°-∠DAB-∠EAC=180°-20°-60°=100°， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 解题|技|巧 可以用量角器帮助检查， 考点二：三角形相关的求解 易混易错 考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键 是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质找边之间的关系。 4.(2024重庆.中考)如图，在ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC ,连接AE交BC于点F,若∠CAB=∠CFA,CF=I,则BF= D 【答案】3 【来源】2024年重庆市中考真题(A卷)数学试题 【详解】解：：CD=CA,过点D作DE∥CB,CD=CA,DE=DC, :.F4-CA-1,CD=CA=DE. FE CD :AF=EF, .DE=CD=AC=2CF=2, ∴AD=AC+CD=4, DE∥CB, ∠CFA=∠E,∠ACB=∠D, :∠CAB=LCFA, .∠CAB=∠E, CD=CA,DE=CD, .CA=DE, △CAB≌△DEA, .BC AD=4, BF=BC-CF=3, 故答案为：3， 5.(2025重庆渝中区.二模)如图，在ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE,AB=8,AC=5 3/45 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,则DE的长度为 B 【答案】 3-2 【详解】解：延长AC,BE,相交于点F, :AE平分∠BAC, ∠BAE=∠FAE, :AE⊥BE, ∴∠AEB=∠AEF=90°， 又AE=AE, ∴△ABE≌△AFEASA, .BE=EF,AB=AF, :AB=8,AC=5, ∴.CF=AF-AC=AB-AC=3, :D是BC的中点，BE=EF, DE是BCF的中位线， .DE=CF- 3 2 故答案为：2 3 6.(2025重庆鲁能巴蜀中学.二模)如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=25,D是BC上一点， ∠BAD=I5°，DA⊥AE,且AE=AD,BE交AC于点F,则CF的长度为一· 4/45 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】√5-1 【详解】解：如下图所示，过点E作EG垂直于AC交于点G, :ABC是等腰直角三角形， ·∠BAC=45°， .∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°-15°=30°， AC=BC=23, tan∠D4C=tan30°=DC-5 AC 3 DC 3 25=31 DC=2, :AD AE =2DC=4, ,DA⊥AE, ·∠DAE=90°， :∠DAC=30°， ∠EAG=60°， .∠AEG=30°， 六1G=24E=2, .EG=VAE2-AG2=V42-22=2√3， :BC=2V5, :EG=BC, '∠EGF=∠BCF=90°，∠CFE=∠CFB, ∠EFG=∠BFC 在aBCF和△EGF中， ∠EGF=∠BCF, EG=BC △BCF≌aEGF, :.CF=1CG, 2 :AC=2V3,AG=2, 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CG=25-2, CF=5-1. D 解题技巧 将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度： 考点三：三角形相关的最值问题 易混易错 最小值问题，在运动过程中找出Q的运动轨迹，并运用垂线段最短求解是解决本题的关键. 7.(2025重庆市育才中学.一模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=8,AD为ABC的角 平分线.M为AC边上一动点，N为线段AD上一动点，连接BM、CN、MN,当CN+MN取得最小值时， △ABM的面积为一 M B D 【答案】 72 5 【详解】解：如图，在AB上取点C,使AC'=AC.作C'M⊥AC,交AD于点N. M 则CN=CW, :.CN+MN=C'N+MN, C'M即为CN+MN的最小值. AB=10,BC=8, AC=6, .AC=6, 6145 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ACB=90°，C'M⊥AC, .C'M∥BC, AM AC' AC AB AM 6 6=10 AM=18, △ABM的面积为： 4wc8= 2 5 故答案为： 72 5 8.(2025·重庆，重庆实验外国语学校.三模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=2√3Cm,LBAC=120°，AD⊥ BC于点D,点P是BC边上的一个动点，以AP为边向右作△APQ~△ABC,连接DQ,则DQ的最小值为 cm. B D 【答案】5/5 【详解】解：连接CQ,过点D作DH1CQ,垂足为H,如图所示： O D :△APO△ABC, ∠PAQ=∠BAC,AP:AB=AQ:AC, :∠BAC-∠PAC=∠PAQ-∠PAC, 即∠BAP=∠CAO, AB=AC, ..AP=AO, 7/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC :在△ABP和△ACQ中{∠BAP=∠CAQ, AP=AO △4BP≌△ACQ(SAS), ∠ACQ=∠ABC, :∠BAC=120°， .∠ABC=∠ACB=30°， ∴∠ACQ=30°， ∠DCQ=60°， .∠CDH=30°， :AB=AC=2√3cm,∠BAC=120°， AD⊥BC, BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°， :4D=3 cm,BD=CD=(23)-(3)=3 (cm), ..DH-VCD-C- ∴D0的最小值即为)3cm. 9.(2025重庆缙云教育联盟.一诊)如图，已知ABC,外心为0，BC=18，∠BAC=60°，分别以AB, AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE,连接BE,CD交于点P,则OP的最小值是 【答案】9-33 【详解】解：：△ABD与△ACE是等腰直角三角形， ∠BAD=∠CAE=90°， LDAC=∠BAE, 在△DAC与△BAE中， 8/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AD=AB ∠DAC=∠BAE, AC=AE △DAC≌△BAE(SAS), ∠ADC=∠ABE, ∠PDB+∠PBD=90°， ∠DPB=90°， ·P在以BC为直径的圆上， :△ABC的外心为0，∠BAC=60°， .∠B0C=120°， 如图，当P0⊥BC时，OP的值最小， BC=18, :BH=CH=9,0H-08 .BH=OB2-OH?30H .OH=3N5,PH=9, 0P=9-33 则OP的最小值是9-33， 故答案为：9-3V5 B 解|题|技|巧 全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 考点四：平行线相关作图题 易混」易错 区分垂直平分线和过已知点作已知直线的垂线的不同。 10.(2025重庆市大渡口区.一诊)在数学课上老师提出了如下问题： 如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE? 小明认为∠D-∠A=20°时BC∥DE,他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作 图与填空： 解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M,使∠DAM=∠D(只保留作图痕迹). 9/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠DAM=∠D, ① :∠D-∠DAB=20° ∠BAM=② :∠B=160°， ·∠B+∠BAM=③ ④ .BC∥DE. 所以满足的关系为：当∠D-∠A=20°时，BC∥DE 【答案】①DE∥AM，②20，③180，④BC∥AM 【详解】解：如图，通过尺规作图得：∠DAM=∠D, E D :∠DAM=∠D, ①DE∥AM, ∠D-∠DAB=20°， ∠BAM=②20°， ∠B=160°， ∠B+∠BAM=③180°， ∴.④BC∥AM, .BC∥DE. 所以满足的关系为：当∠D-∠A=20°时，BC∥DE. 故答案为：①DE∥AM,②20，③180，④BC∥AM. 11.(2025重庆风鸣山中学.三模)如图，在ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD· B D 10/45