专题04 二次函数压轴题最值问题和角度相关（专项训练）（重庆专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题04 二次函数压轴题最值问题和角度相关 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：线段和的最值问题 易｜混｜易｜错 二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键。 1．（2025·重庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 2．（2025·重庆鲁能巴蜀中学·二模）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·重庆·重庆实验外国语学校·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点，点D为x轴负半轴上一点，且，直线与抛物线交于另一点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点F，过点P作轴交y轴于点G，点M，N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且，点H为直线上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿着的方向平移个单位得，点Q是新抛物线的对称轴上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个Q点坐标的求解过程． 解｜题｜技｜巧 熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军饮马最值模型，以及一线三等角证明相似． 考点二：线段和的最值问题（含系数） 易｜混｜易｜错 考查了求二次函数解析式、二次函数综合、解直角三角形、正方形的判的与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键。 4．（2025·重庆江津中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于， 两点，与轴交于 (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于为直线上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿着水平方向平移，使得新抛物线经过点及原点，点为平移后新抛物线上一动点，已知点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 5．（2025·重庆德阳初中教育集团·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点（点在点的左侧），其中，，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，是轴上一动点，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)如图，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）的D点且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 6．（2025·重庆永川·质量监测）图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴于交点A，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P 为第二象限内该抛物线上的一动点 （不与点 A，C重合），过点 P 作轴交x轴于点 D， 过点 P作交直线于点E， 求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，在（2）中 取得最大值的条件下，点M为原抛物线的顶点，点N为点 P的对应点，在新抛物线上确定一点 Q，使得，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 解｜题｜技｜巧 考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数图象的平移问题等知识点，难度大，计算复杂． 考点三：双最值问题 易｜混｜易｜错 考查了二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题，待定系数法，相似三角形的判定及性质，二次函数图象的平移，勾股定理等；掌握二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题的解法，能熟练利用待定系数法、勾股定理进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论。 7．（2025·重庆育才中学·一模）如图，已知二次函数的图象与直线相交于、两点，且点在轴上，直线与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，连接．将沿轴方向移动到，连接、，当面积最大时，求点的坐标及的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，点是新抛物线上一动点，连接、．当时，请直接写出所有符合条件的点坐标． 8．（2025·重庆沙坪坝·一诊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求的最小值； (3)在（2）中取最小值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为点平移后的对应点，连接，点为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 9．（2025·重庆十八中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于．且点，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，过点作于点，点、点分别是直线、轴上的两动点，连接，，．当取得最大值时，求三角形周长的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点是轴上方新抛物线上的一点，连接，过点作交直线于点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标． 解｜题｜技｜巧 考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数图象的平移问题等知识点，难度大，计算复杂． 考点四：角度相关综合题（角相等） 易｜混｜易｜错 考查了二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题，待定系数法，相似三角形的判定及性质，二次函数图象的平移，勾股定理等；掌握二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题的解法，能熟练利用待定系数法、勾股定理进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论。 10．（2024·重庆·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 11．（2025·重庆缙云教育联盟·一诊）如图，抛物线交轴于点，点交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值以及点的坐标； (3)将二次函数沿射线平移一定的单位长度，使得平移后的抛物线过点，记平移后的点对应点为，连接，点为平移后新抛物线上一动点，若满足，直接写出符合题意所有点的横坐标． 12．（2025·重庆市渝北区·二模）如图， 直线与x，y轴分别交于点A，B，抛物线经过A， B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点 D． (1)求抛物线的表达式； (2)求的最大值及此时点P的坐标； (3)在点P运动过程中，连接，当的中点恰好落在y轴上时，连接，在抛物线 上是否存在点Q，使得，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 解｜题｜技｜巧 掌握一次函数与二次函数的交点，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与角度综合，勾股定理，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键。 考点五：角度相关综合题（角的和差关系） 易｜混｜易｜错 二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键。 13．（2025·重庆市大渡口区·一诊）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025·重庆市铜梁区·一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)如图2，点P在抛物线上，且满足在（2）中求出的点P的坐标，连接，将该抛物线向右平移，使得新抛物线恰好经过原点，点C的对应点是F，点M是新抛物线上一点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 15．（2024·重庆沙坪坝区·八中·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，，．     (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M为线段（不含端点O，C）上一点，连接并延长交抛物线于点P，连接，，当面积最大时，求点M的坐标及面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接，，过点B作交新抛物线于点H，连接．在新抛物线上确定一点N，使得，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 解｜题｜技｜巧 二次函数的图象及性质，二次函数图象平移，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，准确地计算是解题的关键。 考点五：角度相关综合题（已知角度） 易｜混｜易｜错 考查了二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题，待定系数法，相似三角形的判定及性质，二次函数图象的平移，勾股定理等；掌握二次函数综合中的面积问题、线段和最小值问题、角度问题的解法，能熟练利用待定系数法、勾股定理进行求解，并能根据点的不同位置进行分类讨论。 16．（2025·重庆沙坪坝区·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接，． (1)求抛物线的表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交x轴于点M，轴交于点H，求的最大值，以及此时点P的坐标． (3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交x轴于，两点（在右侧），在新抛物线上是否存在一点G，使得，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由． 17．（2025·重庆量子巴川·三模）如图，抛物线交轴于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上的一点，过点作轴交于点，作轴交于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上的一个动点，连接，将沿着直线翻折到同一平面内得到，连接，当∠时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个坐标的过程． 18．（2025·重庆一中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将原抛物线向左平移，使新抛物线经过原点，平移后点对应点为，过点作轴于点，为直线上一点，且满足，在轴下方新抛物线上确定一点，使的角平分线与轴所成钝角与互补，直接写出所有符合条件的点的坐标． 解｜题｜技｜巧 二次函数的图象及性质，二次函数图象平移，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，准确地计算是解题的关键。 考点七：角度相关综合题（角的倍数关系） 易｜混｜易｜错 二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键。 19．（2025·重庆巴蜀中学·二模）如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，过点作直线的平行线，交拋物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点时，新拋物线与轴交于点（在左侧），与轴交于点．点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，使得，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 20．（2025·重庆万州·万州一中·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交y轴于点C (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点E，在y轴上取一点F，使得，求的最大值及此时点P坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M，使得，直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 21．（2025·重庆铜梁·巴川中学二模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在直线下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 解｜题｜技｜巧 熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键。 考点八：角度相关综合题（互补和互余） 易｜混｜易｜错 考查了求二次函数解析式、二次函数综合、解直角三角形、正方形的判的与性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键。 22．（2025重庆九龙坡区·指标到校）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标． 23．（2025·重庆綦江·赶水中学·二模）如图，在平面直角坐标系中抛物线经过和两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过点作于，交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线上一动点，使得，请直接写出符合条件的点的横坐标． 24．（2025·重庆市北碚区西南大学附中·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点是抛物线上一点．                                 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交直线于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，过点A作，交于点F，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，直线与射线交于点G，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标． 解｜题｜技｜巧 二次函数的图象及性质，二次函数图象平移，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，准确地计算是解题的关键。 1．如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿抛物线的对称轴向下运动，连接，，设运动时间为t秒，在点M的运动过程中，当时，求t的值． 3．如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 4．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． (1)求的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; (3)如图②，若是线段OA的上一个动点，过点作直线EF垂直于轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点的横坐标为．当为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； (4)在（2）条件下，点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2，若动点在直线上，动点在x轴上，连接，请直接写出的最小值． 5．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，请直接写出点P的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章函数 专题04二次函数压轴题最值问题和角度相关 目录 刷考点精准巩固，扫清盲区 提能力聚焦过程，优化策略 测综合跨界融合，挑战创新 线段和的最值 最值问题 线设和的最值（含系数） 双最值问题 二次函数综合题 角相等 角的和差关系 角度相关 角的倍数关系 已知角的度数 互补和互余 考点 考点一：线段和的最值问题 易混」易错 二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平 移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键。 1.(2025重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(6,0)两点，与y轴 交于点C,抛物线的对称轴是直线x= 2 1/124 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 (点E在点D的下方，且DE=4,连接BD,PE.当%取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE 最小值： B)在(2)中%取得最大值的条件下，将抛物线y=r2+bx+c沿射线BC方向平移22个单位长度得到抛 OO 物线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若∠NAB=∠OPM-45°，请直接写出所有 符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 【答案】(1)y=x2-5x-6 (2)点P的坐标为(3，-12)，BD+PE的最小值为4√5 3)点N的坐标为(2，-12)或 5+V97 ,14+2V97 2 【来源】2025年重庆市中考数学试题 +k, 详解】1)解：设抛物线的解析式为yx一) 把(6,0)代入得 -+k=0, 解得k=-49 4 549=2-5x-6 y=x-2-4 (2)解：令x=0,则y=6, .点C的坐标为(0，-6， 设直线BC的解析式为y=mx+n,把(6,0)和(0，-6)代入得： 2/124 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6m+n=0 m=1 ，解得 n=6 n=-6' .y=x-6, 设点P的坐标为x,x2-5x-6),过点P作PFIy轴交BC于点F,交x轴于点H, 则点F的坐标为x,x-6), PF=x-6-x2-5x-6)=-x2+6x, :PFIy轴， ∴.∠PFQ=∠OCQ,∠FPQ=∠CO0, △QPF∽aQOC, 2 当x=3时， 取得最大值为，这时点P的坐标为6，-12， 00 把点P向上平移4个单位长度得到点G,点G的坐标为(3，-8)，连接GD, 则四边形DEPG是平行四边形， .DG=PE, 即BD+PE=BD+DG, 由4，B关于x=对称性可得点A的坐标为-1,0)， 2 连接AG,则BD+PE=BD+DG的最小值为AG长， AG=AH2+HG2=42+82=45, 即BD+PE的最小值为4V5; (3)解：：AB=AC=6, .LABC=LACB=45°， 3/124 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单 位长度得到抛物线V,即/=(：-子+2驴-智-2=r--14, 4 过点P作PQ⊥y轴于点Q,过点N作NK⊥x轴于点K,连接PM, 设点N的坐标为a,a2-a-14), 由平移得∠QPM=45°， .∠NAB=∠OPM-45°=∠OPQ+∠QPM-45°=∠OPQ=∠POB, 如图所示，：tan∠NAB=tan∠OPQ, 即12-a2-a-14 3 a-(-1) ,解得a=-5(舍去)或a=2, 这时点N的坐标为2，-12)； B 如图所示，则：tan∠NAB=tan∠OPQ, 即3 a司，解得a=5+)7或a-5-7 12_a2-a-14 2 (舍去) 这时点N的坐标为 5+V9 ,14+297； 综上所述，点N的坐标为(2，-12)或 5+V97 ,14+297 2 4/124 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 2.(2025重庆鲁能巴蜀中学二模)如图，抛物线y=ax2+bx-2与x轴分别交于点A(-1,0)、点B（点A在 3 点B的左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线x= 2 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)点P为直线BC下方抛物线上一点，连接PB,PC,点M为抛物线对称轴上一动点，MN⊥y轴，垂足为 N,连接MP,NB,当△PBC面积最大时，求此时点P的坐标及PM+MW+NB的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后过点C,在新抛物线上是否存在一点Q,使∠BAQ与L0CA互补，若存在， 直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】a)抛物线的表达式为y=x2-3x 2 ②P(2,-3列，PM+MV+N8最小值为3N3+3 2 3)存在，0(-5，-2或0-23-3,1+V5 【分析】(1)根据对称轴得出b=-3a,将A-1,0)代入y=ax2+bx-2,即可求解： (2)过点P作y轴的平行线，交BC于点D,则△P8C面积=PD-OB=2PD,当PD最大时，△P8C面 5/124 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 积最大，设P2 r--2小，则D-2 得出PD= 2 1,即可求出带你P的坐标，差 平移，个单位长度至点B,连接BM,则BN=B'M,做点B关于抛物线对称轴的对称点B,连接B"M了 则BN=B'M=B"M,当点B,M,P三点共线时，PM+MN+NB=PM+B"M+MN=B"P+MN,此时， PM+MN+NB取最小值，即可解答： E根据题意得出平移后的解新武式为+x2,an∠0CA=OC0'原2在x轴下方时： 点A作1C的垂线，交y于点C,过点e作0e1:轴于点E,则am∠压A0=am∠0C4=分设 1 Qm,m+m2则an∠E402m2”中二_，求m即可 -1-m2 2 1 5 m2+)m-21,即可解答， ②当点Q在x轴上方时：同理可得：an∠EAQ=2,2, -1-m- 2 3 【详解】(1)解：：对称轴为直线x= :b3 2a2’则b=-3a, 将A(-1,0)代入y=ax2+bx-2得：0=a-b-2, 则0=a+3a-2, 解得：分 3 b=- 恭物线解折式为：少式-子-2： (2)解：过点P作y轴的平行线，交BC于点D, :A-1,0),对称轴为直线x=2' 3 B4,0, 当x=0时，y=-2, C(0,-2), 设直线BC的解析式为：y=c+b, 将B(4,0),C(0,-2)代入得： 6/124 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0=4k+b -2=b k= 解得： 2· b=-2 1 ÷直线BC的解析式为：)=2x-2, :△PBC面积=Sm+Sm-PDxx-+--PD-0B=2PD, 当PD最大时，△PBC面积最大， 设--小则宁- PD=-2+21, b 2 当 2a 1】 22 时，PD最大，△PBC面积最大， P2,-3), :点M为抛物线对称轴上一动点，MN⊥y轴， hw=月 点向右平移，个单位长度至点B,连接BM 则时 :MN=BB'=MN∥BB', .四边形MNBB'为平行四边形， :BN B'M 作点B关于抛物线对称轴的对称点B,连接B"M, 则0 .BN B'M B"M, .PM M N NB PM +B'M M N P M B"M +MN 当点B,M,P三点共线时，PM+MN+NB=PM+B"M+MN=B"P+MN, 此时，PM+MN+NB取最小值， 7/124 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P(2,-3, 5a-2 2 PM+MN+NB-BP+MN-313+3 2 综上：P(2,-3),PM+MN+NB最小值为3+3 2 B (3)解：：将抛物线沿射线BC方向平移后过点C, :.原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， 平移后的解新式为y-+4-+小-22+号-2 :A-1,0,C(0,-2), .0A=1,0C=2, ÷tan∠OcA=O4=1 0C2' ①当点Q在x轴下方时： 过点A作AC的垂线，交y于点Q,过点Q作QE⊥x轴于点E, :AQ⊥AC, ∴.∠EAQ+∠OAC=∠OCA+∠OAC=90°， EAQ=∠0CA,则am∠EAQ=tam∠0CA号 ∠EAQ+∠BAQ=∠OCA+∠BAQ=180°，则点Q即为所求， 设mm+m- +2m-2, 0E2m5 2m+2,AE=-1-m, 8/124 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m2、5 an∠EAQ=2 m+2 1 -1-m 整理得：m2+4m-5=0, 解得：m1=-5,m2=1(舍去)， 0-5,-2), E B ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设m2+ m-2 1 E0=5m+2m-2,AE=-1-m 2 ®anZE4025-2 -1-m—2 整理得：m2+6m-3=0, 解得：m,=-3+2V5(舍)，m,=-3-25 0-25-3,1+5), 综上：存在，0(-5，-2或0(-25-3,1+5 3.(2025重庆.重庆实验外国语学校三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与y轴交于点 C,与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点，点D为x轴负半轴上一点，且0D=0C,直线CD与抛物线交于另一点 E. 9/124 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线CE下方抛物线上的一动点，过点P作PF∥y轴交CE于点F,过点P作PG∥x轴交 y轴于点G,点M,N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且MN=I,点H为直线CE上的一个动点， 连接PN,MH.当PF+PG取得最大值时，求PN+MN+MH的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，连接PC,将抛物线沿着PC的方向平移√0个单位得y,点Q是新抛物线 y的对称轴上的一个动点，当∠CQD+∠OCA=∠ECP时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中 一个Q点坐标的求解过程， 3r+2 【答案四y=子8 2PN+MN+MH的最小值为：8V巨+1 3 3)Q的坐标为： 7+V34 1,-1+V34 3 3 【来源】2025年重庆市实验外国语学校九年级中考三模数学试题 【分析】(1)把A(1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2,再建立方程组求解即可； .228 (2)如图，求解直线CD为：y=x+2,可得xg=5.5,设Px,二x2 则F(x,x+2),其中 3 +2, 0<r<55,PG+PF=x+x+2-名x+x-2=-2x2+4x,利用二次函数的性质可得P 3 如图，过 3 3 3 M作MRI PN交PG于R,而PG∥x轴，可得R?,》 作R关于x轴的对称点T,则T26 55 2'6 MR=TM=PN,当TM⊥CD于H时，TM与y轴交于点Q,可得 HM+MN+PN=HM+MT+MN=HT+MN=HT+1,此时最小，再进一步求解即可： 10/124