专题10 新定义及材料阅读的五种考法（重难点培优：知识点总结+三大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题10 新定义及材料阅读的五种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：有理数中新定义运算问题…………………………………………… 1 题型2：整式的加减中新定义运算问题……………………………………… 4 题型3：一元一次方程中新定义运算问题…………………………………… 8 题型4：根据给出的新定义求解……………………………………………… 11 题型5：材料阅读问题………………………………………………………… 22 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 47 重难点题型分类 【题型1：有理数中新定义运算问题】 【例1】若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义新运算和有理数的混合运算，按照新定义运算列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解，理解新运算规定的运算法则，有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【变式1-1】定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 先算，列式为，然后再算即可． 【详解】解： ， 则 ， 故选：C． 【变式1-2】已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加减混合运算，根据题意，理解的定义并求出值，然后根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意，可得： ． 故答案为：． 【变式1-3】若定义一种新的运算“”，规定有理数，如 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的新运算列式计算即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1-4】探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 【题型2：整式的加减中新定义运算问题】 【例1】对于有理数a，b，定义运算：．若有理数x，y满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值、有理数的运算、绝对值和偶次方的非负性，读懂新运算的定义是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可求出的值，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式1-1】定义一种新运算“⊙”，得到下列等式：，，，，…，若a、b、c是有理数，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的混合运算，根据题目中定义的新运算，对各选项分别进行判断即可． 【详解】解：A、，，故A选项不正确，不符合题意； B、，，故B选项不正确，不符合题意； C、，，故C选项不正确，不符合题意； D、，，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如：取（如图所示），第1次，第2次，第3次，…．若取，则第2025次“”运算的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字的规律探究．解题的关键在于理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法． 根据题意，写出前几次的运算结果，可推导规律，通过计算得出从第2次开始，结果就只有两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：由题意知，当时，第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， ∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4， ， ∴第2025次“”运算的结果是4， 故答案为：4． 【变式1-3】定义一种新运算．观察下列算式： ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______填“=”或“”）； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义运算，求代数式的值，整式的加减运算，准确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据定义进行计算即可； （2）根据定义分别求出和，即可得到答案； （3）根据定义将化简，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解： ，， ， 故 ， 故答案为：； （3）解：， 即， ， ． 【变式1-4】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1)9 (2) (3)32 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． （1）根据，进行有理数的加减运算，即可求解； （2）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （3）根据非负数的性质，求出，再代入第（2）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴，， ∴， 把，代入得，． 【题型3：一元一次方程中新定义运算问题】 【例1】定义，若，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，先根据题目中给出的定义列出方程，再进行求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， 故选：C． 【变式1-1】对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——合并同类项，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 根据题中的新定义，可得，合并同类项，然后系数化为1，即可得出答案． 【详解】解：根据题中的新定义，可得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故选：D． 【变式1-2】定义新运算“”，其规则为，则方程的解为 ． 【答案】55 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：55． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握运算法则． 【变式1-3】定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值等于13，求的值． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程： （1）根据新定义计算即可； （2）先根据新定义得，再去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据定义， 原式 ； （2）解：由题意的得：， ， ， ， ． 【变式1-4】定义新运算“*”，对于任意有理数，满足， 例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)6071 (2)或 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、解一元一次方程，理解题中新运算法则是解答的关键． （1）根据题中运算法则列式，再利用有理数的乘法和加减运算法则计算即可； （2）根据题中运算法则，分和两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：1）当时，， ①当即时， 由得， 解得； ②当即时， 由得， 解得，舍去； 2）当时，， ①当即时， 由得， 解得； ②当即时， 由得， 解得，舍去； 综上，x的值为或． 【题型4：根据给出的新定义求解】 【例1】观察下列两个等：1﹣=2×1×﹣1，2﹣=2×2×﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，），（2，）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（　　） A．（﹣3，） B．（4，） C．（﹣5，） D．（6，） 【答案】D 【分析】根据题意“同心有理数对”的定义，一次检验四个选项是否符合定义，即可得出答案． 【详解】根据“同心有理数对”的定义判断即可． 解：∵，， ∴数对（﹣3，）不是“同心有理数对”； 故选项A不合题意； ∵ ∴（4，）不是“同心有理数对”， 故选项B不合题意； ∵ ∴（﹣5，）不是“同心有理数对”， 故选项C不合题意； ∵ ∴（6，）是“同心有理数对”， 故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有序数对，熟练的掌握有理数的运算法则进行计算以及正确的理解题目给出的定义是解题的关键． 【变式1-1】如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数 ；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算和有理数的混合运算，理解“幻生有理数对”的定义是解题的关键；根据题意将各项列式计算后进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴ 故是“幻生有理数对”． ∵， ， ∴ ， 故是“幻生有理数对”． ∵， ， ∴ 故不是“幻生有理数对”． ∵ ∴ 故是“幻生有理数对”． 故答案为： 【变式1-2】观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”，并说明理由． (2)若是“共生有理数对”，求a的值． (3)请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4， ）和（ ，2）． (4)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）． 【答案】(1)是“共生有理数对”，理由见解析 (2) (3) (4)是 【分析】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目所给“共生有理数对”的定义进行判断即可； （1）根据题目所给“共生有理数对”的定义，列出方程求解即可； （3）设是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”， 根据题目所给“共生有理数对”的定义，列出方程求解即可； （4）分别求出和，再根据是“共生有理数对”，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是“共生有理数对”． （2）解：∵是“共生有理数对”， ∴， 解得：． （3）解：设是“共生有理数对”， 是“共生有理数对”， 则，， 解得：， 故答案为：． （4）解：， ， ∵是“共生有理数对”， ∴， ∴是“共生有理数对”， 故答案为：是． 【变式1-3】我们把几个数用大括号括起来，相邻两个数用逗号隔开，我们称之为集合例如：{1，2} 【定义】现在规定一个由整数组成的集合，对于集合中每一个整数x，也在这个集合中，就称这个集合为“黄金集合”，例如就是一个黄金集合． (1)集合_____黄金集合(选填“是”或“不是”) (2)若一个黄金集合中最大的数是5035，则该集合是否存在最小的数？如果存在，请直接写出最小的数；如果不存在，请说明理由； (3)若一个黄金集合所有元素之和为S，且，则该集合共有多少个整数？说明你的理由 【答案】(1)是 (2) (3)22个 【分析】本题考查有理数，新定义；理解题意，通过两个对应元素和的特点，结合S的取值范围，进而确定元素个数是解题关键． （1）根据黄金集合的定义即可求解； （2）设这个最小的数为x，根据题意黄金集合的定义求出x即可判断； （3）由黄金集合的定义，可知一个整数是y，则必有另一个整数是，则这两个整数的和为，只需判断内2021的个数即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴集合是黄金集合； 故答案为：是； （2）解：设这个最小的数为x， ∵和不变， ∴当其中一个数取最大时，另一个数取最小， ∴， 故存在最小的数为； （3）解：在黄金集合中一个整数是y，则必有另一个整数是， ∴两个整数的和为， ∴所有整数的和是的倍数，且整数个数是这个倍数的2倍， 由题意可知，时， ， ∴这个黄金集合的个数是个． 【例2】定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算． （1）根据题目定义进行整式运算即可； （2）通过计算的值与2进行比较即可． 【详解】（1）解：设3的关于2的平衡数为a， 则， 解得， 3与是关于2的平衡数； 设的关于2的平衡数为b， 则， 解得， 与是关于2的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于2的平衡数，理由如下： ，， ， ， a与b是关于2的平衡数． 【变式2-1】我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可．计算，令含未知数的项的系数为零即可求解． 【详解】解： ， M是N的“雅常式”， ， ， ， ∴M是N的“雅常式”是4． 故答案为：4． 【变式2-2】观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了新定义问题、有理数的混合运算、整式加减中的化简求值，解题时要熟练掌握并能读懂新定义是关键． 依据题意，“方和有理数对”的定义逐个判断可以得解； 依据题意，由“方和有理数对”满足，则当时，，则此时，进而可以得解； 依据题意，由是“方和有理数对”，则，又，从而代入计算可以得解． 【详解】（1）由题意，， 数对不是“方和有理数对”． ， 数对是“方和有理数对”． 故答案为：． （2）由题意， “方和有理数对”满足， 当时，，则此时． 故答案为：（答案不唯一）． （3）由题意，是“方和有理数对”， ． ． 又 ， ． 【变式2-3】新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及代数式求值，整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义直接计算即可求解； （2）①根据定义，求得；②根据定义求得，再根据题意取的最小值，代入代数式求值即可求解． 【详解】（1）解：，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． 故答案为： （2）解：①∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ②∵，对调个位与十位上的数字得到， 这两个两位数的和为， 所以． ∴ ， ∵ m，n均为不大于9的正整数，根据“互异数”的定义可得， 所以当时，最小，最小值为． 【例3】对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”． (1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”． (2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由． (3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和运算顺序． （1）根据题中所给关于1的“对称数”的定义，即可进行解得； （2）将a和b相加，看结果是否为2，若为2，则与是关于1的“对称数”，否则不是； （3）根据无论取何值，A与都是关于1的“对称数”可得的结果等于2，且含有x的项系数为0，即可进行求解． 【详解】（1）解：设7与m是关于1的“对称数”， 则，解得， 设与n是关于1的“对称数”， 则，解得：， 故答案为：，． （2）是，理由如下： ， ∴与是关于1的“对称数”． （3） ∵无论取何值，A与都是关于1的“对称数”， ∴， ∴． 【变式3-1】若定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于x的方程与方程是“美好方程”，则m的值是（   ） A．9 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出，再求出即可．理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴，解得：， 故选：A 【变式3-2】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．关于x的方程是“立信方程”，则符合要求的正整数k为 【答案】4，6，18 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的解．先求出方程的解，再根据“立信方程”的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵是“立信方程”， ∴是整数， ∴或， ∴或或或（舍去）； 故答案为：4，6，18． 【变式3-3】定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”．若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是多少？ 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，先将代入方程得出，求出，得出方程①的“相反方程”是，再求解即可得出答案． 【详解】∵关于的方程①：的解是， ∴， ∴， ∴方程①为， ∴方程①的“相反方程”是， 解得． 所以与方程①互为“相反方程”的方程的解是． 【变式3-4】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为“成双方程” (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， ， 方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 关于x的方程与方程互为“成双方程”， ， ． 【题型5：材料阅读问题】 【例1】阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的________运算，再求括号外的________运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第________步开始出现错误（填序号）； (3)根据材料中的方法2计算：． 【答案】(1)减法，除法 (2)① (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）根据除法法则解答即可； （3）仿照材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解：材料中的方法1是先求括号内的减法运算，再求括号外的除法运算， 故答案为：减法，除法； （2）显然小明的解法是错误的，从第①步开始出现错误， 故答案为：①； （3） 原式的倒数 ， 原式． 【变式1-1】综合与实践 阅读下列材料： 材料一：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： 就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数345可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．反之，可以将十进制数转换为二进制数，例如将52转换为二进制数，因为，所以将十进制数52转化为二进制数为． 材料二：二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 所以． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将79转换为二进制数； (2)计算，并将结果转换为十进制数． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了二进制问题，熟练掌握有理数的运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． （1）结合材料一计算即可； （2）结合材料二计算，结合材料一转换为十进制数即可． 【详解】（1）解：， 转换为二进制数为； （2）解： ， ， 转换为十进制数为17． 【变式1-2】［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 【答案】(1)； ；； (2) (3)不一定成立，见解析 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． 根据题干中规定的运算法则进行计算即可； 根据钟表运算中相反数的定义可知：在钟表运算中，两数相加为也就是两数相加为，根据定义计算可得的相反数是；在钟表运算中和互为相反数，举例即可； 根据钟表运算的定义举反例即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：用时代表时，设的相反数为， 即， 解得：； 减去一个数等于加上这个数的相反数在钟表运算中仍然成立， 例如：，，其中与在钟表运算中互为相反数， ，所以有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中仍然成立； （3） 解：对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 例如：，，，则3，6，， 即37＞67， 所以对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 【例2】阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务． 一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： 小红：小英，我想，被墨迹污染的系数是 小英：你猜错啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！...... 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果． 【答案】(1) (2)系数“”为；该式子的结果为 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）先去括号，再合并同类项，进而得出答案； （2）先去括号，再合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1）∵系数是， ． （2）原式 ， 计算结果是常数， ∴， ． 【变式2-1】阅读下列材料，解决问题： 三位数的“衍生数” 一个三位正整数，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为的“衍生数”．如，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：，，，，，．它们都是的“衍生数” (1)整数所有的“衍生数”为______________； (2)若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为．用含的代数式表示这个三位数为____________； (3)请从，两题中任选一题作答． ．用含的代数式表示（）中那个三位数的所有衍生数”，并说明它的所有“衍生数”的和能被整除． ．一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，请说明它的所有“衍生数”的和能被整除． 【答案】(1)，，，，，， (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到整式的加法运算，熟练掌握新定义并加以应用是解题的关键． （1）根据三位数的“衍生数”的定义，以及示例，即可得到结果； （2）列代数式表示三位数即可； （3）．表示（）中三位数的所有的“衍生数”，再求和，即可得证；．表示出这个三位数的所有的“衍生数”和为，即可得到结果； 【详解】（1）解：根据题意，所有的“衍生数”：，，，，，， 故答案为：，，，，，； （2）解：一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为． ∴用含的代数式表示这个三位数为， 故答案为：； （3）解：． 一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 这个三位数所有“衍生数”：，，，，，， 所有“衍生数”之和为：， ∴（）中那个三位数的所有衍生数”的和能被整除； ．一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，假设它的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 这个三位数所有“衍生数”之和为： ， ，，均不为零且互不相等， 能被整除． 【变式2-2】阅读材料： 如果各个数位上的数字都不为0的四位自然数t满足：千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称t为“九龙数”．把t的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称t为“完美九龙数”． 例如：5442满足：，且， 为整数，∴5442为“完美九龙数”． 又如：6634满足：，但不为整数，∴6634不是“完美九龙数”． (1)判断7321，6735是否是“完美九龙数”？并说明理由． (2)若（其中且a、b、c、d均为整数）是“完美九龙数”，求满足条件的所有M的值． 【答案】(1)7321不是“完美九龙数”，6735是“完美九龙数”，理由见解析 (2)6735或8412 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的加减运算： （1）根据定义分析求解即可； （2）由定义得到，则，使得为整数，则为整数，，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵， 但不是整数， ∴7321不是“完美九龙数”； ∵， ∴是整数， ∴6735是“完美九龙数”； （2）解：由是可得：M的千位数字为，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，M为“完美九龙数”， ∴， ∴， ∵， ∴为整数， ∴为整数， ∵， ∴当时，或当时，， ∴或 ∴或8412． 【变式2-3】阅读材料，完成下列问题： 材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为 0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如 5353、3535 都是“重叠数”． 材料二：将一位四位正整数 M 的百位和十位交换位置后得到四位数 N，． (1) ___________； ___________； (2)试证明任意重叠数 M 的一定为 10 的倍数； (3)若一个“重叠数”，当 t 能被 7 整除时，求出满足条件的所有 t 值中，的最小值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)的最小值为0 【分析】（1）直接利用新定义计算即可得出结论； （2）设任意“重叠数”的千位和十位数字为，百位和个位数字为，表示出即可； （3）把合并，再用、表示，最后计算即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）设任意“重叠数”的千位和十位数字为，百位和个位数字为， ∴， ， ∴， ∴任意重叠数 M 的一定为 10 的倍数； （3） ∴， ∴， 当 t 能被 7 整除时， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∵ ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，当 t 能被 7 整除时，求出满足条件的所有 t 值中，的最小值为0． 【点睛】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键． 【例3】阅读下列材料，并回答问题．对于有理数，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为___________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，则的最小值为___________． (4)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联”为1，和关于3的“美好关联数”为和关于21的“美好关联”为1．则的最小值为___________． 【答案】(1)8 (2)的值为6或0； (3)1 (4) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了绝对值的计算和绝对值的几何意义，掌握相关结论是解题关键． （1）根据定义计算即可求解； （2）解绝对值方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义得出的最小值即可求解． （4）根据绝对值的几何意义得出的最小值，依此类推即可求解． 【详解】（1）解：根据定义可得： 和5关于2的“美好关联数”为：； 故答案为：8； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或 ∴的值为6或0； （3）解：∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴有最小值1， 故答案为：1； （4）解：由已知得：， 由（3）得的最小值； 由， 由（3）得的最小值； 同理，， 的最小值； ， 的最小值； ……； ∴， 的最小值是， ∴的最小值为； 故答案为：． 【变式3-1】阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 【答案】（1）4；8；（2）；（3）①，5；②4；；2；1；8；（4）1025156 【分析】本题考查两点间的距离公式，列代数式，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； 故答案为：4，8； （2）A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； 故答案为：； （3）①∵， 当时，， ∴； 当时，，不成立； 当时， ∴． 综上：或； 故答案为：，5； ②，当时，， 故答案为：4； 式子表示数x到1和3的距离之和， ∴当时，式子有最小值为； 故答案为：，2； 表示数轴上表示x的点到表示1、和5三个点的距离之和，要使距离之和最小，x在中间的那个数上，即时，距离为到5的距离； 故答案为：1，8； （4）∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 【变式3-2】在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．把看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： 令，则原方程变为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故， 解得：． 【变式3-3】阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和，分别求得和， 所以和的零点值分别为和； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上讨论，原式； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得， 所以原方程的解为或． 【变式3-4】阅读以下材料： 高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．他最出名的故事就是在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算？”．这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后得出正确的答案，他观察到：，， ，…，这么一来，就等于 ① 个101个相加，从而得 ② ． 根据以上材料，完成下列问题： (1)补全材料中①②所缺的内容； (2)计算：________；（用含n的代数式表示） (3)将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下数的平均数为，求删去的这个数是多少？ 【答案】(1)①50；② (2) (3)35 【分析】（1）根据题意可得一共有50个101相加，再根据乘法计算法则求出对应的结果即可； （2）仿照题意分n为奇数和偶数两种情况讨论求解即可； （3）设删去的数为x，一共有n个自然数，则这n个自然数的平均数为，，根据，得到，进而得到，据此求出或或，再讨论n的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， …， ， ∴一共有50个101相加， ∴， 故答案为：①50；②； （2）解：当n为偶数时，， ， ， ……， 以此类推，一共有个相加， ∴； 当n为奇数时，同理可知一共有个相加，还要加上， ∴； 综上所述，； （3）解：设删去的数为x，一共有n个自然数， ∴这n个自然数的和为， ∴这n个自然数的平均数为， ∵删去x后的平均数为， ∴， ∵去掉的数是这n个数中的一个， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵n为正整数， ∴或或， 当时，则， 解得，不符合题意； 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意； ∴删去的数为35． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数字类的规律探索，有理数的加法和乘法计算，正确理解题意是解题的关键． 【例4】阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体． (1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E 四面体 4 6 长方体 6 2 五棱柱 10 7 15 2 (2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ (3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)不会有 【分析】本题考查了简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律． （1）分析题意，由题中所给的多面体，不难求得多面体的顶点数、棱数、面数，即可完成表格； （2）接下来，观察表格中的数据便不难得到简单多面体中顶点数（V）面数（F）棱数（E）之间的关系； （3）根据已知数据，结合顶点数V、面数F及棱数E间的关系，即可作出判断． 【详解】（1）解：填表如下： 多面体 V F E 四面体 4 4 6 2 长方体 8 6 12 2 五棱柱 10 7 15 2 （2）解：多面体的顶点数V、棱数E、面数F满足关系式：； （3）解：不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点， ∵假如会有， 则， 根据题意：将代入得，，，与矛盾， ∴不会有． 【变式4-1】阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图①，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为平分，， 所以____________． 因为， 所以______． 小静说：“我觉得这道题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部．” 请完成以下问题： (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)根据小静的想法，请你在图③中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时的度数为______． (3)小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”该思考方法所体现出来的数学思想是______（填字母序号）． A．分类思想 B．整体思想 C．数形结合思想 【答案】(1)，，， (2)图见解析； (3)A 【分析】（1）如图2，由角平分线的定义先求解，再利用角的和差关系可得答案； （2）如图3，由角平分线的定义先求解，再利用角的和差关系可得答案； （3）根据有两种情况可得该思考方法所体现出来的数学思想是分类思想． 【详解】（1）解：如图2，∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图3，    ∵平分，， ∴ ． ∵， ∴． （3）解：∵小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”， ∴该思考方法所体现出来的数学思想是分类思想， 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式4-2】综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1 确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 【答案】任务1：长方体盒子的高为；任务2：减掉的正方形的边长，长方体盒子的体积为 【分析】本题考查了列代数式以及一元一次方程的应用： 任务1：先设长方体盒子的高为a，根据线段的和差运算，以及周长公式列式计算，即可作答； 任务2：设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为，根据题意列式，计算即可作答． 【详解】解：任务1 设长方体盒子的高为a， 则底面长为，则底面宽为， 由题意得， ∴． 故长方体盒子的高为； 任务2： 设减掉的正方形的边长，即盒子的高为，则盒子的宽为，长为． 由素材3可得方程，， 解得，， ∴盒子的高为，盒子的宽为，长为． 故盒子的体积． 【变式4-3】阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 【答案】(1)16 (2)①；② (3) 【分析】（1）由点C和点D分别是的中点，得，，那么，进而解决此题； （2）①由和分别平分和，得，，从而，进而解决此题； ②与①同理求解即可； （3）由可得，，，所以，根据可得结论． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是的中点， ∴，， ∴． 故答案为：16． （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∴ ． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． 能力提升 一、单选题 1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：8． 2．（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可． 【详解】解：根据题意得： 故选：D． 3．（2025·重庆巴南·二模）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是或； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，根据“运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 解得或，故①正确； ②由题意得，， 即， ∴，故②正确； ③对进行“运算”得，， 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当，，，； 当， ，； ∴的“运算”化简后的结果可能存在种不同的表达式， 故③错误； ∴正确的个数是个， 故选：． 4．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，正确理解题意是解题的关键，根据新定义注意分析即可得出答案 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 当，， 当，时，，故②错误； ，故③错误 故选：B 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解有理数混合运算法则是解题关键． 直接根据新定义的运算法则进行运算即可． 【详解】解： 故选：C 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 7．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（   ）． A． B． C．对任意有理数，，有 D．不存在有理数，，，使 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算以及整式的加减．根据新定义进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故A错误； ，故B错误； ∵， ， ∴，故C正确； ∵， ， ∴ ， ∴当时，，故D错误； 故选：C． 8．（24-25七年级上·重庆·期中）定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减和多项式的相关知识，正确理解代数式互为“兄弟式”的定义是关键． 根据“兄弟式”的定义即可判断①，根据题意可得，求出，即可判断②；根据题意可得，即可判断③，根据得到，求出，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴代数式的“兄弟式”为；故①正确； ②∵两个关于的代数式与互为“兄弟式”， ，即， ， ∴，故②错误； ③∵， ， ∴， ∴的值与x的取值有关，故③错误； ④∵， ， 当时，， ， ， ∴，故④正确， 综上可知，①④正确． 故选：B． 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，分，，三种情况分别计算即可． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）； 综上，或， 故选：C． 10．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）定义：若，则称M与N是关于m的关联数．例如：若，则称M与N是关于3的关联数．若与是关于2的关联数，则x的值是（    ） A．1 B．3 C． D．1.5 【答案】A 【分析】本题主要考查行定义运算、解一元一次方程等知识点，读懂题意、理解关联数定义是解题的关键． 根据关联数的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得∶． 故选A． 11．（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义“雷公数”，理解和应用新定义是解题的关键． 利用“雷公数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意； B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数， ∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意； C.当时，，， ∴该选项错误，故符合题意； D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676, 729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题 12．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，根据题目中的新定义可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 分别计算、、、、、，发现规律为每5次是一组循环即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ， ， ， ∴可知每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：45． 14．（24-25七年级下·广东梅州·期末）将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得 故答案为：8． 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及相反数的定义，先分别求解出，的解，然后根据相反数的定义得出，解方程即可得出n的值． 【详解】解：解方程， 解得：， ∵关于的方程与方程为“和谐方程”， ∴， 解得： 故答案为： 三、解答题 16．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 17．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义新运算“□”：，如． (1)求的值． (2)写出一组的值使，且． (3)若，求的值． 【答案】(1)； (2)和（答案不唯一）； (3)． 【分析】（）按新定义的含义列式即可； （）按新定义的含义找出与的关系式即可求解； （）按新定义的含义列出一元一次方程即可； 此题考查了新定义运算及解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由， ∵， ∴，即与互为相反数， ∴与的值可以为和（答案不唯一）； （3）由， ∴， 整理得：， 解得：． 18．（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 【答案】(1)C1； (2)①点P所表示的数为或； ②P表示的数为19或16或22 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点表示的数和相关线段的长度． （1）求出，知是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”；求出，知不是点A、B的“关联点”； （2）设点P表示的数为x，①求出，可或，即可解得解得或； ②求出，，然后分三种情况求解：当A是B，P“关联点”时；当B是A，P“关联点”时；当P为A，B的“关联点”时． 【详解】（1）解：∵点A表示数，点B表示数1，表示数， ∴， ∴， ∴是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数2， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； ∵点A表示数，点B表示数1，表示数6， ∴， ∴不是点A、B的“关联点”； 故答案为：； （2）解：设点P表示的数为x， ①∵，点P在点A，B之间， ∴， ∵点P是点A、B的“关联点”， ∴或， ∴或， 解得或； 即点P所表示的数为或； ②∵，点P在点B的右侧， ∴，，， ∴． 当A是B，P“关联点”时， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 当B是A，P“关联点”时， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 即此时P表示的数为16或22； 当P为A，B的“关联点”时， ∴， ∴， 解得， ∴， 即此时P表示的数为19； 综上所述，P表示的数为19或16或22． 19．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是． 【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答． （1）根据定义进行解答即可； （2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论； （3）根据定义进行解答即可； （4）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴11是“智慧数”， 故答案为：； （2）验证：设（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有4的倍数（4除外） ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数” （3）∵， ∴24“智慧数”， 故答案为：； （4）， 这个直角三角形纸片的周长是或 故答案为：24或40 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：． ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 【答案】(1)② (2)①11；②满足，理由见解析 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的混合运算、代数式的求值，根据新定义进行计算是解题的关键． （1）根据“反换律”的定义，对题目的运算逐个分析判断即可； （2）①根据“”运算的定义，代入，计算即可；②分别计算和，比较计算结果即可得出答案． 【详解】（1）解：与不一定相等，故①不满足“反换律”； ，故②满足“反换律”； 与不一定相等，故③不满足“反换律”； 满足“反换律”的是②． 故答案为：②． （2）解：①当，时， ； 故答案为：11． ②满足，理由如下： ，， ， “”运算满足“反换律”． 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数的加减混合运算，数轴上两点的距离，绝对值的化简，相反数的定义，理解新定义运算规则，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算规则直接计算即可； （2）先根据数轴上两点的距离和相反数的定义得出x，y的值，然后根据新定义计算，最后计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7， ， 或6， 是的相反数，且， ， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，的值为或． 22．（24-25七年级上·河北保定·期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：1，． （2）A、∵，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选C； （3）， 故答案为：； （4） ． 23．（24-25七年级上·福建泉州·期末）定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)M不是N的“平移式”，理由见解析 (2)，； (3)当，时，M是N的“平移式”，“平移值”是5 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，仿照示例，可判断M不是N的“平移式”； （2）根据题意，得到，代入M，N的代数式，化简可得到结果； （3）先表示出N，判断当的条件，从而得到结果． 【详解】（1）解： M不是N的“平移式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴M不是N的“平移式”； （2）解：∵M是N的“平移式”，且“平移值”为3， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 当，则或， ①若， 时，，， ∴，则M是N的“平移式”，“平移值”是5； ②当，时，， ∴，则M不是N的“平移式”， 综上，当， 时，M是N的“平移式”，“平移值”是5． 24．（24-25七年级上·广西柳州·期末）如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)①或； 的值为6或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是根据题意，得出两点之间的距离，列出方程求解． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）根据题意得出点P表示的数为，根据中点的表示方法得出点M表示的数为，点N表示的数为，求出，即可得出结论； （3）①根据题意得出点P表示的数为，，即可求解；②先得出点P表示的数为，则，，然后进行分类讨论：当点Q在点P左边时，点Q表示的数为，得出，，根据，列出方程求解即可；当点Q在点P右边时，点Q表示的数为，推出点B在点Q左边，则，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴点P表示的数为， ∵M为的中点，N为的中点，， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∴线段的长度为4； （3）解：①∵点P从点A出发向右运动，，， ∴点P表示的数为， ∵，， ∴， ∴点Q表示的数为或， 故答案为：或； ②∵点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 当点Q在点P左边时，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； 当点Q在点P右边时，点Q表示的数为， ∵， ∴点B在点Q左边， ∴，， ∴， 解得：或（舍去）； 综上：或． 25．（24-25七年级上·北京丰台·期末）点和点，点均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点为线段的“倍关联点． (1)如图，点所表示的数为． ①若线段，点在点右侧，点表示的数分别为则点_______（填“”，“”或“”）为线段的“2倍关联点”； ②若原点为线段的“3倍关联点”，直接写出点所表示的数； (2)已知点为线段的“倍关联点”，若点从数轴上对应的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点运动的时间为，直接写出当取何值时的值最小以及此时的值． 【答案】(1)①；②或或或 (2)或时最小， 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离公式，分别求出长；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）①根据点表示的数，利用数轴上两点间的距离公式，分别求出，再利用“2倍关联点”的定义判断即可；②根据“3倍关联点”的定义即可写出点B的坐标； （2）当点运动的时间为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离可求出，，得，，得进而可求解． 【详解】（1）解：①，点在点右侧， 点所表示的数为， 点表示的数为， 对于点， 表示的数为， ， ， ，， ， 点为线段的“2倍关联点”； 对于点， ，， ，， ， 点不是线段的“2倍关联点”； 对于点， ，， ，， ， 点不是线段的“2倍关联点”； ②原点为线段的“3倍关联点”， ，， ， 当即时， ， 点所表示的数为， 当即时，， ， 点所表示的数为， 综上，点所表示的数为：或或或； （2）解：点运动的时间为， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 当或，即或时的值最小， 的最小值为． 26．（24-25七年级上·北京顺义·期末）给出如下定义：对于数轴上M，N两点和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”． 例如：点M表示1，点N表示2，，当点P表示4时，，所以称点P是M，N的“5关联点”． (1)点M表示2． ①点N表示4，P是M，N的“10关联点”．在0，两个数中，P可以表示的数是______； ②点P表示，且是M，N的“15关联点”．求点N表示的数； (2)阅读下列操作： A，B为数轴上两点，点A表示的数为，将A表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；点B表示的数为1，将B表示的数加上1，对应数轴上得到点；将表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将表示的数加上1，对应数轴上得到点，依此规律得到，，，，…，，，… 点M表示，点N表示3，完成下面问题： ①线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为______； ②线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，直接写出满足条件的n的值． 【答案】(1)①；②11或 (2)①1或2；② 【分析】本题考查了新定义运算、数轴上的动点问题、数字变化的规律、一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①根据新定义直接计算即可得出结论；②设点N表示的数为，由点P表示，且是M，N的“15关联点”，得到等量关系列出方程，解出的值即可解答； （2）①根据数轴上点的变化规律，可得点表示的数为，点表示的数为，由点M表示，点N表示3，可知点M，N的“5关联点”都在线段上，再分，和讨论，即可解答；②先求出M，N的“20关联点”和“80关联点”表示的数，再分，和讨论，即可解答． 【详解】（1）解：①当点P表示0时，， 当点P表示时，， P是M，N的“10关联点”， 在0，两个数中，P可以表示的数是． 故答案为：． ②设点N表示的数为， 点P表示，点M表示2， ，， 点P是M，N的“15关联点”， ， ， 解得：或， 点N表示的数为11或． （2）解：①由题意得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，…；点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，… 点表示的数为，点表示的数为， 点M表示，点N表示3， ， 点M，N的“5关联点”都在线段上， 又线段上存在点M，N的“5关联点”， 线段与线段有公共部分， 当时，线段与线段有公共部分，符合题意； 当时，线段与线段有公共部分，符合题意； 当时，，，此时线段与线段没有公共部分，不符合题意； 线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为1或2． 故答案为：1或2． ②设点P表示的数为，且是M，N的“20关联点”， 由题意得，， 解得：或， 数或数表示的点是M，N的“20关联点”， 同理可得，数或数表示的点是M，N的“80关联点”， 由①得，线段上的点都在原点或原点右边， 又线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”， 线段上同时存在数和数表示的点， 当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意； 当时，，线段上同时存在数和数表示的点，符合题意； 当时，，，线段上不存在数表示的点，不符合题意； 综上所述，当时，即时，线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”． 满足条件的n的值为． 27．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 【答案】（1），；（2），；（3）②成立，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了新定义的理解和应用，整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据新定义，列出等式，即可求出和的值； （2）根据新定义，列出等式，进而求出和的值； （3）根据新定义，列出等式，即可求出成立； （4）根据新定义，列出等式，即可求出的值； 【详解】（1）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：，； 故答案为：， （2）根据题意可得， 即， 整式，，为常数的“相关整式” ，， 解得：， （3） ②成立，理由如下： 根据题意可得， 即； 整式，为常数0的“相关整式”， ，， ，， ， ； ②成立； （4）根据题意可得， 则， 整式，，为常数0的“相关整式” ， ； 28．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 【答案】(1)103； (2)①；② (3)表格见解析； 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则． （1）根据题干提供的信息，将六进制数转化成十进制数，将十进制数转化成二进制数即可； （2）根据二进制数加减运算法则，进行计算即可； （3）仿照十进制的有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ， ， ， ， ， ， ∴． （2）解：① ∴； ②， ∴． （3）解：即0个0相加，结果为0； 即0个1相加，结果为0； 即1个0相加，结果为0； 即1个1相加，结果为1； 填表： 乘数 乘数 积 0 0 0 1 ∴． 29．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 【答案】(1)，六； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算、不同进制的数之间的转换，解决本题的关键是读懂阅读材料中不同进制数之间的转换原理，利用材料中的解题思路进行解答． 根据：逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几，可知六进制的基数为，逢六进一； 仿照材料二中的思路，运用除取余法，可知把十进制对应的二进制数为，根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：二进制对应的十进制的数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将十二进制转化为十进制数为； 根据材料三中：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，可得：将转化为十进制数为，仿照材料二中的思路，运用除取余法，将所得的十进制数转化为七进制数为． 【详解】（1）解：六进制的基数为，逢六进一， 故答案为：，六； （2）解：运用除取余法，如下图所示， 十进制对应的二进制数为：， 二进制对应的十进制的数为： ， 故答案为：，； （3）解：将十二进制转化为十进制数为： ， 故答案为：； （4）解：先将转化为十进制数为： ， 运用除取余法，如下图所示， 将所得的十进制数转化为七进制数为：． 故答案为：，． 30．（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 【答案】(1)， (2)3 (3)，或， 【分析】（1）根据特定的算法代入计算即可求解； （2）根据特定的算法依次求出a，b，c，d，再根据d为的整数倍即可求解； （3）根据检验码为8，并结合两个数字的差为8，即可求解． 【详解】（1）解：∵《数学故事》的图书码为， ∴，， ∴“步骤”中的的值为，校验码的值为， ∴，； （2）根据题意得：，， ∴， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字必须是， ∴， ∴； （3）解：设两个数字从左到右分别是， 由题意得：，， ∴， ∵检验码为， ∴， ∵为的整数倍， ∴的个位数字为， ∵， ∴或或或， 解得：（舍去）或或或（舍去） ∴这两个数字从左到右分别是，或，． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的加减，正确理解题意并列式是解题的关键． 31．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【答案】(1)或；； (2)经过或秒时动点到点和点的距离之和为； (3)或或． 【分析】本题主要考查了绝对值与数轴的综合应用，两点之间的距离公式，一元一次方程，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，再根据绝对值的意义分三种情况讨论，三种情况分别是当时，当时，当时，分别求解即可； （3）设经过的时间为，当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，，再分两种情况讨论，当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， 解得：或， ， 或， 解得：（前一方程无解）， 故答案为：或；； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，点对应的数可以表示为， ①当时，点在点B左侧， ，， 由题意得：， 解得：； ②当时，点在点和点中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点在的右侧．，， 由题意得：， 解得：； 综上所述，经过或时动点到点和点的距离之和为； （3）设经过的时间为， 当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为 又点到点的距离为， ， 解得：或， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为， 又点到点的距离为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或． 32．（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 【答案】(1)小时 (2) (3)方案一 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题，其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和算式是解题的关键． （1）根据“方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米”列方程求解即可； （2）根据“每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车” 列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案的总费用，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时，则用飞机空运到甲地的时间为小时， 由题意得： ， 解得：， 从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时； （2）解：设这批枇杷共有吨， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：； （3）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ， 应选方案一， 答：应选用方案一使得总费用较少． 33．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）【阅读材料】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． (1)如图①，角的平分线________这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若，射线为的“2倍角线”，则_______． (3)如图②，当射线、旋转到同一条直线上时，求t的值； 【答案】(1)是； (2)，，； (3)4或10或16． 【分析】本题主要考查了一元一次方程在新定义中的应用、角平分线的性质等知识点，找准等量关系、据此列出方程是解题的关键． （1）由角平分线的定义和2倍角线的定义进行判断即可； （2）分、、三种情况，分别根据“2倍角线”的定义列出方程求解即可； （3）分三种情况讨论，分别列出方程可求t的值即可． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“2倍角线” ． 故答案为：是． （2）解：①若时，且，解得：； ②若时，且，解得：； ③若时，且，解得：． 故答案为：，，． （3）解：由题意得，运动时间范围为：，则有： ①，解得； ②，解得； ③，解得． 综上，t的值为3或9或15． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 新定义及材料阅读的五种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：有理数中新定义运算问题…………………………………………… 1 题型2：整式的加减中新定义运算问题……………………………………… 2 题型3：一元一次方程中新定义运算问题…………………………………… 4 题型4：根据给出的新定义求解……………………………………………… 5 题型5：材料阅读问题………………………………………………………… 9 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 21 重难点题型分类 【题型1：有理数中新定义运算问题】 【例1】若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【变式1-2】已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 【变式1-3】若定义一种新的运算“”，规定有理数，如 (1)求的值； (2)求的值． 【变式1-4】探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【题型2：整式的加减中新定义运算问题】 【例1】对于有理数a，b，定义运算：．若有理数x，y满足，则的值为（   ） A． B．2 C． D．12 【变式1-1】定义一种新运算“⊙”，得到下列等式：，，，，…，若a、b、c是有理数，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替重复进行．例如：取（如图所示），第1次，第2次，第3次，…．若取，则第2025次“”运算的结果是 ． 【变式1-3】定义一种新运算．观察下列算式： ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______填“=”或“”）； (3)若，求的值． 【变式1-4】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【题型3：一元一次方程中新定义运算问题】 【例1】定义，若，则的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-1】对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D． 【变式1-2】定义新运算“”，其规则为，则方程的解为 ． 【变式1-3】定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)求的值； (2)若的值等于13，求的值． 【变式1-4】定义新运算“*”，对于任意有理数，满足， 例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【题型4：根据给出的新定义求解】 【例1】观察下列两个等：1﹣=2×1×﹣1，2﹣=2×2×﹣1给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝2ab﹣1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b），如：数对（1，），（2，）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（　　） A．（﹣3，） B．（4，） C．（﹣5，） D．（6，） 【变式1-1】如果一对有理数a、b使等式成立，那么这对有理数a、b叫做“幻生有理数对”，记为．根据上述定义，下列四对有理数 ；；；中不是“幻生有理数对”的是 ． 【变式1-2】观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为，如：数对，，都是“共生有理数对”． (1)判断数对是不是“共生有理数对”，并说明理由． (2)若是“共生有理数对”，求a的值． (3)请再写出两对符合条件的“共生有理数对”为：（4， ）和（ ，2）． (4)若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）． 【变式1-3】我们把几个数用大括号括起来，相邻两个数用逗号隔开，我们称之为集合例如：{1，2} 【定义】现在规定一个由整数组成的集合，对于集合中每一个整数x，也在这个集合中，就称这个集合为“黄金集合”，例如就是一个黄金集合． (1)集合_____黄金集合(选填“是”或“不是”) (2)若一个黄金集合中最大的数是5035，则该集合是否存在最小的数？如果存在，请直接写出最小的数；如果不存在，请说明理由； (3)若一个黄金集合所有元素之和为S，且，则该集合共有多少个整数？说明你的理由 【例2】定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【变式2-1】我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．已知多项式（a为常数），，M是N的“雅常式”，则M关于N的“雅常值”为 ． 【变式2-2】观察下列两个等式：，给出定义：我们称使等式成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为，如，都是“方和有理数对”． (1)数对，中是“方和有理数对”的是______． (2)请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”：______注意：不能与题目中已有的“方和有理数对”重复． (3)若是“方和有理数对”，求的值． 【变式2-3】新定义：对任意一个两位数x，如果x满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“互异数”，将一个“互异数”两个数位上的数字对调后可以得到一个不同的新两位数，把这两个新两位数的和与11的商记为．例如，对调个位与十位上的数字得到42，这两个两位数的和为，，所以． (1)计算：________； (2)若s，t都是“互异数”，其中，（m，n均为不大于9的正整数）． ①求（用含n的式子表示）； ②求最小值． 【例3】对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”． (1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”． (2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由． (3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值． 【变式3-1】若定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于x的方程与方程是“美好方程”，则m的值是（   ） A．9 B． C．12 D． 【变式3-2】方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．关于x的方程是“立信方程”，则符合要求的正整数k为 【变式3-3】定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程与方程互为“相反方程”．若关于的方程①：的解是，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是多少？ 【变式3-4】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【题型5：材料阅读问题】 【例1】阅读下列材料，完成下面任务： 巧用乘法分配律计算 周末的一天，我在一本数学杂志上看到这样一道题： 计算：，该杂志上的解法有如下两种方法： 方法1：原式； 方法2：原式的倒数，所以原式． 任务： (1)材料中的方法1是先求括号内的________运算，再求括号外的________运算（填“加法”“减法”“乘法”或“除法”）； (2)小明联想到材料的方法，给出了如下解法． 答案解：原式① ② ③ ④ ．⑤ 显然小明的解法是错误的，从第________步开始出现错误（填序号）； (3)根据材料中的方法2计算：． 【变式1-1】综合与实践 阅读下列材料： 材料一：进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： 就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数． 一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数345可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．反之，可以将十进制数转换为二进制数，例如将52转换为二进制数，因为，所以将十进制数52转化为二进制数为． 材料二：二进制的加法运算法则与十进制的加法运算法则相同，不同的是十进制是满十进一，而二进制是满二进一．例如计算，列竖式如下： 所以． 根据上述材料，解答下列问题： (1)将79转换为二进制数； (2)计算，并将结果转换为十进制数． 【变式1-2】［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 【例2】阅读与思考:阅读下列材料，完成后面任务． 一天，我在某杂志上看到这样一道题：小红和小英在完成题目“化简”时，发现系数“”被墨迹污染了，下面是她俩的对话： 小红：小英，我想，被墨迹污染的系数是 小英：你猜错啦!我查了一下，这道题的答案是一个常数呀！...... 任务： (1)根据材料中小红的话，化简式子． (2)根据材料中小英的话，求这道问题中的系数“”及该式子的结果． 【变式2-1】阅读下列材料，解决问题： 三位数的“衍生数” 一个三位正整数，它的每个数位上的数字均不为零且互不相等，若从的三个数位上的数字中任选两个组成一个新的两位数，我们称这样的两位数为的“衍生数”．如，任选其中两个数字组成的所有两位数分别是：，，，，，．它们都是的“衍生数” (1)整数所有的“衍生数”为______________； (2)若一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，它的百位数字为，十位数字为，个位数字为．用含的代数式表示这个三位数为____________； (3)请从，两题中任选一题作答． ．用含的代数式表示（）中那个三位数的所有衍生数”，并说明它的所有“衍生数”的和能被整除． ．一个三位正整数的每个数位上的数字均不为零且互不相等，请说明它的所有“衍生数”的和能被整除． 【变式2-2】阅读材料： 如果各个数位上的数字都不为0的四位自然数t满足：千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称t为“九龙数”．把t的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称t为“完美九龙数”． 例如：5442满足：，且， 为整数，∴5442为“完美九龙数”． 又如：6634满足：，但不为整数，∴6634不是“完美九龙数”． (1)判断7321，6735是否是“完美九龙数”？并说明理由． (2)若（其中且a、b、c、d均为整数）是“完美九龙数”，求满足条件的所有M的值． 【变式2-3】阅读材料，完成下列问题： 材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为 0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如 5353、3535 都是“重叠数”． 材料二：将一位四位正整数 M 的百位和十位交换位置后得到四位数 N，． (1) ___________； ___________； (2)试证明任意重叠数 M 的一定为 10 的倍数； (3)若一个“重叠数”，当 t 能被 7 整除时，求出满足条件的所有 t 值中，的最小值． 【例3】阅读下列材料，并回答问题．对于有理数，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为___________； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，则的最小值为___________． (4)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联”为1，和关于3的“美好关联数”为和关于21的“美好关联”为1．则的最小值为___________． 【变式3-1】阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是 ，A到C的距离是 ．（直接填最后结果）； （2）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，，1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 ．（用含绝对值的式子表示）； 拓展： （3）利用数轴探究： ①满足的x的所有值是 ； ②设，当时，m的值是不变的，而且是m的最小值，这个最小值是 ； 当x的值取在 的范围时，的最小值是 ； 当x的取值是 时，的最小值是 ； （4）试求的最小值． 【变式3-2】在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【变式3-3】阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 【变式3-4】阅读以下材料： 高斯是近代数学奠基者之一，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面均有开创性贡献．他最出名的故事就是在他十岁时，小学老师出了一道算术难题：“计算？”．这可难为初学算术的学生，但是高斯却在几秒后得出正确的答案，他观察到：，， ，…，这么一来，就等于 ① 个101个相加，从而得 ② ． 根据以上材料，完成下列问题： (1)补全材料中①②所缺的内容； (2)计算：________；（用含n的代数式表示） (3)将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下数的平均数为，求删去的这个数是多少？ 【例4】阅读材料题：由平的面围成的立体图形又叫做多面体，有几个面，就叫做几面体．三棱锥有四个面，所以三棱锥又叫四面体；正方体又叫做六面体；有五条侧棱的棱柱又叫做七面体． (1)探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，填表： 多面体 V F E 四面体 4 6 长方体 6 2 五棱柱 10 7 15 2 (2)猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？ (3)应用（2）的结果对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，这个关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？ 多面体 V F E 四面体 4 4 6 2 长方体 8 6 12 2 五棱柱 10 7 15 2 【变式4-1】阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图①，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为平分，， 所以____________． 因为， 所以______． 小静说：“我觉得这道题有两种情况，小明考虑的是在外部的情况，事实上，还可能在的内部．” 请完成以下问题： (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)根据小静的想法，请你在图③中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时的度数为______． (3)小静所说的：“我觉得这道题有两种情况…”该思考方法所体现出来的数学思想是______（填字母序号）． A．分类思想 B．整体思想 C．数形结合思想 【变式4-2】综合与实践．从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务． 项目 设计合适的盒子 材料 一个长为，宽为的长方形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）． 项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子 方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍． 示意图 示意图 任务1 确定无盖盒子的高． 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2研究有盖盒子的体积 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积． 【变式4-3】阅读材料． (1)【特例感知】如图1，已知线段，，点C和点D分别是，的中点．若，则________． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数．（写解答过程） ②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？直接写出结论． (3)【类比探究】 如图3，在内部转动，若，，，，则的度数为________．（用含有k的式子直接表示计算结果） 能力提升 一、单选题 1．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆巴南·二模）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，，进行“运算”，得．下列说法： ①对，进行“运算”的结果是，则的值是或； ②对，，进行“运算”的结果是，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·重庆大渡口·期末）定义一种新运算：，其中，如：，下列说法正确的个数是（   ）． ①； ②当，； ③ ． A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）现定义两种运算“”，“”．对于任意两个整数，，，则的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）对任意两个有理数定义一种运算“”，具体运算方式为，下列结论正确的是（   ）． A． B． C．对任意有理数，，有 D．不存在有理数，，，使 8．（24-25七年级上·重庆·期中）定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（    ） A．或 B．或2 C．或2 D．或或2 10．（24-25七年级上·甘肃白银·期末）定义：若，则称M与N是关于m的关联数．例如：若，则称M与N是关于3的关联数．若与是关于2的关联数，则x的值是（    ） A．1 B．3 C． D．1.5 11．（2025·湖南株洲·一模）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 二、填空题 12．（2025·广东广州·模拟预测）已知为有理数，定义新运算：，则 ． 13．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 14．（24-25七年级下·广东梅州·期末）将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 15．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ． 三、解答题 16．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 17．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义新运算“□”：，如． (1)求的值． (2)写出一组的值使，且． (3)若，求的值． 18．（24-25六年级上·上海宝山·期末）数轴上有A、B、C三点，给出如下定义：如果其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，那么称该点是其它两个点的“关联点”． 例如：如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，因为，，所以，所以称点B是点A，C的“关联点”．回答下列问题： (1)如果点A表示数，点B表示数1．下列各数、2、6所对应的点分别是、、．其中 是点A、B的“关联点”． (2)点A表示数a（a是一个常数，），点B表示数10，P为数轴上一个动点： ①如果点P在点A、B之间，并且点P是点A、B的“关联点”，试用含有a的代数式来表示点P所表示的数； ②如果点P在点B的右侧，点P、A、B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 并且点P与点A之间的距离为18．请求出此时点P表示的数． 19．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，已知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是． 20．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）定义：对于“☆”运算，若，则称“☆”运算满足“反换律”．例如：，故乘法运算满足“反换律”． (1)下列运算满足“反换律”的是______．（填序号） ①加法，②减法，③除法． (2)规定“”运算：． ①若，，则______； ②请你判断“”运算是否满足“反换律”，并说明理由． 21．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）对于任意有理数m，n定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)已知点A，点B在数轴上表示的数分别为，x，且A，B两点的距离是7，y是的相反数，求的值． 22．（24-25七年级上·河北保定·期末）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 23．（24-25七年级上·福建泉州·期末）定义：已知M，N都是关于x的多项式，若（，且k不含字母），则称M是N的“平移式”，k叫做M关于N的“平移值”．例如：，，，则称M是N的“平移式”，M关于N的“平移值”为4． (1)若，，则M是N的“平移式”吗？为什么？ (2)对于常数m，n，有，，若M是N的“平移式”，且“平移值”为3，求m，n的值； (3)若A，B，M都是关于x的多项式，且，．，且，试问：M是N的“平移式”吗？如果是，求出m，n的值及“平移值”；如果不是，请说明理由． 24．（24-25七年级上·广西柳州·期末）如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 25．（24-25七年级上·北京丰台·期末）点和点，点均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点为线段的“倍关联点． (1)如图，点所表示的数为． ①若线段，点在点右侧，点表示的数分别为则点_______（填“”，“”或“”）为线段的“2倍关联点”； ②若原点为线段的“3倍关联点”，直接写出点所表示的数； (2)已知点为线段的“倍关联点”，若点从数轴上对应的点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，点从数轴上对应的点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设点运动的时间为，直接写出当取何值时的值最小以及此时的值． 26．（24-25七年级上·北京顺义·期末）给出如下定义：对于数轴上M，N两点和常数d，如果在数轴上存在点P，使得，那么称点P是M，N的“d关联点”． 例如：点M表示1，点N表示2，，当点P表示4时，，所以称点P是M，N的“5关联点”． (1)点M表示2． ①点N表示4，P是M，N的“10关联点”．在0，两个数中，P可以表示的数是______； ②点P表示，且是M，N的“15关联点”．求点N表示的数； (2)阅读下列操作： A，B为数轴上两点，点A表示的数为，将A表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；点B表示的数为1，将B表示的数加上1，对应数轴上得到点；将表示的数加上1后，再乘以2，对应数轴上得到点；将表示的数加上1，对应数轴上得到点，依此规律得到，，，，…，，，… 点M表示，点N表示3，完成下面问题： ①线段上存在点M，N的“5关联点”，则n的值可以为______； ②线段上同时存在M，N的“20关联点”和“80关联点”，直接写出满足条件的n的值． 27．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”． 例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”． 数学理解 （1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____； （2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； 尝试探究 （3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由； （4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值． 28．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）【阅读材料】 材料一：进制数与十进制数之间的转换 将进制数转化为十进制数，只要将进制数的每个数字依次乘基数的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：； 如：； 将十进制数化为与其相等的进制数，用十进制数除以基数，然后将商继续除以，直到商为，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可． 如，将转化为五进制数： 因为，，，所以 材料二：二进制数加减运算 加法法则：，，，． 减法法则：，，，．（同一数位不够减时，向高一位借当） 根据以上法则，二进制数的加减法可类比十进制的竖式加法、减法规则进行运算． 如，，所以①，②． 如，，所以③，④． 【问题解决】 (1)将六进制数转化成十进制数，结果为________；将十进制数转化成二进制数，结果为________． (2)计算： ①； ②． （要求：列竖式表示加减过程，结果用二进制数表示） (3)探究二进制的乘法法则： 乘数 乘数 积 根据以上乘法法则，计算．（结果用二进制数表示） 乘数 乘数 积 0 0 0 1 29．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 阅读下列材料： 进位制是人们为了计算和运算方便而约定的技术系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，逢几进一就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数． 材料一：最常用的是十进制，例如：中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，所以十进制数，十进制数一般不标注基数． 材料二：二进制是逢二进一，例如就是二进制数的简单写法，将十进制数转化为二进制可以用除取余法，以此类推，进制就是除取余法，进制就是除取余法，例如：． 材料三：进制转换十进制时，可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和，例如：二进制数转换为十进制数为．．八进制． 根据上述材料解答下列问题： (1)观察感知：六进制的基数为________，逢________进一． (2)问题解决：十进制对应的二进制数为________，二进制对应的十进制的数为________． (3)类比迁移：我国古代设有十二地支，与十二种动物相应成为十二生肖，来表示年为一周期的循环，这一规律可以用十二进制来解释，十二进制有十二个数码：，，，，，，，，，，，．其中代表，代表．请同学们结合材料三提供的“进制转换十进制”的方法与策略，将十二进制转化为十进制数为________． (4)拓展应用：如何将一个二进制数转化为七进制数？ 第一步：先将转化为十进制数为________． 第二步：再将所得的十进制数转化为七进制数为________． 30．（24-25七年级上·福建南平·期中）阅读材料：如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中，校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．以此图为例，其算法为： 步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即． 请解答下列问题： (1)《数学故事》的图书码为，请分别计算步骤3中c的值和校验码Y的值； (2)如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，求m； (3)如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是8，这两个数字从左到右分别是多少？ 31．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 32．（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 33．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）【阅读材料】 如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“2倍角线”． 【解决问题】 如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转；射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，射线、同时出发，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，设运动的时间为． (1)如图①，角的平分线________这个角的“2倍角线”（填“是”或“不是”）； (2)如图①，若，射线为的“2倍角线”，则_______． (3)如图②，当射线、旋转到同一条直线上时，求t的值； 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $