专题05 一元一次方程特殊解的四种考法（重难点培优：知识点总结+四大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

专题05 一元一次方程特殊解的四种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：整数解问题…………………………………………………………… 1 题型2：相同解问题…………………………………………………………… 5 题型3：错解问题……………………………………………………………… 9 题型4：根据方程解的其他情况求值………………………………………… 11 题型5：含绝对值的方程问题………………………………………………… 14 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 20 重难点题型分类 【题型1：整数解问题】 【例1】已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（     ） A．8 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】求得方程的解，根据解是正整数，分类计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程的解是正整数， ∴， 解得 ∴积为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及其特殊解，正确理解整数解的意义是解题的关键． 【变式1-1】已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，先求出方程的解为，再结合方程的解为负整数和为整数得出或或，求出的值，即可得出答案，能求出方程的解是是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为负整数，为整数， 或或， 或或， 整数所有可能取值的和为， 故选：B． 【变式1-2】若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的解与方程的解法，掌握“方程的整数解的含义以及求解整数解的方法”是解本题的关键． 先解方程可得，再根据关于的方程有整数解，为整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时， ∴， ∵关于的方程有整数解，为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴满足条件的整数的取值个数是， 故选：C． 【变式1-3】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式1-4】关于的方程的解为正整数，则的值为 ．（为整数）. 【答案】4或8 【分析】先通过移项、合并同类项将方程化为用含的式子表示的形式，再根据解为正整数确定的值．本题主要考查了一元一次方程的解法及整数解的应用，熟练掌握一元一次方程的变形求解和根据整数解确定参数值的方法是解题的关键． 【详解】解： 则． ∵方程的解为正整数， ∴是的正因数． 的正因数有和． 当时，，此时，是正整数． 当时，，此时，是正整数． 故的值为或 ， 故答案为：或． 【变式1-5】已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值、解一元一次方程等知识点，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将M和N代入，然后利用整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为0，得到关于a的方程求解即可； （2）解一元一次方程可得，由方程的解是正整数，即也是正整数，再结合为整数可得，最后将、代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：，， 的值与无关， ，解得：． （2）解：∵ ∴， ， 方程的解是正整数， 是正整数，即， 为整数， ， ． 【题型2：相同解问题】 【例1】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】先解方程可得，再将代入方程，得，由此即可求得k的值． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 将代入方程，得： ， 整理，得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1）是解决本题的关键． 【变式1-1】若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为（　   　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解方程得出，将其代入到方程中求得的值，然后代入求值即可． 【详解】解：解方程， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵两方程同解，将代入到中， 可得 ， 解得 ， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程以及代数式求值等知识，理解并掌握方程的解得概念以及解一元一次方程的方法是解题关键． 【变式1-2】方程与 的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】分别求出两个方程的解，再根据解相同建立方程，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵两个方程的解相同， ∴， ∴． 【点睛】本题考查求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 【变式1-3】已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1)3 (2)，过程见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）利用一元一次方程的定义即可求出m的值； （2）根据两个方程同解可得n的值． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 解得：； （2）解：当时，关于的方程为：， 解得：； 因为两个方程解相同，所以将代入， 得， 解方程，得． 【变式1-4】在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程； （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值； （2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值； （3）若关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【答案】（1）m＝1；（2）a＝﹣7；（3）m＝3，n＝4或m＝1，n＝6． 【分析】（1）根据题意解方程再把方程的解代入到mx＝m+1求出m即可； （2）把a当做有理数解方程，用含a的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求a即可； （3）把m，n当成有理数，用含m，n的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求m，n即可； 【详解】（1）解方程2x＝4得x＝2， 把x＝2代入mx＝m+1得2m＝m+1， 解得m＝1； （2）关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2得x＝，x＝， ∵关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程， ∴， 解得a＝﹣7； （3）解关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝（m+1）得x＝，x＝， ∵关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝（m+1）是同解方程， ∴＝， ∴mn﹣3m﹣3＝0， mn＝3（m+1）， ∵m，n是正整数， ∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6． 【点睛】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数． 【题型3：错解问题】 【例1】学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据题意得是方程的解，再将代入即可得出根的值． 【详解】解：去分母过程中忘记给右边的乘以6得到： ，则是该方程的解， ∴将代入中得， 故选：D． 【变式1-1】小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，设小红将原方程中的系数“”看成了，则错误的方程为，把代入，然后解方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设小红将原方程中的系数“”看成了，则错误的方程为， 把代入该方程： ， 故选：． 【变式1-2】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解． 【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为， ∴， 解得， 则原方程为： ， 去分母，得， 移项、合并同类项，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键． 【变式1-3】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照小玲的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，由小玲解得，可求得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案． 【详解】解：小玲的解方程过程如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得，， ∵小玲解得， ∴， ∴； 正确解法如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 【题型4：根据方程解的其他情况求值】 【例1】如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 【变式1-1】关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 【变式1-2】若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据这两个方程的解互为相反数可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）将的值代入，利用有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ∵方程①的解与方程②的解互为相反数， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， 则 ． 【变式1-4】已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 【题型5：含绝对值的方程问题】 【例1】方程解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的综合运用，熟练掌握绝对值意义，解一元一次方程，是解题的关键． 由绝对值意义得，可得，或，可得或，解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，或， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； ∴方程有4个解． 故选：D． 【变式1-1】若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，绝对值的意义，解带有绝对值符号的方程先将方程化为|的形式，然后去绝对值变为的形式解出，进而代入，解关于的方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴或 解得：或 当时， ∴ 解得：； 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 故选：A． 【变式1-2】已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【答案】4 【分析】首先去绝对值符号得到，然后分情况再次去绝对值符号共得到四种情况：、、、，然后用含的代数式表示出方程的解，再根据方程有三个解，所以可得：，或，求出或，再根据绝对值的非负性可得． 【详解】解：， ， 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 当时， 移项得：， ， 若， 解得：， 若， 解得：； 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 【点睛】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，解决本题的关键是正确理解绝对值的意义并根据绝对值的定义去掉绝对值符号，把方程转化为一般形式的方程． 【变式1-3】已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解含有绝对值的一元一次方程，正确理解绝对值的意义是关键． 首先根据绝对值的意义得到或，解方程得到或或或，当时，方程只有两个解，不符合题意，则，由方程只有三个解得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴或， ∴或， ∴或或或， ∴或或或， 当时，则，即此时方程只有两个解，不符合题意； ∴， ∴， ∵关于的绝对值方程只有三个解， ∴， ∴． 【变式1-4】对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 【答案】(1)4；1； (2)或－2 (3)或或或 【分析】本题考查代数式求值，绝对值方程的求解，化简绝对值，解题的关键是理解题意正确列式． （1）根据的定义求解即可； （2）分两种情形构建方程求解； （3）分两种情形，根据绝对值方程求解． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：4，1，； （2）， 当时，即， ， 解得：， 当，则， ， 解得：（不符合题意） 综上，或－2； （3）异号， ，或，， 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，则， ， 或； 若，时，则， ， ，（不符合题意舍去） 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，， 或； 若，时， ， ， （不符合题意舍去） 综上：或或或． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可． 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数，将方程的解代入原方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：已知方程的解为， 将代入方程： 化简得： 移项得： 即： 两边同时乘以， 解得： 因此，的值为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 4．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及整数解的讨论，解题的关键是先求出方程的解，再根据解是非正整数确定的取值． 先对原方程去分母，去括号，移项，合并同类项，将方程化为用表示的形式，再根据是非正整数求出的取值，最后计算这些值的和． 【详解】 去分母，方程两边同时乘以6得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 解得， 因为方程的解是非正整数，即且为整数，而，所以，且是5的负因数， 5的负因数为和， 当时，解得， 当时，解得， 则符合条件的所有整数的和为， 故选：C． 5．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元一次方程，熟练掌握换元法的思想是解题的关键．通过观察两个方程的结构特征，利用换元法将关于的方程转化为已知解的关于的方程形式，进而求解的值． 【详解】解：对于方程， ∵令， ∴原方程可化为． ∵已知关于的方程的解为， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级上·山东聊城·期末）若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先根据题意计算的解为，将代入，即可求出答案． 【详解】解：， 解得， 将代入， 解得， 故选A． 7．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 根据题意，分，，，四种情况，分别去绝对值列方程求解即可． 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 8．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值方程，绝对值的性质等；由绝对值及数的平方得或，，由绝对值的性质得，判断取值，代值计算，即可求解；能熟练利用绝对值的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 解得：或， ， ， ， ， ， 当或时，，， 当时，，， 或或， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【答案】或/1或 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 关于的方程的解为正整数， 且要为的倍数， ∵为整数， 或． 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程移项，合并同类项后根据题意求得，的值，将其代入中计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵该方程有无数个解， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知方程的解与关于方程的解互为相反数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，相反数的含义等知识点，能得出关于k的一元一次方程是解此题的关键．先求出第一个方程的解是，把代入第二个方程得出，求出k的值即可． 【详解】解：解方程，得． ∵方程的解与关于x的方程的解互为相反数， ∴方程的解为， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 12．（24-25七年级上·广东东莞·期末）关于的方程的解与方程的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．先解方程可得，再将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：解方程得：， 将代入方程得：， 解得， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，将方程变形得，设，可得方程的解即为方程的解，即得，据此即可求解，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：方程变形得，， 设， 则方程的解即为方程的解， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴一元一次方程的解为， 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若关于的方程与方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元一次方程的定义求参数的值，同解方程，熟练掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）根据一元一次方程的定义，得到且，求出的值即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ∴； （2）由（1）可知：方程为：， ∵， ∴， ∴， ∵关于的方程与方程的解相同， ∴把代入，得：， 解得：． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】先求的解，把其解的相反数代入另一个方程求出的值，再代入代数式即可． 【详解】解：方程去括号， 得， 解得． 依题意，得方程的解为， ，即， 解得， ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键． 17．（24-25七年级上·吉林·期中）已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解． （1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可； （2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴另一个方程的解为， 把代入方程得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴． 18．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 19．（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的解，得到方程的解，代入计算即可． （2）先求的解，根据解的属性，m的属性，解答即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程， 解得， ∵方程与方程的解相同， ∴方程的解为， ∴， 解得， 故时，方程与方程的解相同． （2）解：， 解得， 由方程的解为正整数， 故，且m为非负整数， 故， 解得， 故． 20．（24-25七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）按小明的错误解法将代入求解即可求出的值； （2）由（1）可知原方程为，根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，求解即可．． 【详解】（1）解：根据题意是方程的解， 将代入得： ； （2）由（1）知， 原方程为， ． 21．（24-25七年级下·江西上饶·期中）设、为有理数，且，方程有三个不相等的解，求的值及三个解． 【答案】，方程的解为或或 【分析】本题主要考查绝对值方程，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的定义，绝对值的化简．根据，得到或，分有两个不相等的解，有一个解或有一个解，有两个不相等的解，讨论即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵方程有三个不相等的解， ∴有两个不相等的解，有一个解或有一个解，有两个不相等的解； ①当有两个不相等的解，有一个解时， ∴或，， ∴，或或； ②当有一个解，有两个不相等的解时， ∴，或， ∴，或或； 此时，与有两个不相等的解矛盾，所以无解，此种情况舍去； 综上所述：，方程的解为或或． 22．（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是___________． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （）仿照题例即可求解； （）由，得，然后分当时和当时，即可求解； （）分当时和当时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或 故答案为：或； （2）解：由，得， 当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或； （3）解：当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 【答案】或 【分析】根据示例，分和两种情况进行讨论即可. 【详解】解：①当时，原方程可化为： ， 解得，符合； ②当时，原方程可化为： ， 解得， 符合． 故原方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，按照示例分类讨论是解题的关键． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程特殊解的四种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：整数解问题…………………………………………………………… 1 题型2：相同解问题…………………………………………………………… 2 题型3：错解问题……………………………………………………………… 3 题型4：根据方程解的其他情况求值………………………………………… 3 题型5：含绝对值的方程问题………………………………………………… 4 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 6 重难点题型分类 【题型1：整数解问题】 【例1】已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（     ） A．8 B． C．12 D． 【变式1-1】已知关于的方程的解为负整数，则整数所有可能取值的和为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式1-2】若关于的方程有整数解，那么满足条件的整数的取值个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】关于的方程的解为正整数，则的值为 ．（为整数）. 【变式1-5】已知关于的整式，整式，若是常数，且的值与无关． (1)求的值； (2)若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值． 【题型2：相同解问题】 【例1】若方程的解与关于x的方程的解相同，则k的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【变式1-1】若方程的解与关于的方程的解相同，则代数式的值为（　   　）． A． B． C． D． 【变式1-2】方程与 的解相同，则的值是 ． 【变式1-3】已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【变式1-4】在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程； （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值； （2）若关于x的两个方程2x＝a+1与3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值； （3）若关于x的两个方程5x+（m+1）＝mn与2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【题型3：错解问题】 【例1】学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 【变式1-1】小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程 去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【变式1-3】小玲在解方程去分母时，方程右边的“”没有乘以公分母6，因而求得了方程的错误解为． 请根据上述信息求方程正确的解． 【题型4：根据方程解的其他情况求值】 【例1】如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【变式1-1】关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【变式1-3】已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 【变式1-4】已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【题型5：含绝对值的方程问题】 【例1】方程解的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】若关于x的方程的解满足，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-2】已知关于的绝对值方程有三个解，则 ． 【变式1-3】已知关于的绝对值方程只有三个解，求的值． 【变式1-4】对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 能力提升 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程的解是，则的值为（   ） A．1 B． C．7 D． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 4．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 6．（24-25七年级上·山东聊城·期末）若关于x的方程的解与方程的解相同，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．8 D． 7．（2025·四川成都·一模）方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 8．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 二、填空题 9．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 11．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知方程的解与关于方程的解互为相反数，则的值是 ． 12．（24-25七年级上·广东东莞·期末）关于的方程的解与方程的解相同，则的值是 ． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 三、解答题 14．（24-25七年级上·广东东莞·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)若关于的方程与方程的解相同，求的值． 16．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 17．（24-25七年级上·吉林·期中）已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 18．（24-25六年级上·上海·期末）已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 19．（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知是关于x的一元一次方程． (1)当m为何值时，该方程的解与方程的解相同？ (2)当方程的解为正整数，且m为非负整数时，求m的值． 20．（24-25七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次方程．小明在去分母时，没有将方程右边的项“”乘以，因而求得解为． (1)试求的值； (2)求出原方程的解． 21．（24-25七年级下·江西上饶·期中）设、为有理数，且，方程有三个不相等的解，求的值及三个解． 22．（24-25六年级下·山东东营·阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是___________． (2)解方程：． (3)解方程：． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）【阅读理解】在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和2两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得，符合； ②当时，原方程可化为，解得，符合． 故原方程的解为或． 【尝试应用】运用分类讨论先去绝对值符号的方法解方程：． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $