第11讲 解一元一次不等式（寒假预习讲义）七年级数学新教材华东师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第11讲解一元一次不等式 风内容导航 一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：一元一次不等式的定义 1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式 2.一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或ax+b>0(a≠0)， 3.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集。 ☑知识点2：解一元一次不等式 去分母→去括号→移项→化成axb(或ax<b等)的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到不等 式的解集（化成心b或b的形式） aa 步骤 具体做法 注意事项 去分 把不等式两边都乘以各分母的最小公 1)不要漏乘不含分母的项； 母 倍数，得到系数为整数的不等式 2)当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母 3)如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号： 去括 先去小括号，再去中括号，最后去大 )去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 号 括号 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变 号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边， 1)移项时不等号的方向不改变； 常数项都移到不等式右边 2)所移的项改符号，不移的项不变号. 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 合并 根据合并同类项法则，把不等式整理 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 同类 成ax<b或ax≤b或ax>b或ax≥b 项 的形式 系数 两边都除以a将不等式化为 1)不等式两边都除以未知数系数： 化 x<b或x≤力或>b或x之b的形 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变 为1 a a a 式 ☑知识点3：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的 条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解。可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非 常容易地解决问题。 ☑知识点4：一元一次不等式的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此， 建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵. 3.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数， ②根据题中的不等关系列出不等式. ③解不等式，求出解集. ④写出符合题意的解. 02 练题型强知识 【题型1一元一次不等式的识别】 例1.下列各式中是一元一次不等式的是() A.1-x≥5B.x-3y>1 C.4x+3 D.x2十x≠3 变式1 下列不等式是一元一次不等式的是() A.4>-1 B.-2a2+3b>5C.3x>9 D.3x-2y≤-1 变式2. 下列是一元一次不等式的是() A.2x<3y B.x2+2x+1>0C.4x-5<x D.3x=4(2-X) 【题型2利用一元一次不等式的定义求参数的值】 2/8 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.已知(m-2)x1+3>2是关于x的一元一次不等式，则m的值为」 变式1 已知(k+3)x网2+5<k-4是关于x的一元一次不等式，则k的值是() A.3 B.-3 C.±3 D.无法确定 变式2 已知-3(m-3)x2-6>0是关于的一元一次不等式，则m的值为. 【题型3求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】 例3.解不等式>3x,并把解集在数轴上表示出来. 变式1. 解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1)2x+5≤3(x+2) 2)2x-+<1 变式2 解不等式2(1-2x)>7-(x-4并将解集表示在数轴上. 【题型4求一元一次不等式的整数解】 例4.满足不等式3一专x<0的最小整数解是() A.-7 B.7 C.-4 D.4 变式1， 若关于x的方程2x一3k=5(x+3)一1的解为负数，求所有符合条件的非正整数k的和. 变式2 写出不等式2x-8<0的一个正整数解 【题型5一元一次不等式求解中错解复原问题】 例5.下面是小明同学解不等式的过程， 解不等式：号+1>2-x。 解：去分母，得x-1+2>2(2-x),第一步 去括号，得x-1+2>4-2x,第二步 移项，得x-2x>4+1-2,第三步 合并同类项，得-x>3,第四步 系数化为1，得x<-3.第五步 (①)以上解题过程从第 步开始出现错误， (2)请写出该不等式的正确的解答过程. 变式1. 下面是小明同学解不等式2号<-1的过程，请认真阅读并解答。 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：2(2x-1)<3(3x-2)-6.第①步 4x-2<9x-6-6.第②步 4x-9x<-6-6+2.第③步 -5x<-10.第④步 X<2.第⑤步 (1)第 步开始出现错误 (2)请给出正确解答。 变式2 下面是某同学解不等式1+若>学的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：去分母，得1+5x+4>6x-1 第一步 移项，得 5x-6x>-1-1-4 第二步 合并同类项，得 -x>-6 第三步 x系数化为1，得 x>6 第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)在解答过程中，从第 步开始出错。 (2)写出原不等式的正确解法 【题型6解|x|≥a型的不等式】 例6.解不等式：|x-1+x+2>5 变式1 己知≤a对任意一3≤x≤4都成立，求a的取值范围. 变式2 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式.数 轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题. 例如求x<3和x>3的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， :-4-3-2-10123 x<3的解集为-3<x<3, :-4-3-2-10123 :x>3解集为x>3或x<-3. 根据以上探究，解答下列问题： 4/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)填空：不等式x>1的解集为 (2)解不等式x+2≤6： (3)求不等式x-2+|x+3>7的解集， 【题型7列一元一次不等式】 例7.小明家距新华书店8km.他于星期日上午8：30从家里出发，骑车前往书店购书，先以15km/h的 速度行驶了xh后，又以18km/h的速度继续行驶，结果在9：00之前赶到了书店.请列出相应的不等式. 变式1. (1)当x取什么值时，代数式5x+2的值是负数？ (2)当x取什么值时，代数式x+20的值小于x+4的值？ (3)当x取什么值时，代数式牛的值不大于一学的值？ 变式2 下列数量关系或题意表述写出不等式. (1)x与5的和的28%不大于-6： 2)m除以4的商加上3至多为5； (3)a与b两数和的平方不小于3. (4)一罐饮料净重为300g,其中，蛋白质含量为mg,且不低于净重的0,6%： (⑤)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多. 【题型8用一元一次不等式解集实际问题】 例8.某校积极推进“阳光体育活动”，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其他班级 分别进行一场比赛，每班共要进行10场比赛)，比赛规则规定每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负 一场得-1分，赛后有A,B,C,D四个班级得分情况如下表： 参加班级 A B 0 得分情况 14 18 10 (I)根据以上信息，求A,B,C,D四个班级的平均分； (2)若A班在所有的比赛中总得分为14分，则该班胜了几场？ (3)假设比赛结束后，E班得分比F,G两班得分之和的2倍还多2分，且E班获胜场数超过F,G两班获胜 场数之和，请求出E班胜了几场？ 变式1 盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量 的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满.已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为 每辆300元， (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (②)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式2 为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道题得4分，答错或 不答一道题扣1分.在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，小明至少答对了几道题？ 03 串知识识框架 知识点01一元一次不等式的定义 知识点02解一元一次不等式 知识点归纳 知识点03一元-次不等式的整数解 知识点04一元一次不等式的应用 解一元一次不等式 考点一：一元-次不等式的识别 考点二：利用一元一次不等式的定义求参数的值 考点三：求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 考点四：求一元一次不等式的整数解 考点归纳 考点五：一元一次不等式求解中错解复原问题 考点六：解x之型的不等式 考点七：列一元一次不等式 考点八：用一元一次不等式的解决实际问题 04过关测稳提升 一、单选题 1.一元一次不等式组x+1>1的解集在数轴上表示为(). A. B 0 D 0 2.不等式23x-21≤32的解集是() A.x≤3 B.x<2.3 C.x≤2.26 D.x>2.3 3.某人打算用40元购买单价分别为3元、4元的两种物品（两种物品都买），在钱恰好用尽的情况下，购 买方案有() A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 4.已知号(m十4)x3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为() A.4 B.±4 C.3 D.±3 5.不等式2x-2≤4-x的解集为() 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.x≤6 B.x≥2 C.x≥6 D.x≤2 6.白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐 装白毫银针，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出的数量为x,要使总销售额多于12万元，可列 不等式为() A.300×(1+30%)x≥120000 B.300+30%x>120000 C.300×(1+30%)x>120000 D.300+30%x≥120000 7.下列解不等式等>2号的过程：①去分母，得5(x+2)>3(2x-1):②去括号，得 5x+10>6x-3;③移项，得5x-6x>-3-10;4合并同类项，得-x>-13;⑤系数化为1， 得x>13.其中，开始出现错误的一步是() A.① B.② C.③ D. ⑤ 8.下面列出的不等式中，正确的是() A.a不是负数，可表示成a>0 B.x与2的和是非负数，可表示成x十2>0 C.m与4的差不多于3，可表示成m-4≤3 D.x不大于3，可表示成x<3 二、填空题 9.不等式2x-7>1的解集是」 10.关于x的不等式ax>b+1的解集为x<1,请写出一组满足条件的实数a,b的值：a=, b=_ 11.根据数量关系“x的一半与1的差不大于0”，可列不等式 12.小明从家坐公共汽车上班，每天8：00准时上车，全程6400m,8:20到公司.某天小明照常出发，但遇 上交通堵塞，从814到8：22，公共汽车都未能前行.小明决定8：22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平 均速度至少为」 m/min,才能保证最晚在8：30到公司. 13.写出一个满足不等式2x一1≤4的正整数解是 三、解答题 14.(1)解方程：4x+3=2(x-1)+1: (2)求不等式≥x-1的正整数解。 (3x-4y=1 15.(1)解二元一次方程组：{x+3y=9: (2)求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：号之1-景 16.某手机专卖店销售A,B两种型号的手机，上周销售1部A型手机、3部B型手机，销售额为8400元.本 周销售2部A型手机、1部B型手机，销售额为5800元. (I)A型手机和B型手机的销售单价分别是多少元？ 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如果某单位拟向该店购买A,B两种型号的手机共6部（两种型号的手机都买），发给职工联系业务，且 购手机费用不超过11600元，有哪几种购买方案？ (3)在(2)中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 17.镇安某特产店计划购进镇安核桃和木耳，以满足顾客多样化的需求。 (1)若购进8盒镇安核桃，3袋木耳，需要94元，购进5盒镇安核桃，6袋木耳，需要100元.求购进镇安 核桃、木耳每盒（袋）各需多少元？ (②)若该特产店本次购进木耳的袋数比购进镇安核桃的盒数的2倍还少5袋，购进两种特产的总金额不超过 510元，则该特产店本次最多购进镇安核桃多少盒？ 8/8 第11讲 解一元一次不等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：一元一次不等式的定义 1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 2.一元一次不等式的一般形式：或. 3.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 知识点2：解一元一次不等式 去分母→去括号→移项→化成ax>b（或ax<b等）的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集（化成x>或x<的形式） 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 知识点3：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解。可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易地解决问题。 知识点4：一元一次不等式的应用 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【题型1 一元一次不等式的识别】 例1．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 变式1． 下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，正确把握一元一次不等式的定义是解题关键． 根据一元一次不等式的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为1）直接判断各选项即可． 【详解】解：A、，不含未知数，故此选项不符合题意； B、，含两个未知数和，且的最高次数为2，故此选项不符合题意； C、，只含一个未知数，且的次数为1，故此选项符合题意； D、，含两个未知数和，故此选项不符合题意． 故选：C． 变式2． 下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，据此可得答案． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、中未知数的最高次为2，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 【题型2利用一元一次不等式的定义求参数的值】 例2．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 变式1． 已知是关于x的一元一次不等式，则k的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故选：A． 变式2． 已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【题型3 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】 例3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 先去分母，再移项，合并同类项，把系数化为，求出解集，在数轴上表示即可． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 变式1． 解不等式，将解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 先求出不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 将解集在数轴上表示如下： （2）解： 将解集在数轴上表示如下： 变式2． 解不等式并将解集表示在数轴上． 【答案】 ，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，把不等式的解集在数轴上表示出来；依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 将其表示在数轴上如图所示： 【题型4 求一元一次不等式的整数解】 例4．满足不等式的最小整数解是（    ） A． B．7 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解答的关键． 通过解不等式得到x的取值范围，再找出满足条件的最小整数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小整数解为7． 故选：B． 变式1． 若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方程得到关于的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合是非正整数，求出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 变式2． 写出不等式的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解集中找出正整数解． 先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可． 【详解】 因此，不等式的解集为 ． 满足条件的正整数解有 、、，任选其一即可． 故答案为：（故答案不唯一）． 【题型5 一元一次不等式求解中错解复原问题】 例5．下面是小明同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步 合并同类项，得，第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程从第________步开始出现错误． (2)请写出该不等式的正确的解答过程． 【答案】(1)三 (2)见解析 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1即可． 【详解】（1）解：以上解题过程从第三步开始出现错误，移项时没有变号． 故答案为：三． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 变式1． 下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并解答． 解：．第①步 ．第②步 ．第③步 ．第④步 ．第⑤步 (1)第______步开始出现错误． (2)请给出正确解答． 【答案】(1)⑤ (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的求解方法是解题关键．（1）第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变；（2）求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：第⑤步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向没有改变， 故答案为：⑤； （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化成1，得． 变式2． 下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得         第一步 移项，得                第二步 合并同类项，得                第三步 x系数化为1，得               第四步 根据以上材料，解答下列问题： (1)在解答过程中，从第___________步开始出错． (2)写出原不等式的正确解法． 【答案】(1)第一步 (2) 【分析】本题考查解不等式，求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集，正确的求出不等式的解集，是解题的关键： （1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解：第一步 （2）解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得. 【题型6 解∣x∣≧a型的不等式】 例6．解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 变式1． 已知对任意都成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值不等式，先求出，再由对任意都成立得，即可求解． 【详解】解：由题意得有解， ， ， 对任意都成立， ， 解得：， 故的取值范围． 变式2． 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， ∵ ∴的解集为， ∵ ∴解集为或． 根据以上探究，解答下列问题： (1)填空：不等式的解集为______； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或； (2)； (3)或． 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，绝对值以及不等式的定义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法，理解绝对值、不等式的定义是正确解答的关键． （1）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （2）根据题目所提供的数轴解法进行解答即可； （3）根据所表示的意义，用数轴表示，进而得出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：不等式的解集为， 解得； （3）解：所表示的意义为：数轴上表示数x的点，到表示数2，的点的距离之和大于7， 由数轴可知， 所以不等式的解集为或． 【题型7 列一元一次不等式】 例7．小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是解题的关键； 由题意可知，到之间为半个小时，即，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可． 【详解】解：因为小明在之前赶到了书店， 所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于， 由题意得． 变式1． （1）当取什么值时，代数式的值是负数？ （2）当取什么值时，代数式的值小于的值？ （3）当取什么值时，代数式的值不大于的值？ 【答案】（）；（）；（）． 【分析】本题考查了列不等式，解不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可； （）根据题意列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】解：（）根据题意得，， ， ∴； （）根据题意得， ， ∴； （）根据题意得，， ， ， ， ， ∴． 变式2． 下列数量关系或题意表述写出不等式． (1)x与5的和的不大于； (2)m除以4的商加上3至多为5； (3)a与b两数和的平方不小于3． (4)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (5)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查列不等式．抓住题目中的“至多”、“不大于”、“非正数”等关键词是解题关键． （1）根据“不大于”即可列出不等式； （2）根据“至多为5”即可列出不等式； （3）根据“不小于3”即可列出不等式； （4）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可； （5）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：根据题意可知蛋白质含量； （5）解：根据题意可知：． 【题型8 用一元一次不等式解集实际问题】 例8．某校积极推进“阳光体育活动”，本学期在九年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其他班级分别进行一场比赛，每班共要进行10场比赛），比赛规则规定每场比赛都要分出胜负，胜一场得3分，负一场得分，赛后有A，B，C，D四个班级得分情况如下表： 参加班级 A B C D 得分情况 14 18 10 6 (1)根据以上信息，求A，B，C，D四个班级的平均分； (2)若A班在所有的比赛中总得分为14分，则该班胜了几场？ (3)假设比赛结束后，E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分，且E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和，请求出E班胜了几场？ 【答案】(1)A，B，C，D四个班级的平均分是12分 (2)该班胜了6场 (3)E班胜了9场 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数的定义求解即可； （2）设该班胜a场，则该班负场，根据一共得14分建立方程求解即可； （3）设E班获胜x场，F，G两班获胜y场，根据E班得分比F，G两班得分之和的2倍还多2分列出等式得到，再根据E班获胜场数超过F，G两班获胜场数之和列式求解即可． 【详解】（1）解：分， 答：A，B，C，D四个班级的平均分为12分； （2）解：设该班胜a场，则该班负场， 依题意有， 解得． 答：该班胜了6场． （3）解：设E班获胜x场，F，G两班获胜y场， 依题意有 ， 解得， ∵， ∴， 解得：， ∵，x，y为整数， ∴，且x为奇数， ∴． 答：E班胜了9场． 变式1． 盐城市某中学组织学生参观科技馆，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元． (1)求参观的学生人数和原计划租用45座客车的辆数； (2)若租两种客车，怎样租用最省钱？最低租金是多少元？ 【答案】(1)学生240人，原计划租5辆 (2)最省为租4辆45座和1辆60座，最低租金1180元 【分析】本题考查了一元一次方程与不等式的应用，涉及到了方案选择，解题关键是理解题意，列出一元一次方程与不等式求解． （1）根据总人数不变列出方程即可求解； （2）分别计算不同方案的总价，比较后即可求解． 【详解】（1）解：设原计划租 45 座客车 x 辆， ． 学生人数（人） 答：学生有 240 人，原计划租 45 座车 5 辆． （2）设租45座a辆，60座b辆， ，且（因两种车都要租用）， ∴， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， ∵1180元费用最低， ∴最省钱为租4辆45座和1辆60座，租金1180元． 变式2． 为增强学生爱护环境的责任感，学校举行环保知识竞赛（共有25道题），规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 【答案】小明至少答对了22道题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出不等式是解题的关键． 设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题，再根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有道题． 根据题意得：．           解得． 答：小明至少答对了22道题． 一、单选题 1．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式，再根据解集即可判断求解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， ∴不等式的解集为， ∴不等式的解集在数轴上表示为， 故选：． 2．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤． 不等式移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 故选：A． 3．某人打算用40元购买单价分别为3元、4元的两种物品（两种物品都买），在钱恰好用尽的情况下，购买方案有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式的应用，正确理解题意建立方程是解题的关键． 设购买3元物品x件，4元物品y件，根据题意列出方程，且为正整数，通过求解方程的正整数解，得到购买方案． 【详解】解：设购买3元物品x件，4元物品y件， ∴由题意得，且为正整数， ∴ 解得，， ∴ ∵y为正整数， ∴为的倍数 ∴ x可取4，8， 12， 当时，， 当时，， 当时，， 故购买方案有3种， 故选：A． 4．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式，移项，合并，系数化为1，解不等式即可． 【详解】解：， ， 即， 解得； 故选D． 6．白毫银针是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等功效，某商家以300元/罐的价格购进一批罐装白毫银针，并在进价的基础上提价进行售卖，设售出的数量为，要使总销售额多于12万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，解题的关键是理解题意；根据总销售额等于单价乘以数量，单价为进价提价后的价格，即元/罐，总销售额需多于12万元（120000元），由此列不等式即可． 【详解】解：由题意可列不等式为； 故选C． 7．下列解不等式的过程：去分母，得；去括号，得；移项，得；合并同类项，得；系数化为，得．其中，开始出现错误的一步是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的一般步骤逐一排除即可，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：∵原不等式：， 去分母（两边乘）：， ∴（步骤正确）， 去括号：（步骤正确）， 移项：（步骤正确）， 合并同类项：（步骤正确）， 系数化为（两边乘，不等号方向改变）：， 但步骤得，错误，故开始出现错误的一步是， 故选：． 8．下面列出的不等式中，正确的是（    ） A．a不是负数，可表示成 B．x与2的和是非负数，可表示成 C．m与4的差不多于3，可表示成 D．x不大于3，可表示成 【答案】C 【分析】本题主要考查了列不等式，不是负数，则该数大于或等于0，非负数即为大于或等于0的数，不多于，即小于或等于，不大于，即小于或等于，据此列出对应选项中的不等式即可得到答案． 【详解】解：A、a不是负数，可表示成，原式错误，不符合题意； B、x与2的和是非负数，可表示成，原式错误，不符合题意； C、m与4的差不多于3，可表示成，原式正确，符合题意； D、x不大于3，可表示成，原式错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 9．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的方法并正确计算是解题的关键． 按解一元一次不等式的步骤移项、合并同类项和系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 故答案为：． 10．关于的不等式的解集为，请写出一组满足条件的实数，的值： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据已知条件判断出，，，即可得解； 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， 令，则， ， ， ； 故答案是：；． 11．根据数量关系“的一半与1的差不大于”，可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据关键词得到相应的运算顺序．关系式为：的一半减去不大于，据此列不等式． 【详解】解：根据题意，“的一半与的差”表示为， “不大于”即， ∴可列不等式． 故答案为：． 12．小明从家坐公共汽车上班，每天8:00准时上车，全程6400 m，8:20到公司．某天小明照常出发，但遇上交通堵塞，从8:14到8:22，公共汽车都未能前行．小明决定8:22下车骑共享单车去公司，小明骑车的平均速度至少为 m/min，才能保证最晚在8:30到公司． 【答案】240 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用（行程问题），掌握根据实际问题中的不等关系列不等式求解是解题的关键． 设骑车的平均速度为，先计算公交车速度及堵塞前行驶的路程，得到剩余骑行路程；再确定骑车的最长可用时间，根据骑行路程≥剩余路程列不等式，求解不等式得到最小骑行速度． 【详解】解：设骑车的平均速度为 ∵公交车全程，计划20分钟到达， ∴公交车速度为；   ∵8：00 到 8：14 共行驶 14 分钟， ∴已行驶路程为，剩余路程为； ∵8：22到8：30共 8分钟，骑车时间≤8分钟， ∴骑行路程为； ∵要在8：30前到达，需满足骑行路程≥剩余路程， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．写出一个满足不等式的正整数解是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是正确解一元一次不等式． 先求解不等式，得到解集后找出满足条件的正整数． 【详解】解：： 移项，得， 即， 两边同时除以2得， 即． 因此，正整数解为1、2， 故答案为：1（答案不唯一）． 三、解答题 14．（1）解方程：； （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1）；（2）正整数解为1，2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，求不等式的正整数解，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其正整数解即可． 【详解】解：（1）去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴此不等式的正整数解为：1，2． 15．（1）解二元一次方程组：； （2）求不等式的解集，并将解集表示在数轴上：． 【答案】 （1） （2），解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式；解答的关键是相应的知识的掌握与运用． （1）先用加减消元法，即可求解； （2）直接求该不等式的解集，再在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）， 得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为：． （2）去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化一得． 解集表示在数轴上为： 16．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，上周销售1部A型手机、3部B型手机，销售额为8400元．本周销售2部A型手机、1部B型手机，销售额为5800元． (1)A型手机和B型手机的销售单价分别是多少元？ (2)如果某单位拟向该店购买A，B两种型号的手机共6部（两种型号的手机都买），发给职工联系业务，且购手机费用不超过11600元，有哪几种购买方案？ (3)在（2）中哪种方案费用更省？最少费用是多少？ 【答案】(1)1800元  2200元 (2)两种方案：方案①为购买型手机4部，B型手机2部；方案②为购买A型手机5部，型手机1部． (3)方案②购买费用更省，最少费用是11200元． 【分析】（1）设型手机的销售单价为x元，型手机的销售单价为y元，根据销售1部型手机、3部型手机，销售额为8400元，销售2部型手机、1部型手机，销售额为5800元，列出方程组即可； （2）设购买型手机a部，则购买型手机部，根据购手机费用不超过11600元，列出不等式，解不等式即可. 【详解】（1）设型手机的销售单价为x元，型手机的销售单价为y元． 根据题意，得    解得 答：型手机的销售单价为1800元，型手机的销售单价为2200元． （2）设购买型手机a部，则购买型手机部． 根据题意，得， 解得． ∵a为整数，两种型号的手机都买， ∴， 解得， ∴， ∴或5， ∴有两种购买方案，方案①为购买型手机4部，购买型手机2部；方案②为购买型手机5部，购买型手机1部． （3）按方案①购买所需费用为； 按方案②购买所需费用为． ∵， ∴按方案②购买费用更省，最少费用是11200元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系，列出不等式. 17．镇安某特产店计划购进镇安核桃和木耳，以满足顾客多样化的需求． (1)若购进8盒镇安核桃，3袋木耳，需要94元，购进5盒镇安核桃，6袋木耳，需要100元．求购进镇安核桃、木耳每盒（袋）各需多少元？ (2)若该特产店本次购进木耳的袋数比购进镇安核桃的盒数的2倍还少5袋，购进两种特产的总金额不超过510 元，则该特产店本次最多购进镇安核桃多少盒？ 【答案】(1)镇安核桃每盒8元，木耳每袋10元 (2)20盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设购进镇安核桃每盒需x元，木耳每袋需y元，结合购进8盒镇安核桃，3袋木耳，需要94元，购进5盒镇安核桃，6袋木耳，需要100元，进行列方程组，再解得，即可作答． （2）结合题意，设该特产店本次购进镇安核桃a盒，则购进木耳袋，根据两种特产的总金额不超过510元，进行列不等式，解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设购进镇安核桃每盒需x元，木耳每袋需y元， 根据题意得：， 解得：， 答：镇安核桃每盒8元，木耳每袋10元． （2）解：设该特产店本次购进镇安核桃a盒，则购进木耳袋，且为正整数，且 ∴， 根据题意得， 解得：， ∴的最大值为， 答：该特产店本次最多购进镇安核桃20盒． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $