精品解析：河南省开封市2026届高三第一次质量检测数学试题

2026届高三年级第一次质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集运算法则可得结果. 【详解】由交集运算可知，. 故选：A. 2. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算求出 ，再根据复数的模求解. 【详解】因为，所以，故， 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 4. 已知，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】充分性证明：根据，解得 代入并根据奇函数定义判断；必要性证明：根据奇函数定义求 ，再对比题干中 的值. 【详解】证明充分性：因为，解得 ，当时，，则，所以是偶函数； 当时，，则，所以是奇函数，故不充分. 证明必要性：若为奇函数，则，即， 整理得，因为，所以，即，故必要， 综上所述“”是“为奇函数”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于轴的直线交于两点，若是等边三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求出，之间关系，利用椭圆的定义及勾股定理，即可求出离心率． 【详解】因为是等边三角形， 轴， 所以，故， 所以，解得； 又， 所以椭圆的离心率为． 故选：A 6. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】 假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为. 因为，所以. 则， . 设剩余的米的质量为 ， 则，解得， 所以剩余的米的质量为. 故选：A 7. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得. 【详解】如图，连接，则，； 所以，，，； 因为为的中点，为的中点，所以； 所以. 故选：D. 8. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由两角和差的余弦公式经过拆角变形为，再由正弦定理边化角得到，然后由两角和差的余弦公式再拆角，结合二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】因为， ， ， 由正弦定理可知， 即， 因为，故， 所以， 所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（ ） A. 图（1）中成对样本数据呈负相关 B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相关系数的定义和意义进行辨析即可. 【详解】对于A：图（1）中，随着增大，整体呈减小趋势，因此成对样本数据呈负相关，A正确； 对于B：图（1）中数据点更贴近直线，线性相关程度比图（2）（数据点分散）强，B正确； 对于C：图（1）的线性相关性强，负相关的相关系数接近−1；图（2）线性相关性弱，相关系数绝对值小（接近 0）. 因此图（1）的相关系数（负数，绝对值大）小于图（2）的相关系数（接近 0），C错误； 对于D：从图（2）中抽取部分样本，数据分布会改变，相关系数会变化，D错误. 故选：AB. 10. 已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线上，则直线与圆相切 B. 若点在圆外，则直线与圆相离 C. 若点在圆内，且异于原点，则直线与圆相离 D. 若点在圆上，则直线与轴，轴围成的三角形面积的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过计算圆心到直线的距离，结合点与圆的位置关系（点的坐标满足的不等式），判断直线与圆的位置关系；对面积问题，利用基本不等式推导最小值. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 选项A： 点在直线上，则，此时， 直线与圆相切，故A正确. 选项B： 点在圆外，则，此时， 直线与圆相交，故B错误. 选项C： 点在圆内，则，此时， 直线与圆相离，故C正确. 选项D： 点在圆上，则. 直线与轴交于（），与轴交于（ ）， 围成三角形的面积为. 由，得，故， 当且仅当时取等号，面积最小值为1，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为1，定义，，若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，可得到坐标的集合，根据题意可得的坐标，取值验证ABD，分析C不成立即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以的坐标集合为， ， ， 又由，，， 所以，不妨取，则，，故A 正确； 不妨取，则，，故B正确； 由于，所以，但是观察集合B，的横、纵、竖坐标中不可能有，故C错误. 不妨取，则，，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和下标的性质计算可得. 【详解】因为等差数列的前项和为，若， 所以. 故答案为：32. 13. 写出一个同时具有下列性质①②的函数_____． ①；②当时，． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】 【分析】设，验证函数满足性质①，从而确定函数为指数函数.求导数，分和两种情况讨论，验证是否满足②，当时，再利用函数的单调性求出 的取值范围即可得解. 【详解】设. 因为，， 且，故满足①. 因为，要使恒成立，即恒成立. 若，则，当时，， ，不满足性质②； 若，，当时，，所以可能成立. 当时，函数在上单调递增， 故函数在上也单调递增， 所以其函数值大于， 所以要使恒成立，只需满足，解得. 故当时，满足性质②， 所以（答案不唯一，均满足）. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求出双曲线渐近线方程、焦点坐标、点的坐标，然后利用面积比列出等式，最后根据两点距离公式列出的表达式，进行化简即可求得结果. 【详解】因为双曲线的左、右焦点分别为， 所以，渐近线方程为. 因为过点的直线与轴有交点，所以该直线的斜率存在， 设该直线方程为，则，该直线与渐近线方程联立得 ，解得. ，解得. 所以，. 由题意知，，所以， 化简得，所以有. ， 所以，又，. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）经过点且斜率为1的直线交于，两点，求． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）先设点的坐标为，再根据题意列式化简即可； （2）先求出直线的方程，再利用距离公式即可求出. 【小问1详解】 设点的坐标为，依题意得， 化简得，所以的方程为． 【小问2详解】 直线过点且斜率为1， 直线为，即 ， 设， 联立，化简得： ，则， 又，把代入， 得, ， ． 16. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数 的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为1． 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）由（1）利用导数可判断在上的单调性，据此可得答案. 【小问1详解】 ，依题意，，解之得：； 【小问2详解】 令，解之得：， 令，则，所以在上单调递减， 记， 则单调递增，单调递减， 所以在处取极大值， 又因为， 所以， 又， 比较可得：函数在区间上的最大值为，最小值为1． 17. 如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线 的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面． （1）证明：； （2）若 是正三角形，求直线 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 连接 ，，，如图： 因为是 中点，是中点，则 ，而平面， 所以平面，又因为平面，， 所以平面平面，即平面平面. 又平面平面，平面平面 ，所以， 所以，而，所以 是等边三角形， 所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面平面，再证明四边形是平行四边形即可. （2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法即可得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 由（1）知 ， 又 ，所以是等边三角形，则，即. 以为坐标原点，分别以，，为，， 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设 ，又 是正三角形， 则，，，. 则，， 设为平面的一个法向量， 由，得， 令，则得平面的一个法向量， 所以， 所以，直线 与平面所成角的正弦值为． 18. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 【答案】（1） （2）分布列如下表所示： 1 2 3 4 ， （3） 【解析】 【分析】（1）分第一次取出白球或黑球的情况，通过全概率公式计算编号为2的抽屉里放黑球的概率. （2）确定的可能取值，利用组合数计算各取值对应的概率得到分布列，再根据期望公式计算数学期望. （3）先确定编号为1的抽屉必放白球，分符合条件的不同情况计算概率，求和得到事件的概率. 【小问1详解】 设 “编号为2的抽屉里放的是黑球”，则． 【小问2详解】 的可能取值为1，2，3，4， 用表格表示分布列，如下表所示： 1 2 3 4 【小问3详解】 依题意，编号为1的抽屉里放的一定是白球，一共可以分为如下5种情况： ①序列前缀为：白黑白白……，， ②序列前缀为：白黑白黑白…… ③序列前缀为：白白黑白……，， ④序列前缀为：白白黑黑白…… ⑤序列前缀为：白白白……，， 19. 若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且 ． （1）求的所有可能取值； （2）若对任意，，求，的所有可能取值； （3）在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 【答案】（1）8 （2）或 （3）因为，且对任意 ，总存在， 使得 ， 所以数列 的任意一项都可以写成2的正整数指数幂的形式， 又因为对任意 ，，所以， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）根据融积数列则 ； （2）因为，所以数列为递增数列，再结合融积数列的定义分类求解即可； （3）结合融积数列的定义和（2）的结果，可得，所以，利用放缩法得到，再利用等比数列求和证明得到. 【小问1详解】 由于两实数相乘满足交换律，以下解答中不妨设 ． ； 【小问2详解】 若对任意 ，，则 ，或 ； ①若 ，则 ，或 ， 或 ，或 ； ②若 ，则 ，或 ， 或 ； 综上，或 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级第一次质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设椭圆的左、右焦点分别为，过作平行于 轴的直线交于两点，若是等边三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 7. 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下是不同成对样本数据的散点图，则下列说法正确的是（ ） A. 图（1）中成对样本数据呈负相关 B. 图（1）中成对样本数据的线性相关程度比图（2）中强 C. 图（1）中成对样本数据的相关系数大于图（2）中成对样本数据的相关系数 D. 若从图（2）样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不变 10. 已知直线与圆，设点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在直线 上，则直线 与圆相切 B. 若点在圆外，则直线 与圆相离 C. 若点在圆内，且异于原点，则直线 与圆相离 D. 若点在圆上，则直线 与轴， 轴围成的三角形面积的最小值为1 11. 已知正方体的棱长为1，定义，，若，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____． 13. 写出一个同时具有下列性质①②的函数_____． ①；②当时，． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作直线分别交两条渐近线于点，交 轴于点为坐标原点．若的面积是的面积的3倍，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在直角坐标系中，点到 轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）经过点且斜率为1的直线 交于，两点，求． 16. 已知函数，且曲线在点处的切线斜率为． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 17. 如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，是母线 的中点，点，在底面圆周上，且，点在线段上，且直线平面． （1）证明：； （2）若 是正三角形，求直线 与平面所成角的正弦值． 18. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机地逐个取出，并将第次取出的球放入如图所示的编号为的抽屉里． 1 2 3 4 5 6 7 （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总数为，求的分布列和数学期望； （3）记“从左往右数，任意前个抽屉中，白球总数均不少于黑球总数”为事件，求事件的概率． 19. 若数列满足：对任意，总存在，使得，则称是融积数列．已知数列是融积数列，且 ． （1）求的所有可能取值； （2）若对任意，，求，的所有可能取值； （3）在（2）的条件下，记为数列的前项和，证明：对任意，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $