精品解析：辽宁省丹东市东港市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025—2026学年度上学期期末教学质量监测 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据主视图是从正面看所得到的图形求解即可． 【详解】解：．圆柱的主视图是长方形，故该选项不符合题意； ．该图形的主视图是两个三角形上下拼接的图形，不是单一的三角形 ，故该选项不符合题意； ．圆锥的主视图是三角形，故该选项符合题意； ．该图形的主视图是长方形且里面有一条虚线，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的概念，根据方程是一元二次方程且有实数根，则且，然后求出的取值范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵方程是一元二次方程且有实数根， ∴且， ∵， ∴，即， 解得， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 3. 一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（ ） A 10个 B. 20个 C. 30个 D. 40个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握概率公式是解题的关键． 利用频率估计概率，摸到黄球的频率稳定在，因此概率约为，从而计算黄球个数． 【详解】解：∵摸到黄球的频率为， ∴摸到黄球的概率约为.， ∵总球数为， ∴黄球个数约为个， 故选A． 4. 如图，直线，直线、与，，分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据平行线分线段成比例得出线段之间比例关系，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 5. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系是解题的关键． 根据可得到位似比为，再根据位似比即可求解点的坐标． 【详解】解：∵与是位似图形， ， ∴位似比为， 故点的对应点的坐标为，即， 故选B． 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?设门高尺，根据题意可列方程为（注：1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程应用，掌握高和宽之间的关系并熟练勾股定理的应用是解题的关键． 先将门的宽表示出来，再根据勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：门高尺，高比宽多6尺8寸， 门宽为尺， 根据勾股定理可得． 故选：A． 8. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法：如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， 根据题意，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 转动如图所示的转盘（转盘被分成面积相等的六个扇形）两次，两次所得的颜色相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率，掌握列表法或树状图法是解题的关键． 列表得出所有可能组合，用满足题意的组合个数除以总可能数即可得出所求的概率． 【详解】解：事件的所有可能性如下表： 红 橙 黄 绿 青 蓝 红 红，红 橙，红 黄，红 绿，红 青，红 蓝，红 橙 红，橙 橙，橙 黄，橙 绿，橙 青，橙 蓝，橙 黄 红，黄 橙，黄 黄，黄 绿，黄 青，黄 蓝，黄 绿 红，绿 橙，绿 黄，绿 绿，绿 青，绿 蓝，绿 青 红，青 橙，青 黄，青 绿，青 青，青 蓝，青 蓝 红，蓝 橙，蓝 黄，蓝 绿，蓝 青，蓝 蓝，蓝 表中共有种可能性，字体加粗组合为满足题意要求的可能性，共种， 故概率为， 故选A． 10. 如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，轴于点．在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，作轴于点M，轴于点N，根据k的几何意义可得，再证，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点M，轴于点N， 则， 又， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， A、B是图象上的点， ， ， ， 故选C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意得出，，，代入化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 12. 人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 则地面所受压强关于接触面积的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 由表格可知，压强关于接触面积的乘积为定值，则压强关于接触面积满足反比例函数关系，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：由表格可知，压强关于接触面积的乘积为定值， 压强关于接触面积满足反比例函数关系， 设关于的函数表达式为， 将代入得 关于的函数表达式为． 故答案为：． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义，得到，求出的长，再根据线段的和差求出的长即可． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，再根据菱形的面积即可得出. 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，， ， ， ． 故答案为： 15. 如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点，且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接，若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，可得，证明四边形是正方形，得到，再证明，得到，再结合即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，如下图所示： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等，解题的关键是灵活运用这些知识，构建合适的辅助线证明三角形全等． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先化简成一般形式，再进行因式分解，即可求解； （2）先化简成一般形式，再进行因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得． 17. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及被选到的2位老师是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 18. 如图，王亮同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时发现，他在路灯下的影长为2米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方．已知王亮身高米，路灯高8米． （1）计算王亮站在处在路灯下的影长； （2）计算路灯的高度． 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． （1）证明，利用对应边成比例可得长； （2）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； ∴王亮站在Q处在路灯A下的影长为米； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴路灯A高度为米． 19. 如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，，由平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，再由矩形的判定可得结论； （2）由勾股定理可求，的长，由矩形的性质和勾股定理可求的长． 【小问1详解】 证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵将线段绕着点顺时针旋转到， ∴，， ∴点，点，点三点共线， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解： ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴的长为． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．证明三角形全等是解题的关键． 20. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 【答案】（1）；（2）5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米解答即可； （2）根据中间的种植园区的面积是，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：纵向道路宽度的取值范围为：； （2）根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． ， 道路的宽度应为5米． 21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．     （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和翻折的性质，可以得到，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （2）根据题意和勾股定理，可以求得的长，进而求得，然后在中根据勾股定理求出的值，从而可以得到四边形的周长． 【小问1详解】 证明：∵沿折叠，点落在边上的点处， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长是：． 22. 在中，，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，邻补角的定义得到，于是得到，证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）证得，根据相似三角形的性质得到，再运用相似三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点D，E分别作垂足分别为H，G，利用含30度的直角三角形及勾股定理求出，进而得到，证明，得到，即可求出，进而求得的长． 【小问1详解】 证明：∵在中，，，是中线， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：过点D，E分别作垂足分别为H，G， ∵，，由（2）知， ， ， ， ∵，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）， （2）①10；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解． （1）将点代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值； （2）①利用点，点求出直线的函数解析式，从而求出点的坐标，利用割补法即可求解； ②分两种情况：以和为对角线时，由可以看作先向右平移到点与原点重合，再向上平移2个单位得到，可知点的纵坐标为6，从而可得点的坐标；以和为对角线时，由可以看作先向下平移2个单位，再向左平移到点与点重合，可知点的纵坐标为2，从而可得点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴点的坐标为， 把代入得，， 解得， ∴，． 【小问2详解】 解：设直线函数解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线函数解析式为， 由得，，， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， 如图，过点作轴于点，过点作于点，过点作轴于点，与的延长线交于点， ∴． ②设点，， ∵，，点、、、构成平行四边形， 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向右平移个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点的纵坐标为6，即， ∴， ∴点的坐标为； 当和为对角线时，有，如下图： 点可看作是将点先向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， 故点也是相应关系，即点是点向下平移2个单位，再向左平移个单位得到， ∴点的纵坐标为2，即， ∴， ∴点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末教学质量监测 九年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 一个不透明的盒子中装有个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为，估计盒子中黄球的个数为（ ） A 10个 B. 20个 C. 30个 D. 40个 4. 如图，直线，直线、与，，分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 9 5. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少?设门高尺，根据题意可列方程为（注：1丈尺，1尺寸）（ ） A. B. C. D. 8. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法：如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 转动如图所示的转盘（转盘被分成面积相等的六个扇形）两次，两次所得的颜色相同的概率是（ ） A B. C. D. 10. 如图，过点作直线与双曲线交于，两点，过点作轴于点，轴于点．在轴、轴上分别取点，，使点，，在同一条直线上，且．设图中矩形的面积为，的面积为，则，的数量关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则的值是_______． 12. 人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 则地面所受压强关于接触面积的函数表达式为________． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为________． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为________． 15. 如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点，且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接，若，，则的度数为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 18. 如图，王亮同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时发现，他在路灯下的影长为2米，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了米到处，此时他在路灯下的影子恰好位于路灯的正下方．已知王亮身高米，路灯高8米． （1）计算王亮站在处在路灯下的影长； （2）计算路灯的高度． 19. 如图，在中，，为边上的中线，点为的中点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 20. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划问题 素材 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 问题解决 任务1 （1）纵向道路宽度的取值范围是________． 任务2 （2）若中间种植的面积是，则纵向道路的宽度应为多少？ 21. 如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．     （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形周长． 22. 在中，，，是中线，一个以点为顶点的角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点、，与交于点，与交于点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点旋转过程中，试证明恒成立； （3）若，，请直接写出的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，连接． ①求的面积； ②点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $