精品解析：湖南省株洲市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级10月月考试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 2. 原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 6. 已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 10. 下列说法正确的是（    ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率 11. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则m的值为________． 13. 平面直角坐标系中有点，，直线经过点，且点到直线的距离是，则直线的方程是__________． 14. 台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在梯形中，已知，，，，，求： （1）的长； （2）的面积． 16. 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； （2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； （3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． （1）若，线段中点为，且，求证：； （2）若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 18. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． （2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 19. 如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. （1）①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； （2）设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月月考试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知，其中为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等求参数的值. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 2. 原点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离. 【详解】由点到直线距离可知所求距离. 故选：D 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题. 3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，可得，所以， 即，解得，所以. 故选：A. 5. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 6. 已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间两点间距离公式计算即可； 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以点的坐标为， 故选：B 7. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【详解】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 8. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解. 【详解】由题意知平面平面，如图，连接， 因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 则．由图知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 故选:A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体为圆台 B. 该几何体的母线长为5 C. 该几何体的体积为93π D. 该几何体的表面积为56π 【答案】ABD 【解析】 【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论. 【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线， 体积为，表面积为． 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（    ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示： 设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对. 故选：BCD. 11. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3 【答案】AC 【解析】 【分析】A.通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行，B.利用等体积法求出距离，C.作辅助线先证明线面垂直，再得到面面垂直D.，求出 【详解】对于A，∵四边形为正方形，∴ 又，且，，在平面内，在平面内， ∴平面平面，又平面， 平面，A正确 对于B，三棱锥的体积， 易知为正三角形，且边长为，故， ，到平面的距离满足：， 解得：，B错误； 对于C， 连接交于点，连接，，取中点，则为直角三角形， 易知， ，，， ， 为等边三角形，且为中点， ，又，且都在平面内， 平面，又在平面内， ∴平面平面，C正确； 对于D，易知，又，与全等， ，为等腰三角形， ，， ∴棱锥的体积，D错误 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意， 因为， 所以，解得. 故答案为： 13. 平面直角坐标系中有点，，直线经过点，且点到直线的距离是，则直线的方程是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由直线经过点，且点，， 当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足点到直线的距离是； 当直线斜率存在时，设直线方程为，转化为， 因为点到直线的距离是，所以，解得， 此时直线的方程为． 故答案为：或. 14. 台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________． 【答案】0.902 【解析】 【分析】 根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，则至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解. 【详解】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2， P()＝0.3，P()＝0.1， 至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立． 所以至少两颗预报准确的概率为 P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C) ＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9 ＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902. 故答案为：0.902. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在梯形中，已知，，，，，求： （1）的长； （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由已知求得，再利用正弦定理即可求得的长； (2)先求得的正余弦值，再利用余弦定理求的长，最后用面积公式即可. 【小问1详解】 解：在中，， 由正弦定理得：，即 故：． 【小问2详解】 解： ∴ 在中，由余弦定理得： 即，解得：或舍． 故：的面积为7. 16. 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数； （2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率； （3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得； （2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解. （3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以成绩在分以下的学生所占的比例为， 成绩在分以下的学生所占的比例为， 所以成绩的第分位数一定在内，即， 因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为； 【小问2详解】 因为，，， 所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人， 其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为， 则从人中选择人作为学生代表， 有， 共种， 其中人均为航天达人为共种， 所以被选中的人均为航天达人的概率为． 【小问3详解】 内的频率为，内的频率为， 内的平均数为，内的平均数为， 内的平均数为， 又组的方差为12，组的方差为8， 所以这次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点． （1）若，线段中点为，且，求证：； （2）若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长． 【答案】（1）证明如下： 因为，故， 又，，由直角梯形可得必定相交， 且平面，所以平面， 而平面，故. 由结合可得， 而平面，故平面， 而平面，故. （2）则梯形为四棱锥过点的截面， 【解析】 【分析】（1）利用空间垂直关系的转化可得平面，故可证； （2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取线段的中点，连接， 因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又分别为线段中点，所以， 所以，则梯形为四棱锥过点的截面， 则，，， 在中，，， 所以，则， 所以截面周长为. 18. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． （2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值. 【小问1详解】 当经过时，设，代入，所以，即， 当不经过时，设，代入，解得，即， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 由题意设， 令，则，所以，令，则，所以， 所以，， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即(舍)时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为. 19. 如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. （1）①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； （2）设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）存在，或，理由如下： 因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则. 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，. 【解析】 【分析】（1）取AB中点O，连接，先假设，则有，进而得到条件②能使，从而选条件②，再由先出垂直判定定理结合线面垂直定义即可得证； （2）以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用求出参数y即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $