第03讲同底数幂的除法（寒假预习讲义）（4大知识点+8大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第01讲同底数幂的除法 （4大知识点+8大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．(其中都是正整数). 解题指导：（1）底数a≠0，因为0不能做除数； （2）应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． （3）逆用公式：即（都是正整数）. 知识点2：零指数幂 一般地，规定（a≠0).即任何不等于0的数的0次幂等于1. 零指数幂的意义是由除法运算产生的.由于0不能作除数，所以中限定a≠0.因此，零的零次 幂没有意义· 知识点3：负整数指数幂 负整数指数幂：（a≠0，p是正整数），任何不等于0的数的-n（n是正整数)次幂，等于 这个数的n次幂的倒数. 知识点4：用科学记数法表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【题型1】同底数幂的除法 【例1】下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确，正确答案是 ； (2)正确； (3)不正确，正确答案是 ； (4)不正确，正确答案是 ． 【分析】本题考查了同底数幂除法、积的乘方，掌握同底数幂除法法则是解题的关键．同底数幂相除，底数不变，指数相减． （1）根据同底数幂除法法则计算即可． （2）根据同底数幂除法法则计算即可． （3）根据同底数幂除法法则计算即可． （4）根据同底数幂除法法则和积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：不正确，正确答案是； （2）正确； （3）不正确，正确答案是； （4）不正确，正确答案是． 【变式训练】 1．若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂相除．根据题意利用同底数幂相除运算即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选：A． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相除．根据题意利用同底数幂相除底数不变，指数相减继而得到本题答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【题型2】幂的混合运算 【例2】计算： 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的运算法则：同底数幂相乘，指数相加；同底数幂相除，指数相减．先计算乘方，再计算同底数幂的乘除即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 7． ． 【答案】 【详解】本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 解： 故答案为：． 8．计算： ， ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，正确理解幂的运算性质，分清指数之间的变化是关键．根据运算顺序分别计算即可得到答案． 【详解】解：， ． 故答案为：， 9．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，整式的乘除，解题关键是注意运算顺序． 先计算积的乘方，幂的乘方，再计算整式的乘除． 【详解】解：原式 ． 10．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，根据积的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【题型3】同底数幂的除法的逆运用 【例3】已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． 【变式训练】 11．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂相除和幂的乘方法则，逆用同底数幂相除和幂的乘方法则将变形为，然后把已知整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 12．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 本题考查了同底数幂除法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 13．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法，掌握相应的运算法则是关键．利用指数运算规则，将表示为，再代入已知值计算． 【详解】解：由已知条件 , ， 根据幂的乘方运算法则，， 再根据同底数幂的除法法则，. 故答案为：． 14．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，逆用法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法法则即可求解； （2）先逆用同底数幂的除法法则，再逆用幂的乘方法则求解即可 【详解】（1）解：； （2）解：． 15．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解即可； （2）根据同底数幂乘法和除法的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：，，， ． 【题型4】零指数幂 【例4】若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂有意义的条件，解题关键是明确零指数幂中底数不能为． 根据零指数幂有意义的条件，底数不能为． 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为 ． 【变式训练】 16．下列各数中，是正数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数，求一个数的绝对值有理数的乘方和零指数幂，先化简各数，再判断各选项的值是否大于零，即可． 【详解】解：A、，是负数，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、，是正数，符合题意； 故选D． 17．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查零指数幂的性质：任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：1． 18．成立的的值为 ． 【答案】2025 【分析】该题考查了零指数幂，根据指数方程的性质，当底数不为0且不等于时，幂为1当且仅当指数为0． 【详解】解：因为底数是无理数与有理数的和，且， 所以，且，， 因此，当方程成立时，当且仅当指数， 解得：． 故答案为：2025． 【题型5】负整数指数幂 【例5】比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则，分别计算两个式子的值，再比较大小即可． 本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 19．计算，正确的是（    ） A． B． C． D．100 【答案】D 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，利用负指数幂的定义，将原式转化为其倒数的正指数幂形式，再计算平方值即可得到答案． 【详解】解：， 故选：D． 20．计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算，根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 21．在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小，计算各数的值并比较大小即可． 【详解】∵ ． ． ． ． 又 ∴ 最小的是． 故选： C． 【题型6】零指数幂与负整数指数幂的计算 【例6】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，有理数乘方，负整数幂，零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先根据有理数乘方、负整数次幂、零次幂等知识点化简，然后再计算即可 【详解】解： 【变式训练】 22．计算： ． 【答案】－6 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算． 先根据负整数指数幂的法则计算 ，再根据零指数幂的法则计算 ，最后进行减法运算． 【详解】解： 故答案为：． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，灵活应用相关运算法则是解题的关键．先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查乘方运算、零次幂、负整数指数幂：先计算乘方、零次幂、负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式． 25．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，再进行计算，即可求解． 【详解】解：    ． 26．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 【题型7】科学记数法 【例7】把下列各数用科学记数法表示： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了小于1的有理数用科学记数法表示（科学记数法形式为，其中，为负整数），解题的关键是确定（使满足）和（的绝对值等于原数中第一个非零数字前所有零的个数）． （1）对于，将小数点向右移至第一个非零数字“2”后，得到，小数点共移6位，故； （2）对于，先保留负号，再将小数点向右移至第一个非零数字“6”后，得到，小数点共移6位，故，最终带负号表示． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式训练】 27．在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．对于0.0000025，需将小数点向右移动6位得到2.5，故． 【详解】解：∵0.0000025的第一个非零数字为2，将小数点移至2后得2.5，此时小数点向右移动了6位， ∴， 故选：C． 28．某种感冒病毒的直径是米，该数值用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n与小数点移动的位数相同，解题的关键是注意的形式以及指数的确定方法． 【详解】解：米米． 故答案为：． 29．下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？ (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了科学记数法中负整数指数幂对应的原数还原，解题的关键是掌握（，为正整数）的还原规则：将的小数点向左移动位，或计算． （1）对于，因，故用3乘，或把3的小数点向左移3位得到原数； （2）对于，因，故用乘，或把的小数点向左移5位得到原数． 【详解】（1）解：. （2）． 30．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整数指数幂的运算，用科学记数法表示结果，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学计算法表示即可． （2）先根据幂的乘方、积的乘方运算法则计算，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型8】新定义问题 【例8】规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析    【分析】（1）由题意可得，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由，可得，，由同底数幂的乘法可得，由同底数幂的除法可得，由幂的乘方可得，于是可得，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由，，可得，，，由可得，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由可得，设，，，由探索的结论可得，即，由于，因而可得，由此即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ， 故答案为：； （2）解：，， ，， ，， ， ， ； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ， 设，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 【变式训练】 31.对于整数a、b定义运算： （其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 32．在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可；本题主要考查了同底数幂的除法，熟练掌握“同底数幂相除，底数不变，指数相减”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 【答案】D 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，逆用法则是解决本题的关键． 直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：， ， 则 ． 故选：D． 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）已知某种气体的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（   ） A．0.000132 B．0.0132 C．0.00132 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值较小的科学记数法：（其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：用小数表示为0.00132． 故选：C 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂的定义，任何非零实数的0次方都等于1，因此底数不能为0． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：C． 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据同底数幂的除法法则进行计算.同底数幂的除法法则为：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即(，为正整数，且)；利用指数运算法则，将 转化为 ，然后代入已知条件计算． 【详解】解：∵ ，， ∴ ． 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，零指数幂的运算法则，有理数大小的比较，理解负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，是解答关键． 根据负整数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，先分别求出，再根据有理数大小的比较来求解． 【详解】解：，，， 而， ． 故选：D． 二、填空题 7．（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 【答案】 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【详解】解：把数据中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： ；若有意义，则的值应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，根据负整数指数幂，以及零指数即可求解． 【详解】解：， 若有意义，则的值应满足的条件是 ∴， 故答案为：；． 9．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，则的值是 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查了有理数乘方、零次幂等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 方程 成立的条件有三种：底数为1；底数为且指数为偶数；指数为 0 且底数不为0．分别求解并验证即可解答． 【详解】解：设底数，指数． 当时，，解得，此时 ，故，成立； 当时，，解得，此时为奇数，故，不成立； 当时，，解得 ，此时，故，成立． 此外，底数时无意义，故不考虑． 综上，的值为或． 故答案为：或． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）已知，，，．比较，，，的大小并用“”号连起来 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及零次幂．根据有理数的乘方运算可进行求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法法则是解答此题的关键．应用同底数的乘除法，进行熟练变换，即可求出正确答案． 【详解】解：， ，即，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ．故④错误． 故答案为：①②③． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法逆用，负整数指数幂，解题的关键是灵活运用知识解决问题．由，，得到，，进一步可得，即，所以，由此即可解决问题． 【详解】解：，， ，， ，即， ， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了0指数幂、负整数指数幂、同底数幂的乘除法和积的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据有理数的乘方法则、0指数幂和负整数指数幂的法则计算，再计算加减； （2）先根据同底数幂的乘除法和积的乘方法则计算，再计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用， 逆用同底数幂相除法则，及幂的乘方法则可得，再代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴. 15．（24-25七年级下·江苏南京·月考）规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以． (1)______， ______， ______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以． 所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法说明：． 【答案】(1)；；； (2)见解析． 【分析】本题考查幂的运算性质，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据规定的运算即可求得答案； （2）设，，，然后利用同底数幂除法法则进行说明即可． 【详解】（1）解：，，， ，，， 故答案为：；；； （2）证明：设，，， 那么，，， 则， 即， 那么， 即． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲同底数幂的除法 （4大知识点+8大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：同底数幂的除法法则 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．(其中都是正整数). 解题指导：（1）底数a≠0，因为0不能做除数； （2）应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． （3）逆用公式：即（都是正整数）. 知识点2：零指数幂 一般地，规定（a≠0).即任何不等于0的数的0次幂等于1. 零指数幂的意义是由除法运算产生的.由于0不能作除数，所以中限定a≠0.因此，零的零次 幂没有意义· 知识点3：负整数指数幂 负整数指数幂：（a≠0，p是正整数），任何不等于0的数的-n（n是正整数)次幂，等于 这个数的n次幂的倒数. 知识点4：用科学记数法表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【题型1】同底数幂的除法 【例1】下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．计算： (1)． (2)． (3)． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】幂的混合运算 【例2】计算： 【变式训练】 6．计算： ． 7． ． 8．计算： ， ． 9．计算：． 10．计算：． 【题型3】同底数幂的除法的逆运用 【例3】已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【变式训练】 11．已知，，则的值（   ） A．18 B．9 C． D． 12．已知，则的值为（  ） A．9 B．8 C．6 D．5 13．若，则的值是 ． 14．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 15．已知，，． (1)求的值． (2)求的值． 【题型4】零指数幂 【例4】若式子有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式训练】 16．下列各数中，是正数的是（   ） A． B．0 C． D． 17．计算： ． 18．成立的的值为 ． 【题型5】负整数指数幂 【例5】比较大小： （填“”、“”或“”）． 【变式训练】 19．计算，正确的是（    ） A． B． C． D．100 20．计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 21．在数，，，中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【题型6】零指数幂与负整数指数幂的计算 【例6】计算：． 【变式训练】 22．计算： ． 23．计算：． 24．计算：． 25．计算：． 26．计算：． 【题型7】科学记数法 【例7】把下列各数用科学记数法表示： (1)； (2)． 【变式训练】 27．在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高．其中某关键特效粒子的半径为0.0000025米，0.0000025用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 28．某种感冒病毒的直径是米，该数值用科学记数法表示为 ． 29．下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？ (1)； (2)． 30．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)． 【题型8】新定义问题 【例8】规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ； (2)若，，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明： 设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算： ． 【变式训练】 31．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 32．在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2) 对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 一、单选题 1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知，，则的值为（   ） A．5 B． C． D．2 3．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）已知某种气体的单位体积质量为克/厘米，用小数表示为（   ） A．0.000132 B．0.0132 C．0.00132 D． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024七年级下·江苏·专题练习）将化为原数是 ． 8．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： ；若有意义，则的值应满足的条件是 ． 9．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）若，则的值是 ． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）已知，，，．比较，，，的大小并用“”号连起来 ． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，，，则，，的关系：①；②；③；④，其中正确的是 ． 12．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，求的值． 15．（24-25七年级下·江苏南京·月考）规定两个正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么，例如：因为，所以． (1)______， ______， ______； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：设，则，所以． 所以，即，所以． 请你尝试运用这种方法说明：． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $