第02讲幂的乘方与积的乘方（寒假预习讲义）（4大知识点+5大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第02讲幂的乘方与积的乘方（4大知识点+5大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：幂的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如（x3）4＝x3×4x12． (其中都是正整数). 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 解题技巧：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. 知识点2：幂的乘方的逆运用 幂的乘方逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点3：积的乘方 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (其中是正整数). 解题技巧：（1）公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点4：积的乘方的逆运用 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【题型1】幂的乘方 【例1】已知是正整数，计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练】 1．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．均为整数，若成立，则（   ） A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 4．计算： ． 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型2】幂的乘方的逆运用 【例2】（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【变式训练】 6．已知，则 ． 7．若，则的值为 ． 8．已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 9．已知，求的值． 10．已知计算： (1)； (2)． 【题型3】积的乘方 【例3】计算： (1)； (2)． 【变式训练】 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 12．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 13．计算： （1） ； （2） ． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4】积的乘方的逆运用 【例4】已知等式，求x的值． 【变式训练】 16．计算（   ） A． B．1 C．0 D．2011 17．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 18．已知，则的值为 ． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 20．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【题型5】利用幂的乘方和积的乘方进行大小比较 【例5】若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【变式训练】 21．在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 22．比较 ． 23．已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（    ） A． B． C． D． 24．已知：，，，试比较a、b、c的大小． 25．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【题型6】新定义运算问题 【例6】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 【变式训练】 26．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 27．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 28．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若k为正整数，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知数，则数N的位数是（   ） A．8 B．11 C．10 D．9 二、填空题 7．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： ． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末） 10．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算： ． 11．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则x的值为 ． 12．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为 ．（用“”连接） 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）观察与思考： ；①        ；② (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法        B．积的乘方        C．幂的乘方 (2)计算： 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2) ． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 17．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲幂的乘方与积的乘方（4大知识点+5大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：幂的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如（x3）4＝x3×4x12． (其中都是正整数). 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 解题技巧：（1）公式的推广： (，均为正整数) （2）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式. （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加. 知识点2：幂的乘方的逆运用 幂的乘方逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点3：积的乘方 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (其中是正整数). 解题技巧：（1）公式的推广： (为正整数). （2）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （3）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 知识点4：积的乘方的逆运用 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【题型1】幂的乘方 【例1】已知是正整数，计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（）根据幂的乘方运算法则计算即可； （）根据幂的乘方运算法则计算即可； （）根据幂的乘方运算法则计算即可； （）根据幂的乘方运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； 本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式训练】 1．下列各式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算法则，需熟练掌握幂的乘方和同底数幂相乘的法则． 通过指数运算法则计算各选项，找出结果不为的项． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：A． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方，直接应用幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 3．均为整数，若成立，则（   ） A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，乘方运算，掌握算理是解决问题的关键．根据积的乘方可知，由幂的乘方可知，由乘方的性质知当为奇数时，据此解答即可． 【详解】解：， ∴当n为奇数时，． 故选：D． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先计算积的乘方与幂的乘方，再计算同底数幂的乘法． 【详解】解：计算 ：根据幂的乘方法则，， 原式变为， 计算乘法：系数相乘，；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， 故答案为：． 5．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用幂的乘方法则，通过底数不变、指数相乘来计算； （2）运用幂的乘方法则，同时注意负数偶次幂的符号处理； （3）先对两个式子分别进行幂的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算； （4）把看作一个整体，运用幂的乘方法则计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘；同底数幂相乘：底数不变、指数相加是解题的关键． 【题型2】幂的乘方的逆运用 【例2】（1）若，求n的值； （2）已知， ，求 的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． （1）利用幂的乘方将化为，根据同底数幂的乘法得到，根据计算即可； （2）逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可． 【详解】（1）解：， 即， 解得：； （2）解：． 【变式训练】 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是正确掌握运算法则，准确计算．先将变形为，再利用同底数幂的乘法运算法则求出答案即可． 【详解】解：，， ． 故答案为： ． 7．若，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算，先整理得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：12 8．已知，． (1)请用含x的代数式表示y． (2)如果，求此时y的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）先从x的表达式中解出，再将转化为，代入y的表达式，从而用x表示y； （2）将代入第一问得到的关于的表达式，计算出的值 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，且， ∴． （2）解：把代入， 得． 【点睛】本题考查了幂的乘方的应用，掌握幂的乘方是解题的关键． 9．已知，求的值． 【答案】 【分析】先将、转化为以为底数的幂，再结合已知条件求出指数的和，进而计算幂的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及负整数指数幂，解题关键是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件求出指数的代数和，进而计算幂的结果． 10．已知计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：． 【题型3】积的乘方 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可； （2）先根据积的乘方、幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】 11．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据积的乘方和幂的乘方计算即可． 【详解】解：， 故选：C 12．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数的乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方运算法则计算即可； （2）根据积的乘方运算法则计算即可； （3）根据积的乘方运算法则计算即可； （4）根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）． 故答案为：． 13．计算： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）． （1）根据积的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）根据积的乘方法则计算即可； （）根据幂的乘方运算法则计算即可； （）根据幂的乘方运算法则计算即可； 本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据积的乘方运算法则计算即可； （）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加法运算即可； 本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【题型4】积的乘方的逆运用 【例4】已知等式，求x的值． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的逆运算，积的乘法的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先利用同底数幂的逆运算将化简为，利用积的乘法的逆运算得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ， ∵ ∴ ∴． 【变式训练】 16．计算（   ） A． B．1 C．0 D．2011 【答案】A 【分析】本题考查积的乘方，逆用积的乘方，即进行计算即可． 【详解】解∶ ． 故选：A． 17．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方的逆用． 直接逆用积的乘方计算即可． 【详解】解：． 故选：D 18．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性，同底数幂的乘法的逆用及积的乘方的逆用． 先根据平方的非负性和绝对值的非负性求出，，逆用同底数幂乘法将化为，再逆用积的乘方进而计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴ 故答案为： 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2) (3)1000000 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂乘法、积的乘方的逆用、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． （1）先逆用同底数幂乘法法则可得，再运用乘法运算律以及逆用积的乘方运算法则求解即可； （2）直接逆用积的乘方运算法则求解即可； （3）先运用用幂的乘方可得，即，再逆用积的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 20．若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 【题型5】利用幂的乘方和积的乘方进行大小比较 【例5】比较大小：若，，，，则a，b，c，d的大小关系是______．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】 【分析】转化为指数相同的幂，再根据正指数相同的正数底数幂，底数大的幂大，底数小的幂小，比较大小，即可解答． 【详解】（解：∵，，， ∴， ， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 21．在，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键；把原数的指数变相同，再比较大小即可． 【详解】，，，，， ， ， 最大的数是， 故选：． 22．比较 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较以及有理数的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键．把写成，写成，即可比较大小． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 23．已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数大小比较以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 而， ∴． 故选：B． 24．已知：，，，试比较a、b、c的大小． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，根据，，，即可求解． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 25．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)＞ (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 【题型6】新定义运算问题 【例6】如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ； (2)已知(，若，求y的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)4；64 (2)60 (3) 【分析】本题主要考查了乘方的应用，同底数幂相乘，幂的乘方，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据，再结合新定义解答； 对于（2），根据新定义得，进而求出，再根据可得，则此题可解； 对于（3），根据新定义得，再将化为 ，然后根据代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式训练】 26．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 28．规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ， ，． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：， 小明给出了如下的证明： 设，则，即 所以，即， 所以． 试解决下列问题：   ①计算 ②请尝试运用这种方法证明． 【答案】(1)2，0，±3 (2)①0；②证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，新定义运算，熟练掌握幂的乘方运算是解题的关键． （1）根据新定义运算法则即可； （2）①根据新定义运算法则，得即可；②设 ，再根据新定义运算法则即可． 【详解】（1）解：，即； ，即； ，即； 故答案为：2，0，±3； （2）①解： ； ②证明：设 ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若一个正方体的棱长为，则这个正方体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方、科学记数法，根据正方体的体积公式列出算式，再根据幂的乘方进行计算，最后利用科学记数法表示即可． 【详解】解：这个正方体的体积为：， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 ）和合并同类项法则，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．本题需依据幂的运算性质（同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方 ）以及合并同类项法则，对每个选项逐一判断． 【详解】解：，故A错误． ，故B错误． ，故C正确． ∵合并同类项时，只有所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项才能合并，与所含字母不同，不是同类项，无法合并， ∴，故D错误． 故选：C ． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）若k为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算式的基本意义，k个k相加可以表示为，利用同底数幂的乘法以及幂的乘方即可得解． 【详解】解：， 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，则正整数m的值为（   ） A．84 B．86 C．94 D．96 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴． 故选D． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知数，则数N的位数是（   ） A．8 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方，最终结果利用科学记数法进行表示后，得出结果． 【详解】解：， 故数N的位数是位； 故选C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查幂的乘方，积的乘方及单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据幂的乘方，积的乘方及单项式乘以单项式法则进行解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，先用积的乘方将原式化为，然后根据有理数的乘方及幂的乘方进行计算即可．解题的关键是掌握：积的乘方、幂的乘方． 【详解】解： 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末） 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用，熟练掌握积的乘方运算法则，是解题的关键．逆用积的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）计算： ． 【答案】1 【分析】利用积的乘方的逆运算将原式转化为乘积的幂的形式计算即可；本题主要考查了积的乘方的逆运算，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1． 11．（24-25七年级下·江苏南京·月考）若，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为同底；把，化为以2为底，再根据同底数幂的乘法可得关于x的方程，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：2． 12．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握运用幂的运算法则成为解题的关键． （1）直接运用积的乘方法则计算即可； （2）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （3）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可； （4）直接运用积的乘方和幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）观察与思考： ；①        ；② (1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法        B．积的乘方        C．幂的乘方 (2)计算： 【答案】(1)A；C (2)9 【分析】本题主要考查了积乘方逆用，同底数幂乘法，幂的乘方运算及其逆用，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行判断即可； （2）逆用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：算式①的运算依据是A同底数幂乘法，算式②的运算依据是C幂的乘方． （2）解： ． 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先逆用积的乘方运算法则将原式化成符合逆用幂的乘方运算法则的形式，然后再计算即可； （2）先逆用积的乘方运算法则将原式化成符合逆用幂的乘方运算法则的形式，然后再计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 17．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $