第01讲同底数幂的乘法（寒假预习讲义）（2大知识点+5大题型+过关检测）七年级数学新教材苏科版

第01讲 同底数幂的乘法（2大知识点+5大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.公式：(其中都是正整数). 3.关键点拨：（1）同底数暴相乘，底数可以是单项式，也可以是多项式，底数是多项式时，通常把 底数看成一个整体。 (2)底数不同时，若能化成相同底数，则先化成相同底数，再利用同底数暴的乘法法则计算 知识点2：同底数幂的乘法法则的逆运用及推广 1.逆用公式：（都是正整数）. 2.推广：三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 【题型1】同底数幂的乘法法则 【例1】下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)错误，改正为 (2)错误，改正为 (3)错误，改正为 (4)正确 【分析】本题考查了同底数幂乘法，掌握同底数幂乘法法则是解题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）根据同底数幂乘法法则计算即可． （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． （3）根据同底数幂乘法法则计算即可． （4）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （2）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （3）解：不正确，应改为：， 答：原式错误，改正为． （4）解：，正确， 答：原式正确． 【变式训练】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法． 根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2． ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，先把原式变形为，再根据同底数幂乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型2】同底数幂的乘法法则的运算 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算和合并同类项，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据同底数幂乘法运算法则进行计算，然后合并同类项即可； （2）先根据同底数幂乘法运算法则进行计算，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：∵ （2） （3） （4） 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为（、是正整数）．熟练掌握同底数幂的乘法运算法则以及负数的偶次幂为正、奇次幂为负的性质是解题的关键． （1）对于，根据同底数幂相乘的运算法则，底数不变，指数相加来计算． （2）对于，同样依据同底数幂相乘，底数不变，指数与相加进行计算． （3）对于，先根据同底数幂相乘的法则逐步计算，同时注意负号的运算规则． （4）按照同底数幂相乘，底数不变，指数与相加计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则和合并同类项，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可； （2）先进行同底数幂的乘法计算，再合并同类项即可. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3】同底数幂的乘法法则的逆运用 【例3】已知（m，n为正整数），则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆用把化为已知的形式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查指数运算的基本性质，直接应用法则即可求解.利用指数运算法则，同底数幂的乘法，底数不变，指数相加. 【详解】解：∵ ，， ∴ . 故选D. 2．已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂相乘及其逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法法则，将和相乘得到，计算其值并化为以为底的幂，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．若，，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆用，准确的计算是解决本题的关键． 根据指数运算法则，将分解为，再代入已知数值求解即可． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 解得． 故答案为：16． 4．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解答本题的关键． 逆用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 【题型4】同底数幂的乘法的应用 【例4】中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法． 用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数，据此解答即可． 【详解】解：（次）， 答：它工作3小时可进行次运算． 故答案为： 【变式训练】 1．一个长方形的长是，宽是，则此长方形的面积用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】根据长方形的面积等于长与宽的乘积，以此求出即可． 此题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法表示较大数的方法是解本题的关键． 【详解】解：一个长方形的长是，宽是， 长方形的面积为： 故答案为： 2．某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是 米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，此题根据路程速度时间列出算式，计算即可解答． 【详解】解：（米）， 故答案为：． 3．在某地，平均每平方米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧的煤产生的热量．该地的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧 的煤产生的热量（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法，以及用科学记数法表示数的乘法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：． 4．某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 【答案】 【分析】本题主要考查单项式乘以单项式及同底数幂的乘法，熟练掌握各个运算是解题的关键；由题意可列算式，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 答：进行次运算． 【题型5】同底数幂的乘法的新定义问题 【例5】规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算； （1）根据所规定的运算进行作答即可； （2）根据所规定的运算进行作答即可． 【详解】（1）原式； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 【变式训练】 1．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， 则由题意可得， 即 故答案为：． 2．如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则________． (2)记，，，求a、b、c之间的数量关系． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据新定义运算直接可得结果； （2）根据同底数幂的乘法运算结合新定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：3 （2）解：∵，，， ∴ 即 【点睛】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法运算，理解新定义是解题的关键． 3．我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及有理数的混合运算． （1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； 故答案为16； （2）解：由题意得： ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 4规定关于任意正整数，的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求，的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的规则，结合已知条件进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，． （2）解：， ，， 由题可知的值为正数， ． （3）解：， ， ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键． 根据指数法则，同底数幂相乘，指数相加求解即可． 【详解】． 故选：C． 2．（25-26·青海西宁·期中）若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，根据逆用同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 3．（25-26七年级·重庆·期中）若，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则：． 根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4．（24-25·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26·全国·课后作业）若，则m的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据，判定，解答即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 故． 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，，则x，y之间的关系为（   ） A．x，y互为相反数 B．x，y互为倒数 C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴x，y互为相反数， 故选：A． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的步骤正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握是解题的关键． 根据求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 8．（2025·河南焦作·三模）经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此求解即可； 【详解】解：1秒毫秒，1毫秒皮秒， 秒皮秒， 秒皮秒， 故选：B． 二、填空题 9．（24-25七年级下·全国·单元测试） ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握． 根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·期中）若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂乘法，正确逆用同底数幂乘法法则是解题的关键． 直接逆用同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 11．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 【答案】 【分析】根据路程=速度×时间，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： （米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幂相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法． 12．（24-25七年级下·全国·期末）已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法的运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂乘法的运算法则化简左边，然后根据题意列关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，，，为正整数，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】该题考查了同底数幂乘法法则，根据同底数幂乘法逆运用即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·浙江·月考）已知，，求 ． 【答案】6 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为： 三、解答题 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．直接根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）-（4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：． （2） （3） （4） 17．（24-25·吉林松原·月考）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 根据，代入求值即可． 【详解】解：，， ． 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，，求的值． 【答案】20 【分析】本题主要考查同底数的乘法，根据 逆用同底数幂运算法则求出 ，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：， 所以， 所以． 19．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知，求． 【答案】 【分析】根据，代入计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 又， 原式． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，幂的乘方的运算法则，读懂题意理解新定义规定是解题的关键． （1）根据新定义规定即可解答； （2）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； （3）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 同底数幂的乘法（2大知识点+5大题型+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：同底数幂的乘法 1.法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.公式：(其中都是正整数). 3.关键点拨：（1）同底数暴相乘，底数可以是单项式，也可以是多项式，底数是多项式时，通常把 底数看成一个整体。 (2)底数不同时，若能化成相同底数，则先化成相同底数，再利用同底数暴的乘法法则计算 知识点2：同底数幂的乘法法则的逆运用及推广 1.逆用公式：（都是正整数）. 2.推广：三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 【题型1】同底数幂的乘法法则 【例1】下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2． ． 3．计算： ． 【题型2】同底数幂的乘法法则的运算 【例2】计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)． 【题型3】同底数幂的乘法法则的逆运用 【例3】已知（m，n为正整数），则 ． 【变式训练】 1．已知，，则的值是（    ） A．1 B． C．5 D．6 2．已知，，则 ． 3．若，，则的值为 ． 4．已知，求的值． 【题型4】同底数幂的乘法的应用 【例4】中国设计并制造的“神威太湖之光”超级计算机位列全球超级计算机500强的第六名，其运算性能高达次每秒，那么它工作3小时可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【变式训练】 1．一个长方形的长是，宽是，则此长方形的面积用科学记数法表示为 ． 2．某卫星绕地球飞行的速度是米/秒，该卫星飞行秒所行的路程是 米．（结果用科学记数法表示） 3．在某地，平均每平方米的土地一年从太阳得到的能量相当于燃烧的煤产生的热量．该地的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧 的煤产生的热量（用科学记数法表示）． 4．某种计算机每秒可进行次运算．它工作，可进行多少次运算？ 【题型5】同底数幂的乘法的新定义问题 【例5】规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【变式训练】 1．定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为 ． 2．如果，则，例如，则． (1)根据上述规定，若，则________． (2)记，，，求a、b、c之间的数量关系． 3．我们给出以下两个定义：①三角形 ；②3×3的方格图 ． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：=__________ (2)填空：= ． (3)若，求的值． 4规定关于任意正整数，的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求，的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含的代数式表示） 一、单选题 1．（24-25七年级下·广西梧州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26·青海西宁·期中）若，则等于（　　）． A．5 B．3 C．6 D．10 3．（25-26七年级·重庆·期中）若，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．10 4．（24-25·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26·全国·课后作业）若，则m的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，，则x，y之间的关系为（   ） A．x，y互为相反数 B．x，y互为倒数 C． D．无法判断 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）计算的步骤正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·河南焦作·三模）经过近60年的发展，我国已建成目前世界上技术手段最为完 备的国家授时系统，授时精度从开始的毫秒级（千分之一秒）到了如今的百皮秒级（百亿分之一秒），提高了7个数量级，处于世界领先水平．已知1秒毫秒，1毫秒皮秒，则10秒等于（    ） A．皮秒 B．皮秒 C．皮秒 D．皮秒 二、填空题 9．（24-25七年级下·全国·单元测试） ． 10．（24-25七年级下·全国·期中）若，则的值为 ． 11．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）卫星绕地球运动的速度是米/秒，那么卫星绕地球运行秒走过的路程是 米． 12．（24-25七年级下·全国·期末）已知，则 ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，，，为正整数，则 （用含，的代数式表示）． 14．（24-25七年级下·浙江·月考）已知，，求 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 16．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25·吉林松原·月考）已知，，求的值． 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，，求的值． 19．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知，求． 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $