精品解析：河北省NT20名校联合体2026届高三上学期1月质检考试数学试题

NT20名校联合体高三年级1月质检考试 数学（一） 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 2. 样本数据的第75百分位数为（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 3. 已知向量与，若，则（　　） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 4. 已知数列是等比数列，若，则（　　） A. B. -1 C. D. 2 5. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（　　） A. B. C. D. 6. 已知直线，则“”是“”（　　） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 8. 如图，几何体中，是正三角形，，平面分别为的中点，直线与平面相交于点．则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的有（　　） A. 斜二测画法不会改变边长比例 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D. 用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 在上单调递增 B. 的极大值为0 C. 有三个零点 D. 曲线在处的切线方程为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，的内切圆圆心为，过作，垂足为为坐标原点，则（　　） A. 双曲线的离心率为 B. C. 圆心的横坐标为1 D. 为双曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线倾斜角为，则___________． 13. 已知点，点是抛物线上一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________． 14. 在Rt中，，，，为空间中的一个点，，，则三棱锥体积的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为边上一点，且，求． 16. 已知，两点． （1）求以线段为直径的圆的标准方程； （2）若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 17. 已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值． 18. 如图，斜三棱柱的体积为，为上一点，平面为锐角． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 19. 将平面内任意向量绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到向量．已知双曲线，将双曲线绕点逆时针旋转后得到曲线． （1）求方程； （2）点在曲线上，曲线在点处的切线为直线． （i）若与两坐标轴分别交于两点，求的面积； （ii）若两点都在曲线上（异于点），且满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ NT20名校联合体高三年级1月质检考试 数学（一） 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数共轭复数的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘方和除法运算以及共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】因为， 则其共轭复数为由， 所以其共轭复数的虚部为. 故选：B． 2. 样本数据的第75百分位数为（ ） A. 7.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用总体百分位数的估计求解即可. 【详解】由题意得数据共8个，则， 因此第75百分位数为，故C正确. 故选：C． 3. 已知向量与，若，则（　　） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示公式，列式求解. 【详解】，因为，则，解得． 故选：D． 4. 已知数列是等比数列，若，则（　　） A. B. -1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质得，即，解得． 故选：C． 5. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率求的值，可得椭圆的焦距的值. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，即， 所以该椭圆的焦距为． 故选：C 6. 已知直线，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求得参数,结合充分必要条件可得. 【详解】，且，解得或． 由可得；而还可能得， 由此可知：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 7. 已知函数及其导函数的定义域均为为奇函数，，若方程在区间上恰有四个不同的实数根，则（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法先推出是奇函数，再得到从而周期为，又由为奇函数，得到图象关于直线对称，结合周期性和对称性，可知方程在上四个根具有对称分布关系，因此它们的和为两个对称轴位置之和的两倍，进而求出的值. 【详解】取，得，即为奇函数； 取，得，所以， 所以，所以的周期为． 由为奇函数，得， 即，于是，因此, 取，则，即， ，故关于对称 又的周期为，故直线也是图象的对称轴， 又方程在区间上恰有四个不同的实数根， 由对称性可知，四个根两两分别关于直线和对称，故，， 即． 故选： 8. 如图，几何体中，是正三角形，，平面分别为的中点，直线与平面相交于点．则的值为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作图，找到直线与平面的交点，继而求出相关线段的长，再根据三角形相似，求出，即可求得答案. 【详解】因为分别为的中点， 所以，延长至点，使得，连接， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以． 则平面即为平面， 连接，则平面，则与的交点即为， 平面，平面，故平面平面， 平面平面，过点作的垂线，垂足为， 则平面，则，又为的中点， 所以为的中点，所以， 又． 由易知，，即，解得， 所以． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的有（　　） A. 斜二测画法不会改变边长比例 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 过圆锥顶点的所有截面中，轴截面的面积最大 D. 用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则可判断选项A；根据基本事实的推论即可判断选项B；设圆锥的母线长为，轴截面的两条母线形成的角为，由截面面积公式分析即可判断选项C；由截球所得截面一定是一个圆面即可判断选项D. 【详解】选项A，在y轴上的线段或与y轴平行的线段长度变为原来的一半，所以斜二测画法可能会改变边长比例，A选项错误； 选项B，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面， 当点在直线上时，直线与该点不能唯一确定一个平面，故选项B错误； 选项C，设圆锥的母线长为，设圆锥的顶点为，轴截面为等腰三角形， 截面面积， 所以当时，轴截面面积最大，当时，轴截面面积不是最大，故C错误； 选项D，用任意一个平面截球所得截面一定是一个圆面，故D正确； 故选：ABC． 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. 在上单调递增 B. 的极大值为0 C. 有三个零点 D. 曲线在处的切线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数求出函数的单调性进行判断即可求解． 【详解】函数， 由得或，所以的单调增区间为．A选项正确； 当时，有极大值B选项正确； 当时，有极小值，又， 所以的图象与轴有两个交点，C选项错误； ，所以切线方程为， 即D选项错误． 故选：AB 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，的内切圆圆心为，过作，垂足为为坐标原点，则（　　） A. 双曲线的离心率为 B. C. 圆心的横坐标为1 D. 为双曲线的切线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线的性质计算可判断A；由，结合双曲线性质可判断B；由内切圆切线长性质计算可判断C；由双曲线的光学性质可得为的平分线，即可判断D. 【详解】对于A，由题知， 所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于B，如图1所示， 设圆与的三边分别相切于点， 延长交于点，连接， 则， ，故B正确； 对于C，如图1所示，． 解得，故圆心的横坐标为2，故C错误； 对于D，如图2，设双曲线在点处的切线为，作， 由光学性质可以知道， 又， 所以，所以为的平分线， 故三点共线，即是双曲线的切线，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的倾斜角为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由一般方程中斜率与倾斜角的关系可得. 【详解】由题意可得直线的斜率为，所以，解得． 故答案为：. 13. 已知点，点是抛物线上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】过作准线的垂线，垂足为，由，因此先求的最小值，由此可知当，，共线时取得最小值. 【详解】由题意知，圆心是抛物线焦点， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 记点到抛物线的准线的距离为， ，， 所以， 当且仅当直线与抛物线的准线垂直，点在线段上时，即，，共线时取得最小值，等号成立， 所以的最小值为6． 故答案为：6 14. 在Rt中，，，，为空间中的一个点，，，则三棱锥体积的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据条件确定点的轨迹，进而转化为三棱锥的高的最大值求解. 【详解】因为，所以在过点且与垂直的平面内， 如图： 设平面，过作的垂线，垂足为，则，且， 因为，所以点在以为圆心的圆周上， 如图平面平面，且平面平面， 由图可知到底面的最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为边上一点，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理化简原式，进而结合三角形的性质求出角度即可. （2）结合题意并利用等面积法建立方程，进而求解参数即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， ，，， ，. 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 即，解得. 16. 已知，两点． （1）求以线段为直径的圆的标准方程； （2）若动点满足为的中点，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2）．（除两点）. 【解析】 【分析】（1）求线段中点，然后确定圆的半径，即可求得圆的标准方程； （2）设坐标，由中点坐标公式得到点与点坐标的关系式，由题意可知点在（1）中的圆上，从而求得点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为为直径，则的中点为， 所以圆心， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设， 因为，是线段的中点， 由中点坐标公式得， 所以， （1）知，点的轨迹方程为， 将代入得， 即. 又∵，∴， ∴动点的轨迹方程为．（除两点）. 17. 已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）由题意建立等式求得，代入即可求解； （2）设出直线方程，直线与椭圆联立方程，根据韦达定理及斜率公式建立等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为焦距为2，所以，即， 又椭圆上顶点到点的距离与到直线的距离之比为， 上顶点，焦点，则， 解得，即， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设直线， 联立，得， 则，解得或， 由韦达定理可得， 所以 所以为定值0． 18. 如图，斜三棱柱的体积为，为上一点，平面为锐角． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，根据线面平行的性质得，再利用线面垂直的判定即可证明； （2）根据棱柱体积公式求得棱柱的高为1，再利用面面垂直的性质定理得平面，最后建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量和平面法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 连接交于点， 在斜三棱柱中，四边形为平行四边形，则为的中点，连接， 平面，平面，平面平面， ，又在中，为的中点， 为中点，又，， 又，且平面， 平面. 【小问2详解】 ， 斜三棱柱的体积为， 所以斜三棱柱的高为1． 又平面平面 平面平面. 过作于，因为平面平面，平面， 则平面，即为斜三棱柱的高，， . 以为原点，所在直线分别为轴，轴， 在平面内过作垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，所以， 取平面的一个法向量为， 所以， 所以二面角的正弦值为. 19. 将平面内任意向量绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到向量．已知双曲线，将双曲线绕点逆时针旋转后得到曲线． （1）求的方程； （2）点在曲线上，曲线在点处的切线为直线． （i）若与两坐标轴分别交于两点，求的面积； （ii）若两点都在曲线上（异于点），且满足，求证：． 【答案】（1） （2）（i）2；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取曲线上任一点，点由双曲线上一点绕坐标原点逆时针旋转得到，根据点与的关系，得到关系式，结合再双曲线上，得到的关系式，即为曲线的方程； （2）（i）利用导数求得曲线在点处的切线，即直线，然后得到点坐标，即可得到的面积；（ii）由（i）得，设点坐标，写出，由向量数量积得到即，由此证明，即得证. 【小问1详解】 取曲线上任一点，点由双曲线上一点绕坐标原点逆时针旋转得到， 则， ，即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，由， 过的切线的方程为， 即，令，得； 令，得； 可设与轴的交点，与轴的交点， . （ii）由的方程得，，设， 过的切线的斜率 ， 同理， 由已知 ． ， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $