第04讲 一元一次不等式（组）（2命题点+13题型+3突破）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“一元一次不等式（组）”专题，覆盖解法（基本性质、整数解、参数问题等）和实际应用（经济、方案等）核心考点，以“考情剖析-知识导航-考点解析-真题训练”为主线，通过题型分类和思维导图构建知识体系，助力学生系统突破重点难点。 亮点在于“题型靶向突破”和“核心素养融合”，如“由解集求参数”题型强调逆向推理训练，培养推理意识，“方案设计问题”结合成都中考真题，引导学生用数学语言建立不等式模型，分层练习适配不同学情，教师可据此精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 一元一次不等式（组） 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 一元一次不等式（组）的解法 题型01 不等式的基本性质及运用 题型02 解一元一次不等式 题型03 解一元一次不等式组 题型04 不等式（组）的整数解问题 题型05 由不等式（组）的解集或解集情况求参数 题型06 不等式组与方程组的结合问题 命题点二 一元一次不等式（组）的实际应用 题型01 列一元一次不等式 题型02 利用一元一次不等式解决实际问题 题型03 利用一元一次不等式解决几何问题 题型04 不等式组的行程、工程问题 题型05 不等式组的经济问题 题型06 不等式组的方案问题 题型07 不等式组的其他问题 05·重难突破·思维进阶难 41 突破一 不等式与函数、方程、概率综合问题 突破二 不等式（组）与新定义 突破三 不等式（组）、方程（组）与函数的实际应用 06·优题精选·练能提分 47 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次不等式（组）的解法 成都卷 T14（2） （解不等式组） 成都卷 T14（2） （解不等式组） 成都卷 T14（2） （解不等式组） 掌握不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形；会解一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。 一元一次不等式（组）的实际应用 成都卷 T24（2） 成都卷 T24（2） 成都卷 T24（2） 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决实际问题。 命题预测 本讲内容在近几年成都中考地位是特别稳定，题号和题型都基本一致，主要考查的有两个方面，一是不等式组的解法，其二是不等式或不等式组应用。在解法方面，主要考查的方向有两个，一个式直接解一元一次不等式组（常考），二是考查求解一元一次不等式的整数解或正整数解（较少），在应用方面主要与方程或函数综合考查学生综合运用不等式与函数或方程相关知识解决问题的能力，预计成都中考在2026年依旧会重点考查不等式组的解法及不等式的应用。 考点一 一元一次不等式（组）的解法 1.不等式及不等式的基本性质 1）不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2）不等式的基本性质 理论依据 式子表示 性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则 性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或 性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或 3）不等式的解集及表示方法 （1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。 2.一元一次不等式 1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式。 2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）。 3.一元一次不等式组 1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。 4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 1．（2025·成都·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，那么 2．（2025·四川成都·二模）关于x的不等式的解集是 . 3．（2025·四川成都·一模）已知实数，满足，并且，，若，则的取值范围是 ． 4．（2025·四川成都·中考真题）（2）解不等式组： 考点二 一元一次不等式（组）的实际应用 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。 注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。 1．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格；(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 2．（2023·四川成都·中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． (1)求，两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 3．（2025·四川成都·校考二模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买4个篮球和5个实心球需380元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？(2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 命题点一 一元一次不等式（组）的解法 ►题型01 不等式的基本性质及运用 1、符号变化‌：乘除负数时，不等号方向要改变。 2、验证解集‌：代入边界值验证是否满足原不等式。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·校考三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． ►题型02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤：1）移项‌：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。2）合并同类项‌：把同类项合并简化。3）系数化为1‌：两边同时除以未知数的系数。 常见易错点：忽略符号变化‌：乘除负数时忘记改变不等号方向。移项错误‌：移项时忘记变号。 【典例】1．（2025·成都·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【典例】2．（2025·四川成都·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【变式】1．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式】3．（2025·成都·一模）解不等式：． ►题型03 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： 1、分别解每个不等式（同一元一次不等式的解法）。 2、找公共解集‌：用数轴表示两个解集，重叠部分就是答案。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）（2）解不等式组： 【变式】1．（2025·成都·一模）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算∶ （2）解不等式组∶ 【变式】3．（2024·四川成都·中考真题）（2）解不等式组： ►题型04 不等式（组）的整数解问题 【典例】1.（2025·四川成都·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）求满足不等式组的正整数解． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）（2）解不等式组，并写出奇数解 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如果关于的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有 个 ►题型05 由不等式（组）的解集或解集情况求参数 这类题目的关键在于‌逆向推理‌：已知解集反推参数范围。 核心步骤是：先解不等式（组）‌，用参数表示解集；根据已知解集条件‌，建立参数的不等式；解参数不等式‌，得到参数范围。 常见易错点：1）边界值处理‌；2）参数范围验证‌：求出参数后，需代入原不等式验证解集是否一致。 【典例】1．（2025·四川成都·校考二模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【典例】2．（2025·四川成都·一模）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）若关于x的不等式组的解集为，则a的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【变式】3．（2025·成都·校考三模）若关于的不等式组，无解，则所有满足条件的正整数的和为 ． ►题型06 不等式组与方程组的结合问题 【典例】1．（2025·四川成都·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·三模）已知实数a，b满足，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 【变式】3．（2025·四川成都·校考一模）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 命题点三 一元一次不等式（组）的实际应用 ►题型01 列一元一次不等式 解题步骤：1）找关键词‌：“大于”、“超过” → 用“>”；“小于”、“不足” → 用“<”；“不超过”、“至多” → 用“≤”；“不低于”、“至少” → 用“≥” 2）设未知数‌：通常用x表示未知量，比如“某数”、“某个量”。 3）列不等式‌：根据关键词和数量关系写出不等式。 【典例】1．（2025·广东云浮·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班 天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？ 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 自行车 0公斤 公交车 公斤 机车 公斤 汽车 公斤 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·二模）如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（   ） A．15 B．20 C．24 D．25 【变式】3．（2025·成都·二模）电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗条 B．依题意 C．有最小值，但没有最大值 D．是正确解，但不是唯一解 ►题型02 利用一元一次不等式解决实际问题 【典例】1．（2025·成都·校考一模）某玩具店以200元/辆的进价购入200辆儿童自行车，并以260元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（   ） A．150辆 B．152辆 C．153辆 D．154辆 【典例】2．（2025·成都·二模）“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）教室后墙有一段长120厘米的水平展示栏，用于张贴正方形的美术作品和书法作品，要求所有作品横向排列且无间距不重叠．已知每幅美术作品边长均为5厘米，每幅书法作品边长均为8厘米，若展示栏的一侧已张贴了10幅美术作品，求最多还能张贴多少幅书法作品？ 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）某数学竞赛中出了10道题，每答对1题得5分，每答错1题或不答题扣3分．问至少要答对几道题，得分才不低于10分？ 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）文化与情感的共燃、创意设计和温情表达的相辅相成使得中国传统节日文创产品出圈．某商店经销一种文创书签，该书签的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该书签每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(2)在每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润为元，则该书签每个的售价是多少？(3)该商店决定这种书签的售价每个不能高于元，且每销售1个这种书签就向某文化机构捐款n元，捐款后发现，该商店每天销售这种书签所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． ►题型03 利用一元一次不等式解决几何问题 【典例】1．（2025·广东深圳·三模）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1：（1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示）；（2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2：（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3：（4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 【变式】1．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 【变式】2．（2025·成都·校考三模）2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 【变式】3．（2025·广东深圳·模拟预测）根据以上素材，思考并完成任务： 文字说明 图示说明 素材1 如图，某校原有矩形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车． 素材2 学校计划新建一个矩形无围墙停车场（如图），该矩形停车场一边长33米，行车通道宽为米，现在向师生征集设计方案． 素材3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图． 方案说明：①四边形为矩形，图中每个矩形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形为平行四边形，，图中每个平行四边形停车位完全一致；③，． 任务1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽． 任务2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量． 任务3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该矩形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，） ►题型04 不等式组的行程、工程问题 行程问题解题技巧 核心公式‌：路程=速度×时间；相遇问题：快行距+慢行距=原距；追及问题：快行距-慢行距=原距； 航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 解题步骤‌： 1）设未知数‌：通常设路程、速度或时间为x。 2）列不等式‌：根据题目条件列出不等式组。 3）解不等式组‌：分别解每个不等式，再找公共解集。 4）验证解集‌：代入原题条件验证是否合理。 工程问题解题技巧 核心公式‌： 工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率 解题步骤‌： 1）设未知数‌：通常设工作总量为1（单位1），或设工作效率为x。 2）列不等式‌：根据题目条件列出不等式组。 3）解不等式组‌：分别解每个不等式，再找公共解集。 4）验证解集‌：代入原题条件验证是否合理。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【典例】2．（2025·成都·校考一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义；(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 【变式】1．（2025·成都·三模）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？ 【变式】2．（2025·成都·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积；(2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. ►题型05 不等式组的经济问题 经济问题的关键是‌将实际问题转化为不等式组‌，通过解不等式组找到最优解或可行解。核心步骤是： 1）设未知数‌：通常设成本、利润、数量等为x。 2）列不等式组‌：根据题目条件列出不等式组。 3）解不等式组‌：分别解每个不等式，再找公共解集。 4）验证解集‌：代入原题条件验证是否合理。 【典例】1．（2025·四川成都·校考二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 【典例】2．（2024·四川成都·模拟预测）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【变式】1．（2024·四川成都·二模）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．(1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）某商场销售一种商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（的整数），每天销量为y（件）．(1)直接写出y与x的函数关系式为：______；(2)若要使每天销售总利润为270元，求此时的销售单价；(3)若每件该小商品的售价不超过进价的2倍，且每天的进货总成本不超过800元，求出该小商品每天销售总利润w的最大值． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民族特色旅游纪念品加工厂．该厂生产A，B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种．如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天B型号挂件，那么一共可以生产1300个．(1)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号挂件的数量不少于1200个．已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元．在完成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利润是多少万元？ ►题型06 不等式组的方案问题 【典例】1．（2025·成都·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有 种运输方案，分别是 ． 【典例】2．（2025·四川成都·校考一模）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【变式】2．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．(1)求型、型两种机器人的单价；(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【变式】3．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍．(1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ ►题型07 不等式组的其他问题 【典例】1．（2025·成都模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克．(2)寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 (1)【分析变量关系】根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元）关于杨梅重量x (千克)之间的函数关系式．(2)【计算最省费用】若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．(3)【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 【典例】2．（2025成都 模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）某销售公司员工每月的工资由基本工资和业务计单提成组成，其中每月基本工资为元，每单提成为元．已知员工小王月份做了单业务，该月的工资为元．若小王想让每月的工资超过元，则他每月最少要做多少单业务？ 【变式】2．（2025·成都·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）． 方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五折结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五折结算； 方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五折结算． 已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元． (1)当时，分别求出两种方案的最终结算价； (2)当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由） (3)若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围． 【变式】3．（2025·四川成都·校考二模）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价10元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙店的优惠办法是：全部商品按定价的九折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（大于8盒）． (1)若购买盒乒乓球，在甲店需付款（_______）元；在乙店需付款（_______）元；（用含x的代数式表示） (2)若购买20盒乒乓球，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)当购买乒乓球盒数为盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 突破一 不等式与函数、方程、概率综合问题 【典例】（2025·四川成都·二模）有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是 ． 【变式】1．（2025·四川成都·校考一模）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【变式】2．（2025·四川成都·校考二模）如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集是，那么符合条件的所有整数的值之和为 ． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 突破二 不等式（组）与新定义 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，那么称点是点的“双差点”．若点，的“双差点”是点，当点在直线的上方时，则的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·江苏南通·校考二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【变式】2．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【变式】3．（2025·成都·一模）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ，若，则实数的取值范围是，当，为非负整数时，有，．其中，正确的结论有 （填正确答案的序号） 突破三 不等式（组）、方程（组）与函数的实际应用 【典例】1.（2025·成都·校考三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元．(1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【变式】1．（2025·四川成都·校考二模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【变式】2．（2025·成都·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元．(1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 1．（2025·成都·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·校考三模）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了个，两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表：已知剩下甲种原料千克，乙种原料千克，假设制作个型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（    ） A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 A． B． C． D． 3．（2025·四川成都二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·校考一模）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 5．（2025·成都·校考二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元；（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 6．（2025·四川成都·校考一模）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 （填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 7．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 9．（2023·四川成都·中考真题）（2）解不等式组： 10．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 11．（2025·成都·校考三模）有一个数学游戏，如图，一个实数从，，三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置例如：将按照或的顺序进行运算，是将数据经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果；(2)输入一个整数按照的顺序进行运算，发现运算结果不大于则输入数字的最小值为多少？ 12．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 1．（2025·成都·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·成都·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 3．（2025·四川成都·校考一模）已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当时，不等式组的解集是；若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有个整数解，则；若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有 ． 4．（2025·成都·模拟预测）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 5．（2025·成都·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 6．（2025·成都·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只．(1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 1（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 6．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 7．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 8．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 9．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 11．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第04讲 一元一次不等式（组） 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 一元一次不等式（组）的解法 题型01 不等式的基本性质及运用 题型02 解一元一次不等式 题型03 解一元一次不等式组 题型04 不等式（组）的整数解问题 题型05 由不等式（组）的解集或解集情况求参数 题型06 不等式组与方程组的结合问题 命题点二 一元一次不等式（组）的实际应用 题型01 列一元一次不等式 题型02 利用一元一次不等式解决实际问题 题型03 利用一元一次不等式解决几何问题 题型04 不等式组的行程、工程问题 题型05 不等式组的经济问题 题型06 不等式组的方案问题 题型07 不等式组的其他问题 05·重难突破·思维进阶难 41 突破一 不等式与函数、方程、概率综合问题 突破二 不等式（组）与新定义 突破三 不等式（组）、方程（组）与函数的实际应用 06·优题精选·练能提分 47 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一元一次不等式（组）的解法 成都卷 T14（2） （解不等式组） 成都卷 T14（2） （解不等式组） 成都卷 T14（2） （解不等式组） 掌握不等式的基本性质；能用不等式的基本性质对不等式进行变形；会解一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。 一元一次不等式（组）的实际应用 成都卷 T24（2） 成都卷 T24（2） 成都卷 T24（2） 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决实际问题。 命题预测 本讲内容在近几年成都中考地位是特别稳定，题号和题型都基本一致，主要考查的有两个方面，一是不等式组的解法，其二是不等式或不等式组应用。在解法方面，主要考查的方向有两个，一个式直接解一元一次不等式组（常考），二是考查求解一元一次不等式的整数解或正整数解（较少），在应用方面主要与方程或函数综合考查学生综合运用不等式与函数或方程相关知识解决问题的能力，预计成都中考在2026年依旧会重点考查不等式组的解法及不等式的应用。 考点一 一元一次不等式（组）的解法 1.不等式及不等式的基本性质 1）不等式：一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2）不等式的基本性质 理论依据 式子表示 性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变 若，则 性质2 不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若，，则或 性质3 不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若，，则或 3）不等式的解集及表示方法 （1）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解。 2.一元一次不等式 1）一元一次不等式：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次，这样的不等式叫一元一次不等式。 2）解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）。 3.一元一次不等式组 1）一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 2）一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 3）一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解。 4）几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 1．（2025·成都·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意； B. 如果，那么，故该选项说法正确，不符合题意；； C. 当 取负数时， 不一定成立。例如，取 ，满足 ，但此时 ，不满足 ，故该选项说法错误，符合题意； D. 如果，，那么，故该选项说法正确，不符合题意；故选：C． 2．（2025·四川成都·二模）关于x的不等式的解集是 . 【答案】 【详解】解：，移项得，，∴，故答案为：． 3．（2025·四川成都·一模）已知实数，满足，并且，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∵，∴，解得：，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 4．（2025·四川成都·中考真题）（2）解不等式组： 【答案】（2） 【详解】解：（2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 考点二 一元一次不等式（组）的实际应用 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案。 注意：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等。列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接。 1．（2025·四川成都·中考真题）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． (1)求每个A种挂件的价格；(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】(1)每个A种挂件的价格为25元(2)该游客最多购买11个A种挂件 【详解】（1）解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得，解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； （2）解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得，解得， 由于y为正整数，故该游客最多购买11个A种挂件． 2．（2023·四川成都·中考真题）年月日至月日，第届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买，两种食材制作小吃．已知购买千克种食材和千克种食材共需元，购买千克种食材和千克种食材共需元． (1)求，两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共千克，其中购买种食材千克数不少于种食材千克数的倍，当，两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种食材单价是每千克元，种食材单价是每千克元 (2)种食材购买千克，种食材购买千克时，总费用最少，为元 【详解】（1）解：设种食材的单价为元，种食材的单价为元，根据题意得， ，解得：， 答：种食材的单价为元，种食材的单价为元； （2）解：设种食材购买千克，则种食材购买千克，根据题意， 解得：， 设总费用为元，根据题意， ∵，随的增大而增大，∴当时，最小， ∴最少总费用为（元） 3．（2025·四川成都·校考二模）初三体育进入专项训练，某学校打算采购一批篮球和实心球供同学们使用，调查发现购买3个篮球和4个实心球需290元；购买4个篮球和5个实心球需380元． (1)求篮球、实心球的单价各是多少元？ (2)该校计划采购篮球、实心球共200个，总费用不超过6100元，且篮球个数不少于实心球个数的，请为该校设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)篮球的单价是70元，实心球的单价是20元 (2)最省钱的购买方案为：购买40个篮球，160个实心球，理由见解析 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，实心球的单价是y元， 根据题意得：，解得：． 答：篮球的单价是70元，实心球的单价是20元； （2）解：最省钱的购买方案为：购买40个篮球，160个实心球，理由如下： 设购买m个篮球，则购买个实心球， 根据题意得：，解得：， 又∵m为正整数，∴m可以为40，41，42，∴该校共有3种购买方案， 方案1：购买40个篮球，160个实心球，总费用为（元）； 方案2：购买41个篮球，159个实心球，总费用为（元）； 方案3：购买42个篮球，158个实心球，总费用为（元）， ∵，∴最省钱的购买方案为：购买40个篮球，160个实心球． 命题点一 一元一次不等式（组）的解法 ►题型01 不等式的基本性质及运用 1、符号变化‌：乘除负数时，不等号方向要改变。 2、验证解集‌：代入边界值验证是否满足原不等式。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如果，那么下列不等式中不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵∴，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意； ，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，B正确，不符合题意； ，不等号两边同时加上同一个数，不等号方向不变，C正确，不符合题意； ，D错误，符合题意；故选：D． 【典例】2．（2025·成都·校考三模）将克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，这是因为糖水中含糖的浓度变大了，请你用含x，y和的数量关系式表示“糖水中含糖的浓度变大”的事实： ． 【答案】 【详解】解：由题知，原糖水的浓度为，加入克糖后糖水浓度为：， 糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，．故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·校考一模）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：得，则，∴，∴，故选：B． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若，，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：由，两式相加，得，即，正确，不符合题意； B：由，两式相加，得，正确，不符合题意； C：由得，代入，可得，即，不能得到，原选项错误，符合题意． D：由得，代入，可得，即，正确，不符合题意； 故选C ►题型02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤 移项‌：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。 合并同类项‌：把同类项合并简化。 系数化为1‌：两边同时除以未知数的系数。 常见易错点： 忽略符号变化‌：乘除负数时忘记改变不等号方向。 移项错误‌：移项时忘记变号。 【典例】1．（2025·成都·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： 【典例】2．（2025·四川成都·三模）不等式的解集如图所示，则a的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】解：由题意，得解集为． ∵，则，，，故选B． 【变式】1．（2025·浙江丽水·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：；；；， 解集在数轴上表示如下：故选C 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：，解得：，不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：，解得：．故选：． 【变式】3．（2025·成都·一模）解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 解得： ►题型03 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： 1、分别解每个不等式（同一元一次不等式的解法）。 2、找公共解集‌：用数轴表示两个解集，重叠部分就是答案。 【典例】1．（2025·成都·校考一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：， 不等式组的解集为，在数轴上表示如下图：故选：A． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）（2）解不等式组： 【答案】（2） 【详解】解：（2） 由①得；由②得，∴原不等式的解集为． 【变式】1．（2025·成都·一模）解集在数轴上表示如图的不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据数轴表示，该不等式组的解集表示为， 对于A，，解得： ，不满足题意； 对于B，，解得：，满足题意； 对于C，，解得：，不满足题意； 对于D，，解得：，不满足题意；故选：B． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算∶ （2）解不等式组∶ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解： ； （2）解： 由①得；由②得， ∴原不等式组的解集为：． 【变式】3．（2024·四川成都·中考真题）（2）解不等式组： 【答案】（2） 【详解】解：（2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． ►题型04 不等式（组）的整数解问题 【典例】1.（2025·四川成都·一模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得，；解不等式得，， 所以不等式组的解集为：，则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以，解得．故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）王老师在数学课上带领同学们做数学游戏，规则如下： 游戏规则： 甲同学任报一个有理数传给乙同学； 乙同学把这个数减后报给丙同学； 丙同学把接收到的数的二倍减，报出答案． 根据游戏规则，回答下面的问题： (1)若甲报的数为，则丙报的数是多少； (2)若甲报了一个整数，丙报出的是正数，求甲报的最小整数是多少？ 【答案】(1)；(2)甲报的最小整数是． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：甲报出的数为，则， ， ∴甲报的最小整数是． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）求满足不等式组的正整数解． 【答案】4，5 【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，∴正整数解为4，5． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）（2）解不等式组，并写出奇数解 【答案】（1）（2）；奇数解为：，，， 【详解】解：（2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：；奇数解为：，，，． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）如果关于的不等式组的整数解仅有，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有 个 【答案】6 【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：， ∵不等式组的整数解仅有，则、， 解得：、，则时，、、；当时，、、； 所以适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有个． ►题型05 由不等式（组）的解集或解集情况求参数 这类题目的关键在于‌逆向推理‌：已知解集反推参数范围。 核心步骤是：先解不等式（组）‌，用参数表示解集；根据已知解集条件‌，建立参数的不等式；解参数不等式‌，得到参数范围。 常见易错点：1）边界值处理‌；2）参数范围验证‌：求出参数后，需代入原不等式验证解集是否一致。 【典例】1．（2025·四川成都·校考二模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【详解】解：解不等式得，解不等式得， ∵不等式组有解，∴，解得：，故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·一模）若关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式组： 解第一个不等式：，， ，，，， 解第二个不等式：，，，， 因此，不等式组的解集为：， 由于该解集恰有三个整数解，即整数解为0、1、2， 故需满足：；解得：，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】解：，解不等式①，得；解不等式②，得． 由数轴上的解集可得，，，故选：B． 【变式】2．（2025·四川成都·校考一模）若关于x的不等式组的解集为，则a的值不可能是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】解：由关于x的不等式组的解集为，可知：， ∴a的值不可能是，故选A． 【变式】3．（2025·成都·校考三模）若关于的不等式组，无解，则所有满足条件的正整数的和为 ． 【答案】3 【详解】解：，解不等式得，， 不等式组无解，∴，∴正整数的值为或． ∴所有满足条件的正整数的和为；故答案为： ►题型06 不等式组与方程组的结合问题 【典例】1．（2025·四川成都·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ，用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵，∴．，对于，当时，； 当时，．∵的取值范围是大于小于，∴的取值范围是．故选：D 【变式】1．（2025·成都·三模）已知实数a，b满足，且，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，解关于和的方程组，解得：． 根据题意得：，解得：，即，故选：B． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）若m使得关于x的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数m有 个． 【答案】5 【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：， ∵不等式组至少 2 个整数解，，， ，得：， ，，，， ∴满足条件的整数有、、、、，∴满足条件的整数有5个，故答案为：5． 【变式】3．（2025·四川成都·校考一模）如果关于的分式方程有负整数解，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【详解】解：分式方程去分母得：，解得：， 由分式方程有负整数解，得到且，即，且， 不等式组整理得：，由解集为，得到，即， ∴，且，∴整数， ∵由分式方程有负整数解，∴取整数， ∴，∴．故答案为：． 命题点三 一元一次不等式（组）的实际应用 ►题型01 列一元一次不等式 解题步骤：1）找关键词‌：“大于”、“超过” → 用“>”；“小于”、“不足” → 用“<”；“不超过”、“至多” → 用“≤”；“不低于”、“至少” → 用“≥” 2）设未知数‌：通常用x表示未知量，比如“某数”、“某个量”。 3）列不等式‌：根据关键词和数量关系写出不等式。 【典例】1．（2025·广东云浮·一模）如图所示的交通标志为某条城市公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵汽车的最高时速不得超过，某汽车的时速为， 且该汽车没有超速，∴，故选：B． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为公斤，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总距离皆为公里，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班 天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？ 每人使用各种交通工具 每移动1公里产生的碳排放量 自行车 0公斤 公交车 公斤 机车 公斤 汽车 公斤 【答案】 【详解】解：设改搭公交车上下班天，根据题意得：，解得：． 又为正整数，的最小值为，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不等式“”可以表示“不超过3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：，故选：A 【变式】2．（2025·成都·二模）如图，经了解，植物生长的温度为，而大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，则以下适宜植物长高的最高温度x是（   ） A．15 B．20 C．24 D．25 【答案】C 【详解】解：∵大多数植物在范围内生长良好，且在这个温度区间，植物随温度升高而长高，∴四个选项中适宜植物长高的最高温度x是24，故选：C． 【变式】3．（2025·成都·二模）电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗条 B．依题意 C．有最小值，但没有最大值 D．是正确解，但不是唯一解 【答案】D 【详解】A、设数量少的狗群中有狗条，则狗群数量多的每个群为条，此选项错误； B、依题意应该是：，此选项错误； C、依题意得(x为奇数)，解得：(x为奇数)，故x的最小值为1，x的最大值为73．此选项错误； D、由C可知，(x为奇数)，故是正确解，但不是唯一解，符合题意，故此选项正确．故选：D． ►题型02 利用一元一次不等式解决实际问题 【典例】1．（2025·成都·校考一模）某玩具店以200元/辆的进价购入200辆儿童自行车，并以260元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（   ） A．150辆 B．152辆 C．153辆 D．154辆 【答案】D 【详解】解：设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得， 解得：，又x为正整数，故符合题意的最小正整数为154，故选：D． 【典例】2．（2025·成都·二模）“大明湖畔的夏雨荷”，是给不少人留下了深刻印象的影视形象．2024年12月，济南市大明湖畔迎来了一个高达12米的“夏雨荷”造型花灯，很多游客纷纷前来打卡拍照，与夏雨荷花灯类似的两款簪花发卡尤其受到拍照游客喜爱，很多游客纷纷购买佩戴后与夏雨荷花灯合影留念．已知购买1个款簪花发卡的售价50元，1个款簪花发卡的售价40元．某旅行团计划购买这两种簪花发卡共100个，要求款簪花发卡的数量不少于款簪花发卡数量的3倍．则该旅行团最低消费金额为 元． 【答案】4750 【详解】解：设购买款簪花发卡个，则款簪花发卡， 由题意得：，解得：， 设旅行团消费金额为元，则， ∵，∴随着的增大而增大，∴当时，最小，为，故答案为：4750． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）教室后墙有一段长120厘米的水平展示栏，用于张贴正方形的美术作品和书法作品，要求所有作品横向排列且无间距不重叠．已知每幅美术作品边长均为5厘米，每幅书法作品边长均为8厘米，若展示栏的一侧已张贴了10幅美术作品，求最多还能张贴多少幅书法作品？ 【答案】最多还能张贴8幅书法作品 【详解】解：设还能张贴幅书法作品．根据题意，得．解得． 答：最多还能张贴8幅书法作品． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）某数学竞赛中出了10道题，每答对1题得5分，每答错1题或不答题扣3分．问至少要答对几道题，得分才不低于10分？ 【答案】至少要答对道题，得分才不低于分 【详解】解：设答对了道题，则答错或不答道题， 依题意，得：，解得：． 答：至少要答对道题，得分才不低于分． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）文化与情感的共燃、创意设计和温情表达的相辅相成使得中国传统节日文创产品出圈．某商店经销一种文创书签，该书签的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该书签每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(2)在每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润为元，则该书签每个的售价是多少？(3)该商店决定这种书签的售价每个不能高于元，且每销售1个这种书签就向某文化机构捐款n元，捐款后发现，该商店每天销售这种书签所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)(2)元(3) 【详解】（1）解：由题意，设，又∵图象过，， ．．； （2）解：由题意得：，整理得：，解得：， ∵每天的销售量不低于个，∴，，故，则该书签每个的售价元； （3）解：设捐款后每天所获得的利润为元，根据题意得： ，∴抛物线的对称轴为直线， ∵，当时，随的增大而增大． 物价部门规定这种书签的售价每个不能高于元， 即在 范围内函数都要递增，则对称轴才能保证在 时函数递增， ，解得，又，． ►题型03 利用一元一次不等式解决几何问题 【典例】1．（2025·广东深圳·三模）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计． 【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数． 【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验： 如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度． 任务1：（1）①图3中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示） ②图4中弹簧伸长的长度 ；（用含的式子表示）；（2）求弹簧的原长． 【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是． 任务2：（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）． 【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力． 任务3：（4）补全刻度设计方案： 方案①将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了 N； 方案②在图5中，从0刻度线开始，每隔在刻度板上找到对应的刻度线（画出即可），并直接写出相邻刻度线间的距离． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）；（4）①；②见解析，相邻刻度线间的距离是 【详解】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度；故答案为：； ②图4中弹簧伸长的长度，故答案为：． （2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，∴，， 又∵，∴，∴． （3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是， ∴，∴，即，∴该弹簧测力计的量程为； （4）①∵， ∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，故答案为：． ②画出对应的刻度线如图所示： 在弹性限度范围内，拉力增大，弹簧伸长，∴相邻刻度线间的距离是． 【变式】1．（2025·河北·中考真题）平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意，∴， ∵为整数，∴可以是，，，，；故答案为：（答案不唯一）． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）2022年北京冬季奥运会开幕式于2022年2月4日20：00在国家体育馆举行，嘉淇利用相关数字做游戏： ①画一条数轴，在数轴上用点A，B，C分别表示﹣20，2022，﹣24，如图1所示； ②将这条数轴在点A处剪断，点A右侧的部分称为数轴I，点A左侧的部分称为数轴Ⅱ； ③平移数轴Ⅱ使点A位于点B的正下方，如图2所示； ④扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧． 则整数k的最小值为（　　） A．511 B．510 C．509 D．500 【答案】A 【详解】解：依题意，， ∵扩大数轴Ⅱ的单位长度至原来的k倍，使点C正上方位于数轴I的点A左侧， ，即，解得，为正整数，∴的最小值为，故选A． 【变式】3．（2025·广东深圳·模拟预测）根据以上素材，思考并完成任务： 文字说明 图示说明 素材1 如图，某校原有矩形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车． 素材2 学校计划新建一个矩形无围墙停车场（如图），该矩形停车场一边长33米，行车通道宽为米，现在向师生征集设计方案． 素材3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图． 方案说明：①四边形为矩形，图中每个矩形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形为平行四边形，，图中每个平行四边形停车位完全一致；③，． 任务1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽． 任务2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量． 任务3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该矩形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】任务1：原停车位的长为6米，宽为3米；任务2：个；10个；任务3：矩形停车场的另一边至少60.6米． 【详解】任务1：设原停车位的长为米，宽为米，由题意可知 解得答：原停车位的长为6米，宽为3米． 任务2：①垂直停车位个数：个；②由（1）知，米，， 在中，，，米．垂直停车位个数：个； 任务3：在中，，，米米 设垂直停车位有排，则斜列停车位有排，由题意可知，解得， 因为为正整数，所以最小为4，则斜列停车位至少有3排，米 答：矩形停车场的另一边至少米． ►题型04 不等式组的行程、工程问题 行程问题解题技巧 核心公式‌：路程=速度×时间；相遇问题：快行距+慢行距=原距；追及问题：快行距-慢行距=原距； 航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 解题步骤‌： 1）设未知数‌：通常设路程、速度或时间为x。 2）列不等式‌：根据题目条件列出不等式组。 3）解不等式组‌：分别解每个不等式，再找公共解集。 4）验证解集‌：代入原题条件验证是否合理。 工程问题解题技巧 核心公式‌： 工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率 解题步骤‌： 1）设未知数‌：通常设工作总量为1（单位1），或设工作效率为x。 2）列不等式‌：根据题目条件列出不等式组。 3）解不等式组‌：分别解每个不等式，再找公共解集。 4）验证解集‌：代入原题条件验证是否合理。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成．(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得，经检验是原方程的根；答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：，解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 【典例】2．（2025·成都·校考一模）已知一列慢车与一列快车相继从泰州开往上海，慢车先出发，一小时后快车出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)请解释图中点的实际意义；(2)分别求慢车和快车的速度、泰州与上海的距离；(3)如果两车都配有对讲机，并且二车相距不超过时，能相互通话，求两车均在行驶过程中能通话的时间． 【答案】(1)图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车 (2)慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为 (3)两车均在行驶过程中能通话的时间为小时 【详解】（1）解：图中点的实际意义是：当慢车行驶时，快车追上慢车； （2）解：设慢车每小时行驶，快车每小时行驶，由题意和图意得 ，解得：，则全程为：． 答：慢车每小时行驶，快车每小时行驶，泰州与上海的距离为． （3）解：设快车行驶小时后，两车之间的距离不超过，由题意得， ，解得：．小时． 答：两车均在行驶过程中能通话的时间为小时． 【变式】1．（2025·成都·三模）某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是，问：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全？ 【答案】导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全 【详解】解：设导火线的长度为，根据题意得： ，解得：， 答：导火线必须超过多长，才能保证操作人员的安全． 【变式】2．（2025·成都·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天．(1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积；(2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50(2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：，解得：，经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：，整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为：． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵，∴w随x减小而减小， ∵∴当时，w有最小值，最小值为，此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【变式】3．（2025·四川成都·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来. 【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米. 根据题意得：.解得.检验:是原分式方程的解. 答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米. （2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米. 由题意，得解得． 所以分配方案有3种． 方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米； 方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米． ►题型05 不等式组的经济问题 经济问题的关键是‌将实际问题转化为不等式组‌，通过解不等式组找到最优解或可行解。核心步骤是： 1）设未知数‌：通常设成本、利润、数量等为x。 2）列不等式组‌：根据题目条件列出不等式组。 3）解不等式组‌：分别解每个不等式，再找公共解集。 4）验证解集‌：代入原题条件验证是否合理。 【典例】1．（2025·四川成都·校考二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是 元． 【答案】780 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ，解得，且． ∵，∴函数值y随着x的增大而减小，即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元．故答案为：780． 【典例】2．（2024·四川成都·模拟预测）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元；(2)购进A商品的件数最多为20件 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，，解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得，∵m为整数，∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 【变式】1．（2024·四川成都·二模）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． (1)篮球、足球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案． 【答案】(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元．(2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元， 依题意得：，解得：． 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． （2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球， 购买篮球和足球的总费用 依题意得：， 解不等式①得：．解不等式②得：．∴m的取值范围为：， ∵购买篮球和足球的总费用，， ∴y随m的增大而增大，∴当时，最省钱， ∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱． 【变式】2．（2025·四川成都·二模）某商场销售一种商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（的整数），每天销量为y（件）．(1)直接写出y与x的函数关系式为：______；(2)若要使每天销售总利润为270元，求此时的销售单价；(3)若每件该小商品的售价不超过进价的2倍，且每天的进货总成本不超过800元，求出该小商品每天销售总利润w的最大值． 【答案】(1)(2)当销售单价为11元/件或17元/件时，每天销售总利润为270元 (3)该小商品每天销售总利润w的最大值360元． 【详解】（1）解：由题意得，，故答案为：； （2）解：由题意得，，整理得：，解得或， ∴当销售单价为11元/件或17元/件时，每天销售总利润为270元； （3）解：由题意得，， ∵每件该小商品的售价不超过进价的2倍，且每天的进货总成本不超过800元， ∴，∴，∴当时，w最大，最大为360， ∴该小商品每天销售总利润w的最大值360元． 【变式】3．（2025·成都·校考一模）为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民族特色旅游纪念品加工厂．该厂生产A，B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种．如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天B型号挂件，那么一共可以生产1300个．(1)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号挂件的数量不少于1200个．已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元．在完成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个； (2)安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． 【详解】（1）解：设该工厂每天能生产A型号挂件x个，B型号挂件y个， 根据题意列方程组：，解得：， 答：该工厂每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个． （2）设应安排生产A型号挂件a天，则生产B型号挂件天， 根据题意得：，解得：，且a为整数， 根据题意可求总利润为：， 当时，利润最大为：（元）， 答：应安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． ►题型06 不等式组的方案问题 【典例】1．（2025·成都·一模）某商场工作人员为方便客户购物需用扶手电梯和直立电梯从一楼运输一批购物车到二楼．若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，直立电梯一次性可以运输18辆购物车．若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，则共有 种运输方案，分别是 ． 【答案】4 使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次。 【详解】解：设使用扶手电梯x次，则使用直立电梯次，根据题意得： ，解得：，∵x为整数，∴，3，4，5， 因此有4种方案，即使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 故答案为：4；使用扶手电梯2次，则使用直立电梯3次；使用扶手电梯3次，则使用直立电梯2次；使用扶手电梯4次，则使用直立电梯1次；使用扶手电梯5次，则使用直立电梯0次． 【典例】2．（2025·四川成都·校考一模）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)；(2)直立电梯一次性最多可以运输辆购物车；(3)共有种运输方案，理由见解析． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为，故答案为：； （2）解：当时，，解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ，解得：，∴为正整数， ∴，，，∴共有种运输方案： 扶手电梯运次，直立电梯运次；扶手电梯运次，直立电梯运次；扶手电梯运次． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料，乙种原料；生产一件B产品需要甲种原料，乙种原料．则符合题意的生产方案共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【详解】解：设A种产x件，B种产品件，，， 因为x为整数，所以，31，32所以有3种方案 方案1，A产品30件，B产品20件；方案2，A产品31件，B产品19件； 方案3，A产品32件，B产品18件．有3种方案．故选：B． 【变式】2．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元．(1)求型、型两种机器人的单价；(2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意，所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得，解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数；∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 【变式】3．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元；(2)4种 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意；∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ，解得：， ∵为整数，∴，∴，故共有4种方案． ►题型07 不等式组的其他问题 【典例】1．（2025·成都模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克．(2)寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 (1)【分析变量关系】根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元）关于杨梅重量x (千克)之间的函数关系式．(2)【计算最省费用】若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用．(3)【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 【答案】(1)(2)94元(3)93千克；8件10千克，1件13千克 【详解】（1）解：由题意得，解得，∴． （2）解：当时，①若单件寄送，则需寄费 (元)， ②若分两件寄送，则需寄费(元)，， ③若分三件寄送，则需寄费(元)， ∵，∴寄送25千克杨梅的最省费用为94元； （3）解：设有a千克杨梅需要寄送，设的余数为n， 当时，，当时，， ∴当时，采用其中一件超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱； 当时，采用一件不超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱． 设小聪购买的杨梅一共分b件不超过10千克的寄送方式，由题意得，， 解得， 又是正整数，∴b最大值为9，∴还剩下 (元)， ∵的余数小于5， ∴最省钱的寄送方式应该是8件均为10千克的寄送，一件超过10千克的寄送， ∵8件均为10千克的费用(含寄送费)为元，，，，， ∴一件超过10千克的寄送的杨梅重量是13千克，∴ (千克)． ∴小聪最多可以购买93千克杨梅，寄送方式为8件10千克，1件13千克． 【典例】2．（2025成都 模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． 【答案】(1) (2)甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1600元钱 (3)a的值为10 【详解】（1）解：∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人，∴，解得：． ①当时，； ②当时，； 综上所述，； （2）解：当时，根据题意得解得， ∵当时，W随x的增大而减小，∴当时，W取最大值， 最大值为：（元）， 当时，根据题意得；解得，这种情况不成立． 答：甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1600元钱． （3）解：当时，解得，又，． 当时，解得，这种情况不成立．． “五一”小黄金周之后：， ，∴W随x的增大而减小，∴当时，W取最小值，最小值为： ，解得，∴a的值为10． 【变式】1．（2025·成都·校考三模）某销售公司员工每月的工资由基本工资和业务计单提成组成，其中每月基本工资为元，每单提成为元．已知员工小王月份做了单业务，该月的工资为元．若小王想让每月的工资超过元，则他每月最少要做多少单业务？ 【答案】小王每月至少要做 单业务，才能使工资超过 元 【详解】解：依题意，解得： 设他每月做单业务，根据题意得，解得： ∵为整数；∴最小整数解： 答：小王每月至少要做 单业务，才能使工资超过 元． 【变式】2．（2025·成都·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）． 方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五折结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五折结算； 方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五折结算． 已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元． (1)当时，分别求出两种方案的最终结算价； (2)当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由） (3)若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)方案一：元；方案二：元(2)不可能相等，理由见解析(3) 【详解】（1）解：方案一：（元）；方案二：（元）； 答：方案一：元；方案二：元； （2）不可能相等，理由如下：由题意，当时，；故不可能相等； （3）当时，，解得：（不符合题意）； 当时，，解得：，∴；故当时，采用方案一更合算． 【变式】3．（2025·四川成都·校考二模）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价40元，乒乓球每盒定价10元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球；乙店的优惠办法是：全部商品按定价的九折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（大于8盒）． (1)若购买盒乒乓球，在甲店需付款（_______）元；在乙店需付款（_______）元；（用含x的代数式表示） (2)若购买20盒乒乓球，去哪家商店购买较合算？请计算说明； (3)当购买乒乓球盒数为盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)，；(2)在甲店买较合算；(3)当购买的乒乓球超过8盒时，在甲商店购买4副乒乓球拍，在乙商店购买盒乒乓球时，比较省钱，理由见解析 【详解】（1）解：当购买乒乓球的盒数为盒时，在甲店需付款元； 当购买乒乓球的盒数为盒时，在乙店需付款元； 故答案为：，； （2）解：购买乒乓球盒数为20盒时，将代入（1）中代数式： 甲店需花费：（元）；乙店需花费：（元）， ∵，∴在甲店购买比较合算，答：在甲店买较合算； （3）解：当购买的乒乓球超过8盒时，在甲商店购买4副乒乓球拍，在乙商店购买盒乒乓球时，比较省钱， 理由如下：某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球盒（大于8盒），由（1）知， 在甲店购买的花费为元；在乙店购买的花费为元； 在甲乙两个商店分开购买，设在甲店买副球拍，赠送盒乒乓球；在乙店购买副球拍，购买盒乒乓球，需花费：元， ，， 当越大时，越小，则当时，，解得， 即只要购买乒乓球盒数超过8，采用方案：在甲店买4副球拍，在乙店购买盒乒乓球更为省钱． 突破一 不等式与函数、方程、概率综合问题 【典例】（2025·四川成都·二模）有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵函数经过第二、四象限，∴，∴， ，解不等式①可得：，解不等式②可得：， ∵关于x的不等式组有实数解， ∴，∴，∴，∴符合条件的的值为，0，1， ∴使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是， 故答案为：． 【变式】1．（2025·四川成都·校考一模）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解，∴，∴； 得：， ∵，∴，∴，∴，∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是，故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·校考二模）如果关于的分式方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集是，那么符合条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【详解】解：将关于x的分式方程的两边都乘以可得：,解得：， ∵关于x的分式方程有非负整数解， ∴且a为偶数，即的偶数，由于分式方程的增根为， 当时，即，解得，因此， 解关于y的不等式得：，解关于y的不等式得：， 由于关于y的不等式组的解集是， 所以，即，所以的偶数且， 所以符合条件的所有整数a的值之和．故答案为：． 【变式】3．（2025·四川成都·一模）若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【详解】由不等式组， 解不等式：，解不等式：，∵不等式无解，∴； ，解得：， ∵分式方程的解为负数，∴，解得：；∴的取值范围为：， ∵为整数，∴的值为：，，∴整数的值之和为：．故答案为：． 突破二 不等式（组）与新定义 【典例】（24-25九年级上·四川成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，那么称点是点的“双差点”．若点，的“双差点”是点，当点在直线的上方时，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，的“双差点”是点，∴， 对于，当时，， ∵点在直线的上方时，∴，解得．故答案为：． 【变式】1．（2025·江苏南通·校考二模）定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【详解】∵，是一对“互助数”，∴ 去分母得，； ∵；∴；∴ ∵；∴；∴ ∴；整理得，；∴ ∴或；∴或；∴解得或 但当时，，，不符合题意，所以或，∴p的值可以为．故选：A． 【变式】2．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴关于a的不等式组即 解不等式①得：；解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解，∴整数解为，∴ 解得：故答案为：． 【变式】3．（2025·成都·一模）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则，如，，给出下列关于的结论： ， ，若，则实数的取值范围是，当，为非负整数时，有，．其中，正确的结论有 （填正确答案的序号） 【答案】①③④ 【详解】解：，，故此项正确； 当时，，，，故此选项错误； ，，解得：；故此项正确； ，为非负整数时，不影响四舍五入，，故此项正确； 当，时，，，，故此项错误； 故答案：①③④． 突破三 不等式（组）、方程（组）与函数的实际应用 【典例】1.（2025·成都·校考三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元．(1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【答案】(1)制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元 (2)当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元 【详解】（1）解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元， 根据题意得：，解得：， 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签， 根据题意得：，解得：， 设全部售出后的获得的总利润为w元，则，即， ，随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元），（套）． 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元． 【变式】1．（2025·四川成都·校考二模）2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同．(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买树苗的总费用最少？ 【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元 (2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元． 由题意得：，解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，则， 答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元． （2）解：设购买乙种树苗棵，总费用为元，则购买甲种树苗棵， ∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍， ∴，∴， 由题意得：， ∵一次函数中的，∴在内，随的增大而增大， ∴当时，的值最小，此时， 答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少． 【变式】2．（2025·成都·一模）福建的传统手工艺品独具魅力，油纸伞和角梳是“福州三宝”之二．某工艺品店计划从当地手工艺人处购进油纸伞和角梳用于售卖，已知购买4把油纸伞的费用比购买1把角梳的费用多20元，购买5把油纸伞和2把角梳一共花费220元．(1)求每把油纸伞和角梳的进价分别是多少元？ (2)若油纸伞的售价为30元/把，角梳的售价为75元/把，该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把，且购进商品全部售出，求怎样进货可使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元 (2)该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元 【详解】（1）解：设每把油纸伞的进价为元，每把角梳的进价为元， 由题意得：，解得，符合题意， 答：每把油纸伞的进价为20元，每把角梳的进价为60元． （2）解：设该工艺品店购进油纸伞把，则购进角梳把， 由题意得：， ∵该工艺品店计划花费不超过4000元购进油纸伞和角梳共100把， ∴，∴， 由一次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为，此时， 答：该工艺品店购进油纸伞50把，角梳50把可使利润最大，最大利润是1250元． 1．（2025·成都·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意．故选：C． 2．（2025·成都·校考三模）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了个，两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表：已知剩下甲种原料千克，乙种原料千克，假设制作个型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（    ） A型 B型 原料甲 0.5千克/个 0.2千克/个 原料乙 0.3千克/个 0.4千克/个 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设制作个型工艺品，则型工艺品为个， ∵每个型工艺品需甲种原料千克，每个型工艺品需甲种原料千克， ∴甲种原料总用量为：， ∵每个A型工艺品需乙种原料千克，B型需乙种原料千克， ∴乙种原料总用量为： ∴相应的不等式组为，故选：B． 3．（2025·四川成都二模）如果不等式的解集能使关于的一次不等式成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：不等式的解集是，不等式的解集是， 不等式的解集能使关于的一次不等式成立， ，解得：，故选：C． 4．（2025·四川成都·校考一模）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分的有，但不到3本，这些书的本数和人数分别是（   ） A．27，7 B．24，6 C．21，5 D．18，4 【答案】C 【详解】解：设有人，则书有本． 由题意，得，解得． 因为为整数，所以，所以，即书有21本，人数为5个．故选：C． 5．（2025·成都·校考二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 元；（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 小时， 【答案】 15 7 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴，∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元，故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意，∴小林停车时间最长为7小时，故答案为：7． 6．（2025·四川成都·校考一模）在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是 （填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 【答案】B 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：，；得：，； 得：，；得：，； 得：，；，且， B卡片上的数最大．故答案为：B． 7．（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得，解得，故答案为：． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式 ，得 ；解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ．故答案为：． 9．（2023·四川成都·中考真题）（2）解不等式组： 【答案】（2） 【详解】解：（2）解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 10．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 11．（2025·成都·校考三模）有一个数学游戏，如图，一个实数从，，三个位置中任选一个位置出发，按照通道内标注的要求进行运算后到下一个位置例如：将按照或的顺序进行运算，是将数据经过“乘以”的运算得出结果． (1)将按照的顺序进行运算，列出算式并求出运算结果； (2)输入一个整数按照的顺序进行运算，发现运算结果不大于则输入数字的最小值为多少？ 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解：设输入的整数为，由题意得，解得：， 则的最小整数解为，即输入数字的最小值为． 12．（2024·四川成都·中考真题）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． (1)求A，B两种水果各购进多少千克； (2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】(1)A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克(2)A种水果的最低销售单价为元/ 【详解】（1）解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：，解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：，解得， 故A种水果的最低销售单价为元/ 1．（2025·成都·一模）已知实数x，y，z满足，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵ ，∴，∴ ， ∵ ，∴ ．又 ∵ ，∴ ，∴； ，， 由可知，则，又，故，； 综上， 且 ．故选： A． 2．（2025·成都·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，，∴，解得， ∵为正整数，∴的值为，即经过次传输，可以结束程序，故选：． 3．（2025·四川成都·校考一模）已知关于x的不等式组，给出下面四个结论： 当时，不等式组的解集是；若不等式组的解集是，则； 若不等式组恰有个整数解，则；若不等式组无解，则； 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】 【详解】解：当时，不等式组的解集是，原说法正确，符合题意； 若不等式组的解集是，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组恰有个整数解，则，原说法正确，符合题意； 若不等式组无解，则，原说法掌握，不符合题意， ∴正确结论为；故答案为：． 4．（2025·成都·模拟预测）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元 (2)当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元 【详解】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元． 由题意得，解得． 答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，．，解得，， ∵，∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数．∴当 时，w取得最大值，为（元）．∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元． 5．（2025·成都·二模）一家商店在节假日期间开放优惠活动，设客户结账时货品原价为t元，可以选择优惠方案A、B中任意一个． A：每满300元购买额，就可以减一次价，减n元（）； B：购买额在400元及以下的部分打九折，400元以上的打八折． (1)令，，分别求出选A、B方案的实际支付额． (2)若可以同时满足条件①：若选A方案，则减一次价，②：选A、B方案没有实际区别，请用t表示n，并求出n的取值范围． 【答案】(1)A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元． (2)，；或，． 【详解】（1）解：∵，∴A方案的实际支付额为（元）； ∵，∴B方案的实际支付额为（元）． 答：A方案的实际支付额为642元，B方案的实际支付额为600元； （2）①当时，，解得，，即，∴，； ②当时，，解得，． 综上所述，，；或，． 6．（2025·成都·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只．(1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1)(2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只，∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得，由（2）可知，每日销售利润， ∵，∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 1（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意，故选：D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）下列不等式组无解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意； B、原不等式组无解，符合题意； C、原不等式组的解集为，不符合题意； D、原不等式组的解集为，不符合题意；故选：B． 3．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵，∴，故选：A 4．（2025·四川宜宾·中考真题）采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A．14道 B．13道 C．12道 D．11道 【答案】C 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：，解得：，∴x的最小值为12，∴他至少要答对12道题．故选：C． 5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】2 【详解】解：， 解不等式，得，解不等式，得， 原不等式组的解集为，原不等式组的整数解为3，2共2个．故答案为：2． 6．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是，∴，∴．故答案为： 7．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得：，解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解，∴，故答案为：． 8．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 9．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【详解】解：（1） （2） 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示为： 10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【答案】(1)甲型6元，乙型8元(2)20盏 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得，解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 11．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【答案】(1)A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元(2)共有6种购买方案，最低费用为900元 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则，解得， 又a为正整数，，11，12，13，14，15．由题意得． ，w随a的增大而增大，时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $