精品解析：辽宁省鞍山市2025-2026学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求） 1. 走一段的路，步行用了，步行的速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列代数式，根据速度计算公式，速度等于路程除以时间，即可求解. 【详解】解： 故选：B. 2. 如图，中，是高线，画图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的高，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 从点向边作垂线即可求解． 【详解】解：A、是点到的垂线，不符合题意； B、是边上的高，不符合题意； C、是边上的高，符合题意； D、是边上的高，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，下列轴对称图形，对称轴最多的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了对称轴，熟练掌握对称轴的定义是解题的关键． 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据概念逐个分析几何图形的对称轴条数并判断，即可解题． 【详解】解：有1条对称轴，有2条对称轴，有2条对称轴，有5条对称轴， ， 对称轴最多的是； 故选：D． 4. 已知1个水分子质量是，1滴水的质量是，1滴水中水分子的数量约是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的除法计算，科学记数法． 计算一滴水中水分子数量，需用总质量除以单个水分子质量，利用科学记数法简化运算． 【详解】解：∵ 一滴水质量， ∴ 水分子数量， 故选：A． 5. 下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零数或式子，分式的值不变．根据这一性质，检查各选项是否符合． 【详解】解：A、分子和分母同时加2，不是同时乘以或除以2，不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； B、分子和分母同时平方，不是同时乘以或除以同一个数或式子（不为0），不符合题意分式的基本性质，变形错误，不符合题意； C、当时，式子不成立，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方和合并同类项等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 7. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此可得答案． 【详解】解：A、，等式不成立，故原式不是因式分解，不符合题意； B、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 8. 如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，则可利用证明，由全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵和的长度相等，是它们的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，为扩大学校绿地面积，把一块边长为的正方形绿地，分别增加了，，计算扩大后的绿地面积正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，利用长方形的面积公式列式是解题的关键． 根据长方形的面积公式列代数式，并运用多项式乘多项式计算即可． 【详解】解：由题意可得：扩大后的绿地面积是： ． 故选B． 10. 如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作一个角的平分线以及平行线的性质，根据题意可知平分，结合，即可求得答案． 【详解】根据题意可知平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】首先，观察式子可以发现，每一项都有公因式3，先提取公因式 3 ， 得到：． 然后，括号内的式子可以利用平方差公式， ， 原式分解因式的结果为． 故答案为：． 13. 若一个等腰三角形两边长分别是3 cm和5 cm，则它周长是 ______ cm． 【答案】11或13 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当三边是3，3，5时，能构成三角形，则周长是11； 当三边是3，5，5时，能构成三角形，则周长是13． 所以等腰三角形的周长为11cm或13cm． 故答案为：11或13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 14. 如图，，，若满足，可以添加的条件是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，可证明，再根据全等三角形的判定定理求解即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当添加时，结合，，可利用证明， 当添加时，结合，，可利用证明， 故答案为：或． 15. 如图，中，过点作于点，，，取中点，连接，若平分，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的相关计算，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；由题意求得，过点E作，，由平分得，证得，再证是等边三角形即可解答． 【详解】解：，， ， 点是的中点， 过点E作， 平分 ， 是等边三角形 故答案为4． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算： （1）根据分式混合运算的法则计算即可； （2）根据分式混合运算的法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先化简原整式，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18. 已知一个三角形的三边长分别为，，，且满足，讨论，，之间的数量关系，并说明这个三角形的形状． 【答案】或，是等腰三角形；当时，是等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握分组分解法进行因式分解． 将，进行因式分解，再根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：由得 或 、、是三角形的三边 是等腰三角形， 当时，是等边三角形． 19. 如图，平面直角坐标系中，点，，． （1）请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； （2）若点，点，连接，线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 【答案】（1）图见解析，、、 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，最短路径． （1）由关于轴对称的点的坐标特征，即可得点，，的坐标，用线段顺次连接点，，，即可得； （2）作关于线段的对称点，连接，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：∵，，，与关于轴对称， ∴、、， 如图，即为所求． 【小问2详解】 解：作关于线段的对称点，连接，交于点，如图所示，点即为所求，． 20. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据是的垂直平分线，得到，，再证，即可求解． （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，再求得，根据是等腰三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：是的垂直平分线， ，， ， ， 在和中，， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 21. 八年级学生去距离学校30的社会实践活动基地参观，预约参观时间是上午9点．原计划早晨8点钟乘坐大巴车从学校出发，到达后学生集合整队的时间需要20分钟，学校因特殊情况，出发时间晚了10分钟，若想准时在预约时间进行参观，汽车的速度应该提高到多少？ 【答案】若想准时到达预约时间进行参观，汽车速度应该提高到60 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键在于找出等量关系，列出方程． 设汽车的速度应该提高到，根据题干中的时间关系建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设汽车的速度应该提高到， 分钟小时，10分钟小时， 根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解，且符合实际意义， 答：若想准时到达预约时间进行参观，汽车速度应该提高到60． 22. 某科技公司新推出一款电子产品，预计售价元/件，在预售过程中，发现该产品非常受欢迎，供不应求，公司决定提高售价： 甲员工说：可以设计两轮涨价的营销策略，第一次涨价的百分比为，第二次涨价的百分比为，并且； 乙员工说：也分两次涨价，且每次涨价的百分比均为和的平均值； 请通过计算说明，甲、乙两位员工的方案哪个盈利更多． 【答案】按照乙员工的方案盈利更多 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及代数式的大小比较，通过作差法结合完全平方公式分析代数式的大小关系是解题的关键． 先根据甲、乙的涨价方案，写出各自涨价后的售价表达式，用乙方案的售价减去甲方案的售价，通过展开、化简（结合完全平方公式），得到差值的表达式，利用的条件，判断差值为正，从而得出乙方案售价更高、盈利更多． 【详解】解：甲员工方案的最终售价：， 乙员工方案的最终售价：， ∵ ， 又， ∴， ∴，即， ∴按照乙员工方案盈利更多． 23. 在综合与实践活动课上，我们学习了均质薄板重心的确定，知道重心有重要的作用．而三角形的重心位于三条中线的交点处，如图1，中，中线，，交于点，则点为的重心； 【初步感知】 （1）三角形的中线平分三角形面积，如图2，中，三条中线将三角形分为六个小三角形，那么这六个小三角形的面积相等吗？请说明理由． 【探索发现】 （2）如图3，等腰三角形中，，是边上的中线，点是的重心，试猜想，与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，等腰三角形中，，点是的重心，连接并延长，过点作于点，交延长线于点，连结，若的面积是1，求四边形的面积． 【答案】（1）六个小三角形的面积相等，理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线平分面积，理解题意是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，则，，同理即可求解； （2）连接，由（1）可知，且，，即可求解； （3）连接并延长交于点，连接，可得是的垂直平分线，由（1）可知，即可求解． 【详解】（1）答：六个小三角形的面积相等 理由：如图；过点作于点，过点作于点， 为的中线， ， ，， ， 同理可得， ，， ，同理可得， （2）如图；连接 ，为中线， ， 由（1）可知，且，， （3）如图；连接并延长交于点，连接 点是的重心， 是的中线， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， 由（1）可知， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分为120分 考试时间120分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求） 1. 走一段的路，步行用了，步行的速度是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，中，是高线，画图正确的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，下列轴对称图形，对称轴最多的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知1个水分子质量是，1滴水的质量是，1滴水中水分子的数量约是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式，运用分式的基本性质变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A B. C. D. 8. 如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，经测量，，那么马扎撑开后两个腿落地点，之间的距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为扩大学校绿地面积，把一块边长为正方形绿地，分别增加了，，计算扩大后的绿地面积正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，以为圆心，任意长为半径作弧，分别交延长线，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 12 分解因式：______． 13. 若一个等腰三角形两边长分别是3 cm和5 cm，则它周长是 ______ cm． 14. 如图，，，若满足，可以添加的条件是___________． 15. 如图，中，过点作于点，，，取中点，连接，若平分，则___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知一个三角形的三边长分别为，，，且满足，讨论，，之间的数量关系，并说明这个三角形的形状． 19 如图，平面直角坐标系中，点，，． （1）请作出关于轴对称的，并分别写出点，，的坐标； （2）若点，点，连接，在线段上找一点，使得最短，在坐标系中画出图形并直接写出点坐标． 20. 如图，中，是边的垂直平分线交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 八年级学生去距离学校30的社会实践活动基地参观，预约参观时间是上午9点．原计划早晨8点钟乘坐大巴车从学校出发，到达后学生集合整队的时间需要20分钟，学校因特殊情况，出发时间晚了10分钟，若想准时在预约时间进行参观，汽车的速度应该提高到多少？ 22. 某科技公司新推出一款电子产品，预计售价元/件，在预售过程中，发现该产品非常受欢迎，供不应求，公司决定提高售价： 甲员工说：可以设计两轮涨价的营销策略，第一次涨价的百分比为，第二次涨价的百分比为，并且； 乙员工说：也分两次涨价，且每次涨价的百分比均为和的平均值； 请通过计算说明，甲、乙两位员工的方案哪个盈利更多． 23. 在综合与实践活动课上，我们学习了均质薄板重心的确定，知道重心有重要的作用．而三角形的重心位于三条中线的交点处，如图1，中，中线，，交于点，则点为的重心； 【初步感知】 （1）三角形的中线平分三角形面积，如图2，中，三条中线将三角形分为六个小三角形，那么这六个小三角形的面积相等吗？请说明理由． 【探索发现】 （2）如图3，等腰三角形中，，是边上的中线，点是的重心，试猜想，与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，等腰三角形中，，点是的重心，连接并延长，过点作于点，交延长线于点，连结，若的面积是1，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $