精品解析：黑龙江省大兴安岭地区呼中区碧水呼源联考2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 观察下列运动标志，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 5. 下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 若25x2－mxy＋36y2是完全平方式，则m的值为（ ） A. ±30 B. －30 C. ±60 D. －60 7. 将分式中的a、b的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 8. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，是边的垂直平分线，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 10. 如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 12. 如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，请添加一个条件______，使（填一个即可）． 13. 已知点与点关于轴对称，则的值为______． 14. 已知，则___________． 15. 若分式的值为0，则的值为_____． 16. 若，，则的值为___________． 17. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 18. 如图，已知在直角三角形中，．动点D在边上运动，过D点作，垂足为点E．则在点D的运动过程中，的最小值为___________． 19. 如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等． 20. 如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第2025个三角形中，以为顶点的底角的度数是___________． 三、解答题 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 22. 解分式方程 （1）； （2）． 23. 先化简，再求值：，其中． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出的坐标； （3）求的面积． 25. 已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED＝EC． （1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC＝CD； （2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想； （3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系． 26. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．现购进蓝文化衫每件的进价比红文化衫每件的进价少5元，且用元购进蓝文化衫的数量与用元购进红文化衫的数量相同． （1）学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ （2）若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于件，则学校最少购进红文化衫多少件？ （3）在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是元/件和元/件，且将购进的两种文化衫全部售出后，使销售两种文化衫的总利润不高于元，那么该校购进两种文化衫的方案有多少种？ 27. 如图，直线与轴、 轴分别交于点、点，且、满足，，是线段上一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期八年级期末数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、完全平方公式、单项式乘法和平方差公式． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：A：，A错误； B：，B错误； C：，C错误； D：，D正确； 故选：D． 2. 观察下列运动标志，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题关键．逐项检查每个选项是否可约分，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是最简分式，选项错误； B、，不是最简分式，选项错误； C、，不是最简分式，选项错误； D、，是最简分式，选项正确； 故选：D． 4. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握两边之和大于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； B．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； C．∵，∴不能构成三角形； D．∵，∴能构成三角形． 故答案为：D． 5. 下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键． 根据因式分解的定义，判断等式是否满足左边是多项式，右边是几个整式的积，且左右相等即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； 对于A：右边为，未分解彻底，不符合题意； 对于B：右边为，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； 对于C：右边为，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 对于D：右边为，是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； ∴故选：D． 6. 若25x2－mxy＋36y2是完全平方式，则m的值为（ ） A. ±30 B. －30 C. ±60 D. －60 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】∵25x2-mxy+36y2=（5x）2-mxy+（6y）2=（5x±6y）2=25x2±60xy+36y2， ∴m=±60． 故选：C． 【点睛】此题考查完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 7. 将分式中的a、b的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（　　） A. 扩大2倍 B. 扩大4倍 C. 缩小2倍 D. 缩小4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的a和b分别替换为，然后化简求出扩大后的分式，再与原分式比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的a、b的值同时扩大2倍，则扩大后的分式为， ∴扩大后的分式的值是原来分式的值的2倍， 故选：A． 8. 已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，同时考虑解的非负性和分母不为零的限制条件是解题的关键． 解分式方程，得到，根据解为非负数和分母不为零的条件，得到且． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 整理得， ∴(其中)， ∵方程的解为非负数， ∴，即， ∴，解得， ∵分母， ∴，即，解得， ∴且． 故选：D． 9. 如图，是边的垂直平分线，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：∵是边的垂直平分线，且， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，D是内部的一点，，．下列结论：①；②；③；④平分．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即， ∴，故②错误； ∵，， ∴垂直平分，故③正确； ∴平分，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和判断，等腰三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 根据实验数据，钢轨温度每变化1℃，每一米钢轨就伸缩约．如果一年中气温相差，那么长的铁路最多可伸缩__________．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据题意，钢轨的伸缩量与温度变化和钢轨长度成正比，因此总伸缩量等于每度每米伸缩量、温度变化和钢轨长度的乘积，即可求解． 【详解】解：总伸缩量， 故答案为：． 12. 如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，请添加一个条件______，使（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先根据平行线的性质可得，再根据全等三角形的判定定理：进行添加即可． 【详解】添加的条件可以是或者或者或者． 理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 如果添加或者，根据可证； 如果添加或者，根据可证． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，本题是一个开放型的题目，答案不唯一．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与． 13. 已知点与点关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称变换，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 14. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆用． 逆用同底数幂的除法得到，逆用幂的乘方得到，进而将代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若，，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简求值． 将已知等式因式分解，结合的值求出，再代入求值表达式计算即可． 【详解】解：由，因式分解得， 代入，得， ∴， 则． 故答案为：． 17. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据线段垂直平分线得出，推出，根据角平分线得出，根据三角形外角性质得到，结合，即可得到． 【详解】解：的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 平分， ， ，， ． 故答案为：． 18. 如图，已知在直角三角形中，．动点D在边上运动，过D点作，垂足为点E．则在点D的运动过程中，的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，三角形的面积，作点B关于的对称点F，作，交于点H，连接，再确定的最小值为，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点F，过点F作，交于点H，连接， ∴． 当点D与点H重合时，． ∵， ∴的最小值为． ∵， ∴． ∵， 解得． 故答案为：． 19. 如图，于点，，，射线于点，点在线段上移动，点在射线上随着点移动，且始终保持，当________时，才能使与全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键． 分当时和当时两种情况解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①∴当时， ∵，， ∴； ②当时， ∵，， ∴； 故答案为：2或4． 20. 如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个……按此做法继续下去，则第2025个三角形中，以为顶点的底角的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质，由，，得，，那么；由，得，根据三角形外角的性质，由，得，以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， …， 以此类推，以为顶点的底角度数是， ∴以为顶点的底角度数是． 故答案为：． 三、解答题 21. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，因式分解． （1）先计算括号里的乘法，再合并同类项，最后计算除法即可； （2）先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22. 解分式方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解：两边同乘，得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：两边同乘，得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 则原方程无解． 23. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 24. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形、平面直角坐标系、三角形面积等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定的对应点，然后再顺次连接即可解答； （2）根据（1）的作图直接写成的坐标即可； （3）根据网格运用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）作图可知：． 【小问3详解】 解：的面积为：． 25. 已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED＝EC． （1）当点E在AB的上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC＝CD； （2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想； （3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系． 【答案】（1）证明：在CD上截取CF＝AE，连接EF． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC． ∴BF＝BE，△BEF为等边三角形． ∴∠EBD＝∠EFC＝120°． 又∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECF． ∴△EDB≌△ECF （AAS） ∴CF＝BD． ∴AE＝BD． ∵CD＝BC+BD，BC＝AC， ∴AE+AC＝CD； （2）AC﹣AE＝CD，证明如下： 在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF． 同（1）的证明过程可得AE＝BD． ∵CD＝BC﹣BD，BC＝AC， ∴AC﹣AE＝CD； （3）AE﹣AC＝CD． 【解析】 【分析】（1）在CD上截取CF=AE，连接EF，运用“AAS”证明△EDB≌△ECF 得AE=BD，从而得证； （2）在BC的延长线上截取CF＝AE，连接EF，同理可得AE、AC和CD的数量关系； （3）同（2）的探究过程可得AE、AC和CD的数量关系. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：AE﹣AC＝CD． （在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．证明过程类似（2））． 故答案为：（1）证明见解析；（2）AC﹣AE＝CD，证明见解析；（3）AE﹣AC＝CD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，运用了类比的思想进行探究，有利于培养分散思维习惯和举一反三的能力. 26. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．现购进蓝文化衫每件的进价比红文化衫每件的进价少5元，且用元购进蓝文化衫的数量与用元购进红文化衫的数量相同． （1）学校购进红、蓝两种颜色的文化衫每件进价分别是多少元？ （2）若该校购进蓝文化衫的数量比红文化衫的数量的2倍少件，且购进红文化衫、蓝文化衫的总数量不少于件，则学校最少购进红文化衫多少件？ （3）在（2）的条件下，若红文化衫、蓝文化衫的售价分别是元/件和元/件，且将购进的两种文化衫全部售出后，使销售两种文化衫的总利润不高于元，那么该校购进两种文化衫的方案有多少种？ 【答案】（1）红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元； （2）该校最少购进红文化衫件； （3）该校购进两种文化衫的方案有种． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设红文化衫每件的进价为x元，根据题意列分式方程，即可求解； （2）设购进红文化衫m件，根据题意列出不等式，即可求解； （3）根据总利润不高于元，列出不等式，即可求解 【小问1详解】 解：设红文化衫每件的进价为x元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， ∴（元）， 答：红文化衫每件的进价为元，蓝文化衫每件的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进红文化衫m件， 根据题意，得， 解得， 答：该校最少购进红文化衫件； 【小问3详解】 解：， 解得， 由（2）得， ∴， （种）， m取得的正整数总共有种， 即该校购进两种文化衫的方案有34种． 27. 如图，直线与轴、 轴分别交于点、点，且、满足，，是线段上一点，若将沿直线折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为； （2）的面积为； （3）在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，可得，由折叠的性质可得，即可得点的坐标； （2）由折叠的性质，可得，根据勾股定理，可得，代入三角形的面积公式，即可得的面积； （3）假设在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，则，根据勾股定理可得，即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质，可得， ∵点在轴上， ∴，， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：由折叠的性质，可得， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：假设在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，则， ∴， 解得，或， ∴在轴上存在点，使是以为底的等腰三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，折叠的性质，勾股定理，与三角形的高相关的计算，等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $