第6章 圆-【一战成名新中考】2026福建中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名目 第六章 圆 知识思维导图串讲 孤 圆的有关概念 弦（直径是圆上过圆心，最长的弦） 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条孤 圆的基本 定理：一条孤所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理及其推论 在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周角相等 念与性质 推论 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补 点在圆内（直线与圆相交） 点（直线）与圆的位置关系 点在圆上（直线与圆相切 点在圆外（直线与圆相离） 圆心到切线的距离等于半径 圆 与圆有关的 性质 切线垂直于过切点的半径 置关系 有公共点，连半径，证垂直 切线的性质与判定 判定 无公共点，作垂直，证相等 孤长计算：l=”π 三角形的内切圆三角形的外接圆 180 扇形面积的计算：S=π 公式法 360 一阴影部分面积的计算 可构造、可等积转化 有关的计算 和差法 圆与正多边形的相关计算 圆锥、圆柱的相关计算 52 教师备课尊享·福建数学 一战成名新中考 福建近5年中考考情分析 1.近5年题型、题位、分值的分析与总结 年份 2025 2024 2023 2022 2021 题型 选择题 9题4分 7题4分 10题4分 9题4分 填空题 15题涉及 21题8分 解答题 25题14分 25题14分 21题8分 23题10分 题量总计 2道 3道 2道 2道 1道 分值总计 18分 18分 12分 18分 4分 通考情总结 (1)近5年选择题每年0~1道，0~4分； (2)近5年填空题每年0~1道，0~4分； (3)近5年解答题每年0~2道，0~18分. 2.章内各版块频次、特点的分析与总结 年份 2025 2024 2023 2022 2021 版块 圆的相关 9题涉及 15题涉及 21题(2)4分 21题8分 概念及性质 25题涉及 25题涉及 与圆有关 9题4分 7题4分 21题(1)4分 23题10分 9题4分 的位置关系 与圆有关 25题14分 25题14分 10题4分 21题(2)4分 的计算 考情总结 (1)圆的相关概念及性质近5年必考； (2)与圆有关的位置关系近5年必考； (3)与圆有关的计算近5年4考. 教师备课尊享·福建数学 53 福建近3年中考真题分类+好题类推 版块1圆的相关概念及性质 1.[2025福建9题见P54] 好题类维 1-1[2025无锡]如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD=CA,DB的延长线交 ⊙0于点E. (1)求证：AB=BD; (2)若裙=3，s∠A股=写，求AD的长 E 0 1-1题图 1-1题解图 (1)证明：如解图，连接BC,AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AD, CD=CA,.BC垂直平分AD,∴AB=BD (2)解：如解图，连接AE,AB是圆的直径，.∠E=90°， .BEBE 1 .cos∠ABE= AB=3=3BE=1,.AE=AB'-BE2=8. 由(1)知BD=AB=3,.DE-BD+BE=4,.AD=√AE2+DE=26. 2.[2024福建15题见P17 3.[2025福建25题见P57] 4.[2024福建25题见P59 5.[2023福建21题见P55] 版块2与圆有关的位置关系 6.多解法[2025福建9题4分]如图，PA与⊙0相切于点A,P0的延长线交⊙0于点C,ABPC, 且交⊙0于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为 (C) A.30° B.45° C.60° D.75° 图1 图2 第9题图 第9题解图 C【解析】解法1.如解图1，连接OA,OB,PA与⊙0相切于点A,OA⊥PA,.∠AOP=0°-∠P =90°-30°=60°，AB∥PC,∠OAB=∠AOP=60°，OA=0B,.△A0B为等边三角形，∴.∠AOB =60°，.∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°，OB=0C,.△B0C为等边三角形，.∠BCP=60°. 解法2.如解图2，设PC与⊙O相交于点D,连接BD,OA,DC是⊙0的直经，∴.∠DBC=90°，PA 54 教师备课尊享·福建数学 一战成名新中考 与⊙0相切于点A,.OA⊥PA,.∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°，.∠ABD= ∠A0P=30°，. ∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°，：AB∥PC,.∠BCP=180°-∠ABC=60°. 好题类推 6-1[2025无锡]如图，AB与⊙0相切于点B,连接B0,过点0作B0的垂线OC,交⊙0于点C,连接 4C,交线段0B于点n若B=3,0C=2.则am1的值为号 【解析】解法1.AB与⊙0相切于点B,OB LAB,:OC⊥OB,.OCAB,△ODC∽△BDA, 6 OD OC 2-BD2 BD 5 2 BD=AROB=0C=2AR=3.BDBD=0 =5,六an4= AB35 解法2.如解图，作OE∥AC交BA延长线于点E,AB与⊙O相切于点B,∴OB⊥AB,又OB1 OC,ABOC,则四边形OEAC为平行四边形，.OC=AE=2,∠E=∠CAB,BE=AB+AE=5, OB=0C=2,在Rt△0BE中，anb=0B- 2 BE 5' ∴.tan∠CAB=tanE= D B B 6-1题图 6-1题解图 6-2题图 第7题图 6-2如图，PA、PB是⊙0切线，A、B为切点，点C在⊙0上，且∠ACB=55°，则∠APB等于（D) A.45° B.55 C.65 D.70 7.[2024福建7题4分]如图，已知点A,B在⊙0上，∠AOB=72°，直线MN与⊙0相切，切点为C,且 C为AB的中点，则∠ACM等于 （A) A.18° B.30° C.36° D.72° 【解析】，C为AB的中点，∠AOB=72°，∠A0C=∠B0C=36°，OA=0C,,∠AC0=∠0AC= 72°，直线MN与⊙0相切，切点为C,∴∠0CM=90°，.∠ACM=∠0CM-∠AC0=90°-72°=18. 8.多解法[2023福建21题8分]如图，已知△ABC内接于⊙0，C0的延长线交AB于点D,交⊙0 于点E,交⊙O的切线AF于点F,且AF∥BC (1)求证：A0BE; (2)求证：AO平分∠BAC 证明：解法1.(1)，AF是⊙0的切线， .AF⊥OA,即∠OAF=90°， :CE是⊙0的直径 ∴.∠CBE=90°，.∠OAF=∠CBE B AFBC,∴∠BAF=∠ABC, 第8题图 .∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC, 即LOAB=∠ABE .AO∥BE; (2):∠ABE与∠ACE都是EA所对的圆周角 教师备课尊享·福建数学 55 ∴.∠ABE=∠ACE, 0A=OC, ∴.∠ACE=∠OAC,∴.∠ABE=∠OAC 由(1)知∠OAB=∠ABE .∠OAB=∠OAC, AO平分∠BAC 解法2.(1)如解图，延长A0交BC于点G, AF是⊙0的切线，AF⊥AG AF∥BC,∴AG⊥BC,∴.∠AGC=90°， :CE是⊙O的直径，∴.∠CBE=90°=∠AGC,∴AOBE: B (2)由(1)得AG⊥BC,且OA是⊙0的半径，∴BG=CG, 第8题解图 ∴AO平分∠BAC 版块3与圆有关的计算 9.[2023福建10题4分]我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即 利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 π的近似值为3.1416.如图，⊙0的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙0 33 的面积，可得π的估计值为)若用圆内接正十二边形作近似估计，可得云的估计值为(C) A.5 B.22 C.3 D.23 120 0 D C D 第9题图 9-1题图 9-1题解图 好题类雅 9-1[2025烟台]如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O,以点0为圆心，以AB长为半径作 圆心角为120的扇形，则图中阴影部分的面积为 16-83 3 【解析】连接OA、OE、OF,过点O作OMLAF于点M,如解图，六边形ABCDEF为正六边形， 01=0E=0F,LA0F=∠E0F=0=60,∠BP=12,六△0AF和△OEF为等边三角形 ∠A0E=0+60=120,∠0m=∠0Ar=60,0MLA0,AM=FM=号AF=2.0M= 2323S2024Fx0M9k423E43,LBAD=卫0°.∠0AGE20P-60=60 2 ∴∠OAG=∠0EH,∴∠G0A+∠AOH=∠AOH+∠EOH=120°，∴∠G0A=∠EOH,.△G0A9 △H0E,.S△c0A=S△10E,.S△G04+S四边形AoIn=S△noE+S四边形AomI,.S五i边形AG0Ir=S四边形oEn=2S△Aor=8 √5，∴S阴影=S扇形-S五i边形AGo咖r -120mx483=16-83。 360 3 56 教师备课尊享·福建数学 一战成名新中考 9-2「2025河南]我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆 术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E,连接BE, ∠ABE=15°，连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 4如-25 9-2题图 【解析】边CD与⊙O相切于点E,∴.OE⊥CD,四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD,OE⊥AB, 1 -10··‘b=v元=v/O“。0E=短乙z=江OV7音里甲之二之×二进￥T44片 21 S阴些B分=S形A0E-S△0r= 3602×2×25=4-23 0m×421 3 10.[2025福建25题14分]如图，四边形ABCD内接于⊙0，AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相 交于点FG是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG. (1)求证：∠ABC=∠DBE+∠E; (2)求证：A=HF·HC: (3)若tan∠ABC=√5，AD=2DE,CD=√6，求△AGH的周长. 第10题图 (1)证明：AB=AC,,∠ABC=∠ACB, ∠ACB=∠ADB,∴∠ABC=∠ADB. :∠ADB=∠DBE+∠E .∠ABC=∠DBE+∠E: (2)证明：BG=DG, .∠ABD=∠GDB, 由(1)知∠ABC=∠ADB, '∠ABC=∠ABD+∠DBC,∠ADB=∠GDB+∠GDA, ∴.∠DBE=∠GDA ·∠DBE=∠CAD,.∠CAD=∠GDA,∴AH=HD. ∠ACD=∠ABD,,∠ACD=∠GDB. HD HC S∠CD=∠DH证△CHD△DHF,…F0 .D2=HC·HF,∴.AP=HF·HC; (3)解：解法1.（标答）由(2)知AH=DH,又BG=DG .△AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG=AG+BG=AB. 设DE=m,则AD=2DE=2m,AE=AD+DE=3m, 由(1)可知∠ABC=∠DBE+∠E=∠ABD+∠DBE,.∠ABD=∠E 又'∠ABD=∠ACD,.∠ACD=∠E, 又：∠CAD=∠EAC, △0a-2受 教师备课尊享·福建数学 57 .AC2=AD·AE=6m2,AC=√6m 又CD=√6 .6m_√6 ·3mE ,.EC=3. 如解图1，作CP⊥AE于点P,则∠CPD=∠CPE=90°， 四边形ABCD是圆内接四边形 .∴.∠ADC+∠ABC=180° 又.∠ADC+∠CDP=180°，∠CDP=∠ABC, ∴.tan∠CDP=tan∠ABC=√5. 心在Rt△DCP中DS】] =5,即PC=5PD .CD=VPD2+PC2=6PD .6PD=√6，PD=1,.PC=5 ∴PE=DE-DP=m-1. 在Rt△CPE中，PE+PC2=CE,.(m-1)2+(W5)2=32, 解得m=3或m=-1(舍去)， .AB=AC=36,,△AGH的周长为3√6. 解法2.如解图2，连接A0并延长交CB于点M, 第10题解图1 .AB=AC,..AB=AC...AM LBC.CM=BM, tm∠ABC=AM5 BM G 设BM=k,则AM=√5k,BC=2k .AB=√B+AMf=√6k AD=2DE,∴.设DE=Q,则AD=2a 第10题解图2 ∴AE=AD+DE=3a. ∠ADB=∠ACB,∠ACB=∠ABC,∴∠ADB=∠ABC, .:∠BAD=∠EAB BA AD A△BAD△EAB,EAAB 6k 2a 3a 6k ,k=a,∴DE=k,AE=3k :四边形ABCD为圆的内接四边形，.∠EDC=∠ABC, ∠E=∠E,△EDC∽△EBA,BEAE DE CE CE+2k教CE+2k·CE-3认2=0，CE=k(负值已舍去)， k CE :△EDC∽△EBA CD CE6 k 六ABAE小AB派AB=36 由(2)知AH=HD 又BG=DG .△AGH的周长=AG+GH+AH=AG+GH+HD=AG+GD=AG+GB=AB=3N6. 58 教师备课尊享·福建数学 一战成名新中考 11.[2024福建25题14分]如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,以AB为直径的⊙0交BC于点 D,AE⊥OC,垂足为E,BE的延长线交AD于点F （1)求0E的值： AE (2)求证：△AEB∽△BEC; (3)求证：AD与EF互相平分. (1)解：AB=AC,且AB是⊙0的直径， ∴AC=240 ,∠BAC=90° 六在Rt△A0C中，an∠AOC=AC-2 AE⊥OC, 第11题图 AE .在Rt△AOE中，tan∠AOC= OE AE 0E1 2=2…AE2 OE (2)证明：如解图1，过点B作BM∥AE,交E0延长线于点M, ∴.∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°. AO=B0,.△AOE≌△B0M(AAS), ∴AE=BM,OE=OM 由(1)知E1 AE2BM=20E=EM, ∴.∠MEB=∠MBE=45°， ∴.∠AEB=∠AE0+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°， 第11题解图1 ∴.∠AEB=∠BEC .·AB=AC,∠BAC=90°，.∠ABC=45°=∠MBE. ∴∠ABM=∠CBE 又：∠BAE=∠ABM,∴.∠BAE=∠CBE, ∴△AEB∽△BEC; (3)证明：如解图2，连接DE,DF AB是⊙0的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BD, 又·∠BAC=90°，AB=AC .∠ABC=∠BAD=45°，BD=CD 由(2)可知：∠1=∠BAD=45°， ∠2=∠BAD=45°，∠2=∠1， ∴AEDF △AEB∽△BEC,·BEBC AE AB AE AO 又：AB=2A0,BC=2BD,BEBD 第11题解图2 由(1)知∠3=∠4，.△AE0∽△BED ∴.∠AEO=∠BED=∠FED=90 教师备课尊享·福建数学 59 AB为⊙O的直径，.∠AFB=∠FED=90°， ..AF//DE :.四边形AEDF为平行四边形， ·.AD与EF互相平分 四回归教材，母题迁移 《教材素材●》》 素材1[北师九下P78图3-14]在射门游戏中（如图1），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B 对球门AC的张角（∠ABC)有关：当球员在B,D,E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个 张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 图1 图2 素材2[人教九上P124第11题]如图2，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门PQ,当他带球冲到点A 时，同伴乙已经冲到点B,此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小 考虑) 《考法变式●》>》 1.如图，甲、乙、丙、丁四位球员分别站在足球门AB前的点P1,P2,P3,P4处射门，点P,P,在同一个 以AB为弦的圆上，点P,在该圆内，点P,在该圆外，若球员面对足球门的张角越大，踢进足球的 可能性就越大，则下列说法正确的是 (B) A.四位球员踢进足球的可能性一样大 B.甲、乙踢进足球的可能性一样大 C.丙踢进足球的可能性最小 D.丁踢进足球的可能性最大 2.如图，⊙0中，弦AB,CD相交于点P,∠A=40°，∠APD=75°，则∠B= (D) A.15° B.40° C.75o D.35° 0 P D 第1题图 第2题图 变式2-1题图 变式2-1题解图 变式2-1如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P,连接AC,BC,BD (1)若∠BCD=30°，则∠ABD=60°； (2)若AC=AP,∠ABC=40°，则∠ABD=65°； (3)若C是AB的中点，∠BCD=30°，BD=3,则BC=32 【解析】如解图，连接AD,则∠BDA=90°，∠BAD=∠BCD=30°，，AB=2BD=6,C是AB的中点， AB AB是O0的直径，∠ACB=90,∠CAB=∠CBA=45°，BC= 二×6=3/2. 2 2 60 教师备课尊享·福建数学 一战成名新中考 变式2-2如图，已知⊙0是△ABC的外接圆，其中CA=CB,连接C0并延长交AB于点D,交⊙O 于点E,连接EB. (1)开放性试题写出图中一个与∠1相等的角：∠2（或∠5）； (2)开放性试题写出图中一个与△ACD相似的三角形：△EBD(或△ECB),并证明； (3)若铅子，求1mLC的直 E (2)证明：BC=BC,∠1=∠2，AE=AE,.∠3=∠6，△EBD△ACD:(证 △ECB∽△ACD过程略) ED 7 (3)解：CD3设D=7a,CD=3a,CE=ED+DC=10a, D6 B CA=CB,∴.CE⊥AB,AD=BD AD CD 变式2-2题图 由(2)知△EBD△ACD,DDBD=CD:BD=21, BD=VIa(负值已舍去)，tanLABC=CD-34-V2 BD√2Ia7 3.综合与实践：足球的最佳射门位置 问题情境：如图1，运动员沿着直线1带球向球门PQ方向跑动，寻找最佳射门位置， (1)问题探索：如图1，小星认为以线段PQ为弦作⊙G,使⊙G恰好与直线1相切，切点为A.当运 动员跑动到切点A处时，射门张角最大，请你帮助小星证明他的思路：若点M是1上一个异于 点A的点，求证：∠PAQ>∠PMQ: (2)问题解决：小红经过思考，认为可以通过建立平面直角坐标系的方式确定点A的位置.如图2， 以直线1为x轴，过点P且垂直于1的直线为y轴建立平面直角坐标系，已知点P(0,2), Q(3,5),根据“垂径定理”，可知圆心G在线段PQ的垂直平分线1，上，可求出直线l1的表达 式，并借助AG=PG,求出圆心G的坐标，从而得到点A的坐标，请写出具体的过程 ·G 图1 图2 图1 图2 第3题图 第3题解图 (1)证明：如解图1，连接PA,OA,PM,QM,PM交⊙G于点N,连接ON,.∠PAQ=∠PNQ, ∠PNO是△ONM的外角，.∠PWQ=∠PM0+∠MQN,∴.∠PNO>∠PM0,∴∠PAQ>∠PMg; (2)解：如解图2，设PQ的中点为B,直线1与y轴的交点为C, 点的坐标为（生约即C号， 0+32+5、 过点Q作0HLy轴于点H,∴.点H的坐标为(0,5)，∴QH=3,PH=3,∴△P0H为等腰直角三角形， BC垂直平分P2,.点C与点H重合，∴点C的坐标为(0,5)， 设直线L的表达式为y=在5k0).代入（子得子45=子解得=-1 教师备课尊享·福建数学 61